電磁感應(yīng)“桿類模型”綜合

1、一、電磁感應(yīng)中的動力學(xué)問題F=BIL界狀態(tài)v與a方向關(guān)系運(yùn)動狀態(tài)的分析a變化情況F=ma合外力運(yùn)動導(dǎo)體所受的安培力感應(yīng)電流確定電源（E，r）這類問題覆蓋面廣，題型也多種多樣；但解決這類問題的關(guān)鍵在于通過運(yùn)動狀態(tài)的分析來尋找過程中的臨界狀態(tài)，如速度、加速度取最大值或最小值的條件等，基本思路是： 【例1】 如圖所示，AB、CD是兩根足夠長的固定平行金屬導(dǎo)軌，兩導(dǎo)軌間的距離為L，導(dǎo)軌平面與水平面的夾角為，在整個導(dǎo)軌平面內(nèi)都有垂直于導(dǎo)軌平面斜向上方的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，在導(dǎo)軌的 AC端連接一個阻值為 R的電阻，一根質(zhì)量為m、垂直于導(dǎo)軌放置的金屬棒ab，從靜止開始沿導(dǎo)軌下滑，求此過程中ab棒的最大

2、速度。已知ab與導(dǎo)軌間的動摩擦因數(shù)為，導(dǎo)軌和金屬棒的電阻都不計(jì)。解析：ab沿導(dǎo)軌下滑過程中受四個力作用，即重力mg，支持力FN 、摩擦力Ff和安培力F安，如圖所示，ab由靜止開始下滑后，將是（為增大符號），所以這是個變加速過程，當(dāng)加速度減到a=0時，其速度即增到最大v=vm，此時必將處于平衡狀態(tài)，以后將以vm勻速下滑ab下滑時因切割磁感線，要產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，根據(jù)電磁感應(yīng)定律： E=BLv 閉合電路AC ba中將產(chǎn)生感應(yīng)電流，根據(jù)閉合電路歐姆定律： I=E/R 據(jù)右手定則可判定感應(yīng)電流方向?yàn)閍AC ba，再據(jù)左手定則判斷它受的安培力F安方向如圖示，其大小為：F安=BIL 取平行和垂直導(dǎo)軌的兩個方

3、向?qū)b所受的力進(jìn)行正交分解，應(yīng)有： FN = mgcos Ff= mgcos由可得以ab為研究對象，根據(jù)牛頓第二定律應(yīng)有：mgsin mgcos-=maab做加速度減小的變加速運(yùn)動，當(dāng)a=0時速度達(dá)最大因此，ab達(dá)到vm時應(yīng)有：mgsin mgcos-=0 由式可解得注意：（1）電磁感應(yīng)中的動態(tài)分析，是處理電磁感應(yīng)問題的關(guān)鍵，要學(xué)會從動態(tài)分析的過程中來選擇是從動力學(xué)方面，還是從能量、動量方面來解決問題。（2）在分析運(yùn)動導(dǎo)體的受力時，常畫出平面示意圖和物體受力圖。二、電磁感應(yīng)中的能量、動量問題無論是使閉合回路的磁通量發(fā)生變化，還是使閉合回路的部分導(dǎo)體切割磁感線，都要消耗其它形式的能量，轉(zhuǎn)化為回

4、路中的電能。這個過程不僅體現(xiàn)了能量的轉(zhuǎn)化，而且保持守恒，使我們進(jìn)一步認(rèn)識包含電和磁在內(nèi)的能量的轉(zhuǎn)化和守恒定律的普遍性。分析問題時，應(yīng)當(dāng)牢牢抓住能量守恒這一基本規(guī)律，分析清楚有哪些力做功，就可知道有哪些形式的能量參與了相互轉(zhuǎn)化，如有摩擦力做功，必然有內(nèi)能出現(xiàn)；重力做功，就可能有機(jī)械能參與轉(zhuǎn)化；安培力做負(fù)功就將其它形式能轉(zhuǎn)化為電能，做正功將電能轉(zhuǎn)化為其它形式的能；然后利用能量守恒列出方程求解?！纠?】如圖所示，兩根間距為l的光滑金屬導(dǎo)軌（不計(jì)電阻），由一段圓弧部分與一段無限長的水平段部分組成。其水平段加有豎直向下方向的勻強(qiáng)磁場，其磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，導(dǎo)軌水平段上靜止放置一金屬棒cd，質(zhì)量為2m。，電阻

