第二章極限與連續(xù)

1、極限理論是高等數學的基礎，高等數學中包含導數，積分等概念都是用極限描述的。本章包含數列的極限、級數、函數的極限，函數的連續(xù)性的概念、無窮小量與無窮大量的概念。本章約占考試內容10%。§2.1數列及其極限一、數列的概念定義2.1一列有順序的數a1,a2,an,叫數列。其中an叫第n項，也叫通項。數列可以簡單記作an，即an=a1,a2,an,【例1】數列1,2,3,n,的通項an=n。答疑編號10020101：針對該題提問記作1,2,3,n,=n?！纠?】數列1, , ,的通項an=。答疑編號10020102：針對該題提問記作1, , , =。【例3】數列, ,的通項an=。答疑編號1

2、0020103：針對該題提問記作, ,=?！纠?】數列1,-1,1,-1,（-1）n+1,的通項an=（-1）n+1。答疑編號10020104：針對該題提問記作1,-1,1,-1,（-1）n+1,=（-1）n+1。二、數列的極限定義2.2如果當n無限增大時（記作n），數列an= a1,a2,an,的通項an與一個常數a無限接近，就說數列an的極限是a，記作這時，也說數列an是收斂的且收斂于常數a。否則，就說數列an是發(fā)散的?！纠?】討論數列=1, , ,的斂散性。答疑編號10020105：針對該題提問解：因為通項an=所以所以數列收斂且收斂于0?！纠?】討論數列的斂散性。答疑編號1002010

3、6：針對該題提問解：因為通項an=（）n通過下表可以看出當n時，an=（）n與數0無限接近。所以有所以數列（）n收斂且收斂于0。一般地，若a<1，則an越變越小，無限接近于零。即有重要結果【例7】討論數列2n=2,4,8,16, 2n,的斂散性答疑編號10020107：針對該題提問解：通過下表可以看出當n時，an=2n也無限變大，可以記作因為符號不是常數，所以數列2n發(fā)散。一般地有下面結果：【例8】說明數列是收斂的，并求其極限。答疑編號10020108：針對該題提問解：，雖然隨著n的增大，an的值有時比1大，但是當n無限增大時，“擺的量”的絕對值是趨向0的，所以，an離1距離越來越近，且

4、無限接近，由極限的定義知數列收斂且收斂于1。三、收斂數列的性質下面介紹收斂數列有下面性質：性質1（極限的唯一性）若且則必有 a=b性質1證明收斂數列的極限唯一性質2（收斂數列的保號性）若，則有（1）若an>0，則a0；若an<0則a0。（2）若a>0，則an>0；若a<0則an<0。四、數列極限的運算法則及存在準則為了使我們能夠從已知的簡單數列的極限推求出更多、更復雜數列的極限，下述的極限四則運算法則是必須掌握的。（不證）若,則（1）；（2）；（3）（此時b0）。此定理說明，由數列an，bn的收斂就可推知更多數列收斂，且可以求出相應的極限值。推論1推論2若則

5、有有了極限的四則運算法則及其推論，再由我們前面已經知道的結果：（|a|<1）就可求出更多、更復雜數列的極限?！纠?】求下列數列的極限：（1）答疑編號10020109：針對該題提問（2）答疑編號10020110：針對該題提問（3）答疑編號10020111：針對該題提問（4）答疑編號10020112：針對該題提問（5）答疑編號10020113：針對該題提問（6）答疑編號10020114：針對該題提問（7），其中a0，b00，kl，l，k為正整數。答疑編號10020115：針對該題提問解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）當k=l時， 當k<l時， 所以關于數列極限存在性的判別，

6、有下面兩個準則。定理2.2（夾逼定理）若數列an，bn，cn滿足不等式anbncn且，則數列bn收斂，且【例10】求極限答疑編號10020116：針對該題提問解：由于1+2n+3n>3n且1+2n+3n<3n+3n+3n=3·3n，即，且，故由定理2.2知單調有界數列必有極限。下面從數列的幾何意義來看本定理的正確性。若數列an單調增加且有界，即a1a2a3an，且a1anM那么，數列an在數軸上表示的是一串不斷向右排列的點，且不能超過數M，這樣，它的項必會無限趨近于某常數a，這個數a就是它的極限，如圖2.1所示。從圖2.1上還可看出，對于單調增加而有界的數列，其極限值a必

