量子力學習題集及答案

1、一、填空題1 設電子能量為4電子伏，其德布羅意波長為（）。2 索末菲的量子化條件為（），應用這量子化條件求得一維諧振子的能級（）。3 德布羅意假說的正確性，在1927年為戴維孫和革末所做的（ 電 ）子衍射實驗所證實，德布羅意關系（公式）為（）和（）。4 三維空間自由粒子的歸一化波函數(shù)為=（）， （）。5 動量算符的歸一化本征態(tài)（），（）。6 t=0時體系的狀態(tài)為，其中為一維線性諧振子的定態(tài)波函數(shù)，則（）。7 按照量子力學理論，微觀粒子的幾率密度=（），幾率流密度=（）。8 設描寫粒子的狀態(tài)，是（ 粒子的幾率密度 ），在中的平均值為=（）。9 波函數(shù)和是描寫（ 同一 ）狀態(tài)，中的稱為（ 相因子

2、），不影響波函數(shù)的歸一化，因為（）。10 定態(tài)是指（能量具有確定值）的狀態(tài)，束縛態(tài)是指（無窮遠處波函數(shù)為零）的狀態(tài)。11 是定態(tài)的條件是（），這時幾率密度和（ 幾率密度 ）都與時間無關。12 （粒子在能量小于勢壘高度時仍能貫穿勢壘的現(xiàn)象）稱為隧道效應。13 （ 無窮遠處波函數(shù)為零 ）的狀態(tài)稱為束縛態(tài)，其能量一般為（分立）譜。14 3t=0時體系的狀態(tài)為，其中為一維線性諧振子的定態(tài)波函數(shù)，則（）。15 粒子處在的一維無限深勢阱中，第一激發(fā)態(tài)的能量為（），第一激發(fā)態(tài)的波函數(shù)為（）。16 基態(tài)是指（ 能量最低 ）的狀態(tài)，寫出一維線性諧振子的基態(tài)波函數(shù)：（）。17 一維線性諧振子的第一激發(fā)態(tài)的能量為（

3、）、第一激發(fā)態(tài)的波函數(shù)為（）。18 （ 對應于同一本征值的本征函數(shù)的數(shù)目 ）稱為簡并度，不考慮電子自旋時，氫原子的第n個能級的簡并度為（n2）。19 一維無限深勢阱第n個能級的簡并度為（1），不考慮電子自旋時，氫原子的第n個能級的簡并度為（n2）。20 一維線性諧振子第n個能級的簡并度為（ 1 ），考慮電子自旋以后，氫原子的第n個能級的簡并度為（2n2）。21 氫原子的狀態(tài)為，角動量平方是（）、角動量分量是（）。22 厄密算符的定義是：對于兩任意函數(shù)和, 等式（）成立。23 力學量算符的本征值必為（ 實數(shù) ），力學量算符的屬于兩個不同本征值的本征態(tài)必（ 相互正交 ）。24 力學量算符的屬于（

4、不同本征值 ）的本征函數(shù)必相互（ 正交 ）。25 量子力學中，力學量算符都是（ 厄米 ）算符，力學量算符的本征函數(shù)組成（ 完全 ）系。26 算符在其自身表象中的矩陣為（ 對角 ）矩陣，例如在表象中=（）。27 如果=0，則存在組成（ 完全 ）系的共同本征態(tài)，的共同本征態(tài)是（）。28 如果存在有組成（ 完全 ）系的共同本征態(tài)，則=（ 0 ）， 的共同本征態(tài)是（）。29 對易子（），（）。30 （），（），（）。31 （）。（），（ 0 ）。32 能量與時間的測不準關系是（），和的測不準關系是（）。33 在一維情況下，若粒子處于狀態(tài)中，則在動量表象中的波函數(shù)為（）。34 一維線性諧振子處在的本征態(tài)

5、的迭加態(tài)中，則在表象中一維線性諧振子的波函數(shù)為=（ （0，0，3/5，0，-4/5，0,） ）。35 斯特恩革拉赫證實電子具有（ 自旋 ）角動量，它在任何方向上投影只能取兩個值（）和（）。36 =（），=（）。37 =（ 0 ），=（ 0 ）。38 在表象中，粒子處在自旋態(tài)中，=（）。39 在表象中，粒子處在自旋態(tài)中，=（）。40 在表象中，則在狀態(tài)中，=（）。41 全同性原理的內(nèi)容是：（ 在全同粒子組成的體系中，兩全同粒子相互代換不引起物理狀態(tài)的改變 ）。42 泡里原理的內(nèi)容是：（ 不能有兩個或兩個以上的費密子處于同一狀態(tài) ）。43 描寫電子體系的波函數(shù)只能是（反對稱）波函數(shù)，而電子體系的自

