高三圓錐曲線經(jīng)典總結

1、課 題高考數(shù)學復習專題圓錐曲線教學目標1. 掌握三種圓錐曲線的定義、圖像和簡單幾何性質。2. 準確理解基本概念（如直線的傾斜角、斜率、距離、截距等）。3. 熟練掌握基本公式（如兩點間距離公式、點到直線的距離公式、斜率公式、定比分點的坐標公式、到角公式、夾角公式等）。4. 熟練掌握求直線方程的方法（如根據(jù)條件靈活選用各種形式、討論斜率存在和不存在的各種情況、截距是否為0等等）。5. 在解決直線與圓的位置關系問題中，要善于運用圓的幾何性質以減少運算。6. 了解線性規(guī)劃的意義及簡單應用。7. 熟悉圓錐曲線中基本量的計算。8 掌握與圓錐曲線有關的軌跡方程的求解方法（如：定義法、直接法、相關點法、參數(shù)法

2、、交軌法、幾何法、待定系數(shù)法等）。9 掌握直線與圓錐曲線的位置關系的常見判定方法，能應用直線與圓錐曲線的位置關系解決一些常見問題。重點難點1. 掌握與圓錐曲線有關的軌跡方程的求解方法。2. 掌握圓錐曲線中基本量的計算和直線與圓錐曲線的位置關系的常見判定方法。：（1）第一定義中要重視“括號”內(nèi)的限制條件：橢圓中，與兩個定點F，F(xiàn)的距離的和等于常數(shù)，且此常數(shù)一定要大于，當常數(shù)等于時，軌跡是線段FF，當常數(shù)小于時，無軌跡；雙曲線中，與兩定點F，F(xiàn)的距離的差的絕對值等于常數(shù)，且此常數(shù)一定要小于|FF|，定義中的“絕對值”與|FF|不可忽視。若|FF|，則軌跡是以F，F(xiàn)為端點的兩條射線，若|FF|，則軌

3、跡不存在。若去掉定義中的絕對值則軌跡僅表示雙曲線的一支。如（1）已知定點，在滿足下列條件的平面上動點P的軌跡中是橢圓的是 A B C D（2）第二定義中要注意定點和定直線是相應的焦點和準線，且“點點距為分子、點線距為分母”，其商即是離心率。圓錐曲線的第二定義，給出了圓錐曲線上的點到焦點距離與此點到相應準線距離間的關系，要善于運用第二定義對它們進行相互轉化。如已知點及拋物線上一動點P（x,y）,則y+|PQ|的最小值是_（標準方程是指中心（頂點）在原點，坐標軸為對稱軸時的標準位置的方程）：（1）橢圓：焦點在軸上時（）（參數(shù)方程，其中為參數(shù)），焦點在軸上時1（）。方程表示橢圓的充要條件是什么？（A

4、BC0，且A，B，C同號，AB）。如（1）已知方程表示橢圓，則的取值范圍為_（2）若，且，則的最大值是_，的最小值是_（2）雙曲線：焦點在軸上： =1，焦點在軸上：1（）。方程表示雙曲線的充要條件是什么？（ABC0，且A，B異號）。如（1）雙曲線的離心率等于，且與橢圓有公共焦點，則該雙曲線的方程_（2）設中心在坐標原點，焦點、在坐標軸上，離心率的雙曲線C過點，則C的方程為_（3）拋物線：開口向右時，開口向左時，開口向上時，開口向下時。（首先化成標準方程，然后再判斷）：（1）橢圓：由,分母的大小決定，焦點在分母大的坐標軸上。如已知方程表示焦點在y軸上的橢圓，則m的取值范圍是_（2）雙曲線：由,項

5、系數(shù)的正負決定，焦點在系數(shù)為正的坐標軸上；（3）拋物線：焦點在一次項的坐標軸上，一次項的符號決定開口方向。特別提醒：（1）在求解橢圓、雙曲線問題時，首先要判斷焦點位置，焦點F，F(xiàn)的位置，是橢圓、雙曲線的定位條件，它決定橢圓、雙曲線標準方程的類型，而方程中的兩個參數(shù)，確定橢圓、雙曲線的形狀和大小，是橢圓、雙曲線的定形條件；在求解拋物線問題時，首先要判斷開口方向；（2）在橢圓中，最大，在雙曲線中，最大，。：（1）橢圓（以（）為例）：范圍：；焦點：兩個焦點；對稱性：兩條對稱軸，一個對稱中心（0,0），四個頂點，其中長軸長為2，短軸長為2；準線：兩條準線； 離心率：，橢圓，越小，橢圓越圓；越大，橢圓越