7、是它的一個上界，類似地，可看出單調減少而有界的數列也有極限，且其極限值a必是數列的一個下界。【例11】設，說明數列an收斂。答疑編號10020117：針對該題提問解：從下表可以看出當n時，an是單調增加的，且an<3即an有界，所以存在可以證明其中e是無理數，e2.71828【例12】求下列極限（1）答疑編號10020118：針對該題提問解：由性質amn=（an）m得（2）答疑編號10020119：針對該題提問解：（3）答疑編號10020120：針對該題提問（4）答疑編號10020121：針對該題提問解：令m=-n得（5）答疑編號10020122：針對該題提問§2.2數項級數一

8、、數項級數的概念1.數項級數的定義定義2.3設an=a1,a2,a3,an,是數列，則它們的和a1+a2+a3+an+，叫數項級數。簡稱級數，記作：其中an仍是通項。符號Sn=a1+a2+a3+an+叫級數的前n項和。注意級數是無限多項的和，而前n項和Sn只是有限項的和。定義2.4若（常數），就說這個極限值S是級數的和，記作并且說級數收斂否則就說級數發(fā)散。【例1】試判定級數的斂散性答疑編號10020201：針對該題提問解：S1=1,S2=1+（-1）=0,S3=1+（-1）+1=1,S4=1+（-1）+1+（-1）=0,由上述知該級數的前n項和數列Sn=S1,S2,S3,Sn,的項為：1,0,

9、1,0, ,這個數列的極限是不存在的，因為它不趨近于任何一個定值，總是在0和1上來回跳動，即不存在，所以級數發(fā)散?！纠?】判定級數的斂散性，其中r是實數。答疑編號10020202：針對該題提問解：此級數稱為等比級數（也稱幾何級數），由于它的項是等比數列。當r1時，。當|r|<1時，所以當時|r|<1，由級數收斂的定義知，當|r|<1時，級數收斂，其和為，即有（|r|<1）當|r|>1時，所以當|r|>1時，由級數收斂的定義知此時級數發(fā)散。當r=1時，級數為1+1+1+1+，此時的前n項和Sn=n，顯然，所以此時級數發(fā)散。當r=-1時，級數為1+（-1）+1+

10、（-1）+（-1）n-1+，與【例1】相同，故知它是發(fā)散的。綜上所述，等比級數的斂散性如下：當時|r|<1，級數收斂；當|r|1時，發(fā)散。即公式【例3】判定級數的斂散性。答疑編號10020203：針對該題提問解：由于此級數的前n項和所以，故該級數收斂，且=1。【例4】判定級數的斂散性。答疑編號10020204：針對該題提問解：由于此級數的前n項和Sn=a1+a2+a3+an由函數y=ln（x+1）的圖像知極限，所以極限不存在，故級數發(fā)散。由上面例題的解法可知，按照級數收斂的定義來判斷一個級數的斂散性的關鍵是求出該級數的前n項和的表達式，也即是n項求和問題，這一般來講是較困難的事，有時需要

11、特殊的技巧，例3的解法就用到了“折項相消”的技巧，為了能和求極限時所做的那樣，利用已知的簡單級數的斂散性，去判斷更多、更復雜的斂散性，我們需要研究與級數斂散性有關的基本性質。二、級數的基本性質和級數收斂的必要條件 設c為非零常數，則級數與同時收斂或同時發(fā)散，且在收斂時有=c證明設的前n項和為Sn，的前n項和為n，則n=cu1+cu2+cun=c（u1+u2+un）=csn由數列極限的性質知，若存在，則存在；若不存在，則不存在，所以，級數與同時收斂或同時發(fā)散。若收斂，設=，則【例5】判定級數（a0）的斂散性。答疑編號10020205：針對該題提問與有相同斂散性。又由例2知的斂散性：公式去掉級數的

12、前面有限項的值，不會改變級數的斂散性。證明設去掉級數的前k項的值得到級數Snuk+1+uk+2+un+ =（u1+u2+uk+uk+1+un+）-（u1+ u2+ uk）其中u1+u2+uk是有限項之和為常數若收斂則uk+1+uk+2+un+=s-（u1+uk）仍收斂。若不存在，發(fā)散則uk+1+uk+2+un+也不存在，發(fā)散。若級數與都收斂，則級數收斂，且證明設級數的前n項和為sn，級數的前n項和為n，級數的前n項和為Tn，則所以有，故級數收斂，且推論若級數收斂，但級數發(fā)散，則級數發(fā)散。證：用反證法，設收斂。收斂也收斂，與已知條件收斂矛盾，所以發(fā)散?！纠?】判定級數的斂散性，若收斂求此級數的和

