一校五題(通州中學(xué)提供)

1、一校五題（通州中學(xué)提供）填空題（星級：三星，命題人：王新星）若函數(shù)f(x) =log 20112011x2011 x2011，則 7 f(k丄k 2011.)口2012【解析】2011x3f(2011X)現(xiàn) 20112 嘰112011(2011 -x)2011 -(2011 -x)=log 2011 2011由倒序相加法，得7 f(k 20112011 2=2011 .池 201222. 填空題（星級：四星，命題人：曹兵）根據(jù)程序設(shè)定，機器人在平面上能完成下列動作：從原點O出發(fā)，以勻速 v（m/s）沿東偏北 a a為（0,刁）內(nèi)的變量）方向或正北方向行走，且方向改變的時間不定記機器人行走t（s

2、）時的可能落點P的區(qū)域為Q,則Q的面積與（vt）2的比值為 .第2題【解析】如圖，作以 O為圓心，vt長為半徑的四分之一圓，則Q的區(qū)域為弧 AB和弦AB圍成的弓形區(qū)域（除去開線段AB及點B）.下證P落在弓形內(nèi)，過 P作OB的垂線，與弧 AB、弦AB、OB 交于D、C、E,作OQ使.QOB二：，交DC于Q.對于某個 a的任何運動的軌跡相當于從O到Q,再從Q到P.當 P 在 C 的下方時(包括和 C 重合)，OQ+QP<OE+ EQ+ QC=OE+EC= OE+EB=vt.當P在D的上方時，OQ+QP > OD =vt綜上，P落在弓形內(nèi)（除去開線段AB及點B）,其面積為上（vt）2_丄

3、（vt）2，貝V Q的面積與（vt）242的比值為二一1 .423. 填空題（星級：四星，命題人：王新星）已知三次函數(shù)f（x）二旦x3 -x2 cx d（a : b）在R上單調(diào)遞增，則a b C的最小值32b a為.【解析】由題意 f （x）二ax2 bx c > 0在R上恒成立，則a 0 , 二b2 -4ac w 0.2a b c a ab ac b -aab -a2a2 ab - b24ab -a211(b)a 4 a1 +t + 一22令t .b(t 1),jg j1 3)_1 丄6)>3.(當且僅ab _at 14 t 14 t 14t 1當 t =4，即 b =4a =：

4、4c 時取“=”4. 解答題(星級：五星，命題人:若正數(shù)數(shù)列an滿足 7王新星，審題人：薛國均)1一)，其中Sn是數(shù)列an的前n項和.an(1) 求(2 )若1bn nS2)，是否存在bk二bm(k =m) ?若存在，求出所有相等的兩項；若不存在，說【解析】明理由.(1)令 n =1，又 an0，得 at =1 .1 1 1 1 1 Sv® 寸石(SnSn丄，即：Sn“s：，二 S：-S：1 ,.Sn為等差數(shù)列，Sn= S(n-1)1= n ,.Sn= . n .1 1(2) bn =(s：)粘=n"1，則 In (bn)皿n +1考慮函數(shù) g(x) =nX ( X>

5、 1),則 g(x) /+1巧.g( ) x+1x(x+1)2令 h(x)=x+1+xlnx (x> 1),則 h"(x)=-lnx < 0，二 h(x)在1,訟)遞減/ h(1)=20 , h(2) =3-21 n2 .0 , h(3) =4 - 31 n3 0 , h(4)=5-41 n 4 ： 0 x> 4 時，h(x) w h(4) : 0 ,則 g (x)：O, g(x)在4,：)遞減；1 w xw 3 時，h(x) > h(3)0，則 g(x) 0 , g(x)在1,3遞增. g(1)：g(2) :：:g(3), g(4)g(5) g(6)山即 I

6、n D ：l nth ：lnb3, ln b4 In b5In 館 HI二 0 池：ba, b4b5b6III1 一54-4b<D5>>l>又0=1，當n工1時，1 .若存在兩項相等，只可能是b2 >bg與后面的項相等又b2=23=89 =，二 b)2 = biib3=34-b5=56,數(shù)列bn中存在唯一相等的兩項 b2二b85.解答題（星級：四星，命題人：王新星，審題人：薛國均）Xk -7ykis 數(shù)列Xn、厲滿足yk"2Xkyk12求證：(1) Xk 2 =Xk 1-2Xk， yk .2 =yk i-2yk ；(2) -n N “， 奇數(shù)對(x, y

7、)，使得 2n x2 - 7y2 .【解析】(1)Xk1二 Xk；7yk =2Xk 2二 Xk1-7yk 1二 Xk1 -7 1 (Xkyj二 Xk 1-*(7耳7yJ1=Xk 1(7Xk' Xk-2Xk1 ) = 2Xk 1 - 4Xk- -xk xk1_ 2xk21 12yk 2 二Xk 1yk1 =2(Xk -7yJyk1二?(2yk 1-yk-7yJyk1=2yk1-4yk-yk2 =yk12yk(2)當n =1時，取X1 = % =1 , 2 2 -1 - 7 1顯然成立.假設(shè)當n =k(k NJ,奇數(shù)對(Xk, yk)，使得2kx! - 7yk .當 n- 1，取，y+寧，則 xk+ +7y：+ -(7)2 +7()2 =2(x2 +7y；) =2，2心=2 ,2 2由()知 xk 2 - xk 1 - 2xk， yk 2 = yk 1 _ 2yk .又X1 = y1 =1, X2 = -3 , y2 =1均為奇數(shù)，可知Xk 1、yk 1均為奇數(shù).綜合可知 -n N ”， 奇數(shù)對（x, y），使得2