—高考全國(guó)卷Ⅰ文科數(shù)學(xué)立體幾何匯編解析

1、新課標(biāo)全國(guó)卷文科數(shù)學(xué)匯編立 體 幾 何一、選擇題【2017，6】如圖，在下列四個(gè)正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直接AB與平面MNQ不平行的是（ ）【2016，7】如圖所示，某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條相互垂直的半徑若該幾何體的體積是，則它的表面積是（ ）A B C D 【2016，11】平面過(guò)正方體的頂點(diǎn)，平面，平面，平面，則所成角的正弦值為（ ）A B C D【2015，6】九章算術(shù)是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書 中有如下問(wèn)題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺，問(wèn)”積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米

2、（如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一），米堆底部的弧長(zhǎng)為8尺，米堆的高為5尺，米堆的體積和堆放的米各位多少？”已知1斛米的體積約為162立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米有( ) A14斛 B22斛 C36斛 D66斛【2015，11】圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球（半徑為r）組成一個(gè)幾何體，該幾何體的三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示，若該幾何體的表面積為16+20，則r=( ) BA1 B2 C4 D8 【2015，11】 【2014，8】 【2013，11】 【2012，7】【2014，8】如圖，網(wǎng)格紙的各小格都是正方形，粗實(shí)線畫出的一個(gè)幾何體的三視圖，則這個(gè)幾何體是( )A三棱錐 B三棱

3、柱 C四棱錐 D四棱柱【2013，11】某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A168 B88 C1616 D816【2012，7】如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為A6 B9 C12 D15【2012，8】平面截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面的距離為，則此球的體積為（ ）A B C D【2011，8】在一個(gè)幾何體的三視圖中，正視圖和俯視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖可以為（ ） 二、填空題【2017，16】已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，是球的直徑若平面，三棱錐的體積為9，則球的表面積為_(kāi)【2013，15】已知H是球O的直徑

4、AB上一點(diǎn)，AHHB12，AB平面，H為垂足，截球O所得截面的面積為，則球O的表面積為_(kāi)【2011，16】已知兩個(gè)圓錐由公共底面，且兩圓錐的頂點(diǎn)和底面的圓周都在同一個(gè)球面上若圓錐底面面積是這個(gè)球面面積的，則這兩個(gè)圓錐中，體積較小者的高與體積較大者的高的比值為 三、解答題【2017，18】如圖，在四棱錐中，且（1）證明：平面平面；（2）若，且四棱錐的體積為，求該四棱錐的側(cè)面積【2016，18】如圖所示，已知正三棱錐的側(cè)面是直角三角形，頂點(diǎn)在平面內(nèi)的正投影為點(diǎn)，在平面內(nèi)的正投影為點(diǎn)連結(jié)并延長(zhǎng)交于點(diǎn)（1）求證：是的中點(diǎn)；（2）在題圖中作出點(diǎn)在平面內(nèi)的正投影（說(shuō)明作法及理由），并求四面體的體積【201

5、5，18】如圖四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD交點(diǎn)，BE平面ABCD，()證明：平面AEC平面BED；()若ABC=120°，AEEC， 三棱錐E- ACD的體積為，求該三棱錐的側(cè)面積【2014,19】如圖，三棱柱中，側(cè)面為菱形，的中點(diǎn)為，且平面.（1）證明：（2）若,求三棱柱的高.【2013，19】如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，CACB，ABAA1，BAA160°(1)證明：ABA1C；(2)若ABCB2，A1C，求三棱柱ABCA1B1C1的體積【2012，19】如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱垂直底面，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中點(diǎn)（1）證明：平面

6、BDC1平面BDC；（2）平面BDC1分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比【2011，18】如圖所示，四棱錐中，底面為平行四邊形，底面（1）證明：；（2）若，求棱錐的高解 析一、選擇題【2017，6】如圖，在下列四個(gè)正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直接AB與平面MNQ不平行的是（ ）【解法】選A由B，ABMQ，則直線AB平面MNQ；由C，ABMQ，則直線AB平面MNQ；由D，ABNQ，則直線AB平面MNQ故A不滿足，選A【2016，7】如圖所示，某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條相互垂直的半徑若該幾何體的體積是，則它的表面積是（