5、為2r。另一質(zhì)量為m，電阻為r的金屬棒ab，從圓弧段M處由靜止釋放下滑至N處進(jìn)入水平段，圓弧段MN半徑為R，所對圓心角為60°，求：（1）ab棒在N處進(jìn)入磁場區(qū)速度多大？此時棒中電流是多少？（2）ab棒能達(dá)到的最大速度是多大？（3）ab棒由靜止到達(dá)最大速度過程中，系統(tǒng)所能釋放的熱量是多少？解析：（1）ab棒由靜止從M滑下到N的過程中，只有重力做功，機(jī)械能守恒，所以到N處速度可求，進(jìn)而可求ab棒切割磁感線時產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢和回路中的感應(yīng)電流。ab棒由M下滑到N過程中，機(jī)械能守恒，故有： 解得進(jìn)入磁場區(qū)瞬間，回路中電流強(qiáng)度為 （2）設(shè)ab棒與cd棒所受安培力的大小為F，安培力作用時間為

6、t，ab 棒在安培力作用下做減速運(yùn)動，cd棒在安培力作用下做加速運(yùn)動，當(dāng)兩棒速度達(dá)到相同速度v時，電路中電流為零，安培力為零，cd達(dá)到最大速度。運(yùn)用動量守恒定律得 解得 （3）系統(tǒng)釋放熱量應(yīng)等于系統(tǒng)機(jī)械能減少量，故有 解得三、綜合例析（一）電磁感應(yīng)中的“雙桿問題” 電磁感應(yīng)中“雙桿問題”是學(xué)科內(nèi)部綜合的問題，涉及到電磁感應(yīng)、安培力、牛頓運(yùn)動定律和動量定理、動量守恒定律及能量守恒定律等。要求學(xué)生綜合上述知識，認(rèn)識題目所給的物理情景，找出物理量之間的關(guān)系，因此是較難的一類問題，也是近幾年高考考察的熱點(diǎn)。考題回顧【例3】（2003年全國理綜卷）如圖所示，兩根平行的金屬導(dǎo)軌，固定在同一水平面上，磁感應(yīng)

7、強(qiáng)度B=0.50T的勻強(qiáng)磁場與導(dǎo)軌所在平面垂直，導(dǎo)軌的電阻很小，可忽略不計(jì)。導(dǎo)軌間的距離l=0.20m。兩根質(zhì)量均為m=0.10kg的平行金屬桿甲、乙可在導(dǎo)軌上無摩擦地滑動，滑動過程中與導(dǎo)軌保持垂直，每根金屬桿的電阻為R=0.50。在t=0時刻，兩桿都處于靜止?fàn)顟B(tài)?，F(xiàn)有一與導(dǎo)軌平行、大小為0.20N的恒力F作用于金屬桿甲上，使金屬桿在導(dǎo)軌上滑動。經(jīng)過t=5.0s，金屬桿甲的加速度為a=1.37m/s2，問此時兩金屬桿的速度各為多少？乙 甲F解析：設(shè)任一時刻t兩金屬桿甲、乙之間的距離為x，速度分別為v1和v2，經(jīng)過很短的時間t，桿甲移動距離v1t，桿乙移動距離v2t，回路面積改變由法拉第電磁感應(yīng)

8、定律，回路中的感應(yīng)電動勢回路中的電流 桿甲的運(yùn)動方程由于作用于桿甲和桿乙的安培力總是大小相等，方向相反，所以兩桿的動量時為0）等于外力F的沖量聯(lián)立以上各式解得 代入數(shù)據(jù)得點(diǎn)評：題中感應(yīng)電動勢的計(jì)算也可以直接利用導(dǎo)體切割磁感線時產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢公式和右手定則求解：設(shè)甲、乙速度分別為v1和v2，兩桿切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢分別為E1Blv1 ，E2Blv2 由右手定則知兩電動勢方向相反，故總電動勢為EE2E1Bl（v2v1）。分析甲、乙兩桿的運(yùn)動，還可以求出甲、乙兩桿的最大速度差：開始時，金屬桿甲在恒力F作用下做加速運(yùn)動，回路中產(chǎn)生感應(yīng)電流，金屬桿乙在安培力作用下也將做加速運(yùn)動，但此時甲的加速度

