第二章極限與連續(xù)

1、極限理論是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，高等數(shù)學(xué)中包含導(dǎo)數(shù)，積分等概念都是用極限描述的。本章包含數(shù)列的極限、級(jí)數(shù)、函數(shù)的極限，函數(shù)的連續(xù)性的概念、無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的概念。本章約占考試內(nèi)容10%。§2.1數(shù)列及其極限一、數(shù)列的概念定義2.1一列有順序的數(shù)a1,a2,an,叫數(shù)列。其中an叫第n項(xiàng)，也叫通項(xiàng)。數(shù)列可以簡(jiǎn)單記作an，即an=a1,a2,an,【例1】數(shù)列1,2,3,n,的通項(xiàng)an=n。答疑編號(hào)10020101：針對(duì)該題提問(wèn)記作1,2,3,n,=n。【例2】數(shù)列1, , ,的通項(xiàng)an=。答疑編號(hào)10020102：針對(duì)該題提問(wèn)記作1, , , =。【例3】數(shù)列, ,的通項(xiàng)an=。答疑編號(hào)1

2、0020103：針對(duì)該題提問(wèn)記作, ,=。【例4】數(shù)列1,-1,1,-1,（-1）n+1,的通項(xiàng)an=（-1）n+1。答疑編號(hào)10020104：針對(duì)該題提問(wèn)記作1,-1,1,-1,（-1）n+1,=（-1）n+1。二、數(shù)列的極限定義2.2如果當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)（記作n），數(shù)列an= a1,a2,an,的通項(xiàng)an與一個(gè)常數(shù)a無(wú)限接近，就說(shuō)數(shù)列an的極限是a，記作這時(shí)，也說(shuō)數(shù)列an是收斂的且收斂于常數(shù)a。否則，就說(shuō)數(shù)列an是發(fā)散的。【例5】討論數(shù)列=1, , ,的斂散性。答疑編號(hào)10020105：針對(duì)該題提問(wèn)解：因?yàn)橥?xiàng)an=所以所以數(shù)列收斂且收斂于0。【例6】討論數(shù)列的斂散性。答疑編號(hào)1002010

3、6：針對(duì)該題提問(wèn)解：因?yàn)橥?xiàng)an=（）n通過(guò)下表可以看出當(dāng)n時(shí)，an=（）n與數(shù)0無(wú)限接近。所以有所以數(shù)列（）n收斂且收斂于0。一般地，若a<1，則an越變?cè)叫?，無(wú)限接近于零。即有重要結(jié)果【例7】討論數(shù)列2n=2,4,8,16, 2n,的斂散性答疑編號(hào)10020107：針對(duì)該題提問(wèn)解：通過(guò)下表可以看出當(dāng)n時(shí)，an=2n也無(wú)限變大，可以記作因?yàn)榉?hào)不是常數(shù)，所以數(shù)列2n發(fā)散。一般地有下面結(jié)果：【例8】說(shuō)明數(shù)列是收斂的，并求其極限。答疑編號(hào)10020108：針對(duì)該題提問(wèn)解：，雖然隨著n的增大，an的值有時(shí)比1大，但是當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，“擺的量”的絕對(duì)值是趨向0的，所以，an離1距離越來(lái)越近，且

4、無(wú)限接近，由極限的定義知數(shù)列收斂且收斂于1。三、收斂數(shù)列的性質(zhì)下面介紹收斂數(shù)列有下面性質(zhì)：性質(zhì)1（極限的唯一性）若且則必有 a=b性質(zhì)1證明收斂數(shù)列的極限唯一性質(zhì)2（收斂數(shù)列的保號(hào)性）若，則有（1）若an>0，則a0；若an<0則a0。（2）若a>0，則an>0；若a<0則an<0。四、數(shù)列極限的運(yùn)算法則及存在準(zhǔn)則為了使我們能夠從已知的簡(jiǎn)單數(shù)列的極限推求出更多、更復(fù)雜數(shù)列的極限，下述的極限四則運(yùn)算法則是必須掌握的。（不證）若,則（1）；（2）；（3）（此時(shí)b0）。此定理說(shuō)明，由數(shù)列an，bn的收斂就可推知更多數(shù)列收斂，且可以求出相應(yīng)的極限值。推論1推論2若則

5、有有了極限的四則運(yùn)算法則及其推論，再由我們前面已經(jīng)知道的結(jié)果：（|a|<1）就可求出更多、更復(fù)雜數(shù)列的極限。【例9】求下列數(shù)列的極限：（1）答疑編號(hào)10020109：針對(duì)該題提問(wèn)（2）答疑編號(hào)10020110：針對(duì)該題提問(wèn)（3）答疑編號(hào)10020111：針對(duì)該題提問(wèn)（4）答疑編號(hào)10020112：針對(duì)該題提問(wèn)（5）答疑編號(hào)10020113：針對(duì)該題提問(wèn)（6）答疑編號(hào)10020114：針對(duì)該題提問(wèn)（7），其中a0，b00，kl，l，k為正整數(shù)。答疑編號(hào)10020115：針對(duì)該題提問(wèn)解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）當(dāng)k=l時(shí)， 當(dāng)k<l時(shí)， 所以關(guān)于數(shù)列極限存在性的判別，

6、有下面兩個(gè)準(zhǔn)則。定理2.2（夾逼定理）若數(shù)列an，bn，cn滿足不等式anbncn且，則數(shù)列bn收斂，且【例10】求極限答疑編號(hào)10020116：針對(duì)該題提問(wèn)解：由于1+2n+3n>3n且1+2n+3n<3n+3n+3n=3·3n，即，且，故由定理2.2知單調(diào)有界數(shù)列必有極限。下面從數(shù)列的幾何意義來(lái)看本定理的正確性。若數(shù)列an單調(diào)增加且有界，即a1a2a3an，且a1anM那么，數(shù)列an在數(shù)軸上表示的是一串不斷向右排列的點(diǎn)，且不能超過(guò)數(shù)M，這樣，它的項(xiàng)必會(huì)無(wú)限趨近于某常數(shù)a，這個(gè)數(shù)a就是它的極限，如圖2.1所示。從圖2.1上還可看出，對(duì)于單調(diào)增加而有界的數(shù)列，其極限值a必

