近世代數(shù)試題庫(kù)

1、一、單項(xiàng)選擇題1、若A=1，2，3，5，B=2，3，6，7，則=（ ）A、1，2，3，4 B、2，3，6，7C、2，3 D、1，2，3，5，6，7答案：C2、循環(huán)群與交換群關(guān)系正確的是（ ）A、循環(huán)群是交換群 B、交換群是循環(huán)群C、循環(huán)群不一定是交換群 D、以上都不對(duì)答案：A3、下列命題正確的是（ ）A、n次對(duì)換群的階為B、整環(huán)一定是域C、交換環(huán)一定是域 D、以上都不對(duì)答案：A4、關(guān)于陪集的命題中正確的是（ ）設(shè)H是G的子群，那么A、 對(duì)于有或B、C、D、 以上都對(duì)答案：D5、設(shè)A=R（實(shí)數(shù)域）， B=R+（正實(shí)數(shù)域） f :a10a  aA 則 f是從A到B的（

2、 ）A、單射B、滿射C、一一映射D、既非單射也非滿射答案：D6、有限群中的每一個(gè)元素的階都（ ）A、有限 B、無(wú)限 C、為零 D、為1答案：A7、整環(huán)（域）的特征為（ ）A、素?cái)?shù) B、無(wú)限 C、有限 D、或素?cái)?shù)或無(wú)限答案：D8、若S是半群,則( )A、任意都有a(bc)=(ab)c B、任意都有ab=baC、必有單位元 D、任何元素必存在逆元答案：A9、在整環(huán)Z中，6的真因子是（ ）A、 B、C、 D、答案：B10、偶數(shù)環(huán)的單位元個(gè)數(shù)為（ ）A、0個(gè) B、1個(gè) C、2個(gè) D、無(wú)數(shù)個(gè)答案：A11、設(shè)和都是非空集合，而是到的一個(gè)映射，那么（ ）A、集合中兩兩都不相同；B、的次序不能調(diào)換；C、中不同

3、的元對(duì)應(yīng)的象必不相同；D、一個(gè)元的象可以不唯一。答案：B12、指出下列那些運(yùn)算是二元運(yùn)算（ ）A、在整數(shù)集上，； B、在有理數(shù)集上，；C、在正實(shí)數(shù)集上，；D、在集合上，。答案：D13、設(shè)是整數(shù)集上的二元運(yùn)算，其中（即取與中的最大者），那么在中（ ）A、不適合交換律； B、不適合結(jié)合律； C、存在單位元； D、每個(gè)元都有逆元。答案：C14、設(shè)為群，其中是實(shí)數(shù)集，而乘法，這里為中固定的常數(shù)。那么群中的單位元和元的逆元分別是（ ）A、0和； B、1和0； C、和； D、和。答案：D15、設(shè)和都是群中的元素且，那么（ ）A、； B、； C、； D、。答案：A16、設(shè)是群的子群，且有左陪集分類。如果6，

4、那么的階（）A、6； B、24； C、10； D、12。答案：B17、設(shè)是一個(gè)群同態(tài)映射，那么下列錯(cuò)誤的命題是（ ）A、的同態(tài)核是的不變子群；B、的不變子群的逆象是的不變子群；C、的子群的象是的子群；D、的不變子群的象是的不變子群。答案：D18、設(shè)是環(huán)同態(tài)滿射，那么下列錯(cuò)誤的結(jié)論為（ ）A、若是零元，則是零元；B、若是單位元，則是單位元；C、若不是零因子，則不是零因子；D、 若是不交換的，則不交換。答案：C19、下列正確的命題是（）A、歐氏環(huán)一定是唯一分解環(huán)；B、主理想環(huán)必是歐氏環(huán)；C、唯一分解環(huán)必是主理想環(huán)；D、唯一分解環(huán)必是歐氏環(huán)。答案：A20、若是域的有限擴(kuò)域，是的有限擴(kuò)域，那么（ ）A

5、、； B、；C、； D、答案：D二、填空題1、集合A的一個(gè)等價(jià)關(guān)系需滿足自反性、對(duì)稱性和（ ） 。答案：傳遞性2、設(shè)A,B都為有限集，且則（）.答：mn3設(shè)是集合A平面上所有直線上的關(guān)系：或 （），則（）等價(jià)關(guān)系。答：是4、設(shè)群G中的元素的階為m，則的充要條件是（）。答：5、群G的非空子集H作成G的一個(gè)子群的充要條件是（）。答：有6、次對(duì)稱群的階是（）。答：7、設(shè)是有限群，是的子群，且在中的指數(shù)為，則（）。答：8、設(shè)G是一個(gè)群,e是G的單位元，若且a=a,則（ ）答：a=e9、最小的數(shù)域是（ ）。答：有理數(shù)域10、設(shè)集合A=1,2,則A×A=（）,2A（）。答：（1，1），（1，2）

