最全線性規(guī)劃題型總結(jié)

1、1. “截距”型考題在線性約束條件下，求形如的線性目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題，通常轉(zhuǎn)化為求直線在軸上的截距的取值. 結(jié)合圖形易知，目標(biāo)函數(shù)的最值一般在可行域的頂點(diǎn)處取得.掌握此規(guī)律可以有效避免因畫(huà)圖太草而造成的視覺(jué)誤差.1（2017天津）設(shè)變量x，y滿(mǎn)足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)z=x+y的最大值為（）AB1CD3答案：D解：變量x，y滿(mǎn)足約束條件的可行域如圖：目標(biāo)函數(shù)z=x+y結(jié)果可行域的A點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，由可得A（0，3），目標(biāo)函數(shù)z=x+y的最大值為：32（2017新課標(biāo)）若x，y滿(mǎn)足約束條件，則z=3x4y的最小值為答案：1解：由z=3x4y，得y=x，作出不等式對(duì)應(yīng)的可行域（陰影部分），

2、平移直線y=x，由平移可知當(dāng)直線y=x，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（1，1）時(shí)，直線y=x的截距最大，此時(shí)z取得最小值，將B的坐標(biāo)代入z=3x4y=34=1，即目標(biāo)函數(shù)z=3x4y的最小值為13（2017浙江）若x、y滿(mǎn)足約束條件，則z=x+2y的取值范圍是（）A0，6B0，4C6，+）D4，+）答案：D解：x、y滿(mǎn)足約束條件，表示的可行域如圖：目標(biāo)函數(shù)z=x+2y經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)，函數(shù)取得最小值，由解得C（2，1），目標(biāo)函數(shù)的最小值為：4目標(biāo)函數(shù)的范圍是4，+）4（2016河南二模）已知x，yR，且滿(mǎn)足，則z=|x+2y|的最大值為（）A10B8C6D3答案：C解：作出不等式組，對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）由z

3、=|x+2y|，平移直線y=x+z，由圖象可知當(dāng)直線y=xz經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，z取得最大值，此時(shí)z最大即A（2，2），代入目標(biāo)函數(shù)z=|x+2y|得z=2×2+2=6。5（2016湖南模擬）設(shè)變量x、y滿(mǎn)足約束條件，則z=32xy的最大值為（）ABC3D9答案：D解：約束條件對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：令2xy=t，變形得y=2xt，根據(jù)t的幾何意義，由約束條件知t過(guò)A時(shí)在y軸的截距最大，使t最小，由得到交點(diǎn)A（，）所以t最小為；過(guò)C時(shí)直線y=2xt在y軸截距最小，t最大，由解得C（1，0），所以t的最大值為2×10=2，所以，故。2 . “距離”型考題在線性約束條件下，求形如z=（x-

4、a）2+（y-b）2的線性目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題，通常轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)（a，b）到陰影部分的某個(gè)點(diǎn)的距離的平方的取值. 6（2016山東）若變量x，y滿(mǎn)足，則x2+y2的最大值是（）A4B9C10D12答案：C解：由約束條件作出可行域如圖，A（0，3），C（0，2），|OA|OC|，聯(lián)立，解得B（3，1），x2+y2的最大值是107（2016浙江）在平面上，過(guò)點(diǎn)P作直線l的垂線所得的垂足稱(chēng)為點(diǎn)P在直線l上的投影，由區(qū)域中的點(diǎn)在直線x+y2=0上的投影構(gòu)成的線段記為AB，則|AB|=（）A2B4C3D6答案：C解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分），區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)在直線x+y2=0上的投影構(gòu)成線段R

5、Q，即SAB，而RQ=RQ，由得，即Q（1，1），由得，即R（2，2），則|AB|=|QR|=3，8（2016安徽模擬）如果實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足，則z=x2+y22x的最小值是（）A3BC4D答案：B解：由z=x2+y22x=（x1）2+y21，設(shè)m=（x1）2+y2，則m的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到點(diǎn)D（1，0）的距離的平方，作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：由圖象知D到AC的距離為最小值，此時(shí)d=，則m=d2=（）2=，則z=m1=1=。3. “斜率”型考題在線性約束條件下，求形如z=的線性目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題，通常轉(zhuǎn)化為求過(guò)點(diǎn)（a，b）陰影部分的某個(gè)點(diǎn)的直線斜率的取值.9（2016唐山一模）若x，y滿(mǎn)

6、足不等式組，則的最大值是（）AB1C2D3答案：C解：由題意作平面區(qū)域如下，的幾何意義是陰影內(nèi)的點(diǎn)（x，y）與原點(diǎn)的連線的斜率，結(jié)合圖象可知，過(guò)點(diǎn)A（1，2）時(shí)有最大值，此時(shí)=2，10（2016萊蕪一模）已知x，y滿(mǎn)足約束條件，則z=的范圍是（）A，2BB，C，D，答案：C解：畫(huà)出滿(mǎn)足條件的平面區(qū)域，如圖示：， 由，解得A（1，2），由，解得B（3，1），而z=的幾何意義表示過(guò)平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與（1，1）的直線的斜率，顯然直線AC斜率最大，直線BC斜率最小，KAC=，KBC=11（2016衡陽(yáng)二模）已知變量x，y滿(mǎn)足，則的取值范圍是（）ABCD答案：，解：作出滿(mǎn)足所對(duì)應(yīng)的區(qū)域（如圖陰影），變形目

