第二節(jié) 拉氏變換公式

1、第二章 拉普拉斯變換的數(shù)學(xué)方法機(jī)械工程控制基礎(chǔ)第二節(jié)第二節(jié) 拉氏變換拉氏變換第二章 拉普拉斯變換的數(shù)學(xué)方法機(jī)械工程控制基礎(chǔ)設(shè)函數(shù)f(t)滿足：1. f(t)實(shí)函數(shù)； 2. 當(dāng)t0時(shí) ， f(t)=0； 3. 當(dāng)t0時(shí), f(t)在每個(gè)區(qū)間上是分段連續(xù)的 3. f(t)的積分 在s的某一域內(nèi)收斂，s為復(fù)變數(shù)0)(dtetfst一、拉氏變換的定義一、拉氏變換的定義則函數(shù)則函數(shù)f(t)f(t)的拉普拉氏變換存在，并定義為：的拉普拉氏變換存在，并定義為：式中：s=+j（，均為正實(shí)數(shù)）；F(s)F(s)稱為函數(shù)f(t)f(t)的拉普拉氏變換拉普拉氏變換或象函數(shù)象函數(shù); ;f(t)f(t)稱為F(s)F(

2、s)的原函數(shù)原函數(shù)；L L為拉氏變換的符號(hào)。（29）第二章 拉普拉斯變換的數(shù)學(xué)方法機(jī)械工程控制基礎(chǔ)拉氏反變換的定義拉氏反變換的定義其中L1為拉氏反變換的符號(hào)。ste稱為稱為收斂因子收斂因子。 積分的結(jié)果不再是積分的結(jié)果不再是 t 的函數(shù)，而是復(fù)變量的函數(shù)，而是復(fù)變量 s的函數(shù)。的函數(shù)。所以拉氏變換是把一個(gè)時(shí)間域的函數(shù)所以拉氏變換是把一個(gè)時(shí)間域的函數(shù)f(t)變換到變換到 s 域內(nèi)的域內(nèi)的復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)F(s)。 jcjcstdsesFjsFL)( 21)(1 用符號(hào)用符號(hào)L L-1 -1 表示對(duì)方括號(hào)里的復(fù)變函數(shù)作拉氏表示對(duì)方括號(hào)里的復(fù)變函數(shù)作拉氏反變換反變換。（210）（211）第二章 拉普

3、拉斯變換的數(shù)學(xué)方法機(jī)械工程控制基礎(chǔ)階躍函數(shù)的拉氏變換階躍函數(shù)的拉氏變換二、二、 典型函數(shù)的拉氏變換典型函數(shù)的拉氏變換)()1()( 1 )(0stdsetLSFst（212）第二章 拉普拉斯變換的數(shù)學(xué)方法機(jī)械工程控制基礎(chǔ)斜坡函數(shù)單位速度函數(shù)的拉氏變換單位速度函數(shù)的拉氏變換（213）第二章 拉普拉斯變換的數(shù)學(xué)方法機(jī)械工程控制基礎(chǔ)冪函數(shù)冪函數(shù) 拉氏變換（法拉氏變換（法1）nt10( )xxe dx根據(jù)函數(shù)根據(jù)函數(shù)則則(1)( )!nnnn 令令ust11001! nnstnunnnL tt edtu e duss（214）第二章 拉普拉斯變換的數(shù)學(xué)方法機(jī)械工程控制基礎(chǔ)冪函數(shù)的拉氏變換（法冪函數(shù)的拉

4、氏變換（法2）（215）第二章 拉普拉斯變換的數(shù)學(xué)方法機(jī)械工程控制基礎(chǔ)拋物線函數(shù)單位加速度函數(shù)拉氏變換單位加速度函數(shù)拉氏變換（216）第二章 拉普拉斯變換的數(shù)學(xué)方法機(jī)械工程控制基礎(chǔ)洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則單位脈沖函數(shù)拉氏變換單位脈沖函數(shù)拉氏變換（217）第二章 拉普拉斯變換的數(shù)學(xué)方法機(jī)械工程控制基礎(chǔ)指數(shù)函數(shù)的拉氏變換指數(shù)函數(shù)的拉氏變換（218）第二章 拉普拉斯變換的數(shù)學(xué)方法機(jī)械工程控制基礎(chǔ)例2-1：求解函數(shù)的拉氏變換第二章 拉普拉斯變換的數(shù)學(xué)方法機(jī)械工程控制基礎(chǔ)（歐拉公式）（歐拉公式）三角函數(shù)的拉氏變換三角函數(shù)的拉氏變換（219）（220）第二章 拉普拉斯變換的數(shù)學(xué)方法機(jī)械工程控制基礎(chǔ)例2-2：求