6、扁。如（1）若橢圓的離心率，則的值是_（2）以橢圓上一點和橢圓兩焦點為頂點的三角形的面積最大值為1時，則橢圓長軸的最小值為_（2）雙曲線（以（）為例）：范圍：或；焦點：兩個焦點；對稱性：兩條對稱軸，一個對稱中心（0,0），兩個頂點，其中實軸長為2，虛軸長為2，特別地，當實軸和虛軸的長相等時，稱為等軸雙曲線，其方程可設為；準線：兩條準線； 離心率：，雙曲線，等軸雙曲線，越小，開口越小，越大，開口越大；兩條漸近線：。如（1）雙曲線的漸近線方程是，則該雙曲線的離心率等于_（2）雙曲線的離心率為，則=（3）設雙曲線（a>0,b>0）中，離心率e,2,則兩條漸近線夾角的取值范圍是_（3）拋物

7、線（以為例）：范圍：；焦點：一個焦點，其中的幾何意義是：焦點到準線的距離；對稱性：一條對稱軸，沒有對稱中心，只有一個頂點（0,0）；準線：一條準線； 離心率：，拋物線。如設，則拋物線的焦點坐標為_5、點和橢圓（）的關系：（1）點在橢圓外；（2）點在橢圓上1；（3）點在橢圓內(nèi)6直線與圓錐曲線的位置關系：（1）相交：直線與橢圓相交；直線與雙曲線相交，但直線與雙曲線相交不一定有，當直線與雙曲線的漸近線平行時，直線與雙曲線相交且只有一個交點，故是直線與雙曲線相交的充分條件，但不是必要條件；直線與拋物線相交，但直線與拋物線相交不一定有，當直線與拋物線的對稱軸平行時，直線與拋物線相交且只有一個交點，故也僅

8、是直線與拋物線相交的充分條件，但不是必要條件。如（1）若直線y=kx+2與雙曲線x2-y2=6的右支有兩個不同的交點，則k的取值范圍是_（答：（2）直線ykx1=0與橢圓恒有公共點，則m的取值范圍是_（3）過雙曲線的右焦點直線交雙曲線于A、B兩點，若AB4，則這樣的直線有_條（2）相切：直線與橢圓相切；直線與雙曲線相切；直線與拋物線相切；（3）相離：直線與橢圓相離；直線與雙曲線相離；直線與拋物線相離。特別提醒：（1）直線與雙曲線、拋物線只有一個公共點時的位置關系有兩種情形：相切和相交。如果直線與雙曲線的漸近線平行時,直線與雙曲線相交,但只有一個交點；如果直線與拋物線的軸平行時,直線與拋物線相交

9、,也只有一個交點；（2）過雙曲線1外一點的直線與雙曲線只有一個公共點的情況如下：P點在兩條漸近線之間且不含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時，有兩條與漸近線平行的直線和分別與雙曲線兩支相切的兩條切線，共四條；P點在兩條漸近線之間且包含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時，有兩條與漸近線平行的直線和只與雙曲線一支相切的兩條切線，共四條；P在兩條漸近線上但非原點，只有兩條：一條是與另一漸近線平行的直線，一條是切線；P為原點時不存在這樣的直線；（3）過拋物線外一點總有三條直線和拋物線有且只有一個公共點：兩條切線和一條平行于對稱軸的直線。如（1）過點作直線與拋物線只有一個公共點，這樣的直線有_（2）過點(0,2)與雙曲線有且僅有一個公共點

10、的直線的斜率的取值范圍為_；（3）過雙曲線的右焦點作直線交雙曲線于A、B兩點，若4，則滿足條件的直線有_條（4）對于拋物線C：，我們稱滿足的點在拋物線的內(nèi)部，若點在拋物線的內(nèi)部，則直線：與拋物線C的位置關系是_（5）過拋物線的焦點作一直線交拋物線于P、Q兩點，若線段PF與FQ的長分別是、，則_（6）設雙曲線的右焦點為，右準線為，設某直線交其左支、右支和右準線分別于，則和的大小關系為_(填大于、小于或等于)（7）求橢圓上的點到直線的最短距離（8）直線與雙曲線交于、兩點。當為何值時，、分別在雙曲線的兩支上？當為何值時，以AB為直徑的圓過坐標原點？7、焦半徑（圓錐曲線上的點P到焦點F的距離）的計算方