7、是它的一個(gè)上界，類似地，可看出單調(diào)減少而有界的數(shù)列也有極限，且其極限值a必是數(shù)列的一個(gè)下界?！纠?1】設(shè)，說(shuō)明數(shù)列an收斂。答疑編號(hào)10020117：針對(duì)該題提問(wèn)解：從下表可以看出當(dāng)n時(shí)，an是單調(diào)增加的，且an<3即an有界，所以存在可以證明其中e是無(wú)理數(shù)，e2.71828【例12】求下列極限（1）答疑編號(hào)10020118：針對(duì)該題提問(wèn)解：由性質(zhì)amn=（an）m得（2）答疑編號(hào)10020119：針對(duì)該題提問(wèn)解：（3）答疑編號(hào)10020120：針對(duì)該題提問(wèn)（4）答疑編號(hào)10020121：針對(duì)該題提問(wèn)解：令m=-n得（5）答疑編號(hào)10020122：針對(duì)該題提問(wèn)§2.2數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一

8、、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念1.數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的定義定義2.3設(shè)an=a1,a2,a3,an,是數(shù)列，則它們的和a1+a2+a3+an+，叫數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。簡(jiǎn)稱級(jí)數(shù)，記作：其中an仍是通項(xiàng)。符號(hào)Sn=a1+a2+a3+an+叫級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)和。注意級(jí)數(shù)是無(wú)限多項(xiàng)的和，而前n項(xiàng)和Sn只是有限項(xiàng)的和。定義2.4若（常數(shù)），就說(shuō)這個(gè)極限值S是級(jí)數(shù)的和，記作并且說(shuō)級(jí)數(shù)收斂否則就說(shuō)級(jí)數(shù)發(fā)散?！纠?】試判定級(jí)數(shù)的斂散性答疑編號(hào)10020201：針對(duì)該題提問(wèn)解：S1=1,S2=1+（-1）=0,S3=1+（-1）+1=1,S4=1+（-1）+1+（-1）=0,由上述知該級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)和數(shù)列Sn=S1,S2,S3,Sn,的項(xiàng)為：1,0,

9、1,0, ,這個(gè)數(shù)列的極限是不存在的，因?yàn)樗悔吔谌魏我粋€(gè)定值，總是在0和1上來(lái)回跳動(dòng)，即不存在，所以級(jí)數(shù)發(fā)散?！纠?】判定級(jí)數(shù)的斂散性，其中r是實(shí)數(shù)。答疑編號(hào)10020202：針對(duì)該題提問(wèn)解：此級(jí)數(shù)稱為等比級(jí)數(shù)（也稱幾何級(jí)數(shù)），由于它的項(xiàng)是等比數(shù)列。當(dāng)r1時(shí)，。當(dāng)|r|<1時(shí)，所以當(dāng)時(shí)|r|<1，由級(jí)數(shù)收斂的定義知，當(dāng)|r|<1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，其和為，即有（|r|<1）當(dāng)|r|>1時(shí)，所以當(dāng)|r|>1時(shí)，由級(jí)數(shù)收斂的定義知此時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散。當(dāng)r=1時(shí)，級(jí)數(shù)為1+1+1+1+，此時(shí)的前n項(xiàng)和Sn=n，顯然，所以此時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散。當(dāng)r=-1時(shí)，級(jí)數(shù)為1+（-1）+1+

10、（-1）+（-1）n-1+，與【例1】相同，故知它是發(fā)散的。綜上所述，等比級(jí)數(shù)的斂散性如下：當(dāng)時(shí)|r|<1，級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)|r|1時(shí)，發(fā)散。即公式【例3】判定級(jí)數(shù)的斂散性。答疑編號(hào)10020203：針對(duì)該題提問(wèn)解：由于此級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)和所以，故該級(jí)數(shù)收斂，且=1?！纠?】判定級(jí)數(shù)的斂散性。答疑編號(hào)10020204：針對(duì)該題提問(wèn)解：由于此級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)和Sn=a1+a2+a3+an由函數(shù)y=ln（x+1）的圖像知極限，所以極限不存在，故級(jí)數(shù)發(fā)散。由上面例題的解法可知，按照級(jí)數(shù)收斂的定義來(lái)判斷一個(gè)級(jí)數(shù)的斂散性的關(guān)鍵是求出該級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)和的表達(dá)式，也即是n項(xiàng)求和問(wèn)題，這一般來(lái)講是較困難的事，有時(shí)需要

11、特殊的技巧，例3的解法就用到了“折項(xiàng)相消”的技巧，為了能和求極限時(shí)所做的那樣，利用已知的簡(jiǎn)單級(jí)數(shù)的斂散性，去判斷更多、更復(fù)雜的斂散性，我們需要研究與級(jí)數(shù)斂散性有關(guān)的基本性質(zhì)。二、級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)和級(jí)數(shù)收斂的必要條件 設(shè)c為非零常數(shù)，則級(jí)數(shù)與同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散，且在收斂時(shí)有=c證明設(shè)的前n項(xiàng)和為Sn，的前n項(xiàng)和為n，則n=cu1+cu2+cun=c（u1+u2+un）=csn由數(shù)列極限的性質(zhì)知，若存在，則存在；若不存在，則不存在，所以，級(jí)數(shù)與同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散。若收斂，設(shè)=，則【例5】判定級(jí)數(shù)（a0）的斂散性。答疑編號(hào)10020205：針對(duì)該題提問(wèn)與有相同斂散性。又由例2知的斂散性：公式去掉級(jí)數(shù)的

12、前面有限項(xiàng)的值，不會(huì)改變級(jí)數(shù)的斂散性。證明設(shè)去掉級(jí)數(shù)的前k項(xiàng)的值得到級(jí)數(shù)Snuk+1+uk+2+un+ =（u1+u2+uk+uk+1+un+）-（u1+ u2+ uk）其中u1+u2+uk是有限項(xiàng)之和為常數(shù)若收斂則uk+1+uk+2+un+=s-（u1+uk）仍收斂。若不存在，發(fā)散則uk+1+uk+2+un+也不存在，發(fā)散。若級(jí)數(shù)與都收斂，則級(jí)數(shù)收斂，且證明設(shè)級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)和為sn，級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)和為n，級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)和為Tn，則所以有，故級(jí)數(shù)收斂，且推論若級(jí)數(shù)收斂，但級(jí)數(shù)發(fā)散，則級(jí)數(shù)發(fā)散。證：用反證法，設(shè)收斂。收斂也收斂，與已知條件收斂矛盾，所以發(fā)散?！纠?】判定級(jí)數(shù)的斂散性，若收斂求此級(jí)數(shù)的和