13、。答疑編號10020206：針對該題提問解：由公式|r|<1時得（1）收斂 收斂且【例7】討論的斂散性答疑編號10020207：針對該題提問解：是公比r=<1的等比級數收斂，是公比r=2>1的等比級數發(fā)散發(fā)散。（級數收斂的必要條件）若級數收斂，則證明設的前n項和為Sn，且，則。注意到，故有本定理說明若則級數發(fā)散【例8】試判定級數的斂散性。答疑編號10020208：針對該題提問解：由于，所以，級數收斂的必要條件不滿足，該級數發(fā)散。注意只是級數收斂的必要條件，不是充分條件。三、正項級數的斂散性判別若數項級數中的每一項都是非負的，即un0（n=1,2,），則稱該級數是正項級數。對于

14、正項級數，它的部分和Sn具有如下特征S1S2Sn-1Sn即數列sn=S1,S2,S3,Sn,是單調增加的，這個特性使得正項級數的斂散性的判定比一般的級數較為容易，這是因為：由于此時sn是單調增加的，只要再知道sn有上界，即存在常數M，使得sn<M，則由極限存在準則“單調有界數列必有極限”可知存在，于是就可判定級數收斂；另一方面，若收斂，則它的部分和sn的極限存在，由“收斂數列必有界”可知sn有界。于是，我們有如下定理：正項級數收斂的充分必要條件是它的部分和數列sn有上界。由這個定理可以推出以下正項級數斂散性的判別法。（比較判別法）設，是兩個正項級數，且unvn（n=1,2,）。（1）若收

15、斂，則收斂；（2）若發(fā)散，則發(fā)散。證明設的部分和為sn，的部分和為n，則顯然有snn ,n=1,2（1）若收斂，則由定理2.11知n有上界，從而sn有上界，再由單調有界數列有極限定理知收斂。（2）若發(fā)散，則一定不收斂，因為如果收斂，由（1）知就收斂，矛盾。故發(fā)散。有了這個定理，在判斷一個正項級數的斂散性時，可以利用另一個收斂性為已知的正項級數來比較。下面我們不加證明地介紹下面重要的級數叫p級數的斂散性質?！纠?】說明下列p級數的斂散性（1）答疑編號10020209：針對該題提問解：因為p=2>1，所以收斂（2）答疑編號10020210：針對該題提問解：=是p級數。p=>1，p級數收

16、斂（3）答疑編號10020211：針對該題提問解：=是p級數因為p=>1發(fā)散。（4）答疑編號10020212：針對該題提問解：是p=1的p級數因為p=1，所以發(fā)散?！纠?0】用比較判別法判別下列正項級數的斂散性（1）答疑編號10020213：針對該題提問解：因為是p=2的p級數收斂所以也收斂。（2）答疑編號10020214：針對該題提問解：因為是p=1的p級數發(fā)散所以也發(fā)散由比較法知發(fā)散。（3）答疑編號10020215：針對該題提問解：n!=1,2,3,n>2·2·22=2n因為是公比r<<1的等比級數收斂所以收斂【例11】用級數斂散性的性質證明下列

17、級數的斂散性（1）答疑編號10020216：針對該題提問解：是p=2>1的p級數收斂在中，un=n，n時，un=n不與0無限接近，發(fā)散。發(fā)散（2）答疑編號10020217：針對該題提問解：是公比r=<1的等比較數收斂是p=1的p級數發(fā)散發(fā)散。§2.3函數的極限前面我們討論的數列的極限實際是一種特殊的函數極限，因為按照函數的定義an是正整數自變量n的函數：an=f（n）。這樣，對函數y=f（x）來說，若知道了當n時，f（n）的極限，也就是知道了函數f（x）當x“跳躍地”取正整數n時的變化趨勢，顯然，n只是取到x的一部分值，所以函數值f（n）的變化趨勢一般不能完全刻畫f（x）

