《與三角形有關(guān)的角》教案設(shè)計(jì)

1、與三角形有關(guān)的角教案李天明從容說(shuō)課三角形是最常見(jiàn)的幾何圖形之一，在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和日常生活中都有廣泛的應(yīng)用又因?yàn)槿切问嵌噙呅蔚囊环N，而且是最簡(jiǎn)單的多邊形在幾何里，常常把多邊形分割成若干個(gè)三角形，利用三角形的性質(zhì)去研究多邊形，也可以利用一系列的三角形去逼近它，從而利用三角形的性質(zhì)去研究他們因此對(duì)三角形性質(zhì)的研究就顯得十分重要在小學(xué)已學(xué)習(xí)過(guò)三角形的內(nèi)角的有關(guān)知識(shí)，知道三角形的內(nèi)角和為180，但是為什么是180而不去研究在這里要求學(xué)生掌握“三角形內(nèi)角和定理”的證明及其簡(jiǎn)單應(yīng)用，掌握三角形內(nèi)角和定理的兩個(gè)推論及其證明在證明過(guò)程中通過(guò)一題多解、一題多變，初步體會(huì)思維的多向性，引導(dǎo)學(xué)生的個(gè)性化發(fā)展；由內(nèi)角中

2、的等量關(guān)系和外角中的不等關(guān)系，讓學(xué)生體會(huì)相等與不等關(guān)系的簡(jiǎn)單證明引導(dǎo)學(xué)生從內(nèi)和外，相等和不等的不同角度對(duì)三角形作更全面的思考在教學(xué)中，首先讓學(xué)生動(dòng)手操作，把三角形的三個(gè)內(nèi)角拼合在一起，探索它們的和及其原因，然后互相交流各自的想法，并歸納總結(jié)出結(jié)論再尋求多渠道、不同途徑的解決問(wèn)題的方法，使學(xué)生經(jīng)歷實(shí)驗(yàn)思考交流總結(jié)運(yùn)用的過(guò)程讓他們不僅掌握知識(shí)點(diǎn)，還要知道為什么、做什么用，使學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際生活聯(lián)系起來(lái)避免了數(shù)學(xué)的枯燥無(wú)味和脫離實(shí)際的現(xiàn)象，使數(shù)學(xué)真正運(yùn)用到實(shí)際中去教學(xué)課時(shí)三維目標(biāo)一、知識(shí)與技能1掌握“三角形內(nèi)角和定理”的證明及其簡(jiǎn)單運(yùn)用2掌握三角形的外角的定義，三角形內(nèi)角和定理的兩個(gè)推論及其證明

3、；3體會(huì)幾何中不等關(guān)系的簡(jiǎn)單證明二、過(guò)程與方法1通過(guò)探索“三角形內(nèi)角和定理”及其推論，培養(yǎng)學(xué)生的探索能力和實(shí)踐操作能力；2在學(xué)習(xí)了三角形的內(nèi)角和外角后，能運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題，訓(xùn)練學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的運(yùn)用能力三、情感態(tài)度與價(jià)值觀1通過(guò)讓學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的好奇心與求知欲；2由具體實(shí)例的引導(dǎo)，讓學(xué)生初步認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)與人類(lèi)生活的密切聯(lián)系及對(duì)人類(lèi)歷史發(fā)展的作用，體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)充滿(mǎn)著探索與研究教學(xué)重點(diǎn)三角形內(nèi)角和定理及推論教學(xué)難點(diǎn)三角形內(nèi)角和定理及推論的證明和運(yùn)用教具準(zhǔn)備投影片三張：第一張（記作72A）；第二張（72B）；第三張（72C）教學(xué)過(guò)程一、創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，導(dǎo)入新課在小學(xué)我們已

4、經(jīng)知道三角形的內(nèi)角和為180，但究竟為什么是180，我們沒(méi)有去研究，本節(jié)課我們來(lái)回答這個(gè)問(wèn)題二、動(dòng)手試一試，你會(huì)有收獲活動(dòng)1問(wèn)題：在紙上畫(huà)一個(gè)三角形，并將它的內(nèi)角剪下，試著拼拼看，三個(gè)內(nèi)角的和是否為180？設(shè)計(jì)意圖：旨在讓學(xué)生親身實(shí)驗(yàn)一下，對(duì)所研究的問(wèn)題產(chǎn)生興趣，激發(fā)好奇心和求知欲通過(guò)親身經(jīng)歷，體會(huì)從具體情景中發(fā)現(xiàn)教學(xué)問(wèn)題師生活動(dòng)：讓學(xué)生人人畫(huà)一個(gè)三角形，并把三個(gè)角裁下來(lái)，拼在一起，讓他們自己得出結(jié)論生：三個(gè)角拼在一起，會(huì)得到一個(gè)180的角師：為什么是180呢？生：因?yàn)槿齻€(gè)角合起來(lái)形成一個(gè)平角，而平角等于180，所以三個(gè)角的和為180師：大家得出的結(jié)論相同嗎？你們畫(huà)的三角形都一樣嗎？如果不一樣