13、。答疑編號(hào)10020206：針對(duì)該題提問(wèn)解：由公式|r|<1時(shí)得（1）收斂 收斂且【例7】討論的斂散性答疑編號(hào)10020207：針對(duì)該題提問(wèn)解：是公比r=<1的等比級(jí)數(shù)收斂，是公比r=2>1的等比級(jí)數(shù)發(fā)散發(fā)散。（級(jí)數(shù)收斂的必要條件）若級(jí)數(shù)收斂，則證明設(shè)的前n項(xiàng)和為Sn，且，則。注意到，故有本定理說(shuō)明若則級(jí)數(shù)發(fā)散【例8】試判定級(jí)數(shù)的斂散性。答疑編號(hào)10020208：針對(duì)該題提問(wèn)解：由于，所以，級(jí)數(shù)收斂的必要條件不滿足，該級(jí)數(shù)發(fā)散。注意只是級(jí)數(shù)收斂的必要條件，不是充分條件。三、正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性判別若數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中的每一項(xiàng)都是非負(fù)的，即un0（n=1,2,），則稱該級(jí)數(shù)是正項(xiàng)級(jí)數(shù)。對(duì)于

14、正項(xiàng)級(jí)數(shù)，它的部分和Sn具有如下特征S1S2Sn-1Sn即數(shù)列sn=S1,S2,S3,Sn,是單調(diào)增加的，這個(gè)特性使得正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性的判定比一般的級(jí)數(shù)較為容易，這是因?yàn)椋河捎诖藭r(shí)sn是單調(diào)增加的，只要再知道sn有上界，即存在常數(shù)M，使得sn<M，則由極限存在準(zhǔn)則“單調(diào)有界數(shù)列必有極限”可知存在，于是就可判定級(jí)數(shù)收斂；另一方面，若收斂，則它的部分和sn的極限存在，由“收斂數(shù)列必有界”可知sn有界。于是，我們有如下定理：正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件是它的部分和數(shù)列sn有上界。由這個(gè)定理可以推出以下正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別法。（比較判別法）設(shè)，是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且unvn（n=1,2,）。（1）若收

15、斂，則收斂；（2）若發(fā)散，則發(fā)散。證明設(shè)的部分和為sn，的部分和為n，則顯然有snn ,n=1,2（1）若收斂，則由定理2.11知n有上界，從而sn有上界，再由單調(diào)有界數(shù)列有極限定理知收斂。（2）若發(fā)散，則一定不收斂，因?yàn)槿绻諗?，由?）知就收斂，矛盾。故發(fā)散。有了這個(gè)定理，在判斷一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性時(shí)，可以利用另一個(gè)收斂性為已知的正項(xiàng)級(jí)數(shù)來(lái)比較。下面我們不加證明地介紹下面重要的級(jí)數(shù)叫p級(jí)數(shù)的斂散性質(zhì)?！纠?】說(shuō)明下列p級(jí)數(shù)的斂散性（1）答疑編號(hào)10020209：針對(duì)該題提問(wèn)解：因?yàn)閜=2>1，所以收斂（2）答疑編號(hào)10020210：針對(duì)該題提問(wèn)解：=是p級(jí)數(shù)。p=>1，p級(jí)數(shù)收

16、斂（3）答疑編號(hào)10020211：針對(duì)該題提問(wèn)解：=是p級(jí)數(shù)因?yàn)閜=>1發(fā)散。（4）答疑編號(hào)10020212：針對(duì)該題提問(wèn)解：是p=1的p級(jí)數(shù)因?yàn)閜=1，所以發(fā)散?！纠?0】用比較判別法判別下列正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性（1）答疑編號(hào)10020213：針對(duì)該題提問(wèn)解：因?yàn)槭莗=2的p級(jí)數(shù)收斂所以也收斂。（2）答疑編號(hào)10020214：針對(duì)該題提問(wèn)解：因?yàn)槭莗=1的p級(jí)數(shù)發(fā)散所以也發(fā)散由比較法知發(fā)散。（3）答疑編號(hào)10020215：針對(duì)該題提問(wèn)解：n!=1,2,3,n>2·2·22=2n因?yàn)槭枪萺<<1的等比級(jí)數(shù)收斂所以收斂【例11】用級(jí)數(shù)斂散性的性質(zhì)證明下列

17、級(jí)數(shù)的斂散性（1）答疑編號(hào)10020216：針對(duì)該題提問(wèn)解：是p=2>1的p級(jí)數(shù)收斂在中，un=n，n時(shí)，un=n不與0無(wú)限接近，發(fā)散。發(fā)散（2）答疑編號(hào)10020217：針對(duì)該題提問(wèn)解：是公比r=<1的等比較數(shù)收斂是p=1的p級(jí)數(shù)發(fā)散發(fā)散。§2.3函數(shù)的極限前面我們討論的數(shù)列的極限實(shí)際是一種特殊的函數(shù)極限，因?yàn)榘凑蘸瘮?shù)的定義an是正整數(shù)自變量n的函數(shù)：an=f（n）。這樣，對(duì)函數(shù)y=f（x）來(lái)說(shuō)，若知道了當(dāng)n時(shí)，f（n）的極限，也就是知道了函數(shù)f（x）當(dāng)x“跳躍地”取正整數(shù)n時(shí)的變化趨勢(shì)，顯然，n只是取到x的一部分值，所以函數(shù)值f（n）的變化趨勢(shì)一般不能完全刻畫(huà)f（x）

