考研數(shù)學(xué)歷年真題(1987-2010)數(shù)(無水印)

1、下的坐標(biāo)是_. 二、(本題滿分 8 分) 1987 年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué)(一)試卷 1 t 2 x 求正的常數(shù) 與 使等式 成立. a b, lim dt 1 x0 0 2 bx sin x a t 三、(本題滿分 7 分) 一、填空題(本題共 5 小題,每小題 3 分,滿分 15 分.把答案填在題 中橫線上) f g ,u f (x, xy),v g(x xy), (1)設(shè) 、 為連續(xù)可微函數(shù) 求 (1)當(dāng) =_時(shí),函數(shù) 取得極小值. x y x2x (2)由曲線 ln 與兩直線 及 所圍成的平 y x y e 1 x y 0 u v , . x x (2) 設(shè) 矩 陣 和 滿

2、 足 關(guān) 系 式 其 中 A B AB = A 2B, 面圖形的面積是_. x 1 (3)與兩直線 1 及 都平行且過原 y t x 1 y 2 z 1 1 1 1 點(diǎn)的平面方程為_. z 2t 3 0 1 A 1 1 0, B. 求矩陣 0 1 4 四、(本題滿分 8 分) (4) 設(shè) 為 取 正 向 的 圓 周 則 曲 線 積 分 L x2 y2 9, 求微分方程 的通解,其中常數(shù) y y a2 y a 0. 6 (9 ) 1 xy y dx x2 x dy (2 2 ) ( 4 ) = _. L (5) 已 知 三 維 向 量 空 間 的 基 底 為 1 (1,1, 0),2 (1, 0

3、,1),3 (0,1,1), (2, 0, 0) 則向量 在此基底 五、選擇題(本題共 4 小題,每小題 3 分,滿分 12 分.每小題給出的 四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括 號(hào)內(nèi)) f (x) f (a) (1)設(shè) 則在 處 lim 1, x a (x a) 2 xa (A) (B) a 1 a f x f (a) 0 f (x) ( ) (A) 的導(dǎo)數(shù)存在,且 (B) 取 a an n 1 (C) (D) 得極大值 六、（本題滿分 10 分） (C) f (x) 取得極小值 (D) f (x) 的 導(dǎo)數(shù)不存在 1 n1 求冪級(jí)數(shù) 的收斂域，并求其和函數(shù). x

4、 ng 2 n n1 s (2)設(shè) f (x) 為已知連續(xù)函數(shù) , ( ) , 其中 I t f tx dx t 0,s 0, t 0 七、（本題滿分 10 分） 則 I 的值 求曲面積分 s t s (A)依賴于 和 (B)依賴于 、 t x 和 I x(8y 1)dydz 2(1 y )dzdx 4yzdxdy, 2 (C)依賴于 、 ,不依賴于 (D)依賴于 , t x s s 不依賴于 t (3)設(shè)常數(shù) 則級(jí)數(shù) k 0, (1)n n1 k n n 2 z y 1 1 y 3 其中 是由曲線 繞 軸旋轉(zhuǎn)一周而 f (x) y y x 0 成的曲面,其法向量與 軸正向的夾角恒大于 y .

5、 2 (A)發(fā)散 (B)絕對(duì)收斂 八、（本題滿分 10 分） k (C)條件收斂 (D)散斂性與 的取值有關(guān) 設(shè)函數(shù) f (x) 在閉區(qū)間 0,1 上可微,對(duì)于 0,1 上的每一個(gè) x, 函 (4)設(shè) 為 階方陣，且 的行列式 而 是 的 A n A | A | a 0, A* A 數(shù) 的值都在開區(qū)間 內(nèi),且 1,證明在 內(nèi)有且僅 f x (0,1) f (x) (0,1) ( ) * 伴隨矩陣，則 等于 | A | 有一個(gè) , 使得 x f (x) x. _. 九、（本題滿分 8 分） 十一、（本題滿分 6 分） 問 a,b 為何值時(shí),現(xiàn)線性方程組 x x x x 0 1 2 3 4 x 2

6、x 2x 1 2 3 4 x (a 3)x 2x b 2 3 4 3x 2x x ax 1 1 2 3 4 設(shè)隨機(jī)變量 相互獨(dú)立,其概率密度函數(shù)分別為 X ,Y f (x) X 1 0 0 x 1 y 0 f y e y , ( ) , Y y 0 其它 0 求 的概率密度函數(shù). Z 2X Y 有唯一解,無解,有無窮多解?并求出有無窮多解時(shí)的通解. 十、填空題(本題共 3 小題,每小題 2 分,滿分 6 分.把答案填在題中 橫線上) (1)設(shè)在一次實(shí)驗(yàn)中,事件 A 發(fā)生的概率為 p,現(xiàn)進(jìn)行 n 次獨(dú)立試 驗(yàn),則 A 至少發(fā)生一次的概率為_;而事件 A 至多發(fā)生一 次的概率為_. (2)有兩個(gè)箱

7、子,第 1 個(gè)箱子有 3 個(gè)白球,2 個(gè)紅球, 第 2 個(gè)箱子有 4 個(gè)白球,4 個(gè)紅球.現(xiàn)從第 1 個(gè)箱子中隨機(jī)地取 1 個(gè)球放到第 2 個(gè)箱子里, 再從第 2 個(gè)箱子中取出 1 個(gè)球,此球是白球的概率為_.已 知上述從第 2 個(gè)箱子中取出的球是白球,則從第一個(gè)箱子中取出的球 是白球的概率為_. (3) 已 知 連 續(xù) 隨 機(jī) 變 量 X 的 概 率 密 度 函 數(shù) 為 1 f (x) e x x , 則 X 的數(shù)學(xué)期望為_, X 的方差為 2 2 1 1 x 0 1988 年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試 0 x 1 數(shù)學(xué)(一)試卷 _. 2 x 2 , 則 的 傅 里 葉 級(jí) 數(shù) 在 處 收