7、標(biāo)函數(shù)可得 =1+，表示可行域內(nèi)的點(diǎn)與A（2，1）連線的斜率與1的和，由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（2，0）時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取最小值1+=；當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（0，2）時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取最大值1+=4. “平面區(qū)域的面積”型考題12設(shè)平面點(diǎn)集A(x，y)|(yx)(y)0，B(x，y)|(x1)2(y1)21，則AB所表示的平面圖形的面積為()A B C D答案： D解：不等式(yx)(y)0可化為或集合B表示圓(x1)2(y1)21上以及圓內(nèi)部的點(diǎn)所構(gòu)成的集合，AB所表示的平面區(qū)域如圖陰影部所示由線，圓(x1)2(y1)21均關(guān)于直線yx對(duì)稱(chēng)，所以陰影部分占圓面積的一半，故選D項(xiàng)5. “求約束條件中的參數(shù)”

8、型考題規(guī)律方法：當(dāng)參數(shù)在線性規(guī)劃問(wèn)題的約束條件中時(shí)，作可行域，要注意應(yīng)用“過(guò)定點(diǎn)的直線系”知識(shí)，使直線“初步穩(wěn)定”，再結(jié)合題中的條件進(jìn)行全方面分析才能準(zhǔn)確獲得答案.13（2016興安盟一模）若x，y滿(mǎn)足不等式組，且y+x的最大值為2，則實(shí)數(shù)m的值為（）A2BC1D答案：D解：y+x的最大值為2，此時(shí)滿(mǎn)足y+x=2，作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：則由，解得，即A（1，），同時(shí)A也在直線y=mx上，則m=，14（2016紹興一模）若存在實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A（0，）B（，）C（，）D（，）答案：D解：作出所對(duì)應(yīng)的區(qū)域（如圖ABC即內(nèi)部，不包括邊界），直線m（x+1）y=0，可

9、化為y=m（x+1），過(guò)定點(diǎn)D（1，0），斜率為m，存在實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足，則直線需與區(qū)域有公共點(diǎn)，解得B（，），解得A（，）KPA=，KPB=，m6. “求目標(biāo)函數(shù)中的參數(shù)”型考題規(guī)律方法：目標(biāo)函數(shù)中含有參數(shù)時(shí)，要根據(jù)問(wèn)題的意義，轉(zhuǎn)化成“直線的斜率”、“點(diǎn)到直線的距離”等模型進(jìn)行討論與研究.15（2015山東）已知x，y滿(mǎn)足約束條件，若z=ax+y的最大值為4，則a=（）A3B2C2D3答案：B解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）則A（2，0），B（1，1），若z=ax+y過(guò)A時(shí)取得最大值為4，則2a=4，解得a=2，目標(biāo)函數(shù)為z=2x+y，即y=2x+z，平移直線y=2x+z，當(dāng)直

10、線經(jīng)過(guò)A（2，0）時(shí)，截距最大，此時(shí)z最大為4，滿(mǎn)足條件，若z=ax+y過(guò)B時(shí)取得最大值為4，則a+1=4，解得a=3，此時(shí)，目標(biāo)函數(shù)為z=3x+y，即y=3x+z，平移直線y=3x+z，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)A（2，0）時(shí)，截距最大，此時(shí)z最大為6，不滿(mǎn)足條件，故a=216（2016扶溝縣一模）設(shè)x，y滿(mǎn)足約束條件，若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a0，b0）的最小值為2，則ab的最大值為（）A1BCD答案：C解：滿(mǎn)足約束條件的可行域如下圖所示：目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a0，b0）故zA=2a+2b，zB=2a+3b，由目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a0，b0）的最小值為2，則2a+2b=2，即a+b=1則ab=故

11、ab的最大值為7. 其它型考題17.（2016四川）設(shè)p：實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足（x1）2+（y1）22，q：實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足，則p是q的（）A必要不充分條件B充分不必要條件C充要條件D既不充分也不必要條件答案：A解：（x1）2+（y1）22表示以（1，1）為圓心，以為半徑的圓內(nèi)區(qū)域（包括邊界）；滿(mǎn)足的可行域如圖有陰影部分所示，故p是q的必要不充分條件.18某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5個(gè)工時(shí)；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3個(gè)工時(shí)，生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤(rùn)為2100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤(rùn)為900元該企業(yè)

12、現(xiàn)有甲材料150kg，乙材料90kg，則在不超過(guò)600個(gè)工時(shí)的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤(rùn)之和的最大值為216000元解：（1）設(shè)甲、乙兩種產(chǎn)品每件分別是x件和y件，獲利為z元由題意，得，z=2100x+900y不等式組表示的可行域如圖：由題意可得，解得：，A（60，100），目標(biāo)函數(shù)z=2100x+900y經(jīng)過(guò)A時(shí)，直線的截距最大，目標(biāo)函數(shù)取得最大值：2100×60+900×100=216000元答案為：21600019（2016天津）某化工廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料，需要A，B，C三種主要原料，生產(chǎn)1扯皮甲種肥料和生產(chǎn)1車(chē)皮乙種肥料所需三種原料的噸數(shù)如表所示：ABC甲483乙5510現(xiàn)有A種原料200噸，B種原料360噸，C種原料300噸，在此基礎(chǔ)上生產(chǎn)甲、乙兩種肥料已知生產(chǎn)1車(chē)皮甲種肥料，產(chǎn)生的利潤(rùn)為2萬(wàn)元；生產(chǎn)1車(chē)品乙種肥料，產(chǎn)生的利潤(rùn)為3萬(wàn)元、分別用x，y表示計(jì)劃生產(chǎn)甲、乙兩種肥料的車(chē)皮數(shù)（1）用x，y列出滿(mǎn)足生產(chǎn)