18、當x連續(xù)取實數趨于無窮時的變化趨勢，這就需要引進當時函數的極限的概念。一、自變量趨于無窮大時函數f（x）的極限對照數列極限的極限的定義，我們如下定義函數的極限。定義2.5 設f（x）在形如a,+的區(qū)間有定義，A是一個常數，若當x無限趨于正無窮大（+）時，f（x）無限趨近于A，則稱A是f（x）當時的極限，記為或 例1：由函數的圖像求下列函數的極限：（1） ； 答疑編號10020301：針對該題提問（2）y=arctanx；答疑編號10020302：針對該題提問（3）y=e-x; 答疑編號10020303：針對該題提問（4）y=sinx答疑編號10020304：針對該題提問解：（1）函數的圖像如圖

19、2.2所示，由于當 時，無限趨近于0，所以有。圖2.2圖2.3（2）函數y=arcanx的圖像如圖2.3所示，由于當 時，y=arcanx無限趨近于，所以。（3）函數y=ex的圖像如圖2.4所示，由于當時，y=ex無限趨近于0，所以 。圖2.4圖2.5（4）函數y=sinx的圖像如圖2.5所示，由于當時，函數y=sinx不趨于任何固定的常數，它的值始終在-1，1上擺動，故當時，y=sinx的極限不存在，即 不存在。完全數似在考慮當時f（x）的變化趨勢，可有如下定義：定義2.6 設f（x）在形如（，b）的區(qū)間內有定義，A是一個常數，若當x無限趨于負無窮大（）時，f（x）無限趨近于A，則稱A是f（

20、x）當的極限，記為或 例2 由函數的圖像求函數的極限（1） ；答疑編號10020305：針對該題提問（2）y=arctanx；答疑編號10020306：針對該題提問（3）y=e-x答疑編號10020307：針對該題提問（4）y=sinx答疑編號10020308：針對該題提問 （3）由圖2.4看出，當時，y=ex不趨于任何有限的常數，實際上，y=ex的值是趨于無窮大的，所以極限（4）由圖2.5看出，當時，y=sinx不趨于任何固定的常數，它的值始終在-1，1上擺動，所以極限不存在。有時候，我們需要同時考慮和時，函數f（x）的變化趨勢，于是有如下定義：定義2.7 設函數f（x）在數集（，b）a，+

21、上有定義，A是一常數，若同時有成立，則稱A是f（x）當的極限，記為或 由上述定義可知記號“”意即“”，后的充分必要條件是定義：如果（或 、）時，f（x）的絕對值無限變大，就是（或、）時，函數f（x）無限變大，記作：或或 或 例3，求下列極限（1）答疑編號10020309：針對該題提問（2）答疑編號10020310：針對該題提問（3）答疑編號10020311：針對該題提問解：由下有可以看出：（1）（2）（3）不存在一般地有下面結果：若a>1，則有：（1） （2）二、自變量x趨于有限值x0時函數f（x）的極限。定義2.8 設函數f（x）在x0的某去心領域內有定義，A是一個常數，若當x無限趨近

22、于x0時，f（x）無限趨近于A，則稱A是f（x）當時的極限，記為：或 例4：用觀察的方法求下列極限：（1）答疑編號10020312：針對該題提問解：當時，可以看出（x+3）與數5無限接近，所以有（2）答疑編號10020313：針對該題提問解：時，可以看出與數2無限接近，所以有（3）答疑編號10020314：針對該題提問解：時，可以看出2x與20=1無限接近，所以有（4）答疑編號10020315：針對該題提問解：時，可以看出sinx與數無限接近，所以有對于極限=A的以下幾點需要特別注意：（1） 表示x無限趨近于x0,但不達到x0,所以，極限的存在與否，值為多少都與f（x）在x0處有無定義以及有定

23、義時的函數值f（x0）無關。（2） 的方式是任意的。例5：設 答疑編號10020316：針對該題提問解：由于極限中x趨于1但不等于1，所以中的函數表達式f（x）應取x1時的表達式，故有由上述過程可知，求時與f（1）的值無關。如果在考慮函數f（x）的變化趨勢時，只對當自變量x從x0的某一側趨向x0時函數f（x）的變化趨勢感興趣，對自變量x在x0的另一側的情況不感興趣，或在另一側函數f（x）根本沒有定義，這時就需引進單側極限的定義。定義2.9 設函數f（x）在x0的右側領域內有定義，A是一個常數，若當x從大于x0的方向無限趨近于x0時，f（x）無限趨近于A，則稱A是f（x）在x0處的右極限，記為或