8、 斂 于 (Fourier) x 1 一、(本題共 3 小題,每小題 5 分,滿分 15 分) (4) 設(shè) 4 階 矩 陣 其 中 A , , , ,B , , , , 2 3 4 2 3 4 n (x 3) (1)求冪級(jí)數(shù) 的收斂域. n3 n n1 A 4, B 1, , , , , 均為 4 維列向量,且已知行列式 則行列 2 3 4 2 (2)設(shè) 且 ,求 及其定義 f (x) ex , f (x) 1 x (x) 0 (x) 式 = _. A B 域. 三、選擇題(本題共 5 小題,每小題 3 分,滿分 15 分.每小題給出的 (3) 設(shè) 為 曲 面 的 外 側(cè) , 計(jì) 算 曲 面

9、積 分 x2 y2 z2 1 四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括 I x3dydz y3dzdx z3dxdy. 號(hào)內(nèi)) 1 (1)設(shè) f (x) 可導(dǎo)且 ( ) , 則 時(shí) 在 x 處的微 f x x 0 , f (x) 0 0 2 分 dy 是 二、填空題(本題共 4 小題,每小題 3 分,滿分 12 分.把答案填在題 中橫線上) 1 (1)若 f (t) limt(1 ) tx , 則 f (t) = _. 2 x x x x3 1 f (7) (2)設(shè) f (x) 連續(xù)且 f (t)dt x,則 =_. 0 (A)與 等價(jià)的無窮小 (B) 與 同 x x 階

10、的無窮小 (C)比 低階的無窮小 (D) 比 高 x x 階的無窮小 (3)設(shè)周期為 2 的周期函數(shù),它在區(qū)間 上定義為 (1, 1 f (x) (2) 設(shè) ( ) 是 方 程 的 一 個(gè) 解 且 y f x y 2y 4y 0 f x f x f (x) ( ) 0, ( ) 0, x 則函數(shù) 在點(diǎn) 處 0 0 0值 (A)取得極大值 (B)取得極小 k11 k22 L kss 0 (C)某鄰域內(nèi)單調(diào)增加 (D)某鄰域內(nèi) 單調(diào)減少 (3) 設(shè) 空 間 區(qū) 域 (B) 中任意兩個(gè)向量均線性無關(guān) L 1, 2 , , s 1 : x2 y2 z2 R2 , z 0, 2 : x2 y2 z2 R

11、2 , x 0, y 0, z 0, (C) 中存在一個(gè)向量不能用其余向量線性表示 L 1, 2 , , s 則 (A) (B) xdv 4 dv 1 2 ydv 4 ydv 1 2 (C) zdv 4 zdv (D) 1 2 xyzdv 4 xyzdv 1 2 x 1 x 2 (4)設(shè)冪級(jí)數(shù) a (x 1) n 在 處收斂,則此級(jí)數(shù)在 處 n n1 (D) 中存在一個(gè)向量都不能用其余向量線性表示 L 1, 2 , , s 四、(本題滿分 6 分) x y 設(shè) u yf ( ) xg( ), 其中函數(shù) f 、 g 具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),求 y x 2 2 u u x 2 y . x xy (A)條

12、件收斂 (B)絕對(duì)收斂 五、(本題滿分 8 分) (C)發(fā)散 (D)收斂性不 能確定 設(shè)函數(shù) 滿足微分方程 其圖形在點(diǎn) y y x y3y 2y 2ex , ( ) (5) n 維向量組 線性無關(guān)的充要條件是 1,2 ,L ,s (3 s n) (0,1) y x2 x 1 處的切線與曲線 在該點(diǎn)處的切線重合,求函數(shù) (A) 存 在 一 組 不 全 為 零 的 數(shù) 使 k1,k2 ,L ,ks , y y(x). 六、（本題滿分 9 分） 九、（本題滿分 9 分） k 設(shè)位于點(diǎn) 的質(zhì)點(diǎn) 對(duì)質(zhì)點(diǎn) 的引力大小為 為常 (0,1) A M k 2 ( 0 r f x a,b (a,b) f (x)

13、0, ( ) 設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 上連續(xù),且在 內(nèi)有 證 ,r A M M y 2x x2 數(shù) 為 質(zhì)點(diǎn)與 之間的距離),質(zhì)點(diǎn) 沿直線 自 (a,b) , y f (x) 明:在 內(nèi)存在唯一的 使曲線 與兩直線 B(2, 0) O(0, 0), A M 運(yùn)動(dòng)到 求在此運(yùn)動(dòng)過程中質(zhì)點(diǎn) 對(duì)質(zhì)點(diǎn) 的引力 y f (), x a S y f (x) 所圍平面圖形面積 是曲線 與兩直線 1 所作的功. y f (), x b 所圍平面圖形面積 的 3 倍. S 2 七、（本題滿分 6 分） 1 0 0 1 0 0 已 知 其 中 求 AP BP, B 0 0 0 ,P 2 1 0, 0 0 1 2 1 1

14、A,A . 5 十、填空題(本題共 3 小題,每小題 2 分,滿分 6 分.把答案填在題中 橫線上) (1)設(shè)在三次獨(dú)立試驗(yàn)中,事件 A 出現(xiàn)的概率相等,若已知 A 至少 19 出現(xiàn)一次的概率等于 則事件 在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率是 , A 27 _. 八、（本題滿分 8 分） 6 (2)若在區(qū)間 (0,1) 內(nèi)任取兩個(gè)數(shù),則事件”兩數(shù)之和小于 ”的概 5 2 0 0 2 0 0 A 0 y 0 0 0 1 B 已知矩陣 與 相似. 率為_. (3)設(shè)隨機(jī)變量 X 服從均值為 10,均方差為 0.02 的正態(tài)分布,已知 u 2 1 x (x) e du,(2.5) 0.9938, 0 1 x 0