5、解函數(shù)的拉氏變換第二章 拉普拉斯變換的數(shù)學(xué)方法機(jī)械工程控制基礎(chǔ)高等函數(shù)初等函數(shù)指數(shù)函數(shù)三角函數(shù)單位脈沖函數(shù)單位階躍函數(shù)單位速度函數(shù)單位加速度函數(shù)冪函數(shù)典型函數(shù)的拉氏變換小結(jié)典型函數(shù)的拉氏變換小結(jié)1! nnnL ts第二章 拉普拉斯變換的數(shù)學(xué)方法機(jī)械工程控制基礎(chǔ)例2-3：求解函數(shù)的拉氏變換第二章 拉普拉斯變換的數(shù)學(xué)方法機(jī)械工程控制基礎(chǔ)三、拉氏變換的主要運(yùn)算定理第二章 拉普拉斯變換的數(shù)學(xué)方法機(jī)械工程控制基礎(chǔ)第二章 拉普拉斯變換的數(shù)學(xué)方法機(jī)械工程控制基礎(chǔ)LK(1-e-at) =LK -LKe-atsKasK)(assKa結(jié)論：結(jié)論：由此可見，根據(jù)拉氏變換的線性性質(zhì)，求函由此可見，根據(jù)拉氏變換的線性性

6、質(zhì)，求函數(shù)乘以常數(shù)的象函數(shù)以及求幾個(gè)函數(shù)相加減的結(jié)果數(shù)乘以常數(shù)的象函數(shù)以及求幾個(gè)函數(shù)相加減的結(jié)果的象函數(shù)時(shí)，可以先求各函數(shù)的象函數(shù)再進(jìn)行計(jì)算。的象函數(shù)時(shí)，可以先求各函數(shù)的象函數(shù)再進(jìn)行計(jì)算。例例2-4：求以下函數(shù)的拉氏變換：求以下函數(shù)的拉氏變換：f(t)=K(1-e-at)第二章 拉普拉斯變換的數(shù)學(xué)方法機(jī)械工程控制基礎(chǔ)第二章 拉普拉斯變換的數(shù)學(xué)方法機(jī)械工程控制基礎(chǔ)原函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)原函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù) 像函數(shù)中像函數(shù)中s s的高次代數(shù)式的高次代數(shù)式（221）第二章 拉普拉斯變換的數(shù)學(xué)方法機(jī)械工程控制基礎(chǔ)解解：（：（1）)cos(t22sin()Lts22221sin()cos()10dtLtLdtss

7、ss1dttd)sin(例例2-5：利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求以下函數(shù)的象函數(shù)：利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求以下函數(shù)的象函數(shù)：（1）f(t)=cos(t)（2）f(t)=(t)第二章 拉普拉斯變換的數(shù)學(xué)方法機(jī)械工程控制基礎(chǔ)（2）由于由于 (t)=d(t)/dt/ )()(dttdLtLs1=1f(t)=(t)= s- 0第二章 拉普拉斯變換的數(shù)學(xué)方法機(jī)械工程控制基礎(chǔ)第二章 拉普拉斯變換的數(shù)學(xué)方法機(jī)械工程控制基礎(chǔ)（222）第二章 拉普拉斯變換的數(shù)學(xué)方法機(jī)械工程控制基礎(chǔ)例例2-6：利用積分性質(zhì)求函數(shù)：利用積分性質(zhì)求函數(shù)f(t)=t的象函數(shù)的象函數(shù)解解：f(t)=ttd0)(Lf(t)=s1s121s第二章 拉普拉斯變換的數(shù)

8、學(xué)方法機(jī)械工程控制基礎(chǔ)原函數(shù)乘以指數(shù)函數(shù)原函數(shù)乘以指數(shù)函數(shù)e e-at-at像函數(shù)像函數(shù)F(S)F(S)在復(fù)數(shù)域中作位移在復(fù)數(shù)域中作位移a a（223）第二章 拉普拉斯變換的數(shù)學(xué)方法機(jī)械工程控制基礎(chǔ)例2-7：求 的拉氏變換解：直接用復(fù)位移定理得：sintet22sin()tL ets 求 的拉氏變換？costet第二章 拉普拉斯變換的數(shù)學(xué)方法機(jī)械工程控制基礎(chǔ)原函數(shù)平移原函數(shù)平移 像函數(shù)乘以像函數(shù)乘以 e e-s-s 0 ()()stL f taf ta edta令 t-()00 ()( )()( )( )saassasL f tafedaefedeF s（224）第二章 拉普拉斯變換的數(shù)學(xué)方法