18、當(dāng)x連續(xù)取實(shí)數(shù)趨于無(wú)窮時(shí)的變化趨勢(shì)，這就需要引進(jìn)當(dāng)時(shí)函數(shù)的極限的概念。一、自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)f（x）的極限對(duì)照數(shù)列極限的極限的定義，我們?nèi)缦露x函數(shù)的極限。定義2.5 設(shè)f（x）在形如a,+的區(qū)間有定義，A是一個(gè)常數(shù)，若當(dāng)x無(wú)限趨于正無(wú)窮大（+）時(shí)，f（x）無(wú)限趨近于A，則稱A是f（x）當(dāng)時(shí)的極限，記為或 例1：由函數(shù)的圖像求下列函數(shù)的極限：（1） ； 答疑編號(hào)10020301：針對(duì)該題提問(wèn)（2）y=arctanx；答疑編號(hào)10020302：針對(duì)該題提問(wèn)（3）y=e-x; 答疑編號(hào)10020303：針對(duì)該題提問(wèn)（4）y=sinx答疑編號(hào)10020304：針對(duì)該題提問(wèn)解：（1）函數(shù)的圖像如圖

19、2.2所示，由于當(dāng) 時(shí)，無(wú)限趨近于0，所以有。圖2.2圖2.3（2）函數(shù)y=arcanx的圖像如圖2.3所示，由于當(dāng) 時(shí)，y=arcanx無(wú)限趨近于，所以。（3）函數(shù)y=ex的圖像如圖2.4所示，由于當(dāng)時(shí)，y=ex無(wú)限趨近于0，所以 。圖2.4圖2.5（4）函數(shù)y=sinx的圖像如圖2.5所示，由于當(dāng)時(shí)，函數(shù)y=sinx不趨于任何固定的常數(shù)，它的值始終在-1，1上擺動(dòng)，故當(dāng)時(shí)，y=sinx的極限不存在，即 不存在。完全數(shù)似在考慮當(dāng)時(shí)f（x）的變化趨勢(shì)，可有如下定義：定義2.6 設(shè)f（x）在形如（，b）的區(qū)間內(nèi)有定義，A是一個(gè)常數(shù)，若當(dāng)x無(wú)限趨于負(fù)無(wú)窮大（）時(shí)，f（x）無(wú)限趨近于A，則稱A是f（

20、x）當(dāng)?shù)臉O限，記為或 例2 由函數(shù)的圖像求函數(shù)的極限（1） ；答疑編號(hào)10020305：針對(duì)該題提問(wèn)（2）y=arctanx；答疑編號(hào)10020306：針對(duì)該題提問(wèn)（3）y=e-x答疑編號(hào)10020307：針對(duì)該題提問(wèn)（4）y=sinx答疑編號(hào)10020308：針對(duì)該題提問(wèn) （3）由圖2.4看出，當(dāng)時(shí)，y=ex不趨于任何有限的常數(shù)，實(shí)際上，y=ex的值是趨于無(wú)窮大的，所以極限（4）由圖2.5看出，當(dāng)時(shí)，y=sinx不趨于任何固定的常數(shù)，它的值始終在-1，1上擺動(dòng)，所以極限不存在。有時(shí)候，我們需要同時(shí)考慮和時(shí)，函數(shù)f（x）的變化趨勢(shì)，于是有如下定義：定義2.7 設(shè)函數(shù)f（x）在數(shù)集（，b）a，+

21、上有定義，A是一常數(shù)，若同時(shí)有成立，則稱A是f（x）當(dāng)?shù)臉O限，記為或 由上述定義可知記號(hào)“”意即“”，后的充分必要條件是定義：如果（或 、）時(shí)，f（x）的絕對(duì)值無(wú)限變大，就是（或、）時(shí)，函數(shù)f（x）無(wú)限變大，記作：或或 或 例3，求下列極限（1）答疑編號(hào)10020309：針對(duì)該題提問(wèn)（2）答疑編號(hào)10020310：針對(duì)該題提問(wèn)（3）答疑編號(hào)10020311：針對(duì)該題提問(wèn)解：由下有可以看出：（1）（2）（3）不存在一般地有下面結(jié)果：若a>1，則有：（1） （2）二、自變量x趨于有限值x0時(shí)函數(shù)f（x）的極限。定義2.8 設(shè)函數(shù)f（x）在x0的某去心領(lǐng)域內(nèi)有定義，A是一個(gè)常數(shù)，若當(dāng)x無(wú)限趨近

22、于x0時(shí)，f（x）無(wú)限趨近于A，則稱A是f（x）當(dāng)時(shí)的極限，記為：或 例4：用觀察的方法求下列極限：（1）答疑編號(hào)10020312：針對(duì)該題提問(wèn)解：當(dāng)時(shí)，可以看出（x+3）與數(shù)5無(wú)限接近，所以有（2）答疑編號(hào)10020313：針對(duì)該題提問(wèn)解：時(shí)，可以看出與數(shù)2無(wú)限接近，所以有（3）答疑編號(hào)10020314：針對(duì)該題提問(wèn)解：時(shí)，可以看出2x與20=1無(wú)限接近，所以有（4）答疑編號(hào)10020315：針對(duì)該題提問(wèn)解：時(shí)，可以看出sinx與數(shù)無(wú)限接近，所以有對(duì)于極限=A的以下幾點(diǎn)需要特別注意：（1） 表示x無(wú)限趨近于x0,但不達(dá)到x0,所以，極限的存在與否，值為多少都與f（x）在x0處有無(wú)定義以及有定

23、義時(shí)的函數(shù)值f（x0）無(wú)關(guān)。（2） 的方式是任意的。例5：設(shè) 答疑編號(hào)10020316：針對(duì)該題提問(wèn)解：由于極限中x趨于1但不等于1，所以中的函數(shù)表達(dá)式f（x）應(yīng)取x1時(shí)的表達(dá)式，故有由上述過(guò)程可知，求時(shí)與f（1）的值無(wú)關(guān)。如果在考慮函數(shù)f（x）的變化趨勢(shì)時(shí)，只對(duì)當(dāng)自變量x從x0的某一側(cè)趨向x0時(shí)函數(shù)f（x）的變化趨勢(shì)感興趣，對(duì)自變量x在x0的另一側(cè)的情況不感興趣，或在另一側(cè)函數(shù)f（x）根本沒(méi)有定義，這時(shí)就需引進(jìn)單側(cè)極限的定義。定義2.9 設(shè)函數(shù)f（x）在x0的右側(cè)領(lǐng)域內(nèi)有定義，A是一個(gè)常數(shù)，若當(dāng)x從大于x0的方向無(wú)限趨近于x0時(shí)，f（x）無(wú)限趨近于A，則稱A是f（x）在x0處的右極限，記為或