9、肯定大于乙的加速度，因此甲、乙的速度差將增大。根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，感應(yīng)電流將增大，同時甲、乙兩桿所受安培力增大，導(dǎo)致乙的加速度增大，甲的加速度減小。但只要a甲>a乙，甲、乙的速度差就會繼續(xù)增大，所以當(dāng)甲、乙兩桿的加速度相等時，速度差最大。此后，甲、乙兩桿做加速度相等的勻加速直線運(yùn)動。設(shè)金屬桿甲、乙的共同加速度為a，回路中感應(yīng)電流最大值Im.對系統(tǒng)和乙桿分別應(yīng)用牛頓第二定律有：F=2ma；BLIm=ma.由閉合電路敬歐姆定律有E=2ImR，而由以上各式可解得【例4】（2004年全國理綜卷）圖中a1b1c1d1和a2b2c2d2為在同一豎直平面內(nèi)的金屬導(dǎo)軌，處在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中

10、，磁場方向垂直于導(dǎo)軌所在平面（紙面）向里。導(dǎo)軌的a1b1段與a2b2段是豎直的，距離為l1；c1d1段與c2d2段也是豎直的，距離為l2。x1 y1與x2 y2為兩根用不可伸長的絕緣輕線相連的金屬細(xì)桿，質(zhì)量分別為和m1和m2，它們都垂直于導(dǎo)軌并與導(dǎo)軌保持光滑接觸。兩桿與導(dǎo)軌構(gòu)成的回路的總電阻為R。F為作用于金屬桿x1y1上的豎直向上的恒力。已知兩桿運(yùn)動到圖示位置時，已勻速向上運(yùn)動，求此時作用于兩桿的重力的功率的大小和回路電阻上的熱功率。解析：設(shè)桿向上的速度為v，因桿的運(yùn)動，兩桿與導(dǎo)軌構(gòu)成的回路的面積減少，從而磁通量也減少。由法拉第電磁感應(yīng)定律，回路中的感應(yīng)電動勢的大小 回路中的電流 電流沿順時

11、針方向。兩金屬桿都要受到安培力作用，作用于桿x1y1的安培力為 方向向上，作用于桿x2y2的安培力為 方向向下，當(dāng)桿作勻速運(yùn)動時，根據(jù)牛頓第二定律有 解以上各式得 作用于兩桿的重力的功率的大小 電阻上的熱功率 由式，可得 下面對“雙桿”類問題進(jìn)行分類例析1、“雙桿”向相反方向做勻速運(yùn)動當(dāng)兩桿分別向相反方向運(yùn)動時，相當(dāng)于兩個電池正向串聯(lián)。vv【例5】兩根相距d=0.20m的平行金屬長導(dǎo)軌固定在同一水平面內(nèi)，并處于豎直方向的勻強(qiáng)磁場中，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.2T，導(dǎo)軌上面橫放著兩條金屬細(xì)桿，構(gòu)成矩形回路，每條金屬細(xì)桿的電阻為r=0.25，回路中其余部分的電阻可不計(jì).已知兩金屬細(xì)桿在平行于導(dǎo)軌的拉

12、力的作用下沿導(dǎo)軌朝相反方向勻速平移，速度大小都是v=5.0m/s，如圖所示.不計(jì)導(dǎo)軌上的摩擦.（1）求作用于每條金屬細(xì)桿的拉力的大小.（2）求兩金屬細(xì)桿在間距增加0.40m的滑動過程中共產(chǎn)生的熱量.解析：（1）當(dāng)兩金屬桿都以速度v勻速滑動時，每條金屬桿中產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢分別為： E1=E2=Bdv由閉合電路的歐姆定律，回路中的電流強(qiáng)度大小為：因拉力與安培力平衡，作用于每根金屬桿的拉力的大小為F1=F2=IBd。由以上各式并代入數(shù)據(jù)得N（2）設(shè)兩金屬桿之間增加的距離為L，則兩金屬桿共產(chǎn)生的熱量為，代入數(shù)據(jù)得Q=1.28×10-2J.2.“雙桿”同向運(yùn)動，但一桿加速另一桿減速當(dāng)兩桿分別沿