24、 或f（x0+0）=A類似地可定義f（x）在x0處的左極限，記為或 或f（x0-0）函數f（x）的左極限和右極限統稱為單側極限。例6：求答疑編號10020317：針對該題提問解：由函數的圖像知，此時左極限無意義。由函數f（x）在x0處的左、右極限的定義以及函數f（x）在x0處極限的定義容易知道它們有以下關系：定理2.10 =A（或）的充分必要條件是（或）用該定理可以方便地對分段函數求極限或判斷極限不存在。例7：設試判斷極限是否存在。答疑編號10020318：針對該題提問解：由于該函數在點x=/2的左、右側的表達式不同，所以求極限可分左、右極限來求。由定理2.10 知例8：設試判斷極限是否存在。

25、答疑編號10020319：針對該題提問解：與上題同理，分左右極限來考查。不存在。四、函數極限的運算法則及存在準則與數列極限的運算法則及存在準則類似，函數的極限也有相應的四則運算法則和判斷極限存在的準則，下面只敘述這些運算法則和準則，對于其正確性的理解不作解釋，可以對照數列極限相應的法則和性質來加以理解。定理2.11 若, ，則（1）；（2）；（3）（此時B0）。當B=0且A0時，推論1若，則推論2若，k是任意正整數，則當， 時也有與定理2.11和推論類似的結論成立。有了定理2.11，由已知的幾個簡單的極限：， 等就可計算出更多函數的極限。例9：求下列函數的極限（1）； 答疑編號10020320

26、：針對該題提問（2）；答疑編號10020321：針對該題提問（3）； 答疑編號10020322：針對該題提問（4）；答疑編號10020323：針對該題提問（5）；答疑編號10020324：針對該題提問（6）；答疑編號10020325：針對該題提問（7）；答疑編號10020326：針對該題提問 （8），其中a0,b00，nm，m，n為正整數。答疑編號10020327：針對該題提問解（1） （2） 注意一般地，設有多項式，則有即又設有理分式函數 ，其中P（x）和Q（x）都是多項式，且Q（x0）0，則有即多項式和有理分式統稱為有理函數，由上述可知，對有理函數f（x），有。（3）注意在此題中若如下用極

27、限運算法則是錯誤的，因為分母的極限為零，不能用極限商的運算法則。（4） （5）答疑編號10020401：針對該題提問注意在此題中若如下用極限運算法則是錯誤的，因為上式右端的二項極限均不存在，不能用運算法則。（6）答疑編號10020402：針對該題提問（7）答疑編號10020403：針對該題提問（8）答疑編號10020404：針對該題提問 當m=n時，當n<m時，由本例9中的（8）可以得到下面公式與數列的極限存在準則相類似，也有相應的函數極限存在的準則。定理2.12（夾逼定理）若函數f（x），g（x），h（x）在x0的某去心的領域的內滿足不等式g（x）f（x） h（x），且，則極限存在，且

28、。當， 時，也有類似的結論成立。五、兩個重要極限重要極限一：在中學數學中，曾證明有下面不等式因為由夾逼定理得公式 利用這個重要極限，可以計算一些相關函數的極限例10求下列函數的極限：（1）答疑編號10020405：針對該題提問（2）答疑編號10020406：針對該題提問（3）答疑編號10020407：針對該題提問解：（1） （2）令u=ax （3）1-cos2A=2sin2A 由本例可得下面推廣公式例11，求下列極限（1）答疑編號10020408：針對該題提問（2）答疑編號10020409：針對該題提問解（1）（2）重要極限二 在數列的極限中，已知，這個結果可以推廣為（不證）公式例12求下列極

29、限。（1）答疑編號10020410：針對該題提問（2）答疑編號10020411：針對該題提問注：解中利用恒等變形amn=（an）m , am+n=am·an解：（1）（2）令 由本例（2）可得下面推廣公式例如根據上面的公式可直接得下面結果例13求下列極限（1）答疑編號10020412：針對該題提問 （2）答疑編號10020413：針對該題提問解：（1）令 得（2）由本例可得下面推廣公式：例如根據上面公式可直接得下面結果：例14求下列極限（1）答疑編號10020414：針對該題提問 （2）答疑編號10020415：針對該題提問（3）答疑編號10020416：針對該題提問 （4）答疑編號