15、 0 1 (1)求 x 與 y. 2 2 1 (2)求一個(gè)滿足 的可逆陣 P AP B P. 則 X 落在區(qū)間(9.95,10.05)內(nèi)的概率為_. 十一、（本題滿分 6 分） 1 設(shè)隨機(jī)變量 的概率密度函數(shù)為 求隨機(jī)變 X f (x) , X (1 x ) 2 3 量 的概率密度函數(shù) Y X ( ). 1 f y Y號(hào)內(nèi)) 1989 年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試 (1)當(dāng) 時(shí),曲線 x y xsin 1 0 x 數(shù)學(xué)(一)試卷 (A)有且僅有水平漸近線 (B)有且僅有 鉛直漸近線 一、填空題(本題共 5 小題,每小題 3 分,滿分 15 分.把答案填在題 (C)既有水平漸近線,又有鉛直漸近線

16、 (D)既無水平 中橫線上) f (3 h) f (3) f (1)已知 (3) 2,則 lim = _. h0 2h 2h 漸近線,又無鉛直漸近線 (2)已知曲面 上點(diǎn) 處的切平面平行于平面 z 4 x2 y2 P z 4 x2 y2 P f x x f t dt f (x) 1 0 (2) 設(shè) f (x) 是 連 續(xù) 函 數(shù) , 且 ( ) 2 ( ) , 則 0 2x 2y z 1 0, 則點(diǎn)的坐標(biāo)是 =_. (A) (B) (1,1, 2) (1,1, 2) (3) 設(shè) 平 面 曲 線 為 下 半 圓 周 則 曲 線 積 分 L y 1 x2 , (x y )ds 2 2 L =_.

17、(C) (D) (1,1, 2) (1,1, 2) (4)向量場 在點(diǎn) 處的散度 =_. (3)設(shè)線性無關(guān)的函數(shù)都是二階非齊次線性方程的解是任意常數(shù), divu P(1,1, 0) divu 3 0 0 1 0 0 A I (A 2I)1 1 4 0, 0 1 0, (5)設(shè)矩陣 則矩陣 0 0 3 0 0 1 =_. 則該非齊次方程的通解是 (A) (B) c y c y y 1 1 2 2 3 c y c y c c y 1 1 2 2 ( 1 2 ) 3 二、選擇題(本題共 5 小題,每小題 3 分,滿分 15 分.每小題給出的 (C) (D) c y c y c c y c y c y

18、 c c y 1 1 2 2 (1 1 2 ) 3 四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括 c y c y c c y 1 1 2 2 (1 1 2 ) 3 (4) 設(shè) 函 數(shù) 而 f x x x ( ) 2 ,0 1, (0) 0, 續(xù)的導(dǎo)數(shù),且 計(jì)算 S(x) b sin n x, x , 其中 n n1 1 b f x n xdx n L 2 ( ) sin , 1, 2,3, , S( ) 1 則 等于 n 0 2 (A) (B) 1 1 2 4 1 1 (C) (D) 4 2 (5)設(shè) 是 階矩陣,且 的行列式 則 中 A n A A 0, A (1,1) 2

19、 xy dx y(x)dy 的值. (0,0) (x z)dv, (3)計(jì)算三重積分 其中 是由曲面 與 所圍成的區(qū)域. z 1 x2 y2 z 1 x2 y2 四、(本題滿分 6 分) 1 x 將函數(shù) 展為 x 的冪級(jí)數(shù). f (x) arctan 1 x z x2 y2 (A)必有一列元素全為 0 (B)必有兩列 五、(本題滿分 7 分) 元素對(duì)應(yīng)成比例 (C)必有一列向量是其余列向量的線性組合 (D)任一列向 量是其余列向量的線性組合 f x x x t f t dt f f (x). ( ) sin ( ) ( ) , x 設(shè) 其中 為連續(xù)函數(shù),求 0 六、（本題滿分 7 分） 三、(

20、本題共 3 小題,每小題 5 分,滿分 15 分) (1)設(shè) 其中函數(shù) 二階可導(dǎo) z f (2x y) g(x, xy), f (t) , g(u,v) x 證明方程 在區(qū)間 內(nèi)有且僅有 ln x 1 cos 2xdx (0,) e 0 兩個(gè)不同實(shí)根. 具有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù),求 2 z xy . 七、（本題滿分 6 分） (x) (2)設(shè)曲線積分 與路徑無關(guān),其中 具有連 xy2dx y(x)dy c 問 為何值時(shí),線性方程組 x x 1 3 4x x 2x 2 1 2 3 (2)甲、乙兩人獨(dú)立地對(duì)同一目標(biāo)射擊一次,其命中率分別為 0.6 和 0.5,現(xiàn)已知目標(biāo)被命中,則它是甲射中的概率為_.

21、6x x 4x 2 3 1 2 3 (3)若隨機(jī)變量 在 上服從均勻分布,則方程 (1, 6) x2 x 1 0 有解,并求出解的一般形式. 有實(shí)根的概率是_. 八、（本題滿分 8 分） 假設(shè) 為 階可逆矩陣 的一個(gè)特征值,證明 n A 十一、（本題滿分 6 分） 1 1 (1) 為 的特征值. A 設(shè)隨機(jī)變量 與 獨(dú)立,且 服從均值為 1、標(biāo)準(zhǔn)差(均方差) X Y X 為 2 的 正 態(tài) 分 布 , 而 Y 服 從 標(biāo) 準(zhǔn) 正 態(tài) 分 布 . 試 求 隨 機(jī) 變 量 A (2) 為 的伴隨矩陣 的特征值. A A* Z 2X Y 3 的概率密度函數(shù). 九、（本題滿分 9 分） 設(shè)半徑為 的球

22、面 的球心在定球面 R x2 y2 z2 a2 (a 0) 上,問當(dāng) 為何值時(shí),球面 在定球面內(nèi)部的那部分的面積最大? R 十、填空題(本題共 3 小題,每小題 2 分,滿分 6 分.把答案填在題中 橫線上) (1)已知隨機(jī)事件 的概率 隨機(jī)事件 的概 率 A P(A) 0.5, B P B P(B | A) 0.8, AUB ( ) 0.6 及 條 件 概 率 則 和 事 件 的 概 率 P(AUB) =_.四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括 1990 年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試 號(hào)內(nèi)) 數(shù)學(xué)(一)試卷 x F(x) e (1)設(shè) 是連續(xù)函數(shù),且 F(x) f