7、）A B C D 解析：選A 由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)球截去球的，設(shè)球的半徑為，則，解得該幾何體的表面積等于球的表面積的，加上個(gè)截面的面積，每個(gè)截面是圓面的，所以該幾何體的表面積為故選A【2016，11】平面過(guò)正方體的頂點(diǎn)，平面，平面，平面，則所成角的正弦值為（ ）A B C D解析：選A 解法一：將圖形延伸出去，構(gòu)造一個(gè)正方體，如圖所示通過(guò)尋找線線平行構(gòu)造出平面，即平面，即研究與所成角的正弦值，易知，所以其正弦值為故選A解法二（原理同解法一）：過(guò)平面外一點(diǎn)作平面，并使平面，不妨將點(diǎn)變換成，作使之滿足同等條件，在這樣的情況下容易得到，即為平面，如圖所示，即研究與所成角的正弦值，易知，所以其

8、正弦值為故選A【2015，6】九章算術(shù)是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書 中有如下問(wèn)題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺，問(wèn)”積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一），米堆底部的弧長(zhǎng)為8尺，米堆的高為5尺，米堆的體積和堆放的米各位多少？”已知1斛米的體積約為162立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米有( ) BA14斛 B22斛 C36斛 D66斛解：設(shè)圓錐底面半徑為r，依題，所以米堆的體積為，故堆放的米約為÷16222，故選B【2015，11】圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球（半徑為r）組成一個(gè)幾何體，該幾何體的三視圖中的正視圖和俯視圖

9、如圖所示，若該幾何體的表面積為16+20，則r=( ) BA1 B2 C4 D8 解：該幾何體是半球與半個(gè)圓柱的組合體，圓柱的半徑與球的半徑都為r，圓柱的高為2r，其表面積為2r2+r×2r+r2+2r×2r =5r2+4r2=16+20，解得r=2，故選B【2014，8】如圖，網(wǎng)格紙的各小格都是正方形，粗實(shí)線畫出的一個(gè)幾何體的三視圖，則這個(gè)幾何體是( )BA三棱錐 B三棱柱 C四棱錐 D四棱柱解：幾何體是一個(gè)橫放著的三棱柱 故選B【2013，11】某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A168 B88 C1616 D816解析：選A該幾何體為一個(gè)半圓柱與一個(gè)長(zhǎng)方

10、體組成的一個(gè)組合體V半圓柱×22×48，V長(zhǎng)方體4×2×216所以所求體積為168故選A【2012，7】如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為（ ）A6 B9 C12 D15【解析】由三視圖可知，該幾何體為三棱錐A-BCD，底面BCD為底邊為6，高為3的等腰三角形，側(cè)面ABD底面BCD，AO底面BCD，因此此幾何體的體積為，故選擇B【2012，8】8平面截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面的距離為，則此球的體積為（ ）A B C D【解析】如圖所示，由已知，在中，球的半徑，所以此球的體積，故選擇B【點(diǎn)評(píng)】

11、本題主要考察球面的性質(zhì)及球的體積的計(jì)算【2011，8】在一個(gè)幾何體的三視圖中，正視圖和俯視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖可以為（ ） 【解析】由幾何體的正視圖和側(cè)視圖可知，該幾何體的底面為半圓和等腰三角形，其側(cè)視圖可以是一個(gè)由等腰三角形及底邊上的高構(gòu)成的平面圖形 故選D二、填空題【2017，16】已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，是球的直徑若平面，三棱錐的體積為9，則球的表面積為_(kāi)【解析】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，設(shè)，所以，所以球的表面積為【2013，15】已知H是球O的直徑AB上一點(diǎn)，AHHB12，AB平面，H為垂足，截球O所得截面的面積為，則球O的表面積為_(kāi)答案：解

12、析：如圖，設(shè)球O的半徑為R，則AH，OH又·EH2，EH1在RtOEH中，R2，R2 S球4R2【2011，16】已知兩個(gè)圓錐由公共底面，且兩圓錐的頂點(diǎn)和底面的圓周都在同一個(gè)球面上若圓錐底面面積是這個(gè)球面面積的，則這兩個(gè)圓錐中，體積較小者的高與體積較大者的高的比值為 【解析】設(shè)圓錐底面半徑為，球的半徑為，則由，知根據(jù)球的截面的性質(zhì)可知兩圓錐的高必過(guò)球心，且兩圓錐的頂點(diǎn)以及圓錐與球的交點(diǎn)是球的大圓上的點(diǎn)，因此設(shè)，則 又，知即 由及可得則這兩個(gè)圓錐中，體積較小者的高與體積較大者的高的比為故答案為三、解答題【2017，18】如圖，在四棱錐中，且（1）證明：平面平面；（2）若，且四棱錐的體積