11、法：利用圓錐曲線的第二定義，轉化到相應準線的距離，即焦半徑，其中表示P到與F所對應的準線的距離。如（1）已知橢圓上一點P到橢圓左焦點的距離為3，則點P到右準線的距離為_（2）已知拋物線方程為，若拋物線上一點到軸的距離等于5，則它到拋物線的焦點的距離等于_；（3）若該拋物線上的點到焦點的距離是4，則點的坐標為_（4）點P在橢圓上，它到左焦點的距離是它到右焦點距離的兩倍，則點P的橫坐標為_（5）拋物線上的兩點A、B到焦點的距離和是5，則線段AB的中點到軸的距離為_（6）橢圓內(nèi)有一點，F(xiàn)為右焦點，在橢圓上有一點M，使 之值最小，則點M的坐標為_8、焦點三角形（橢圓或雙曲線上的一點與兩焦點所構成的三角

12、形）問題：常利用第一定義和正弦、余弦定理求解。設橢圓或雙曲線上的一點到兩焦點的距離分別為，焦點的面積為，則在橢圓中， ，且當即為短軸端點時，最大為；，當即為短軸端點時，的最大值為bc；對于雙曲線的焦點三角形有：；。如（1）短軸長為，離心率的橢圓的兩焦點為、，過作直線交橢圓于A、B兩點，則的周長為_（2）設P是等軸雙曲線右支上一點，F(xiàn)1、F2是左右焦點，若，|PF1|=6，則該雙曲線的方程為（3）橢圓的焦點為F1、F2，點P為橢圓上的動點，當·<0時，點P的橫坐標的取值范圍是（4）雙曲線的虛軸長為4，離心率e，F(xiàn)1、F2是它的左右焦點，若過F1的直線與雙曲線的左支交于A、B兩點，

13、且是與等差中項，則_（5）已知雙曲線的離心率為2，F(xiàn)1、F2是左右焦點，P為雙曲線上一點，且，求該雙曲線的標準方程9、拋物線中與焦點弦有關的一些幾何圖形的性質：（1）以過焦點的弦為直徑的圓和準線相切；（2）設AB為焦點弦， M為準線與x軸的交點，則AMFBMF；（3）設AB為焦點弦，A、B在準線上的射影分別為A，B，若P為AB的中點，則PAPB；（4）若AO的延長線交準線于C，則BC平行于x軸，反之，若過B點平行于x軸的直線交準線于C點，則A，O，C三點共線。10、弦長公式：若直線與圓錐曲線相交于兩點A、B，且分別為A、B的橫坐標，則，若分別為A、B的縱坐標，則，若弦AB所在直線方程設為，則。

14、特別地，焦點弦（過焦點的弦）：焦點弦的弦長的計算，一般不用弦長公式計算，而是將焦點弦轉化為兩條焦半徑之和后，利用第二定義求解。如（1）過拋物線y2=4x的焦點作直線交拋物線于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，若x1+x2=6，那么|AB|等于_（2）過拋物線焦點的直線交拋物線于A、B兩點，已知|AB|=10，O為坐標原點，則ABC重心的橫坐標為_11、圓錐曲線的中點弦問題：遇到中點弦問題常用“韋達定理”或“點差法”求解。在橢圓中，以為中點的弦所在直線的斜率k=；在雙曲線中，以為中點的弦所在直線的斜率k=；在拋物線中，以為中點的弦所在直線的斜率k=如（1）如果橢圓弦被點A（4，2）平分，那

15、么這條弦所在的直線方程是（2）已知直線y=x+1與橢圓相交于A、B兩點，且線段AB的中點在直線L：x2y=0上，則此橢圓的離心率為_（3）試確定m的取值范圍，使得橢圓上有不同的兩點關于直線對稱 特別提醒：因為是直線與圓錐曲線相交于兩點的必要條件，故在求解有關弦長、對稱問題時，務必別忘了檢驗！12你了解下列結論嗎？（1）雙曲線的漸近線方程為；（2）以為漸近線（即與雙曲線共漸近線）的雙曲線方程為為參數(shù)，0）。如與雙曲線有共同的漸近線，且過點的雙曲線方程為_（3）中心在原點，坐標軸為對稱軸的橢圓、雙曲線方程可設為；（4）橢圓、雙曲線的通徑（過焦點且垂直于對稱軸的弦）為，焦準距（焦點到相應準線的距離）