23、(t)dt,則 等于 f (x) x 一、填空題(本題共 5 小題,每小題 3 分,滿分 15 分.把答案填在題 (A) (B) ex f (ex ) f (x) 中橫線上) x t 2 ex f (ex ) f (x) (1)過點(diǎn) 且與直線 垂直的平面方程 是 M (1, 2 1) y 3t 4 (C) (D) ex f (ex ) f (x) _. z t 1 x a (2)設(shè) 為非零常數(shù),則 =_. a lim( )x x a x ex f (ex ) f (x) (2)已知函數(shù) 具有任意階導(dǎo)數(shù),且 則當(dāng) f x f (x) f (x)2, n ( ) x 1 1 (3)設(shè)函數(shù) ,則 =

24、_. f (x) f f (x) x 1 0 為大于 2 的正整數(shù)時(shí) 的 階導(dǎo)數(shù) 是 , f (x) n f (n) (x) (A) (B) n! f (x)n1 n! f (x)n1 2 2 2 (4)積分 的值等于_. dx e y dy 0 x n f (x)n1 (5) 已 知 向 量 組 (C) (D) f (x)2n f (x)2n 1 (1, 2,3, 4),2 (2, 3, 4, 5),3 (3, 4,5, 6),4 (4, 5, 6, 7), n! f (x)2n 則該向量組的秩是_. 二、選擇題(本題共 5 小題,每小題 3 分,滿分 15 分.每小題給出的 (3)設(shè) a

25、為常數(shù),則級(jí)數(shù) na sin( ) 1 n n 2 n1 (A)絕對(duì)收斂 (B)條件收斂 三、(本題共 3 小題,每小題 5 分,滿分 15 分) a (C)發(fā)散 (D)收斂性與 的取值有關(guān) (4) 已 知 在 的 某 個(gè) 鄰 域 內(nèi) 連 續(xù) , 且 ( ) f x x 0 (1)求 1 0 ln(1 x) dx. (2 x) 2 f (x) (0) 0, lim 2, 1 cos x x0 f x 0 f (x)則在點(diǎn) 處 (A)不可導(dǎo) (B) 可 導(dǎo) , 且 (0) 0f (2)設(shè) z f (2x y, ysin x), 其中 f (u,v) 具有連續(xù)的二階偏導(dǎo) 數(shù),求 2 z xy .

26、(C)取得極大值 (D)取得極小 (3)求微分方程 的通解(一般解). y 4y 4y e2x y 4y 4y e2x 值 , 1 AX b (5)已知 、 是非齊次線性方程組 的兩個(gè)不同的解 1 2 、 是對(duì)應(yīng)其次線性方程組 的基礎(chǔ)解析 、 為任意 AX 0 ,k k 2 1 2 四、(本題滿分 6 分) (2n 1)x n 求冪級(jí)數(shù) 的收斂域,并求其和函數(shù). n0 常數(shù),則方程組 的通解(一般解)必是 AX b (A) 1 1 2 ( 1 2 ) (B) k k 1 2 2 k1 1 k2 ( 1 2 ) 1 2 2 (C) k1 1 k2 ( 1 2 ) (D) 1 2 2 k1 1 k

27、2 ( 1 2 ) 1 2 2 五、(本題滿分 8 分) 求曲面積分 I yzdzdx dxdy 2 S 其中 是球面 外側(cè)在 的部分. S x2 y2 z2 4 z 0 六、（本題滿分 7 分） 設(shè)不恒為常數(shù)的函數(shù) 在閉區(qū)間 上連續(xù),在開區(qū)間 f (x) a,b 九、（本題滿分 8 分） 質(zhì)點(diǎn) 沿著以 為直徑的半 P AB (a,b) f (a) f (b). (a,b) , 內(nèi)可導(dǎo),且 證明在 內(nèi)至少存在一點(diǎn) 使得 圓周,從點(diǎn) 運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) A(1, 2) B(3, 4) f ( ) 0. 的過程中受變力 作用(見圖). 的 F F 大小等于點(diǎn) 與原點(diǎn) 之間的距離, P O 七、（本題滿分 6

28、 分） 設(shè)四階矩陣 其方向垂直于線段 且與 軸正 OP y 1 1 0 0 2 1 3 4 0 1 1 0 0 2 1 3 B ,C 0 0 1 1 0 0 2 1 0 0 0 1 0 0 0 2 向的夾角小于 求變力 對(duì)質(zhì)點(diǎn) . F 2 P 所作的功. 且矩陣 A 滿足關(guān)系式 十、填空題(本題共 3 小題,每小題 2 分,滿分 6 分.把答案填在題中 A E C B C E ( 1 ) 橫線上) (1)已知隨機(jī)變量 X 的概率密度函數(shù) 其中 為四階單位矩陣 表示 的逆矩陣 表示 的轉(zhuǎn)置矩 E ,C1 C ,C C 1 f (x) e , x x 2 陣.將上述關(guān)系式化簡并求矩陣 A. 則 X

29、 的概率分布函數(shù) F(x)=_. 八、（本題滿分 8 分） (2)設(shè)隨機(jī)事件 A 、 B 及其和事件的概率分別是 0.4、0.3 和 0.6, 求 一 個(gè) 正 交 變 換 化 二 次 型 若 表 示 的 對(duì) 立 事 件 , 那 么 積 事 件 的 概 率 B B AB P(AB) f x1 4x2 4x3 4x1x2 4x1x3 8x2x3 2 2 2 成標(biāo)準(zhǔn)型. =_. (3)已知離散型隨機(jī)變量 X 服從參數(shù)為 2 的泊松(Poisson) 分布,k 2 2 e 即 則隨機(jī)變量 的數(shù)學(xué) PX k ,k 0,1, 2, , L Z 3X 2 k! 期望 E(Z) =_. 十一、（本題滿分 6