5、，你能得出什么結(jié)論呢？生：我們互相交流一下，結(jié)論都是一樣的，但所畫(huà)的三角形并不完全一樣，所以說(shuō)明三角形三個(gè)內(nèi)角的和與形狀沒(méi)有關(guān)系，只要是三角形，其內(nèi)角和就一定為180師：大家回答得非常棒但這只是實(shí)驗(yàn)，由觀察與實(shí)驗(yàn)得到的結(jié)論，并不一定正確、可靠，這樣就需要通過(guò)數(shù)學(xué)證明來(lái)驗(yàn)證，那么怎樣證明呢？請(qǐng)同學(xué)們看投影片（出示投影片72A）在圖72-1（1）中，B和C分別拼在A的左右兩側(cè)，三個(gè)角合起來(lái)形成一個(gè)平角，出現(xiàn)一條過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)L，移動(dòng)后的B和C各有一條邊在L上想一想，L與ABC的邊BC有什么關(guān)系？由這個(gè)圖你能想出說(shuō)明三角形內(nèi)角和等于180這個(gè)結(jié)論正確的方法嗎？請(qǐng)大家思考后再互相交流生：因?yàn)橐苿?dòng)后的C與

6、未移動(dòng)時(shí)的C相等，而他們又是內(nèi)錯(cuò)角，由平行線(xiàn)的裁定可知，直線(xiàn)L與邊BC平行，所以可以過(guò)ABC的頂點(diǎn)A作直線(xiàn)L平行于ABC的邊BC，由平行線(xiàn)的性質(zhì)與平角的定義可知A+B+C=180師：大家能寫(xiě)出證明過(guò)程嗎？這是一個(gè)文字命題，證明時(shí)應(yīng)先干什么呢？生：需要先畫(huà)出圖形，根據(jù)命題的條件和結(jié)論，結(jié)合圖形寫(xiě)出已知、求證師：下面請(qǐng)一位同學(xué)完整地寫(xiě)出過(guò)程生：如圖72-2，已知ABC,求證：A+B+C=180證明：過(guò)A作直線(xiàn)DEBC，DAB=B，EAC=CDAB+BAC+EAC=180，B+BAC+C=180，即A+B+C=180師：再觀察圖72-2（2）輔助線(xiàn)的作法與圖72-1（1）一樣嗎？證明方法相同嗎？生：

7、輔助線(xiàn)的作法不同移動(dòng)前的A和移動(dòng)后的A相等，且是內(nèi)錯(cuò)角的位置關(guān)系，可知直線(xiàn)L與邊AB平行，同時(shí)移動(dòng)前和移動(dòng)后的B是同位角也應(yīng)相等，所以三個(gè)角拼在一起構(gòu)成了平角，故A+B+C=180師：能寫(xiě)出證明過(guò)程嗎？生：已知、求證和上面相同證明：如圖72-3延長(zhǎng)BC到D，過(guò)C作CEABA=ACE；B=ECDACE+ACB+ECD=180，A+ACB+B=180，即A+B+C=180師：利用兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)怎樣？課下討論從上面的兩種證明方法中，大家能否找到它們的異同點(diǎn)？它們的思路是否一致呢？生：相同點(diǎn)是：都是把三角形的三個(gè)內(nèi)角拼到一起，根據(jù)平角的定義，證明三角形的內(nèi)角和是180；不同的是：輔助線(xiàn)的作法

8、不同，前者是過(guò)A點(diǎn)作邊BC的平行線(xiàn)，后者是過(guò)C點(diǎn)作邊AB的平行線(xiàn)但不管是過(guò)三角形的哪一個(gè)頂點(diǎn)，作另一邊的平行線(xiàn)，它們的思路基本一致，就是通過(guò)平行線(xiàn)，利用平行線(xiàn)的性質(zhì)，通過(guò)同位角或內(nèi)錯(cuò)角相等，把三個(gè)角都拼到一起，構(gòu)成一個(gè)平角，從而得證師：很好大家的證明過(guò)程寫(xiě)的非常好，分析的非常棒，找到了解決問(wèn)題的思路根據(jù)思路，大家還能找到其他的證明方法嗎？生：還可以這樣作輔助線(xiàn)，如圖72-4作CA的延長(zhǎng)線(xiàn)AD，過(guò)點(diǎn)A作DAE=C，則AEBC，所以EAB=B因?yàn)镈AE+EAB+BAC=180，故C+B+BAC=180，即A+B+C=180師：大家做的非常好，前三種方法都是把三個(gè)角轉(zhuǎn)移到三角形的一個(gè)頂點(diǎn)處只要把它們