16、為，拋物線的通徑為，焦準距為； （5）通徑是所有焦點弦（過焦點的弦）中最短的弦；（6）若拋物線的焦點弦為AB，則；（7）若OA、OB是過拋物線頂點O的兩條互相垂直的弦，則直線AB恒經(jīng)過定點13動點軌跡方程：（1）求軌跡方程的步驟：建系、設點、列式、化簡、確定點的范圍；（2）求軌跡方程的常用方法：直接法：直接利用條件建立之間的關系；如已知動點P到定點F(1,0)和直線的距離之和等于4，求P的軌跡方程待定系數(shù)法：已知所求曲線的類型，求曲線方程先根據(jù)條件設出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數(shù)。如線段AB過x軸正半軸上一點M（m，0），端點A、B到x軸距離之積為2m，以x軸為對稱軸，過A、O、B三

17、點作拋物線，則此拋物線方程為定義法：先根據(jù)條件得出動點的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動點的軌跡方程；如(1)由動點P向圓作兩條切線PA、PB，切點分別為A、B，APB=600，則動點P的軌跡方程為（2）點M與點F(4,0)的距離比它到直線的距離小于1，則點M的軌跡方程是_ (3) 一動圓與兩圓M：和N：都外切，則動圓圓心的軌跡為代入轉移法：動點依賴于另一動點的變化而變化，并且又在某已知曲線上，則可先用的代數(shù)式表示，再將代入已知曲線得要求的軌跡方程；如動點P是拋物線上任一點，定點為,點M分所成的比為2，則M的軌跡方程為_參數(shù)法：當動點坐標之間的關系不易直接找到，也沒有相關動點可用時

18、，可考慮將均用一中間變量（參數(shù)）表示，得參數(shù)方程，再消去參數(shù)得普通方程）。如（1）AB是圓O的直徑，且|AB|=2a，M為圓上一動點，作MNAB，垂足為N，在OM上取點，使，求點的軌跡。（2）若點在圓上運動，則點的軌跡方程是_（3）過拋物線的焦點F作直線交拋物線于A、B兩點，則弦AB的中點M的軌跡方程是_注意：如果問題中涉及到平面向量知識，那么應從已知向量的特點出發(fā)，考慮選擇向量的幾何形式進行“摘帽子或脫靴子”轉化，還是選擇向量的代數(shù)形式進行“摘帽子或脫靴子”轉化。如已知橢圓的左、右焦點分別是F1（c，0）、F2（c，0），Q是橢圓外的動點，滿足點P是線段F1Q與該橢圓的交點，點T在線段F2Q

19、上，并且滿足（1）設為點P的橫坐標，證明；（2）求點T的軌跡C的方程；（3）試問：在點T的軌跡C上，是否存在點M，使F1MF2的面積S=若存在，求F1MF2的正切值；若不存在，請說明理由.曲線與曲線方程、軌跡與軌跡方程是兩個不同的概念，尋求軌跡或軌跡方程時應注意軌跡上特殊點對軌跡的“完備性與純粹性”的影響.在與圓錐曲線相關的綜合題中，常借助于“平面幾何性質”數(shù)形結合(如角平分線的雙重身份對稱性、利用到角公式)、“方程與函數(shù)性質”化解析幾何問題為代數(shù)問題、“分類討論思想”化整為零分化處理、“求值構造等式、求變量范圍構造不等關系”等等.如果在一條直線上出現(xiàn)“三個或三個以上的點”，那么可選擇應用“斜

20、率或向量”為橋梁轉化.14、解析幾何與向量綜合時可能出現(xiàn)的向量內(nèi)容：（1） 給出直線的方向向量或；（2）給出與相交,等于已知過的中點;（3）給出,等于已知是的中點;（4）給出,等于已知與的中點三點共線;（5） 給出以下情形之一：；存在實數(shù)；若存在實數(shù),等于已知三點共線.（6） 給出，等于已知是的定比分點，為定比，即（7） 給出,等于已知,即是直角,給出,等于已知是鈍角, 給出,等于已知是銳角,（8）給出,等于已知是的平分線/（9）在平行四邊形中，給出，等于已知是菱形;（10） 在平行四邊形中，給出，等于已知是矩形;（11）在中，給出，等于已知是的外心（三角形外接圓的圓心，三角形的外心是三角形三