13、相同方向運(yùn)動時，相當(dāng)于兩個電池反向串聯(lián)。Bv0Lacdb【例6】兩根足夠長的固定的平行金屬導(dǎo)軌位于同一水平面內(nèi)，兩導(dǎo)軌間的距離為L。導(dǎo)軌上面橫放著兩根導(dǎo)體棒ab和cd，構(gòu)成矩形回路，如圖所示兩根導(dǎo)體棒的質(zhì)量皆為m，電阻皆為R，回路中其余部分的電阻可不計(jì)在整個導(dǎo)軌平面內(nèi)都有豎直向上的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B設(shè)兩導(dǎo)體棒均可沿導(dǎo)軌無摩擦地滑行開始時，棒cd靜止，棒ab有指向棒cd的初速度v0若兩導(dǎo)體棒在運(yùn)動中始終不接觸，求：（1）在運(yùn)動中產(chǎn)生的焦耳熱最多是多少（2）當(dāng)ab棒的速度變?yōu)槌跛俣鹊?/4時，cd棒的加速度是多少？解析：ab棒向cd棒運(yùn)動時，兩棒和導(dǎo)軌構(gòu)成的回路面積變小，磁通量發(fā)生變化，于是

14、產(chǎn)生感應(yīng)電流ab棒受到與運(yùn)動方向相反的安培力作用作減速運(yùn)動，cd棒則在安培力作用下作加速運(yùn)動在ab棒的速度大于cd棒的速度時，回路總有感應(yīng)電流，ab棒繼續(xù)減速，cd棒繼續(xù)加速兩棒速度達(dá)到相同后，回路面積保持不變，磁通量不變化，不產(chǎn)生感應(yīng)電流，兩棒以相同的速度v作勻速運(yùn)動（1）從初始至兩棒達(dá)到速度相同的過程中，兩棒總動量守恒，有根據(jù)能量守恒，整個過程中產(chǎn)生的總熱量 （2）設(shè)ab棒的速度變?yōu)槌跛俣鹊?/4時，cd棒的速度為v1，則由動量守恒可知：此時回路中的感應(yīng)電動勢和感應(yīng)電流分別為：，此時棒所受的安培力： ，所以棒的加速度為 由以上各式，可得。3. “雙桿”中兩桿都做同方向上的加速運(yùn)動?！半p桿”

15、中的一桿在外力作用下做加速運(yùn)動，另一桿在安培力作用下做加速運(yùn)動，最終兩桿以同樣加速度做勻加速直線運(yùn)動。如【例3】（2003年全國理綜卷）4“雙桿”在不等寬導(dǎo)軌上同向運(yùn)動?！半p桿”在不等寬導(dǎo)軌上同向運(yùn)動時，兩桿所受的安培力不等大反向，所以不能利用動量守恒定律解題。如【例4】（2004年全國理綜卷）（二）電磁感應(yīng)中的一個重要推論安培力的沖量公式感應(yīng)電流通過直導(dǎo)線時，直導(dǎo)線在磁場中要受到安培力的作用，當(dāng)導(dǎo)線與磁場垂直時，安培力的大小為F=BLI。在時間t內(nèi)安培力的沖量，式中q是通過導(dǎo)體截面的電量。利用該公式解答問題十分簡便，下面舉例說明這一點(diǎn)?！纠?】如圖所示，在光滑的水平面上，有一垂直向下的勻強(qiáng)磁

16、場分布在寬為L的區(qū)域內(nèi)，有一個邊長為a（a<L）的正方形閉合線圈以初速v0垂直磁場邊界滑過磁場后速度變?yōu)関（v<v0）那么LaaA完全進(jìn)入磁場中時線圈的速度大于（v0+v）/2；B安全進(jìn)入磁場中時線圈的速度等于（v0+v）/2；C完全進(jìn)入磁場中時線圈的速度小于（v0+v）/2；D以上情況A、B均有可能，而C是不可能的解析：設(shè)線圈完全進(jìn)入磁場中時的速度為vx。線圈在穿過磁場的過程中所受合外力為安培力。對于線圈進(jìn)入磁場的過程，據(jù)動量定理可得：對于線圈穿出磁場的過程，據(jù)動量定理可得： 由上述二式可得，即B選項(xiàng)正確?！纠?】光滑U型金屬框架寬為L，足夠長，其上放一質(zhì)量為m的金屬棒ab，左端