30、10020417：針對該題提問解：（1） （2） （3）令 （4）注意：應與重要極限，則稱函數f（x）當時是無窮小量，簡稱為無窮小。類似地，若，則稱函數f（x）當時是無窮小量，若，則稱數列，當時是無窮小量。還可類似地定義當時的無窮小量。例1判斷下列變量在指定的過程中是否為無窮小量：（1）； 答疑編號10020418：針對該題提問 （2）；答疑編號10020419：針對該題提問（3）； 答疑編號10020420：針對該題提問 （4）答疑編號10020421：針對該題提問（5）； 答疑編號10020422：針對該題提問 （6）；答疑編號10020423：針對該題提問（7）答疑編號10020424：

31、針對該題提問解（1）因為，所以當時，是無窮小量。（2）因為 ，所以當時，不是無窮小量。（3）因為，所以當時，x2是無窮小量。（4）因為，所以當時， 是無窮小量。（5）因為，所以當時，是無窮小量。（6）因為，所以當時，不是無窮小量。（7）因為，所以當 時，0是無窮小量。從無窮小量的定義和上述例題可知在理解無窮小時應注意三點：第一，要注意自變量的變化過程，例如當是無窮小量，而當時則不是無窮小量；第二，要注意所考慮函數（數列）的極限值是零，例如10-100當時極限不是零，故10-100不是無窮小量，盡管它是很小很小的數；第三，0是唯一可以作為無窮小量的一個常數。根據極限的性質和運算法則，可以推出下列

32、有關無窮小量的性質。二、無窮小量的性質定理2.13有限多個無窮小量的代數和仍是無窮小量例如，當時，sinx，x，ln（1+x）都是無窮小量，故sinx+x+ln（1+x）也是無窮小量定理2.14有限多個無窮小量的積也是無窮小量例如，當時，x2sinx是無窮小量定理2.15常數與無窮小量的積是無窮小量例如，當時，2sinx是無窮小量定理2.16有界變量與無窮小量的積是無窮小量例如時，x是無窮小量，有界， 時，是無窮小， 的充分必要條件是：其中即（x）是當時的無窮小量證明:必要性已知，由極限加法運算法則知 ，記（x）=f（x）-A，故（x）是時的無窮小量，從而充分性已知，且，即故有當，時也有類似的

33、結論。由此可知，研究任何變量的極限問題也轉化為研究無窮小量問題。三、無窮小量的比較現在來討論無窮小量的商。當時，sinx，x，x2都是無窮小量，但是，它們經過商后，情況就不一樣了。由于，所以當時不再是無窮小量了；又由于，所以當時仍是無窮小量。因此，由這些例子可知無窮小量的商不一定還是無窮小量，它們甚至可以變到很大，例如，當時，的絕對值可以任意大，造成這種情形的原因是當時，x2（1）若，是常數），則稱（x）當時是與（x）同階的無窮小量，記為;（2）若，則稱（x）當時是與（x）等價的無窮小量，記為；（3）若，則稱（x）當時是與（x）高價的無空小量，記為；（4）若，是常數），則稱（x）當時是x的n階

34、無窮小。當，時，也有類似的定義。例2，時，討論下列無窮小量與無窮小x的關系。（1）x+x2答疑編號10020425：針對該題提問（2）2x+x2答疑編號10020426：針對該題提問（3）sinx 答疑編號10020427：針對該題提問 （4）tanx答疑編號10020428：針對該題提問（5）arcsinx 答疑編號10020429：針對該題提問（6）arctanx 答疑編號10020430：針對該題提問（7）答疑編號10020431：針對該題提問 （8）答疑編號10020432：針對該題提問（9）1-cosx答疑編號10020433：針對該題提問解（1）時，（x+x2）x（2）時，（2x+

35、x2）=0（x）（3）時，sinxx（4）時，tanxx（5）令arcsinx=u則有x=sinu時，arcsinxx（6）令arctanx=u，則有x=tanu時，arctanxx（7）時，注意：恒等變形 （8）答疑編號10020501：針對該題提問（9）答疑編號10020502：針對該題提問一般地有下面重要結果，請同學們熟記。u0時，sinuu, tanuu, arcsinuu, arctanuu, ln（1+u）u, eu-1u,等價無窮小在極限運算中有重要的應用。定理：2.18若當xx0時，（x）（x），且（x），（x）0，則此定理說明，在乘除運算的極限中，用非零等價無窮小替換不改變其