6、，（2，1），（2，2），1，2，1，211、設(shè)是A的一個(gè)變換，則（）。答：12、設(shè)是集合A上的等價(jià)關(guān)系，（）等價(jià)關(guān)系。答：是13、若群G中每一個(gè)元素都適合方程，則是（）群。答：交換群14、階群是循環(huán)群的充要條件是（）。答：中存在階的元素15、設(shè)是有限循環(huán)群，則是的同態(tài)象的充要條件是（）。答：16、如果環(huán)R的乘法滿足交換律，即，有，則稱R為（）環(huán)答：交換環(huán)17、數(shù)集關(guān)于數(shù)的加法和乘法作成的環(huán)叫做（）環(huán)。答：數(shù)環(huán)18、設(shè)有限域的階為81，則的特征（）。答：319、已知群中的元素的階等于50，則的階等于（）。答：2520、一個(gè)有單位元的無(wú)零因子（）稱為整環(huán)。答：交換環(huán)21、如果710002601是

7、一個(gè)國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)書號(hào)，那么（）。答：612有 （）個(gè)生成元.答：623、設(shè)群G的元a的階是n，則ak的階是（）答：n/(k,n)（(k,n)表示k和n的最大公約數(shù)）24、6階循環(huán)群有（ ）個(gè)子群.答：326、模8的剩余類環(huán)Z8的子環(huán)有（） 個(gè).答：627、設(shè)集合；，則有（）。答：28、如果是與間的一一映射，是的一個(gè)元，則（）。答：29、設(shè)集合有一個(gè)分類，其中與是的兩個(gè)類，如果，那么（）。答：31、凱萊定理說：任一個(gè)子群都同一個(gè)（）同構(gòu)。答：變換群32、給出一個(gè)5-循環(huán)置換，那么（）。答：33、若是有單位元的環(huán)的由生成的主理想，那么中的元素可以表達(dá)為（）。答：34、若是一個(gè)有單位元的交換環(huán)，是的一個(gè)

8、理想，那么是一個(gè)域當(dāng)且僅當(dāng)是（）。答：一個(gè)最大理想35、整環(huán)的一個(gè)元叫做一個(gè)素元，如果（）。答：p既不是零元，也不是單位，且q只有平凡因子36、若域的一個(gè)擴(kuò)域叫做的一個(gè)代數(shù)擴(kuò)域，如果（）。答：E的每一個(gè)元都是F上的一個(gè)代數(shù)元三、判斷題1、設(shè)與都是非空集合，那么。 （ × ）2、設(shè)、都是非空集合，則到的每個(gè)映射都叫作二元運(yùn)算。（ × ） 3、只要是到的一一映射，那么必有唯一的逆映射。 （ ）4、如果循環(huán)群中生成元的階是無(wú)限的，則與整數(shù)加群同構(gòu)。 （ ）5、如果群的子群是循環(huán)群，那么也是循環(huán)群。 （ × ）6、群的子群是不變子群的充要條件為。（ ）7、如果環(huán)的階，那么

9、的單位元。（ ）8、若環(huán)滿足左消去律，那么必定沒有右零因子。 （ ）9、中滿足條件的多項(xiàng)式叫做元在域上的極小多項(xiàng)式。 （ × ）10、若域的特征是無(wú)限大，那么含有一個(gè)與同構(gòu)的子域，這里是整數(shù)環(huán)， 是由素?cái)?shù)生成的主理想。（ × ）四、解答題1、A=數(shù)學(xué)系的全體學(xué)生，規(guī)定關(guān)系R：，證明R是A的一個(gè)等價(jià)關(guān)系。答案：自反性： 自己與自己顯然在同一個(gè)班級(jí)對(duì)稱性：若a與b同在一個(gè)班級(jí),顯然b與a同在一個(gè)班級(jí)傳遞性：若a與b同在一個(gè)班級(jí), b與c同在一個(gè)班級(jí),顯然a與c同在一個(gè)班級(jí).2、在R中的代數(shù)運(yùn)算是否滿足結(jié)合率和交換率？（等式右邊指的是普通數(shù)的運(yùn)算）答：因?yàn)閷?duì)于，有，根據(jù)實(shí)數(shù)的加法