30、分） 設(shè)二維隨機(jī)變量 在區(qū)域 內(nèi)服從均勻 (X ,Y) D:0 x 1, y x 分布,求關(guān)于 的邊緣概率密度函數(shù)及隨機(jī)變量 的方差 X Z 2X 1 D(Z). 1991 年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué)(一)試卷 5 2 0 0 2 1 0 0 (5) 設(shè) 4 階 方 陣 , 則 的 逆 陣 A A A1 0 0 1 2 0 0 1 1 一、填空題(本題共 5 小題,每小題 3 分,滿分 15 分.把答案填在題 =_. 中橫線上) x 1 t 2 2 d y (1)設(shè) ,則 =_. y cost dx 2 二、選擇題(本題共 5 小題,每小題 3 分,滿分 15 分.每小題給出的 四個(gè)選

31、項(xiàng)中,只有一個(gè)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括 號(hào)內(nèi)) (2)由方程 所確定的函數(shù) xyz x2 y2 z2 2 z z(x, y) (1)曲線 y 1 e 2 x 2 1 e x x 2 在點(diǎn) 處的全微分 =_. (1, 0,1) dz (A)沒有漸近線 (B)僅有水平 漸近線 (3) 已 知 兩 條 直 線 的 方 程 是 x y z x y z 1 2 3 2 1 l : ;l : . l l 則過 且平行于 的 1 2 1 2 1 0 1 2 1 1 平面方程是_. (C)僅有鉛直漸近線 (D)既有水平 漸近線又有鉛直漸近線 t 2 (2)若連續(xù)函數(shù) f (x) 滿足關(guān)系式

32、f (x) f ( )dt ln 2, 則 2 0 1 2 3 (4)已知當(dāng) 時(shí) 與 是等價(jià)無窮小,則 x 0 ,(1 ax ) 1 cos x 1 f (x) 等于 常數(shù) a =_. (A) (B) ex ln 2 e2x ln 2 (C) (D) ex ln 2 e2x ln 2 (1)n 2, 5, 1 (3)已知級(jí)數(shù) a a 則級(jí)數(shù) a 等于 n 2n1 n n1 n1 n1 (A)3 (B)7 (1)求 lim (cos x) . 2 x0 (2)設(shè) 是曲面 在點(diǎn) 處的指向外側(cè)的 n 2x2 3y2 z2 6 P(1, 1, 1) (C)8 (D)9 (4)設(shè) 是平面 上以 、 和

33、為頂點(diǎn)的三角 D xoy (1, 1) (1, 1) (1,1) 6x 8y 2 2 法向量,求函數(shù) 在點(diǎn) 處沿方向 的方向?qū)?shù). u P n z 形區(qū)域, D 是 D 在第一象限的部分,則 1 D (xy cos xsin y)dxdy 等于 y2 2z (3) 其中 是由曲線 繞 z 軸 旋 轉(zhuǎn) (x y z)dv, 2 2 x 0 一周而成的曲面與平面 z 4 所圍城的立體. (A) 2 cos xsin ydxdy (B) D 1 四、(本題滿分 6 分) 2 D 1 xydxdy 過點(diǎn) 和 的曲線族 中,求一條曲 O(0, 0) A(,0) y asin x(a 0) (C) (D)

34、0 4 (xy cos xsin y)dxdy D 1 線 使沿該曲線 從到 的積分 L, O A (5)設(shè) 階方陣 、 、 滿足關(guān)系式 其中 是 階 n A B C ABC E, E n (1 y )dx (2x y)dy 3 的值最小. L 單位陣,則必有 (A) (B) ACB E CBA E (C) (D) BAC E BCA E 三、(本題共 3 小題,每小題 5 分,滿分 15 分) 五、(本題滿分 8 分) 將函數(shù) 展開成以 2 為周期的傅里葉級(jí) f (x) 2 x (1 x 1) 1 數(shù),并由此求級(jí)數(shù) 的和. n n 1 2 等于此曲線在該點(diǎn)的法線段 PQ 長度的倒數(shù)( Q 是

35、法線與 x 軸的交 六、（本題滿分 7 分） 設(shè) 函 數(shù) f (x) 在 0,1 上 連 續(xù) , (0,1) 內(nèi) 可 導(dǎo) , 且 (1, 1) x 點(diǎn)),且曲線在點(diǎn) 處的切線與 軸平行. 3 f (x)dx f (0), (0,1) c, f (c) 0. 1 證明在 內(nèi)存在一點(diǎn) 使 2 3 十、填空題(本題共 2 小題,每小題 3 分,滿分 6 分.把答案填在題中 橫線上) 七、（本題滿分 8 分） 已 知 (1)若隨機(jī)變量 服從均值為 2、方差為 的正態(tài)分布,且 X 2 1 (1, 0, 2, 3),2 (1,1, 3, 5),3 (1,1,a 2,1),4 (1, 2, 4,a 8) P

36、2 X 4 0.3, 則 PX 0=_. 及 (1,1,b 3, 5). (2)隨機(jī)地向半圓 為正常數(shù))內(nèi)擲一點(diǎn),點(diǎn)落 0 y 2ax x2 (a 0 y 2ax x2 (a (1) a 、 b 為何值時(shí), 不能表示成 1, 2 , 3, 4 的線性組合? (2) a 、b 為何值時(shí), 有 1, 2 , 3, 4 的唯一的線性表示式?寫出 在半圓內(nèi)任何區(qū)域的概率與區(qū)域的面積成正比,則原點(diǎn)和該點(diǎn)的連線 與 軸的夾角小于 的概率為_. x 4 該表示式. 十一、（本題滿分 6 分） 設(shè)二維隨機(jī)變量 的密度函數(shù)為 (X ,Y) 八、（本題滿分 6 分） 1. 設(shè) 是 階正定陣 是 階單位陣,證明 的

37、行列式大于 A n ,E n A E f (x, y) 2e x y x 0, y 0 ( 2 ) 0 其它 求隨機(jī)變量 的分布函數(shù). Z X 2Y 九、（本題滿分 8 分） 在上半平面求一條向上凹的曲線,其上任一點(diǎn) P(x, y) 處的曲率1992 年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試 二、選擇題(本題共 5 小題,每小題 3 分,滿分 15 分.每小題給出的 數(shù)學(xué)(一)試卷 四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括 號(hào)內(nèi)) 一、填空題(本題共 5 小題,每小題 3 分,滿分 15 分.把答案填在題 中橫線上) x 1 2 1 (1)當(dāng) 時(shí),函數(shù) ex1 的極限 x 1 ex1