9、拼到一起成為平角即可，那么是否可以轉(zhuǎn)移到其他地方呢？請(qǐng)大家討論生：如圖72-5，在BC上任取一點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DEAB交AC于E，再過(guò)點(diǎn)D作DFAC交AB于FDEAB，1=B，2=4DFAC，3=C，4=A2=A1+2+3=180A+B+C=180師：大家討論的非常棒可見(jiàn)大家已掌握了三角形內(nèi)角和定理的證明，并能根據(jù)思路拓展，由于時(shí)間關(guān)系，我們不再繼續(xù)了，在課后大家可以繼續(xù)討論有關(guān)問(wèn)題，比如點(diǎn)在ABC的內(nèi)部？外部呢？活動(dòng)2出示投影片72B例：如圖72-6，C島在A島的北偏東50方向，B島在A島的北偏東80方向，C島在B島的北偏西40方向，從C島看A、B兩島的視角ACB是多少度？師生活動(dòng)：師：請(qǐng)大家

10、先觀察思考，題中出現(xiàn)的這些方位角，在圖上分別指出生：C島在A島的北偏東50方向，指DAC=50；B島在A島的北偏東80方向，指DAB=80；C島在A島的北偏西40方向，指CBE=40；要求的是AOB的度數(shù)師：下面再討論一下根據(jù)已知角，如果求出ACB的度數(shù)生：要求ACB的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，需求出CAB和CBA的度數(shù)而CAB=DAB-DAC=80-50=30，CBA=90-CBE=90-40=50所以ACB=180-CAB-CBA=180-30-50=100生：他做的不對(duì)，CBA不等于50因?yàn)镋BA不是90而是因?yàn)锳DBE，DAB+ABE=180ABE=180-DAB=100ABC=AB

11、E-CBE=60ACB=180-30-60=90師：哪一位同學(xué)能把過(guò)程完整地寫(xiě)一下呢？生：解：CAB=BAD-CAD=80-50=30ADBE，BAD+ABE=180ABE=180-BAD=180-80=100ABC=ABE-EBC=100-40=60在ABC中ACB=180-ABC-CAB=180-60-30=90答：從C島看A、B兩島的視角ACB=90師：大家看，過(guò)C點(diǎn)作AD的平行線(xiàn)CF，則ADCFBE，往后課下完成嘗試反饋鞏固練習(xí)（出示投影片72C）1ABC中，A=40，B-C=30求B，C2ABC中，A：B：C=1：2：2求A，B，C3在ABC中，A+B=90，C=2A求A，B，C4如

12、圖72-7，在ABC中，C=ABC=2A，BD是AB邊上的高求DBC的度數(shù)設(shè)計(jì)意圖：利用三角形內(nèi)角和定理求某些角的度數(shù)師生活動(dòng)：生：1解：A=40，A+B+C=180，B+C=180-A=140B-C=30，B=C+30，C+30+C=140C=55，B=852解：A：B：C=1：2：2，設(shè)A=x，B=C=2xA+B+C=180，5x=180，x=36A=36，B=C=723解：A+B=80，C=180-80=100C=2A，A=C=50，B=180-A-B=304解：C=ABC=2AA=36，C=72BDDC，BDC=90DBC=180-BDC-C=180-90-72=18活動(dòng)3問(wèn)題：探究三

13、角形外角的定義，外角與不相鄰內(nèi)角間的關(guān)系設(shè)計(jì)意圖：旨在掌握三角形外角的定義的基礎(chǔ)上，利用三角形內(nèi)角和定理，推導(dǎo)出外角與不相鄰內(nèi)角間的關(guān)系師生活動(dòng)：師：前面我們學(xué)習(xí)了三角形的內(nèi)角，也稱(chēng)為三角形的角，還掌握了內(nèi)角和定理，下面我們來(lái)探究一下三角形的外角生：顧名思義，三角形的內(nèi)角是三角形內(nèi)部的角，那么三角形的外角就是三角形外部的角如圖72-8，BAC、B、C是三角形的內(nèi)角，BAE、CAD、EAD是三角形外部的角，稱(chēng)為三角形的外角師：這位同學(xué)的分析似乎有道理，大家認(rèn)為怎么樣？小組討論后交流生：不正確，不能這樣想當(dāng)然外角不是外部的角，而是三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線(xiàn)組成的角，如DAC、EAB、DAE雖然在