24、 或f（x0+0）=A類似地可定義f（x）在x0處的左極限，記為或 或f（x0-0）函數(shù)f（x）的左極限和右極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限。例6：求答疑編號(hào)10020317：針對(duì)該題提問(wèn)解：由函數(shù)的圖像知，此時(shí)左極限無(wú)意義。由函數(shù)f（x）在x0處的左、右極限的定義以及函數(shù)f（x）在x0處極限的定義容易知道它們有以下關(guān)系：定理2.10 =A（或）的充分必要條件是（或）用該定理可以方便地對(duì)分段函數(shù)求極限或判斷極限不存在。例7：設(shè)試判斷極限是否存在。答疑編號(hào)10020318：針對(duì)該題提問(wèn)解：由于該函數(shù)在點(diǎn)x=/2的左、右側(cè)的表達(dá)式不同，所以求極限可分左、右極限來(lái)求。由定理2.10 知例8：設(shè)試判斷極限是否存在。

25、答疑編號(hào)10020319：針對(duì)該題提問(wèn)解：與上題同理，分左右極限來(lái)考查。不存在。四、函數(shù)極限的運(yùn)算法則及存在準(zhǔn)則與數(shù)列極限的運(yùn)算法則及存在準(zhǔn)則類似，函數(shù)的極限也有相應(yīng)的四則運(yùn)算法則和判斷極限存在的準(zhǔn)則，下面只敘述這些運(yùn)算法則和準(zhǔn)則，對(duì)于其正確性的理解不作解釋，可以對(duì)照數(shù)列極限相應(yīng)的法則和性質(zhì)來(lái)加以理解。定理2.11 若, ，則（1）；（2）；（3）（此時(shí)B0）。當(dāng)B=0且A0時(shí)，推論1若，則推論2若，k是任意正整數(shù)，則當(dāng)， 時(shí)也有與定理2.11和推論類似的結(jié)論成立。有了定理2.11，由已知的幾個(gè)簡(jiǎn)單的極限：， 等就可計(jì)算出更多函數(shù)的極限。例9：求下列函數(shù)的極限（1）； 答疑編號(hào)10020320

26、：針對(duì)該題提問(wèn)（2）；答疑編號(hào)10020321：針對(duì)該題提問(wèn)（3）； 答疑編號(hào)10020322：針對(duì)該題提問(wèn)（4）；答疑編號(hào)10020323：針對(duì)該題提問(wèn)（5）；答疑編號(hào)10020324：針對(duì)該題提問(wèn)（6）；答疑編號(hào)10020325：針對(duì)該題提問(wèn)（7）；答疑編號(hào)10020326：針對(duì)該題提問(wèn) （8），其中a0,b00，nm，m，n為正整數(shù)。答疑編號(hào)10020327：針對(duì)該題提問(wèn)解（1） （2） 注意一般地，設(shè)有多項(xiàng)式，則有即又設(shè)有理分式函數(shù) ，其中P（x）和Q（x）都是多項(xiàng)式，且Q（x0）0，則有即多項(xiàng)式和有理分式統(tǒng)稱為有理函數(shù)，由上述可知，對(duì)有理函數(shù)f（x），有。（3）注意在此題中若如下用極

27、限運(yùn)算法則是錯(cuò)誤的，因?yàn)榉帜傅臉O限為零，不能用極限商的運(yùn)算法則。（4） （5）答疑編號(hào)10020401：針對(duì)該題提問(wèn)注意在此題中若如下用極限運(yùn)算法則是錯(cuò)誤的，因?yàn)樯鲜接叶说亩?xiàng)極限均不存在，不能用運(yùn)算法則。（6）答疑編號(hào)10020402：針對(duì)該題提問(wèn)（7）答疑編號(hào)10020403：針對(duì)該題提問(wèn)（8）答疑編號(hào)10020404：針對(duì)該題提問(wèn) 當(dāng)m=n時(shí)，當(dāng)n<m時(shí)，由本例9中的（8）可以得到下面公式與數(shù)列的極限存在準(zhǔn)則相類似，也有相應(yīng)的函數(shù)極限存在的準(zhǔn)則。定理2.12（夾逼定理）若函數(shù)f（x），g（x），h（x）在x0的某去心的領(lǐng)域的內(nèi)滿足不等式g（x）f（x） h（x），且，則極限存在，且

28、。當(dāng)， 時(shí)，也有類似的結(jié)論成立。五、兩個(gè)重要極限重要極限一：在中學(xué)數(shù)學(xué)中，曾證明有下面不等式因?yàn)橛蓨A逼定理得公式 利用這個(gè)重要極限，可以計(jì)算一些相關(guān)函數(shù)的極限例10求下列函數(shù)的極限：（1）答疑編號(hào)10020405：針對(duì)該題提問(wèn)（2）答疑編號(hào)10020406：針對(duì)該題提問(wèn)（3）答疑編號(hào)10020407：針對(duì)該題提問(wèn)解：（1） （2）令u=ax （3）1-cos2A=2sin2A 由本例可得下面推廣公式例11，求下列極限（1）答疑編號(hào)10020408：針對(duì)該題提問(wèn)（2）答疑編號(hào)10020409：針對(duì)該題提問(wèn)解（1）（2）重要極限二 在數(shù)列的極限中，已知，這個(gè)結(jié)果可以推廣為（不證）公式例12求下列極

29、限。（1）答疑編號(hào)10020410：針對(duì)該題提問(wèn)（2）答疑編號(hào)10020411：針對(duì)該題提問(wèn)注：解中利用恒等變形amn=（an）m , am+n=am·an解：（1）（2）令 由本例（2）可得下面推廣公式例如根據(jù)上面的公式可直接得下面結(jié)果例13求下列極限（1）答疑編號(hào)10020412：針對(duì)該題提問(wèn) （2）答疑編號(hào)10020413：針對(duì)該題提問(wèn)解：（1）令 得（2）由本例可得下面推廣公式：例如根據(jù)上面公式可直接得下面結(jié)果：例14求下列極限（1）答疑編號(hào)10020414：針對(duì)該題提問(wèn) （2）答疑編號(hào)10020415：針對(duì)該題提問(wèn)（3）答疑編號(hào)10020416：針對(duì)該題提問(wèn) （4）答疑編號(hào)