9、機(jī)械工程控制基礎(chǔ)Otf(t)T例例2-8：求：求f(t)的象函數(shù)的象函數(shù)解：解：f(t)=A(t)A-A(t-T)Lf(t)= A/s- A/s e-sTOtf (t)Otf (t)f (t)+ f (t)第二章 拉普拉斯變換的數(shù)學(xué)方法機(jī)械工程控制基礎(chǔ)例2-9：求圖所示三角波的拉氏變換從圖可知，三角波左邊函數(shù)斜率為 ，右邊函數(shù)斜率為 ，則分段函數(shù)可表示為：124kT224kT 1211122122111111112222( )( )( )( )( )( )( )( )()()()224444()()()22f tf tf tftftftftTTftftftftTTTttttTTTTT 第二章

10、拉普拉斯變換的數(shù)學(xué)方法機(jī)械工程控制基礎(chǔ)（225）第二章 拉普拉斯變換的數(shù)學(xué)方法機(jī)械工程控制基礎(chǔ)（226）第二章 拉普拉斯變換的數(shù)學(xué)方法機(jī)械工程控制基礎(chǔ)（227）第二章 拉普拉斯變換的數(shù)學(xué)方法機(jī)械工程控制基礎(chǔ)證：令()()tLfaFasata則000 ( )( )( )()( )stasasttL ffedtfed aaaafed再令as則00 ( )( )( )( )()astL fafedafedaaFaF as尺度變換定理尺度變換定理（228）第二章 拉普拉斯變換的數(shù)學(xué)方法機(jī)械工程控制基礎(chǔ)復(fù)數(shù)域積分定理復(fù)數(shù)域積分定理證：( )()sftLFs d st0000( )( )( )1( )(

11、)( )stssstsstsstF s dsf t edtdsf t dtedsf t dtetf tf tedtLtt （229）第二章 拉普拉斯變換的數(shù)學(xué)方法機(jī)械工程控制基礎(chǔ)例2-10：求如下函數(shù)的拉氏變換第二章 拉普拉斯變換的數(shù)學(xué)方法機(jī)械工程控制基礎(chǔ)證：()( )d FsLtftd s 000( ) ( )( )( ) ( )stststdF sdd f t ef t edtdtdsdsdstf t edtL tf t 復(fù)數(shù)域微分定理復(fù)數(shù)域微分定理( )()( )nnnd F sLtf tds推論：（230）第二章 拉普拉斯變換的數(shù)學(xué)方法機(jī)械工程控制基礎(chǔ)例2-11：求如下函數(shù)的拉氏變換第

12、二章 拉普拉斯變換的數(shù)學(xué)方法機(jī)械工程控制基礎(chǔ)例2-12：已知因果函數(shù)f(t)的象函數(shù)22332213(32)39( )13ssssfteess2( )1sF ss求 的象函數(shù)(32)teft解：由于2( )1sf ts利用實(shí)位移定理由尺度變換定理22(2)1ssf tes第二章 拉普拉斯變換的數(shù)學(xué)方法機(jī)械工程控制基礎(chǔ)由復(fù)位移定理2(1)321(32)(1)9stseftes第二章 拉普拉斯變換的數(shù)學(xué)方法機(jī)械工程控制基礎(chǔ)練 習(xí)練習(xí)2-1：求如下函數(shù)的拉氏變換練習(xí)2-2：求如下函數(shù)的拉氏變換練習(xí)2-3：求如下函數(shù)的拉氏變換練習(xí)2-4：求如下函數(shù)的拉氏變換練習(xí)2-5：求如下函數(shù)的拉氏變換練習(xí)2-6：求如下函數(shù)的拉氏變換第二章 拉普拉斯變換的數(shù)學(xué)方法機(jī)械工程控制基礎(chǔ)練習(xí)2-7：求如下函數(shù)的拉氏變換練習(xí)2-8：求如下函數(shù)的拉氏變換練習(xí)2-9：求如下函數(shù)的拉氏變換第二章 拉普拉斯變換的數(shù)學(xué)方法機(jī)械工程控制基礎(chǔ)練習(xí)2-1：求如下函數(shù)的拉氏變換第二章 拉普拉斯變換的數(shù)學(xué)方法機(jī)械工程控制基礎(chǔ)練習(xí)2-2：求如下函數(shù)的拉氏變換第二章 拉普拉斯變換的數(shù)學(xué)方法機(jī)械工程控制基礎(chǔ)練習(xí)2-3：求如下函數(shù)的拉氏變換第二章 拉普拉斯變換的數(shù)學(xué)方法機(jī)械工程控制基礎(chǔ)練習(xí)2-4：求如下函