21、邊垂直平分線的交點）；（12） 在中，給出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三條中線的交點）；（13）在中，給出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三條高的交點）；（14）在中，給出等于已知通過的內(nèi)心；（15）在中，給出等于已知是的內(nèi)心（三角形內(nèi)切圓的圓心，三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點）；（16） 在中，給出,等于已知是中邊的中線;圓錐曲線的解題技巧一、高考考點 1、準確理解基本概念（如直線的傾斜角、斜率、距離、截距等）2、熟練掌握基本公式（如兩點間距離公式、點到直線的距離公式、斜率公式、定比分點的坐標公式、到角公式、夾角公式等）3、熟練掌握求直線方程的方法（如根據(jù)條件靈活

22、選用各種形式、討論斜率存在和不存在的各種情況、截距是否為0等等）4、在解決直線與圓的位置關系問題中，要善于運用圓的幾何性質以減少運算5、了解線性規(guī)劃的意義及簡單應用6、熟悉圓錐曲線中基本量的計算7、掌握與圓錐曲線有關的軌跡方程的求解方法（如：定義法、直接法、相關點法、參數(shù)法、交軌法、幾何法、待定系數(shù)法等）8、掌握直線與圓錐曲線的位置關系的常見判定方法，能應用直線與圓錐曲線的位置關系解決一些常見問題A:常規(guī)題型方面（1）中點弦問題 具有斜率的弦中點問題，常用設而不求法（點差法）：設曲線上兩點為，代入方程，然后兩方程相減，再應用中點關系及斜率公式，消去四個參數(shù)。典型例題 給定雙曲線。過A（2，1）

23、的直線與雙曲線交于兩點 及，求線段的中點P的軌跡方程。（2）焦點三角形問題橢圓或雙曲線上一點P，與兩個焦點、構成的三角形問題，常用正、余弦定理搭橋。典型例題 設P(x,y)為橢圓上任一點，為焦點，。（1）求證離心率；（2）求的最值。（3）直線與圓錐曲線位置關系問題直線與圓錐曲線的位置關系的基本方法是解方程組，進而轉化為一元二次方程后利用判別式，應特別注意數(shù)形結合的辦法典型例題 （1）求證：直線與拋物線總有兩個不同交點（2）設直線與拋物線的交點為A、B，且OAOB，求p關于t的函數(shù)f(t)的表達式。（4）圓錐曲線的有關最值（范圍）問題圓錐曲線中的有關最值（范圍）問題，常用代數(shù)法和幾何法解決。 &

24、lt;1>若命題的條件和結論具有明顯的幾何意義，一般可用圖形性質來解決。<2>若命題的條件和結論體現(xiàn)明確的函數(shù)關系式，則可建立目標函數(shù)（通常利用二次函數(shù)，三角函數(shù)，均值不等式）求最值。（1），可以設法得到關于a的不等式，通過解不等式求出a的范圍，即：“求范圍，找不等式”。或者將a表示為另一個變量的函數(shù)，利用求函數(shù)的值域求出a的范圍；對于（2）首先要把NAB的面積表示為一個變量的函數(shù)，然后再求它的最大值,即：“最值問題，函數(shù)思想”。典型例題已知拋物線y2=2px(p>0)，過M（a,0）且斜率為1的直線L與拋物線交于不同的兩點A、B，|AB|2p（1）求a的取值范圍；（2

25、）若線段AB的垂直平分線交x軸于點N，求NAB面積的最大值。（5）求曲線的方程問題1曲線的形狀已知-這類問題一般可用待定系數(shù)法解決。典型例題已知直線L過原點，拋物線C 的頂點在原點，焦點在x軸正半軸上。若點A（-1，0）和點B（0，8）關于L的對稱點都在C上，求直線L和拋物線C的方程。2曲線的形狀未知-求軌跡方程典型例題MNQO已知直角坐標平面上點Q（2，0）和圓C：x2+y2=1, 動點M到圓C的切線長與|MQ|的比等于常數(shù)（>0）,求動點M的軌跡方程，并說明它是什么曲線。（6）存在兩點關于直線對稱問題在曲線上兩點關于某直線對稱問題，可以按如下方式分三步解決：求兩點所在的直線，求這兩直線的交點，使這交點在圓錐曲線形內(nèi)。（當然也可以利用韋達定理并結合判別式來解決）典型例題 已知橢圓C的方程，試確定m的取值范圍，使得對于直線，橢圓C上有不同兩點關于直線對稱（7）兩線段垂直問題圓錐曲線兩焦半徑互相垂直問題，常用來處理或用向量的坐標運算來處理。典型例題已知直線的斜率為，且過點，拋物線，直線與拋物線C有兩個不同的交點（如圖）。