30、10020417：針對(duì)該題提問(wèn)解：（1） （2） （3）令 （4）注意：應(yīng)與重要極限，則稱函數(shù)f（x）當(dāng)時(shí)是無(wú)窮小量，簡(jiǎn)稱為無(wú)窮小。類似地，若，則稱函數(shù)f（x）當(dāng)時(shí)是無(wú)窮小量，若，則稱數(shù)列，當(dāng)時(shí)是無(wú)窮小量。還可類似地定義當(dāng)時(shí)的無(wú)窮小量。例1判斷下列變量在指定的過(guò)程中是否為無(wú)窮小量：（1）； 答疑編號(hào)10020418：針對(duì)該題提問(wèn) （2）；答疑編號(hào)10020419：針對(duì)該題提問(wèn)（3）； 答疑編號(hào)10020420：針對(duì)該題提問(wèn) （4）答疑編號(hào)10020421：針對(duì)該題提問(wèn)（5）； 答疑編號(hào)10020422：針對(duì)該題提問(wèn) （6）；答疑編號(hào)10020423：針對(duì)該題提問(wèn)（7）答疑編號(hào)10020424：

31、針對(duì)該題提問(wèn)解（1）因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，是無(wú)窮小量。（2）因?yàn)?，所以當(dāng)時(shí)，不是無(wú)窮小量。（3）因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，x2是無(wú)窮小量。（4）因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)， 是無(wú)窮小量。（5）因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，是無(wú)窮小量。（6）因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，不是無(wú)窮小量。（7）因?yàn)?，所以?dāng) 時(shí)，0是無(wú)窮小量。從無(wú)窮小量的定義和上述例題可知在理解無(wú)窮小時(shí)應(yīng)注意三點(diǎn)：第一，要注意自變量的變化過(guò)程，例如當(dāng)是無(wú)窮小量，而當(dāng)時(shí)則不是無(wú)窮小量；第二，要注意所考慮函數(shù)（數(shù)列）的極限值是零，例如10-100當(dāng)時(shí)極限不是零，故10-100不是無(wú)窮小量，盡管它是很小很小的數(shù)；第三，0是唯一可以作為無(wú)窮小量的一個(gè)常數(shù)。根據(jù)極限的性質(zhì)和運(yùn)算法則，可以推出下列

32、有關(guān)無(wú)窮小量的性質(zhì)。二、無(wú)窮小量的性質(zhì)定理2.13有限多個(gè)無(wú)窮小量的代數(shù)和仍是無(wú)窮小量例如，當(dāng)時(shí)，sinx，x，ln（1+x）都是無(wú)窮小量，故sinx+x+ln（1+x）也是無(wú)窮小量定理2.14有限多個(gè)無(wú)窮小量的積也是無(wú)窮小量例如，當(dāng)時(shí)，x2sinx是無(wú)窮小量定理2.15常數(shù)與無(wú)窮小量的積是無(wú)窮小量例如，當(dāng)時(shí)，2sinx是無(wú)窮小量定理2.16有界變量與無(wú)窮小量的積是無(wú)窮小量例如時(shí)，x是無(wú)窮小量，有界， 時(shí)，是無(wú)窮小， 的充分必要條件是：其中即（x）是當(dāng)時(shí)的無(wú)窮小量證明:必要性已知，由極限加法運(yùn)算法則知 ，記（x）=f（x）-A，故（x）是時(shí)的無(wú)窮小量，從而充分性已知，且，即故有當(dāng)，時(shí)也有類似的

33、結(jié)論。由此可知，研究任何變量的極限問(wèn)題也轉(zhuǎn)化為研究無(wú)窮小量問(wèn)題。三、無(wú)窮小量的比較現(xiàn)在來(lái)討論無(wú)窮小量的商。當(dāng)時(shí)，sinx，x，x2都是無(wú)窮小量，但是，它們經(jīng)過(guò)商后，情況就不一樣了。由于，所以當(dāng)時(shí)不再是無(wú)窮小量了；又由于，所以當(dāng)時(shí)仍是無(wú)窮小量。因此，由這些例子可知無(wú)窮小量的商不一定還是無(wú)窮小量，它們甚至可以變到很大，例如，當(dāng)時(shí)，的絕對(duì)值可以任意大，造成這種情形的原因是當(dāng)時(shí)，x2（1）若，是常數(shù)），則稱（x）當(dāng)時(shí)是與（x）同階的無(wú)窮小量，記為;（2）若，則稱（x）當(dāng)時(shí)是與（x）等價(jià)的無(wú)窮小量，記為；（3）若，則稱（x）當(dāng)時(shí)是與（x）高價(jià)的無(wú)空小量，記為；（4）若，是常數(shù)），則稱（x）當(dāng)時(shí)是x的n階

34、無(wú)窮小。當(dāng)，時(shí)，也有類似的定義。例2，時(shí)，討論下列無(wú)窮小量與無(wú)窮小x的關(guān)系。（1）x+x2答疑編號(hào)10020425：針對(duì)該題提問(wèn)（2）2x+x2答疑編號(hào)10020426：針對(duì)該題提問(wèn)（3）sinx 答疑編號(hào)10020427：針對(duì)該題提問(wèn) （4）tanx答疑編號(hào)10020428：針對(duì)該題提問(wèn)（5）arcsinx 答疑編號(hào)10020429：針對(duì)該題提問(wèn)（6）arctanx 答疑編號(hào)10020430：針對(duì)該題提問(wèn)（7）答疑編號(hào)10020431：針對(duì)該題提問(wèn) （8）答疑編號(hào)10020432：針對(duì)該題提問(wèn)（9）1-cosx答疑編號(hào)10020433：針對(duì)該題提問(wèn)解（1）時(shí)，（x+x2）x（2）時(shí)，（2x+

