高中數(shù)學(xué)圓的方程單元測試

1、用心 愛心 專心1典型例題十已知圓x2 y2 x -6y m = 0與直線x 2y -3 = 0相交于P、Q兩點，O為原點，且OP _ OQ,求實數(shù)m的值.分析：設(shè)P、Q兩點的坐標(biāo)為(為,yj、(x2, y2)，則由kOP-kg = -1，可得x1x2y1y2= 0,再利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解或因為通過原點的直線的斜率為丄，由直線I與圓的方程x構(gòu)造以1為未知數(shù)的一元二次方程，由根與系數(shù)關(guān)系得出kOPkOQ的值，從而使問題得以解決.x解法一：設(shè)點P、Q的坐標(biāo)為(論，yj、(x2, y2).一方面，由OP _ OQ，得kOPkOQ= -1，即11上-_1，也即：x1x2yiy2= .x1

2、x2(X2,y2)是方程組弓右的實數(shù)解，即x + y +x_6y + m = 05x210 x 4m -27=0的兩個根.*_24m27XX2 -一2,X1X2 5又P、Q在直線x，2y-3=0上,二y2(3-xJ(3-X2)9-3(為X2)X1X2.224將代入，得y2二衛(wèi)12.5將、代入，解得m=3，代入方程，檢驗 :0成立，二m = 3.解法二：由直線方程可得3 = x 2y，代入圓的方程x2亠y2亠x-6y亠m=0，有221m2x y (x 2y)(x -6y)(x 2y) =0,39整理，得(12 m)x24(m -3)xy (4m -27)y2=0.由于x = 0，故可得(4m -

3、27)(乂)24(m -3)乂12 m =0.xx二kOP,koQ是上述方程兩根故kOPkOQ = T. 得另一方面，(X1, yjx1、x2是方程用心 愛心 專心2經(jīng)檢驗可知m = 3為所求.12 m4m -27=-1,解得m = 3.用心 愛心 專心3典型例題十一例 1111 求經(jīng)過點A(0,5)，且與直線x-2y =0和2x y = 0都相切的圓的方程.分析：欲確定圓的方程.需確定圓心坐標(biāo)與半徑，由于所求圓過定點A，故只需確定圓心坐標(biāo).又 圓與兩已知直線相切，故圓心必在它們的交角的平分線上.解：圓和直線x-2y =0與2x y = 0相切，圓心C在這兩條直線的交角平分線上，又圓心到兩直線

4、x2y =0和2x y=0的距離相等.兩直線交角的平分線方程是x 30或3x一y = 0.又圓過點A(0,5),圓心C只能在直線3x-=0上.設(shè)圓心C(t ,3t) C到直線2x + y = 0的距離等于AC,化簡整理得t2-6t 5=0.解得：t=1或t =5圓心是(1,3)，半徑為.5或圓心是(5,15)，半徑為5. 5.所求圓的方程為(x -1)2(y - 3)2= 5或(x - 5)2(y -15)2=125.典型例題十二例 1212 設(shè)圓滿足：(1)(1)截y軸所得弦長為 2 2; (2)(2)被x軸分成兩段弧，其弧長的比為3:1，在滿足條件(1)(1) (2)(2)的所有圓中，求圓

5、心到直線丨：x-x-2y=0的距離最小的圓的方程.分析：要求圓的方程，只須利用條件求出圓心坐標(biāo)和半徑，便可求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.滿足兩個條 件的圓有無數(shù)個，其圓心的集合可看作動點的軌跡，若能求出這軌跡的方程，便可利用點到直線的距 離公式，通過求最小值的方法找到符合題意的圓的圓心坐標(biāo)，進(jìn)而確定圓的半徑，求出圓的方程.x 2y2t +3t=t2(3t -5)2x-2y用心 愛心 專心4解法一：設(shè)圓心為P(a , b)，半徑為r.用心 愛心 專心5則P到x軸、y軸的距離分別為b和a由題設(shè)知：圓截x軸所得劣弧所對的圓心角為90，故圓截x軸所得弦長為,2r=2b又圓截y軸所得弦長為 2 2 二r2二a21又

6、TP(a,b)到直線x2y=0的距離為乂r2二2二2故所求圓的方程為(x-1)2，(y-1)2= 2或(x 1)2(y 1)2= 2解法二：同解法一，得d7 a -2b - . 5da2=4b2-4、5bd 5d2將a2=2b2-1代入上式得: 5d2=|a-2b22 2=a 4b 4ab2 2 2 2_a 4b -2(ab )2 2=2b -a =1當(dāng)且僅當(dāng)a =b時取“=”號，此時dmin二,55這時有盧了2b -a2，廣ab二1二用心 愛心 專心62 22b -4,5bd 5d 1 =0.上述方程有實根，故2.：=8(5d _1)_0,.,v5d _5將d5代入方程得b =5又2b2=

7、a21二a =1.由a2b =1知a、b同號.故所求圓的方程為(x -1)2 (y -1)2= 2或(x 1)2(y 1)2= 2.說明：本題是求點到直線距離最小時的圓的方程，若變換為求面積最小呢？典型例題十三例 1313 兩圓C1：x2y2D1xE-iy= 0與C2:x2y2D2xE2y F2= 0相交于A、B兩點，求它們的公共弦AB所在直線的方程.分析：首先求A、B兩點的坐標(biāo)，再用兩點式求直線AB的方程，但是求兩圓交點坐標(biāo)的過程太繁為了避免求交點，可以采用“設(shè)而不求”的技巧.解：設(shè)兩圓C1、C2的任一交點坐標(biāo)為(x0, y0)，則有：2 2X。yD1X0E。F1=02 2X。yD2X0E2y0 F0一得：(D -D2)X0(E1-E2)y0R -F2=0. A、B的坐標(biāo)滿足方程(D!-D2)x (E!- E2)y R-F2=0.二方程(D1-D2)x (EE2)y - R -F2=0是過A、B兩點的直線方程.又過A、B兩點的直線是唯一的.兩圓C1、C2的公共弦AB所在直線的方程為Q -D2)x (E1-E2)y * R-F2=0.說明：上述解法中，巧妙地避開了求A、B兩點的