38、 x 1 (1) 設(shè) 函 數(shù) 由 方 程 確 定 , 則 y y x ex y cos(xy) 0 dy ( ) dx =_. (A)等于 2 (B)等于 0 (C)為 (D)不存在但 不為 2 2 2 (2) 函 數(shù) 在 點(diǎn) 處 的 梯 度 u ln(x y z ) M (1, 2,2) gradu =_. M a a 0) (1)n (1 cos )( (2)級(jí)數(shù) 常數(shù) n n1 1 x 0 (3)設(shè) ,則其以 為周期的傅里葉 f (x) 2 1 x x 2 0 a (A)發(fā)散 (B)條件收斂 (C)絕對(duì)收斂 (D)收斂性與 有關(guān) x 級(jí)數(shù)在點(diǎn) 處收斂于_. (3) 在 曲 線 的 所 有

39、 切 線 中 , 與 平 面 x t, y t2 , z t3 x t, y t2 , z t3 (4)微分方程 tan cos 的通解為 =_. y y x x y x 2y z 4 平行的切線 a b a b L a b 1 1 1 2 1 n a b a b L a b A , 2 1 2 1 2 n (5) 設(shè) 其 中 L L L L a b a b L a b n 1 n 2 n n (A)只有 1 條 (B)只有 2 條 (C)至少有 3 條 (D)不存在 f (x) 3x x x , f (n) (0) n 3 2 (4)設(shè) 則使 存在的最高階數(shù) 為 (A)0 (B)1 a 0,

40、b 0, (i 1, 2,L ,n). A r(A) 則矩陣 的秩 =_. i i (C)2 (D)3 1 0 (5)要使 0 , 1 都是線性方程組 的解,只要 AX 0 1 2 2 1 系數(shù)矩陣 A 為 2 1 2 (A) (B) z 2 . xy 1 x x 0 2 (3)設(shè) f (x) ,求 x 0 e x 3 1 f (x 2)dx. 2 0 1 0 1 1 四、(本題滿分 6 分) 求微分方程 的通解. y 2y3y e3x 1 0 2 (C) (D) 0 1 1 五、(本題滿分 8 分) 計(jì) 算 曲 面 積 分 0 1 1 4 2 2 0 1 1 (x az )dydz (y a

41、x )dzdx (z ay )dxdy, 3 2 3 2 3 2 其中 為上半 2 2 2 球面 的上側(cè). z a x y 三、(本題共 3 小題,每小題 5 分,滿分 15 分) 六、（本題滿分 7 分） (1)求 (2)設(shè) 其中 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求 z f (e sin y, x y ), x f 2 2 e sin x 1 x lim . x0 1 1 x 2 設(shè) 證 明 對(duì) 任 何 有 f x f x x ( ) 0, (0) 0, 1 0, 2 0, f (x x ) f (x ) f (x ). 1 2 1 2 七、（本題滿分 8 分） 在變力 的作用下,質(zhì)點(diǎn)由原點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)到

42、 F yzi zxj xykx y z 2 2 2 2 2 2 1 M (, ), 橢球面 上第一卦限的點(diǎn) 問當(dāng) 、 、 a b c 十、填空題(本題共 2 小題,每小題 3 分,滿分 6 分.把答案填在題中 橫線上) 取何值時(shí),力 F 所做的功W 最大?并求出W 的最大值. 八、（本題滿分 7 分） 設(shè)向量組 線性相關(guān),向量組 線性無關(guān),問: 1, 2 , 3 2 , 3, 4 1, 2 , 3 2 , 3, 4 (1) , 能否由 線性表出?證明你的結(jié)論. 2 3 1 (1) 已 知 1 1 P(A) P(B) P(C) , P(AB) 0, P(AC) P(BC) , 則 事 4 6 件

43、 A 、 B 、C 全不發(fā)生的概率為_. (2)設(shè) 隨機(jī)變量 X 服 從參 數(shù)為 1 的指數(shù) 分布 ,則數(shù)學(xué) 期望 EX e2X =_. (2) 能否由 1, 2 , 3 線性表出?證明你的結(jié)論. 4 十一、（本題滿分 6 分） 設(shè)隨機(jī)變量 與 獨(dú)立 服從正態(tài)分布 服從 X Y , X N(, 2 ),Y 九、（本題滿分 7 分） , Z X Y 上的均勻分布,試求 的概率分布密度(計(jì)算結(jié)果用 設(shè) 3 階矩陣 A 的特征值為 1 1, 2 2, 3 3, 對(duì)應(yīng)的特征向量 依次為 t 2 1 x 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù) 表示,其中 . (x) e 2 dt) 2 1 1 1 1 , 2 , 3 , 1

44、 2 3 1 4 9 又向量 1 2. 3 (1)將 用 1,2 ,3 線性表出. (2)求 An(n 為自然數(shù)).線性方程組 的通解為_. AX 0 1993 年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試 二、選擇題(本題共 5 小題,每小題 3 分,滿分 15 分.每小題給出的 數(shù)學(xué)(一)試卷 四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括 號(hào)內(nèi)) 一、填空題(本題共 5 小題,每小題 3 分,滿分 15 分.把答案填在題 中橫線上) (1) 設(shè) 則 當(dāng) 時(shí) f x t dt g x x x x 0 ( ) sin( ) , ( ) , sin x 2 3 4 0 1 (1) 函 數(shù) F(

45、x) (2 )dt(x 0) 的 單 調(diào) 減 少 區(qū) 間 為 x 1 t , f (x) g(x) 是 的 (A)等價(jià)無窮小 (B)同價(jià)但非 _. 等價(jià)的無窮小 3x 2y 12 2 2 (2)由曲線 繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)面在點(diǎn) z 0 小 (C)高階無窮小 (D)低價(jià)無窮 (2)雙紐線 所圍成的區(qū)域面積可用定積分表 (x2 y2 )2 x2 y2 (0, 3, 2) 處的指向外側(cè)的單位法向量為_. 示為 a 0 2 (3)設(shè)函數(shù) 的傅里葉級(jí)數(shù)展開式為 f (x) x x2 ( x ) f (x) x x2 ( x ) (a cosnx b sin nx), b 則其中系數(shù) 的值為_.