35、x2）=0（x）（3）時(shí)，sinxx（4）時(shí)，tanxx（5）令arcsinx=u則有x=sinu時(shí)，arcsinxx（6）令arctanx=u，則有x=tanu時(shí)，arctanxx（7）時(shí)，注意：恒等變形 （8）答疑編號(hào)10020501：針對(duì)該題提問(wèn)（9）答疑編號(hào)10020502：針對(duì)該題提問(wèn)一般地有下面重要結(jié)果，請(qǐng)同學(xué)們熟記。u0時(shí)，sinuu, tanuu, arcsinuu, arctanuu, ln（1+u）u, eu-1u,等價(jià)無(wú)窮小在極限運(yùn)算中有重要的應(yīng)用。定理：2.18若當(dāng)xx0時(shí)，（x）（x），且（x），（x）0，則此定理說(shuō)明，在乘除運(yùn)算的極限中，用非零等價(jià)無(wú)窮小替換不改變其

36、極限值。例3.用等價(jià)替換定理2.18計(jì)算下列極限。（1）（2）答疑編號(hào)10020503：針對(duì)該題提問(wèn)解：四、無(wú)窮大量定義2.12若當(dāng)xx0時(shí)，f（x）無(wú)限增大，則稱f（x）是當(dāng)xx0的無(wú)窮大量，記為 類似地，若當(dāng)xx0時(shí)，-f（x）無(wú)限增大（可大于任何正數(shù)），則稱f（x）是當(dāng)xx0時(shí)的負(fù)無(wú)窮大量，記為類似地，可定義注意這里的極限記號(hào)答疑編號(hào)10020504：針對(duì)該題提問(wèn)解：由圖2.6可知，當(dāng)x0時(shí)，的值是無(wú)限增大的，故有，同時(shí)還可看到圖2.6由于當(dāng)f（x）無(wú)限增大時(shí)，無(wú)限趨于零，所以，無(wú)窮大量與無(wú)窮小量有下述關(guān)系：定理2.19若此定理說(shuō)明：在自變量的同一變化過(guò)程中，無(wú)窮大量的倒數(shù)是無(wú)窮小量；無(wú)

37、窮小量（不等于零）的倒數(shù)是無(wú)窮大量。例5.判斷下列函數(shù)在指定的過(guò)程中是無(wú)窮小量還是無(wú)窮大量？說(shuō)明理由。答疑編號(hào)10020505：針對(duì)該題提問(wèn)解（1）由于所以是無(wú)窮小量。（2）由于是無(wú)窮小量。（3） （4）由于是無(wú)窮大量。答疑編號(hào)10020506：針對(duì)該題提問(wèn)證：2.5節(jié)函數(shù)的連續(xù)性一、函數(shù)連續(xù)性的概念在前面討論函數(shù)的極限時(shí)，我們?cè)恢挂淮蔚赜龅竭^(guò)極限等式。例如，當(dāng)f（x）是多項(xiàng)式和有理分式函數(shù)時(shí)，就可以按照此等式來(lái)示函數(shù)的極限，例如，又例如，當(dāng)時(shí)，也可以按照這個(gè)等式來(lái)求極限。但是，這個(gè)等式也不是總能成立，考查下面給出的四個(gè)函數(shù)。上述四個(gè)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的圖形分別如圖2.7至圖2.10所示。圖2.7圖

38、2.8 圖2.9圖2.10從圖像中容易看出，對(duì)于圖2.7中的函數(shù)f（x），在x=2處的左、右極限不相等，故極限不存在，顯然，此時(shí)y=f（x）的圖像在x=2處斷開(kāi)，形成一個(gè)“跳躍”；對(duì)于圖2.8中的函數(shù)g（x），雖然在x=1處左、右極限都存在，而且相等，但是g（1）無(wú)定義，所以也有，此時(shí)函數(shù)y=g（x）的圖像在x=1處形成一個(gè)“洞”，對(duì)于圖2.9中的函數(shù)h（x），在x=1處，存在，h（1）也有定義，但是它們不相等，故，此時(shí)函數(shù)y=h（x）的圖像在x=1處仍形成一個(gè)“洞”；對(duì)于圖2.10中的函數(shù)q（x），顯然，這是極限不存在的一種情形，而且q（1）也無(wú)定義，當(dāng)然也有，此時(shí)函數(shù)y=q（x）的圖象在X

39、=1處以X=1為漸進(jìn)線，趨于無(wú)窮大，也是斷開(kāi)的。這些例子似乎在告訴我們：若等式不滿足，函數(shù)y=f（x）的圖像就要在x=x0處斷開(kāi)，因此，如果要使函數(shù)y=f（x）的圖像在x=x0處不斷開(kāi)，則函數(shù)y=f（x）在x=x0處應(yīng)滿足，于是，就有了下述函數(shù)連續(xù)性的定義。定義2.13設(shè)函數(shù)y=f（x）在x0點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)有定義，若，則稱函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處連續(xù)，點(diǎn)x0稱為函數(shù)f（x）的連續(xù)點(diǎn)。否則，就是函數(shù)的間斷點(diǎn)。根據(jù)這個(gè)定義，函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處連續(xù)必須同時(shí)滿足在三個(gè)條件：存在，f（x0）有定義，f（x0）與相等。例1討論下列函數(shù)在給定點(diǎn)的連續(xù)性。答疑編號(hào)10020507：針對(duì)該題提問(wèn)解：（1）由于（

40、2）（3）所以x=1是f（x）的間斷點(diǎn)。（4）關(guān)于初等函數(shù)的連續(xù)性，我們不加證明的將下面的定理介紹給大家。定理：一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間上處處連續(xù)。根據(jù)上面的定理，初等函數(shù)在它的無(wú)意義點(diǎn)上間斷，在它有意義的區(qū)間處處連續(xù)。例如只是x=1,x=2兩點(diǎn)無(wú)意義。所以只在x=1,x=2兩點(diǎn)間斷，其余部分各處都有意義，都連續(xù)。二、函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類如果函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處不連續(xù)，則稱f（x）在點(diǎn)x0處間斷，稱為函數(shù)f（x）的間斷點(diǎn)。由函數(shù)在點(diǎn)x0處連續(xù)的定義可知，在下列三種情況中至少一種情況下函數(shù)f（x）在x0處間斷：（1）f（x）無(wú)定義。（2）不存在。（3）f（x0）存在，存在，但它們不相等。按照這