13、為，求該四棱錐的側(cè)面積【解法】（1）， 又 又平面，平面，且 平面 平面，所以 平面平面（2）由題意：設(shè) ，因?yàn)?，所以為等腰直角三角形 即 取中點(diǎn)，連接，則， 又因?yàn)槠矫嫫矫?所以平面 因?yàn)槠矫妫?所以， 又 所以四邊形為矩形 所以 即 【2016，18】如圖所示，已知正三棱錐的側(cè)面是直角三角形，頂點(diǎn)在平面內(nèi)的正投影為點(diǎn)，在平面內(nèi)的正投影為點(diǎn)連結(jié)并延長(zhǎng)交于點(diǎn)（1）求證：是的中點(diǎn)；（2）在題圖中作出點(diǎn)在平面內(nèi)的正投影（說(shuō)明作法及理由），并求四面體的體積解析 ：（1）由題意可得為正三角形，故因?yàn)樵谄矫鎯?nèi)的正投影為點(diǎn)，故平面又平面，所以因?yàn)樵谄矫鎯?nèi)的正投影為點(diǎn)，故平面又平面，所以因?yàn)?，平面，所以?/p>

14、面又平面，所以因?yàn)椋允堑闹悬c(diǎn)（2）過(guò)作交于，則即為所要尋找的正投影理由如下，因?yàn)?，故同理，又，平面，所以平面，故即為點(diǎn)在平面內(nèi)的正投影所以在中，故由等面積法知由勾股定理知，由為等腰直角三角形知，故【2015，18】如圖四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD交點(diǎn)，BE平面ABCD，()證明：平面AEC平面BED；()若ABC=120°，AEEC， 三棱錐E- ACD的體積為，求該三棱錐的側(cè)面積解：() BE平面ABCD，BEACABCD為菱形， BDAC，AC平面BED，又ACÌ平面AEC，平面AEC平面BED 6分()設(shè)AB=x，在菱形ABCD中，由ABC=120

15、6;可得， AG=GC=，GB=GD= 在RtAEC中，可得EG=在RtEBG為直角三角形，可得BE= 9分， 解得x =2由BA=BD=BC可得AE= ED=EC=AEC的面積為3，EAD的面積與ECD的面積均為所以三棱錐E-ACD的側(cè)面積為 12分18 解析 （1）因?yàn)槠矫?，所以又為菱形，所以又因?yàn)?，平面，所以平面又平面，所以平面平面?）在菱形中，取，又，所以，在中，所以，所以在中，所以，解得在，中，可得所以三棱錐的側(cè)面積【2014,19】如圖，三棱柱中，側(cè)面為菱形，的中點(diǎn)為，且平面.（1）證明：（2）若,求三棱柱的高.證明：()連接 BC1，則O為B1C與BC1的交點(diǎn)，AO平面BB1C

16、1C. AOB1C， 2分 因?yàn)閭?cè)面BB1C1C為菱形，BC1B1C，4分BC1平面ABC1，ABÌ平面ABC1，故B1CAB. 6分()作ODBC，垂足為D，連結(jié)AD，AOBC，BC平面AOD，又BCÌ平面ABC，平面ABC平面AOD，交線為AD，作OHAD，垂足為H，OH平面ABC. 9分CBB1=60°，所以CBB1為等邊三角形，又BC=1，可得OD=，由于ACAB1，由 OH·AD=OD·OA，可得OH=，又O為B1C的中點(diǎn)，所以點(diǎn)B1到平面ABC 的距離為，所以三棱柱ABC-A1B1C1的高高為。 12分另解(等體積法)：CBB1=6

17、0°，所以CBB1為等邊三角形，又BC=1，可得BO=，由于ACAB1，AB=1，AC=，9分則等腰三角形ABC的面積為，設(shè)點(diǎn)B1到平面ABC的距離為d，由VB1-ABC=VA-BB1C得，所以三棱柱ABC-A1B1C1的高高為。 12分【2013，19】如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，CACB，ABAA1，BAA160°(1)證明：ABA1C；(2)若ABCB2，A1C，求三棱柱ABCA1B1C1的體積證明：(1)取AB的中點(diǎn)O，連結(jié)OC，OA1，A1B因?yàn)镃ACB，所以O(shè)CAB由于ABAA1，BAA160°，故AA1B為等邊三角形，所以O(shè)A1AB因?yàn)镺COA1O，所以 AB平面OA1C又A1C平面OA1C，故ABA1C(2)解：由題設(shè)知ABC與AA1B都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，所以O(shè)COA1又A1C，則A1C2OC2，故OA1OC因?yàn)镺CABO，所以O(shè)A1平面ABC，OA1為三棱柱ABCA1B1C1的高又ABC的面積SABC，故三棱柱ABCA1B1C1的體積VSABC×OA13【2012，19】如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱垂直底面，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中點(diǎn)（1）證明：平面BDC1平面BDC；（2）平面BDC1分此棱柱為兩部分，求這兩部分