46、 n n 3 n1 (A) 4 (B) 2 cos 2d 0 4 cos 2d 4 0 (C) 4 (D) 2 cos 2 d 0 (4) 設(shè) 數(shù) 量 場 ln , 則 u x2 y2 z2 div(gradu) =_. 1 2 4 0 (cos 2 ) d 2 (5)設(shè) 階矩陣 的各行元素之和均為零,且 的秩為 則 n A A n 1, x y 6 x 1 y 5 z 8 (3)設(shè)有直線 l : 與 l : 則 l 與 1 2 2y z 3 1 1 2 1 P (A) 時(shí) 的秩必為 1 (B) 時(shí) t 6 P t 6 的秩必為 2 (C) 時(shí) 的秩必為 1 (D) 時(shí) t 6 P t 6 l

47、 2 的夾角為 P 的秩必為 2 4 2 (A) (B) 6 (C) (D) 3 (4)設(shè)曲線積分 與路徑無關(guān), f (t)ex sin ydx f (x) cos ydy L 三、(本題共 3 小題,每小題 5 分,滿分 15 分) (1)求 2 1 lim(sin cos )x. x x x (2)求 xe x e 1 x dx. 其中 ( ) 具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且 則 等于 f x f (0) 0, f (x) (3)求微分方程 滿足初始條件 的特解. x2 y xy y2 , y 1 1 x x x e e x x e e (A) (B) 2 2 x x e e (C) 1 (D) 2

48、 四、(本題滿分 6 分) 2 2xzdydz yzdzdx z dxdy, 計(jì) 算 其 中 是 由 曲 面 z x2 y2 z 2 x2 y2 與 所圍立體的表面外側(cè).z x2 y2 z 2 x2 y2 1 x x e e 2 1 2 3 Q 2 4 t ,P PQ 0, (5)已知 為三階非零矩陣,且滿足 則 3 6 9 五、(本題滿分 7 分) 2 n ( 1) (n n 1) 求級(jí)數(shù) 的和. 2 n n0 六、(本題共 2 小題,每小題 5 分,滿分 10 分) 0,) f (x) (1) 設(shè) 在 上 函 數(shù) 有 連 續(xù) 導(dǎo) 數(shù) , 且 十、填空題(本題共 2 小題,每小題 3 分,滿

49、分 6 分.把答案填在題中 f x k f f (x) (0,) ( ) 0, (0) 0, 證明 在 內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn). 橫線上) (1)一批產(chǎn)品共有 10 個(gè)正品和 2 個(gè)次品,任意抽取兩次,每次抽一個(gè), (2)設(shè) 證明 b a e, ab ba. 抽出后不再放回,則第二次抽出的是次品的概率為_. (2)設(shè)隨機(jī)變量 服從 上的均勻分布,則隨機(jī)變量 X (0, 2) Y X 2 七、（本題滿分 8 分） 已知二次型 通 f (x , x , x ) 2x2 3x2 3x2 2ax x (a 0) f (x , x , x ) 2x2 3x2 3x2 2ax x (a 0) 1 2 3 1

50、2 3 2 3 在 內(nèi)的概率分布密度 =_. (0, 4) f (y) Y f y y y a 1 2 2 5 3 , 2 2 2 過正交變換化成標(biāo)準(zhǔn)形 求參數(shù) 及所用的正交 變換矩陣. 十一、（本題滿分 6 分） 1 X f (x) e , x . x 設(shè)隨機(jī)變量 的概率分布密度為 2 (1)求 的數(shù)學(xué)期望 和方差 X EX DX. 八、（本題滿分 6 分） (2)求 X 與 X 的協(xié)方差,并問 X 與 X 是否不相關(guān)? 設(shè) 是 矩陣 是 矩陣,其中 是 階單位 A nm ,B mn n m,I n (3)問 X 與 X 是否相互獨(dú)立?為什么? 矩陣,若 AB I, 證明 B 的列向量組線性

51、無關(guān). 九、（本題滿分 6 分） 設(shè)物體 A 從點(diǎn) (0,1) 出發(fā),以速度大小為常數(shù) v 沿 y 軸正向運(yùn)動(dòng). 物體 從點(diǎn) 與 同時(shí)出發(fā),其速度大小為 方向始終指向 B (1, 0) A 2v, A, 試建立物體 B 的運(yùn)動(dòng)軌跡所滿足的微分方程,并寫出初始條件. 1994 年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試 四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括 號(hào)內(nèi)) 數(shù)學(xué)(一)試卷 一、填空題(本題共 5 小題,每小題 3 分,滿分 15 分.把答案填在題 (1) 設(shè) sin x M cos xdx,N (sin x cos x)dx,P (x sin x cos x)dx, 4 3

52、4 2 3 4 2 2 2 1 x 2 2 2 2 中橫線上) 1 1 (1) lim cot ( )= _. x x x sin 0 (2) 曲 面 在 點(diǎn) 處 的 切 平 面 方 程 為 z ex 2xy 3 (1, 2, 0) 則有 (A) (B) N P M M P N (C) (D) N M P P M N _. (2)二元函數(shù) 在點(diǎn) 處兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù) 、 f (x, y) (x , y ) ( , ) f x y 0 0 x 0 0 x 2u 1 (3) 設(shè) u e x sin , 則 在 點(diǎn) (2, ) 處 的 值 為 y xy f x y f (x, y) ( , ) 存在是 在該