41、個(gè)判斷順序，可以判斷一個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)x0處是否間斷。我們根據(jù)函數(shù)f（x）在一點(diǎn)X0處間斷方式的不同對(duì)間斷點(diǎn)進(jìn)行分類。跳躍間斷點(diǎn)：若，都存在，但不相等，則稱x0是f（x）跳躍間斷點(diǎn)。例如，圖2.7中的間斷點(diǎn)就可稱為跳躍間斷點(diǎn)。可去間斷點(diǎn)：若存在，但與f（x0）不相等或f（x0）無(wú)定義，則稱x0是f（x）的可去間斷點(diǎn)。例如，圖2.8、2.9中的間斷點(diǎn)可稱為可去間斷點(diǎn)，此時(shí)，可以改變或補(bǔ)充函數(shù)g（x），h（x）在x0處的定義：令，就可以形成一個(gè)連續(xù)函數(shù)，這也正是這種間斷點(diǎn)稱為可去間斷點(diǎn)的原因。這也正是這種間斷點(diǎn)稱為可去間斷點(diǎn)的原因。無(wú)窮間斷點(diǎn)：若，則稱x0是f（x）的無(wú)窮間斷點(diǎn)。例如：圖2.10中的間

42、斷點(diǎn)可稱為無(wú)窮間斷點(diǎn)。例2.求下列函數(shù)的間斷點(diǎn)，并證明它的類型。答疑編號(hào)10020508：針對(duì)該題提問(wèn)解：（1）因?yàn)椋?）因?yàn)榈玣（0）無(wú)意義。所以，x=0是可去間斷點(diǎn)。（3）因?yàn)椋?）閉區(qū)間上處處連續(xù)的函數(shù)的性質(zhì)。在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)有一些良好性質(zhì)，用定理的形式介紹如下定理2-19在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必有最大值和最小值定理220（零值定理）若函數(shù)f（x）滿足條件（1）在閉區(qū)間a,b上連續(xù)（2）f（a）與f（b）異，則f（x）在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)x=c（a<c<b）,使得f（c）=0，即方程f（x）=0在（a,b）內(nèi)至少有一根x=C（a<c<b），本定理的正確性見(jiàn)

43、右圖示：例：證明方程x3+x-1=0在（0，1）內(nèi)至少有一根。答疑編號(hào)10020509：針對(duì)該題提問(wèn)證：令f（x）= x3+x-1,因?yàn)閒（x）是多項(xiàng)式函數(shù)，所以f（x）至少在0,1上連續(xù)，而且f（0）=-1<0，f（1）=1>0異號(hào)所以在（0，1）內(nèi)至少存在一點(diǎn)0<c<1，使f（c）=0即方程f（x）=0在（0，1）內(nèi)有根x=c,所以方程x3+x-10在（0，1）內(nèi)有根x=c，0<c<1。定理219（最值定理）若函數(shù)f（x）在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，則函數(shù)f（x）在閉區(qū)間a,b上必取得最大值M和最小值m.由上圖可見(jiàn)本定量的正確性，最大和最小值可能在邊界上，也可

44、能在a,b內(nèi)部。值得注意的是，該定理所要求的兩個(gè)條件：（1）區(qū)間是閉的；（2）函數(shù)是連續(xù)的，是缺一不可的，例如下圖中所示的函數(shù)。在區(qū)間0,2上處處有定義，但在x=1處間斷，容易看出，f（x）在0,2上既不能取到最大值，也不能取到最小值，實(shí)際上，f（x）在閉區(qū)間0,2上沒(méi)有最大值、最小值。再例如，函數(shù)f（x）=x2在（0，1）上連續(xù)，但它不能在（0，1）內(nèi)取得最大值、最小值。由定理2.19容易得到下面推論推論（有界性定理）若函數(shù)f（x）在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，則f（x）必在a,b上有界。本章內(nèi)容小結(jié)一、數(shù)列的極限。1.定義：當(dāng)n時(shí)，數(shù)列an的第n項(xiàng)an與一個(gè)常數(shù)a無(wú)限接近，就該數(shù)列an的極限是常數(shù)

45、a，記作：并且說(shuō)數(shù)列收斂。若n時(shí)，an沒(méi)有常數(shù)極限，常見(jiàn)情形是或不存在。就該數(shù)列an發(fā)散。2.重要結(jié)果3.重要定理（夾逼準(zhǔn)則）若（1）cn an bn（2） 二、級(jí)數(shù)1.定義數(shù)列ana1,a2,和叫級(jí)數(shù)。定義二（1）若（2）若2.重要結(jié)果（1）（2）當(dāng)p>1時(shí)收斂，p1時(shí)發(fā)散。3.重要性質(zhì)。（1）若若典型題一答疑編號(hào)10020601：針對(duì)該題提問(wèn)典型題二答疑編號(hào)10020602：針對(duì)該題提問(wèn)典型題三發(fā)散。答疑編號(hào)10020603：針對(duì)該題提問(wèn)4.正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法若0anbn,則有（1）若典型題（1）用比較法判斷答疑編號(hào)10020604：針對(duì)該題提問(wèn)解：（2）用比較法判別的斂散性。解：三、函數(shù)的極限1.x時(shí)，定義一當(dāng)x+時(shí)，若f（x）與數(shù)A無(wú)限接近，就說(shuō)f（x）的極限是數(shù)A，記作定義二若x時(shí)，f（x）與數(shù)A無(wú)限接近，就說(shuō)f（x）的極限是數(shù)A，記作定義三若x時(shí)，f（x）與數(shù)A無(wú)限接近，就說(shuō)f（x）的極限是數(shù)A，記作定理重要結(jié)果（1）典型例題一答疑編號(hào)10020605：針對(duì)該題提問(wèn)典型例題二若答疑編號(hào)10020606：針對(duì)該題提問(wèn)解：2.xx0時(shí)定義四當(dāng)xx0時(shí)，f（x）與數(shù)A無(wú)限接近，就說(shuō)f（x）的左極限是數(shù)A，記作定義五當(dāng)xx0+時(shí)，f（x）與數(shù)A無(wú)限接近，就說(shuō)f（x）的右極限是數(shù)A，記作定義六當(dāng)xx0時(shí)，f（x）與數(shù)A無(wú)限接近，就說(shuō)f（x）的極限是數(shù)