36、極限值。例3.用等價替換定理2.18計算下列極限。（1）（2）答疑編號10020503：針對該題提問解：四、無窮大量定義2.12若當xx0時，f（x）無限增大，則稱f（x）是當xx0的無窮大量，記為 類似地，若當xx0時，-f（x）無限增大（可大于任何正數），則稱f（x）是當xx0時的負無窮大量，記為類似地，可定義注意這里的極限記號答疑編號10020504：針對該題提問解：由圖2.6可知，當x0時，的值是無限增大的，故有，同時還可看到圖2.6由于當f（x）無限增大時，無限趨于零，所以，無窮大量與無窮小量有下述關系：定理2.19若此定理說明：在自變量的同一變化過程中，無窮大量的倒數是無窮小量；無

37、窮小量（不等于零）的倒數是無窮大量。例5.判斷下列函數在指定的過程中是無窮小量還是無窮大量？說明理由。答疑編號10020505：針對該題提問解（1）由于所以是無窮小量。（2）由于是無窮小量。（3） （4）由于是無窮大量。答疑編號10020506：針對該題提問證：2.5節(jié)函數的連續(xù)性一、函數連續(xù)性的概念在前面討論函數的極限時，我們曾不止一次地遇到過極限等式。例如，當f（x）是多項式和有理分式函數時，就可以按照此等式來示函數的極限，例如，又例如，當時，也可以按照這個等式來求極限。但是，這個等式也不是總能成立，考查下面給出的四個函數。上述四個函數所對應的圖形分別如圖2.7至圖2.10所示。圖2.7圖

38、2.8 圖2.9圖2.10從圖像中容易看出，對于圖2.7中的函數f（x），在x=2處的左、右極限不相等，故極限不存在，顯然，此時y=f（x）的圖像在x=2處斷開，形成一個“跳躍”；對于圖2.8中的函數g（x），雖然在x=1處左、右極限都存在，而且相等，但是g（1）無定義，所以也有，此時函數y=g（x）的圖像在x=1處形成一個“洞”，對于圖2.9中的函數h（x），在x=1處，存在，h（1）也有定義，但是它們不相等，故，此時函數y=h（x）的圖像在x=1處仍形成一個“洞”；對于圖2.10中的函數q（x），顯然，這是極限不存在的一種情形，而且q（1）也無定義，當然也有，此時函數y=q（x）的圖象在X

39、=1處以X=1為漸進線，趨于無窮大，也是斷開的。這些例子似乎在告訴我們：若等式不滿足，函數y=f（x）的圖像就要在x=x0處斷開，因此，如果要使函數y=f（x）的圖像在x=x0處不斷開，則函數y=f（x）在x=x0處應滿足，于是，就有了下述函數連續(xù)性的定義。定義2.13設函數y=f（x）在x0點的某領域內有定義，若，則稱函數f（x）在點x0處連續(xù)，點x0稱為函數f（x）的連續(xù)點。否則，就是函數的間斷點。根據這個定義，函數f（x）在點x0處連續(xù)必須同時滿足在三個條件：存在，f（x0）有定義，f（x0）與相等。例1討論下列函數在給定點的連續(xù)性。答疑編號10020507：針對該題提問解：（1）由于（

40、2）（3）所以x=1是f（x）的間斷點。（4）關于初等函數的連續(xù)性，我們不加證明的將下面的定理介紹給大家。定理：一切初等函數在其定義區(qū)間上處處連續(xù)。根據上面的定理，初等函數在它的無意義點上間斷，在它有意義的區(qū)間處處連續(xù)。例如只是x=1,x=2兩點無意義。所以只在x=1,x=2兩點間斷，其余部分各處都有意義，都連續(xù)。二、函數的間斷點及其分類如果函數f（x）在點x0處不連續(xù)，則稱f（x）在點x0處間斷，稱為函數f（x）的間斷點。由函數在點x0處連續(xù)的定義可知，在下列三種情況中至少一種情況下函數f（x）在x0處間斷：（1）f（x）無定義。（2）不存在。（3）f（x0）存在，存在，但它們不相等。按照這