53、點(diǎn)連續(xù)的 y 0 0 _. (A)充分條件而非必要條件 (B)必要條件 而非充分條件 (4) 設(shè) 區(qū) 域 為 則 D x2 y2 R2 , x y 2 2 ( )dxdy a b 2 2 D (C)充分必要條件 (D)既非充分 條件又非必要條件 =_. 1 1 (5)已知 1, 2, 3, 1, , , 設(shè) A , 其中 是 的轉(zhuǎn) 2 3 a (3)設(shè)常數(shù) 且級(jí)數(shù) 收斂,則級(jí)數(shù) 2 0, a (1)n n n n2 n1 n1 (A)發(fā)散 (B)條件收斂 置,則 A =_. n (C)絕對(duì)收斂 (D)收斂性與 有關(guān) 二、選擇題(本題共 5 小題,每小題 3 分,滿分 15 分.每小題給出的 a

54、 tan x b(1 cos x) (4) 其中 則必有 lim 2, a2 c2 0, cln(1 2x) d(1 ex ) 2 x0 (A) (B) b 4d b 4d (C) (D) a 4c a 4c 四、(本題滿分 6 分) xdydz z2dxdy S , 2 2 2 計(jì) 算 曲 面 積 分 其 中 是 由 曲 面 x y z S (5)已知向量組 1, 2 , 3, 4 線性無關(guān),則向量組 x y R z R, z R(R 0) 2 2 2 及 兩平面所圍成立體表面的外 (A) 線性無關(guān) (B) 1 2 ,2 3,3 4 ,4 1 側(cè). 1 2 ,2 3,3 4 ,4 1 線性無

55、關(guān) 五、(本題滿分 9 分) 設(shè) 具 有 二 階 連 續(xù) 函 數(shù) 且 f x , f (0) 0, f (0) 1, ( ) (C) 線性無關(guān) (D) , , , 1 2 2 3 3 4 4 1 1 2 ,2 3,3 4 ,4 1 線性無關(guān) xy(x y) f (x)ydx f (x) x2 ydy 0 為 一 全 微 分 方 程 , 求 f (x) 及此全微分方程的通解. 三、(本題共 3 小題,每小題 5 分,滿分 15 分) x cos(t ) 2 2 dy d y (1)設(shè) 1 ,求 、 在 t t 2 y t cos(t ) cosudu dx 2 dx 2 2 1 2 u 的值.

56、1 1 x 1 (2)將函數(shù) f (x) ln arctan x x 展開成 的冪級(jí)數(shù). x 4 1 x 2 六、(本題滿分 8 分) 設(shè) 在 點(diǎn) 的 某 一 鄰 域 內(nèi) 具 有 二 階 連 續(xù) 導(dǎo) 數(shù) , 且 f x x 0 ( ) f x ( ) 1 lim 0, 證明級(jí)數(shù) ( ) 絕對(duì)收斂. f x0 x n n1 (3)求 dx . sin(2x) 2 sin x 七、（本題滿分 6 分） 已知點(diǎn) 與 的直角坐標(biāo)分別為 與 線段 繞 A B (1, 0, 0) (0,1,1). AB x S. S z 0, z 1 軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)曲面為 求由 及兩平面 所 (2)設(shè)相互獨(dú)立的兩個(gè)

57、隨機(jī)變量 具有同一分布率,且 的分 X ,Y X 圍成的立體體積. 布率為 X 0 1 八、（本題滿分 8 分） x x 0 1 2 設(shè)四元線性齊次方程組()為 , x x 0 2 4 1 P 2 Z maxX ,Y 則隨機(jī)變量 的分布率為_. 1 2 又已知某線性齊次方程組()的通解為 k k k k 1(0,1,1, 0) 2 ( 1, 2, 2,1). 十一、（本題滿分 6 分） (1)求線性方程組()的基礎(chǔ)解析. (2)問線性方程組()和()是否有非零公共解?若有,則求出所有 設(shè)隨機(jī)變量 和 分別服從正態(tài)分布 和 且 X Y N(1, 32 ) N(0, 42 ), 的非零公共解.若沒

58、有,則說明理由. 九、（本題滿分 6 分） 1 X Y X Y , Z , 與 的相關(guān)系數(shù) 設(shè) xy 2 3 2 (1)求 的數(shù)學(xué)期望 和 方差. Z EZ DZ 設(shè) 為 階非零方陣 是 的伴隨矩陣 是 的轉(zhuǎn)置矩 A n ,A* A ,A A (2)求 與 的相關(guān)系數(shù) X Z . xz 陣,當(dāng) 時(shí),證明 A* A A 0. (3)問 與 是否相互獨(dú)立?為什么? X Y 十、填空題(本題共 2 小題,每小題 3 分,滿分 6 分.把答案填在題中 橫線上) (1) 已 知 、 兩 個(gè) 事 件 滿 足 條 件 且 A B P(AB) P(AB), P(A) p, 則 P(B)=_.1995 年全國碩

59、士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試 二、選擇題(本題共 5 小題,每小題 3 分,滿分 15 分.每小題給出的 四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括 數(shù)學(xué)(一)試卷 號(hào)內(nèi)) 一、填空題(本題共 5 小題,每小題 3 分,滿分 15 分.把答案填在題 中橫線上) x 3y 2z 1 0 (1) 設(shè) 有 直 線 , 及 平 面 L : 2x y 10z 3 0 2 (1) =_. lim(1 3x) x sin x0 : 4x 2y z 2 0, L 則直線 d dx 0 cos 2 (2) x t dt = _. x 2 (A)平行于 (B)在 上 (C)垂直于 (D)與 斜交 (3

60、)設(shè) 則 =_. (ab)g c 2, (a b)(b c)g (c a) 0,1 f (x) 0, f (0), f (1), f (1) f (0) (2) 設(shè) 在 上 則 或 n R 2n1 (4)冪級(jí)數(shù) x 的收斂半徑 =_. 1 2 (3) n n n f (0) f (1) 的大小順序是 (A) (1) (0) (1) (0) (B) f f f f (5) 設(shè) 三 階 方 陣 , 滿 足 關(guān) 系 式 且 A B A1BA 6A BA, f f f f (1) (1) (0) (0) 1 0 0 3 1 A B 0 0 , 4 則 =_. 1 0 0 7 (C) (D) f f f