10、與乘法的運(yùn)算率得。又。所以，R的代數(shù)運(yùn)算既滿足結(jié)合率，又滿足交換率。3、設(shè)集合，求。答案：4、設(shè)，求關(guān)于子群的左陪集分解。答：，。因而，關(guān)于子群的左陪集分解為。5、設(shè)半群既有左單位元，又有右單位元，證明，而且是的唯一單位元。答：證明（因是右單位元），（因是左單位元），得；若還有單位元，則，故是的唯一單位元。6、對(duì)于下面給出的Z到Z的映射計(jì)算。答案：7、設(shè)是的不變子群，則，有。答：因是的不變子群，故對(duì)于，有，于是。8、設(shè)0是環(huán)的零元，則對(duì)于，。答：因?yàn)?，有，由于關(guān)于加法作成群，即對(duì)于加法滿足消去律，在上式中兩邊同時(shí)消去，得。同理可得。9、如果半群有一個(gè)左單位元，并且對(duì)于，存在左逆元，使得，則是一

11、個(gè)群。答：，由條件知，有左逆元，使得，而對(duì)于在中也存在左逆元，使得，則有所以，的左逆元也是的右逆元，即在中有逆元，又由于，知是的單位元。故是一個(gè)群。10、證明為無(wú)零因子環(huán)的充分必要條件是在環(huán)中關(guān)于乘法左消去律成立。答：設(shè)環(huán)沒有左零因子，如果有，則有，當(dāng)時(shí)，由于沒有左零因子，得，即，中關(guān)于乘法左消去律成立。反之，若在中關(guān)于乘法左消去律成立，如果，有，即，左消去得，即中非零元均不是左零因子，故為無(wú)零因子。11、若是的兩個(gè)理想，則也是的一個(gè)理想。答：，則有，從而；。所以，是的一個(gè)理想。12、設(shè),則H是G的一個(gè)子群，寫出G關(guān)于H的所有左陪集的分解.答案：,因而，G關(guān)于H的左陪集的分解為.13、在Q中的

12、代數(shù)運(yùn)算是否滿足結(jié)合率和交換率？答：取則，又。所以，Q的代數(shù)運(yùn)算既不滿足結(jié)合率，又不滿足交換率。14、設(shè)，求關(guān)于子群的右陪集分解。答：，。因而，關(guān)于子群的右陪集分解為。15、設(shè)是有單位元的半群，若有左逆元，又有右逆元，則是可逆元，且是的唯一的逆元。答：證明由條件知，則有若都是的逆元，同理有故有唯一的逆元。16、設(shè)是環(huán)，則，有。答：由，得，同理，由，得。17、設(shè)是的子群，若對(duì)于，有，則是的不變子群。答：任取定，對(duì)于，由于，則存在，使得；，由于，故存在，使得。因此，對(duì)于，有。故是的不變子群。18、如果是半群，則是群的充分必要條件是：，方程和在中有解。答：必要性。因是群，則在中有逆元，則，分別代入方

13、程和，有，即分別為方程和的解。充分性。因是半群，則是非空集合，取定，則方程在中有解，即存在中的元素，使得。下證是的左單位元。，方程和在中有解，即，于是，則是的一個(gè)左單位元。又，方程在中有解，即，得是的一個(gè)左逆元。從而得中的每一個(gè)元素都有左逆元。故是群。19、證明為無(wú)零因子環(huán)的充分必要條件是在環(huán)中關(guān)于乘法右消去律成立。答：設(shè)環(huán)沒有左零因子，則也無(wú)右左零因子。于是由，得，當(dāng)時(shí)，由于沒有右零因子，得，即，中關(guān)于乘法右消去律成立。反之，若在中關(guān)于乘法右消去律成立，如果，有，即，右消去得，即中非零元均不是右零因子，故為無(wú)零因子。20、設(shè)為交換環(huán)，證明：是的理想。答：（1），則，從而，即。（2），有，由于

14、為交換環(huán)，從而，即。因此是的理想。21、=（z，+），對(duì)規(guī)定結(jié)合法“” 證明 是一個(gè)群。證明：為G的一個(gè)二元運(yùn)算顯然，設(shè)是G中任意三個(gè)元，=。G中結(jié)合法滿足結(jié)合律。又，易知2是的單位元。，直接驗(yàn)算得是在中的逆元。所以是一個(gè)群。22、設(shè)G是非Abel群，證明存在非單位元a,b，ab使ab=ba。證：利用元素和它的逆可交換，或元素和它的冪可交換。但要求元素和它的逆（冪）不等。由于G是非Abel群，必有階數(shù)大于2的元素a，因而aa-1，取b= a-1，則ab=ba。23、設(shè)HG，a,bG，證明以下命題等價(jià)：（1）a-1bH,(2)baH,(3)aH=bH,(4)aHbHØ。證本題主要熟悉陪集性質(zhì)。用循環(huán)證法。（1）=>（2）：a-1bH => a-1b=h => b=ah => baH。（2）=>（3）：baH => bhaH => bH 屬于aH，另一方面，baH => b=ah => a=bh-1 => aH屬于 bH，綜上得aH=bH。（3）=>（4）：aH=bH 顯然有aHbHØ。（4）=>（1）：aHbH