14、三角形的外部，但它的兩邊都是三角形的延長(zhǎng)線(xiàn)，不符合外角的定義，所以它不是外角師：這位同學(xué)說(shuō)出了外角應(yīng)具備的條件：角的頂點(diǎn)是三角形的頂點(diǎn)；角的一邊是三角形的一邊；另一邊是三角形中一邊的延長(zhǎng)線(xiàn)，那么在上面的圖72-8中，滿(mǎn)足條件的角（外角）是否只有DAC和EAB呢？請(qǐng)大家思考后作答生：不是在三角形每個(gè)頂點(diǎn)處都有兩個(gè)外角，所以一個(gè)三角形有6個(gè)外角，而且同一頂點(diǎn)處的兩個(gè)外角是對(duì)頂角，應(yīng)該相等師：大家的分析很詳細(xì)那么這些外角與內(nèi)角之間有沒(méi)有關(guān)系，如果有，存在什么關(guān)系呢？將是下面我們要解決的問(wèn)題如圖72-9，ABC中，A=70，B=60ACD是ABC的一個(gè)外角能由A，B求出ACD嗎？如果能，ACD與A，B

15、有什么關(guān)系？你能進(jìn)一步說(shuō)明任意一個(gè)三角形的一個(gè)外角與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角有什么關(guān)系嗎？生：A+B+ACB=180，ACB+ACD=180ACD=A+B=130所以三角形的一個(gè)外角等于兩個(gè)內(nèi)角的和師：根據(jù)剛才這位同學(xué)的邏輯，那么ACD=A+ACB，ACD=B+ACB成立嗎？生：不成立再如圖72-10，A=30，B=40則ACB=110因?yàn)锳CB+ACD=180，所以ACD=70那么ACD=A+ACB成立嗎？生：不成立師：為什么呢？那剛才的結(jié)論成立嗎？生：不成立在上圖中有結(jié)論ACD=A+B，本題中有ACD=A+B而A，B與ACD不相鄰，所以上面的結(jié)論應(yīng)改為：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的

16、和師：那么外角與其中一個(gè)不相鄰的內(nèi)角之間的關(guān)系呢？生：因?yàn)閮蓚€(gè)角的和等于外角，所以外角應(yīng)大于其中任何一個(gè)內(nèi)角師：由此可知三角形內(nèi)角和定理的推論1三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和2三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角嘗試反饋鞏固練習(xí)1已知：如圖72-11，BAF，CBD，ACE是ABC的三個(gè)外角求證：BAF+CBD+ACE=360設(shè)計(jì)意圖：鞏固三角形內(nèi)角和及其推論師生活動(dòng)：生：證明：BAF=2+3，CBD=1+3，ACE=1+2，BAF+CBD+ACE=2（1+2+3）1+2+3=180BAF+CBD+ACE=3602已知：如圖72-12，在ABC中，1是它的一個(gè)外角，E為邊

17、AC上一點(diǎn)，延長(zhǎng)BC到D，連結(jié)DE求證：12設(shè)計(jì)意圖：體會(huì)幾何中不等關(guān)系的簡(jiǎn)單證明師生活動(dòng)：證明：1是ABC的外角，133是DCE的外角，32，12三、課時(shí)小結(jié)本節(jié)課共同探索了三角形內(nèi)角和定理及推論的證明，基本思想是：把三個(gè)內(nèi)角拼在一起，拼成一個(gè)平角；熟練掌握三角形內(nèi)角和及外角和定理；理解三角形外角的性質(zhì)，并能解簡(jiǎn)單問(wèn)題板書(shū)設(shè)計(jì)72與三角形有關(guān)的角活動(dòng)一（探究三角形內(nèi)角和）活動(dòng)二（例題講解）活動(dòng)三（探究三角形的外角與不相鄰的內(nèi)角間的關(guān)系）活動(dòng)與探究在前面討論三角形內(nèi)角和定理的證明時(shí)，證明的思路是把三角形的三個(gè)角拼到一起，構(gòu)成一個(gè)平角，根據(jù)平角的定義得證可以把三個(gè)角“湊”到一個(gè)頂點(diǎn)處，也可以把三角形“湊”到一邊上，那么能否把三個(gè)角“湊”到三角形的內(nèi)部和外部呢？如下圖：過(guò)P點(diǎn)分別作三邊的平行線(xiàn)ST、MN、QR在左上圖中，A=QST=SPN，B=SQP=NPR，C=NRP=SPQ，SPN+NPR+SPQ=180，A+B+C=180在右上圖中，A+ATS=SPN，B=1=NPR，C=2=SPQSPN+NPR+SPQ=180，A+B+C=180以上幾種證法，都是在把三角形的三個(gè)內(nèi)角剪下拼在一起，構(gòu)成一個(gè)平角的實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上產(chǎn)生的特別是添加了輔助線(xiàn)，構(gòu)造出了新圖