41、個判斷順序，可以判斷一個函數在某點x0處是否間斷。我們根據函數f（x）在一點X0處間斷方式的不同對間斷點進行分類。跳躍間斷點：若，都存在，但不相等，則稱x0是f（x）跳躍間斷點。例如，圖2.7中的間斷點就可稱為跳躍間斷點?？扇ラg斷點：若存在，但與f（x0）不相等或f（x0）無定義，則稱x0是f（x）的可去間斷點。例如，圖2.8、2.9中的間斷點可稱為可去間斷點，此時，可以改變或補充函數g（x），h（x）在x0處的定義：令，就可以形成一個連續(xù)函數，這也正是這種間斷點稱為可去間斷點的原因。這也正是這種間斷點稱為可去間斷點的原因。無窮間斷點：若，則稱x0是f（x）的無窮間斷點。例如：圖2.10中的間

42、斷點可稱為無窮間斷點。例2.求下列函數的間斷點，并證明它的類型。答疑編號10020508：針對該題提問解：（1）因為（2）因為但f（0）無意義。所以，x=0是可去間斷點。（3）因為（4）閉區(qū)間上處處連續(xù)的函數的性質。在閉區(qū)間上連續(xù)的函數有一些良好性質，用定理的形式介紹如下定理2-19在閉區(qū)間上連續(xù)的函數必有最大值和最小值定理220（零值定理）若函數f（x）滿足條件（1）在閉區(qū)間a,b上連續(xù)（2）f（a）與f（b）異，則f（x）在（a，b）內至少存在一點x=c（a<c<b）,使得f（c）=0，即方程f（x）=0在（a,b）內至少有一根x=C（a<c<b），本定理的正確性見

43、右圖示：例：證明方程x3+x-1=0在（0，1）內至少有一根。答疑編號10020509：針對該題提問證：令f（x）= x3+x-1,因為f（x）是多項式函數，所以f（x）至少在0,1上連續(xù)，而且f（0）=-1<0，f（1）=1>0異號所以在（0，1）內至少存在一點0<c<1，使f（c）=0即方程f（x）=0在（0，1）內有根x=c,所以方程x3+x-10在（0，1）內有根x=c，0<c<1。定理219（最值定理）若函數f（x）在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，則函數f（x）在閉區(qū)間a,b上必取得最大值M和最小值m.由上圖可見本定量的正確性，最大和最小值可能在邊界上，也可

44、能在a,b內部。值得注意的是，該定理所要求的兩個條件：（1）區(qū)間是閉的；（2）函數是連續(xù)的，是缺一不可的，例如下圖中所示的函數。在區(qū)間0,2上處處有定義，但在x=1處間斷，容易看出，f（x）在0,2上既不能取到最大值，也不能取到最小值，實際上，f（x）在閉區(qū)間0,2上沒有最大值、最小值。再例如，函數f（x）=x2在（0，1）上連續(xù)，但它不能在（0，1）內取得最大值、最小值。由定理2.19容易得到下面推論推論（有界性定理）若函數f（x）在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，則f（x）必在a,b上有界。本章內容小結一、數列的極限。1.定義：當n時，數列an的第n項an與一個常數a無限接近，就該數列an的極限是常數

45、a，記作：并且說數列收斂。若n時，an沒有常數極限，常見情形是或不存在。就該數列an發(fā)散。2.重要結果3.重要定理（夾逼準則）若（1）cn an bn（2） 二、級數1.定義數列ana1,a2,和叫級數。定義二（1）若（2）若2.重要結果（1）（2）當p>1時收斂，p1時發(fā)散。3.重要性質。（1）若若典型題一答疑編號10020601：針對該題提問典型題二答疑編號10020602：針對該題提問典型題三發(fā)散。答疑編號10020603：針對該題提問4.正項級數的比較判別法若0anbn,則有（1）若典型題（1）用比較法判斷答疑編號10020604：針對該題提問解：（2）用比較法判別的斂散性。解：三、函數的極限1.x時，定義一當x+時，若f（x）與數A無限接近，就說f（x）的極限是數A，記作定義二若x時，f（x）與數A無限接近，就說f（x）的極限是數A，記作定義三若x時，f（x）與數A無限接近，就說f（x）的極限是數A，記作定理重要結果（1）典型例題一答疑編號10020605：針對該題提問典型例題二若答疑編號10020606：針對該題提問解：2.xx0時定義四當xx0時，f（x）與數A無限接近，就說f（x）的左極限是數A，記作定義五當xx0+時，f（x）與數A無限接近，就說f（x）的右極限是數A，記作定義六當xx0時，f（x）與數A無限接近，就說f（x）的極限是數