6、旋波函數(shù)則可以是（對稱 ）或者（反對稱）的。44 電子是（ 費密 ）子，服從（ 費密-狄拉克 ）統(tǒng)計，描寫電子體系的波函數(shù)只能是（ 反對稱 ）波函數(shù)。45 描寫玻色子體系的波函數(shù)只能是（ 對稱 ）波函數(shù)，而玻色子體系的自旋波函數(shù)則可以是（ 對稱 ）或者（ 反對稱 ）的。46 描寫費密子體系的波函數(shù)只能是（ 反對稱 ）波函數(shù)，而費密子體系的自旋波函數(shù)則可以是（ 對稱 ）或者（ 反對稱 ）的。47 光子是（ 玻色 ）子，服從（ 玻色-愛因斯坦 ）統(tǒng)計，描寫光子體系的波函數(shù)只能是（ 對稱 ）波函數(shù)。二、計算、證明題1粒子在一維勢場中運動，試從薛定諤方程出發(fā)求出粒子的定態(tài)能級和歸一化波函數(shù).解：當當令

7、 得 ，2一粒子在一為勢場中運動，試求粒子的能級和歸一化定態(tài)波函數(shù)（準確解）。解：令 則 3一粒子在硬壁球形空腔中運動，勢能為試從薛定諤方程出發(fā)求粒子在態(tài)中的能級和定態(tài)波函數(shù)（不必歸一化）。 提示：在態(tài)中 解：當當令 得 有限，4粒子在一維勢場中運動，試從薛定諤方程出發(fā)求出粒子的定態(tài)能級和歸一化波函數(shù)。解：1當當令 得 ，5利用力學量算符本征函數(shù)的正交歸一完全性，證明 式中，為本征值。解：=6求證：如果算符和有一組共同本征態(tài)，而且組成完全系，則算符和對易。解：設任一波函數(shù)可展開為 =. 7求證：力學量算符的屬于兩個不同本征值的本征態(tài)相互正交。解：設當時，.代入 得 . . 8證明力學量算符的本

8、征值必為實數(shù)。解：設在 中 令 得9證明：力學量在任意態(tài)中的平均值為實數(shù)。解：設已歸一化，則. 10粒子處在的一維無限深勢阱中的基態(tài)，設t=0時阱壁突然運動到，求此時粒子處于基態(tài)的幾率。 解：=11設粒子的狀態(tài)為，求粒子動量和動能的可能值及相應的幾率。解：由 得 ，（）動量的可能值為，對應幾率為動能的可能值為，對應幾率為12求證：.證明：13求證：=.解：= 3分=14求證：=, .解： = =15求的本征值和歸一化本征態(tài)。解：16在表象中，(1)求出的本征值和本征態(tài); (2)求在態(tài)中測得的幾率。解：（1） 對應的本征為： ， （2） 17設，=1，為的本征態(tài)，對應的本征值為。求證：也是的本征

9、態(tài)，并求出對應的本征值。解：， 所以，也是的本征態(tài)，對應的本征值為（） 18一維線性諧振子處于基態(tài)，求該諧振子的動量處于內(nèi)的幾率。（提示：）解：=內(nèi)的幾率為19一維線性諧振子處于基態(tài)，求該諧振子在動量表象中的波函數(shù)。（ 提示：） 解：=20. 在表象中，(1)求出的本征值和本征態(tài); (2)求在態(tài)中測得的幾率。解：（1） 對應的本征為： ， （2） 21設氫原子的狀態(tài)為，求：（1）能量，的可能值和相應幾率；（2）能量，的平均值。解：由得，. . 能量有兩種可能值,相應幾率分別為;有兩種可能值,相應幾率分別為; 有兩種可能值,相應幾率分別為; =22設氫原子的狀態(tài)為，求：（1）氫原子能量、角動量平

10、方、角動量分量的可能值和相應幾率； （2）氫原子能量、角動量平方、角動量分量的平均值。解： 由得，. (1)能量有兩種可能值, ,相應幾率分別為; 有兩種可能值,相應幾率分別為; 有兩種可能值, ,相應幾率分別為; (2) =23設氫原子的狀態(tài)為，求：（1）能量E，軌道角動量z分量自旋角動量z分量的可能值和相應幾率； （2）能量E，軌道角動量z分量自旋角動量z分量的平均值。解：. (1)能量有兩種可能值,相應幾率分別為; 有兩種可能值,相應幾率分別為; 有兩種可能值,相應幾率分別為;(2) =24設氫原子的狀態(tài)為，求：（1）能量，的可能值和相應幾率；（2）能量，的平均值。由得，. . (1)能量有兩種可能值,相應幾率分別為; 有兩種可能值,相應幾率分別為; 有兩種可能值,相應幾率分別為; (2) =25一量子體系沒有受微擾作用時有三個非簡并能級，假設微擾矩陣為： ，試用微擾論計算體系的能級至二級修正.解：,(n=1,2,3)26一量子體系沒有受微擾作用時有三個非簡并能級，假設微擾矩陣為： ，試用微擾論計算體系的能級至二級修正。解：,(n=1,2,3)27一量子體系沒有受微擾作用時有三個