17、連接有一電容為C的電容器，現(xiàn)給棒一個初速v0，使棒始終垂直框架并沿框架運(yùn)動，如圖所示。求導(dǎo)體棒的最終速度。abCv0解析：當(dāng)金屬棒ab做切割磁力線運(yùn)動時，要產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，這樣，電容器C將被充電，ab棒中有充電電流存在，ab棒受到安培力的作用而減速，當(dāng)ab棒以穩(wěn)定速度v勻速運(yùn)動時，有：BLv=UC=q/C而對導(dǎo)體棒ab利用動量定理可得：-BLq=mv-mv0 由上述二式可求得： 四、針對練習(xí)habB1如圖所示，金屬桿a在離地h高處從靜止開始沿弧形軌道下滑，導(dǎo)軌平行的水平部分有豎直向上的勻強(qiáng)磁場B，水平部分導(dǎo)軌上原來放有一金屬桿b.已知桿的質(zhì)量為ma，且與b桿的質(zhì)量比為mamb=3，水平導(dǎo)軌足夠

18、長，不計(jì)摩擦，求：（1）a和b的最終速度分別是多大？（2）整個過程中回路釋放的電能是多少？aa/bb/dd/cc/efgh（3）若已知a、b桿的電阻之比RaRb=34，其余電阻不計(jì)，整個過程中a、b上產(chǎn)生的熱量分別是多少？2如圖所示，abcd和a/b/c/d/為水平放置的光滑平行導(dǎo)軌，區(qū)域內(nèi)充滿方向豎直向上的勻強(qiáng)磁場。ab、a/b/間的寬度是cd、c/d/間寬度的2倍。設(shè)導(dǎo)軌足夠長，導(dǎo)體棒ef的質(zhì)量是棒gh的質(zhì)量的2倍?，F(xiàn)給導(dǎo)體棒ef一個初速度v0，沿導(dǎo)軌向左運(yùn)動，當(dāng)兩棒的速度穩(wěn)定時，兩棒的速度分別是多少？3如圖，甲、乙兩個完全相同的線圈，在距地面同一高度處由靜止開始釋放，A、B是邊界范圍、磁

19、感應(yīng)強(qiáng)度的大小和方向均完全相同的勻強(qiáng)磁場，只是A的區(qū)域比B的區(qū)域離地面高一些，兩線圈下落時始終保持線圈平面與磁場垂直，則（ ）A. 甲先落地。B. 乙先落地。C. 二者同時落地。D. 無法確定。baR× × × ×× × × ×4 水平放置的平行金屬框架寬L=0.2m，質(zhì)量為m=0.1kg的金屬棒ab放在框架上，并且與框架的兩條邊垂直。整個裝置放在磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.5T，方向垂直框架平面的勻強(qiáng)磁場中，如圖所示。金屬棒ab在F=2N的水平向右的恒力作用下由靜止開始運(yùn)動。電路中除R=0.05外，其余電阻、摩擦阻力均不考

20、慮。試求當(dāng)金屬棒ab達(dá)到最大速度后，撤去外力F，此后感應(yīng)電流還能產(chǎn)生的熱量。（設(shè)框架足夠長）5如圖所示位于豎直平面的正方形平面導(dǎo)線框abcd，邊長為L=10cm，線框質(zhì)量為m=0.1kg，電阻為R=0.5，其下方有一勻強(qiáng)磁場區(qū)域，該區(qū)域上、下兩邊界間的距離為H（ H> L），磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B=5T，方向與線框平面垂直。今線框從距磁場上邊界h=30cm處自由下落，已知線框的dc邊進(jìn)入磁場后，ab 邊到達(dá)上邊界之前的某一時刻線框的速度已達(dá)到這一階段的最大值，問從線框開始下落到dc邊剛剛到達(dá)磁場下邊界的過程中，磁場作用于線框的安培力做的總功是多少？（g=10m/s2） v06如圖所示，在勻

21、強(qiáng)磁場區(qū)域內(nèi)與B垂直的平面中有兩根足夠長的固定金屬平行導(dǎo)軌，在它們上面橫放兩根平行導(dǎo)體棒構(gòu)成矩形回路，長度為L，質(zhì)量為m，電阻為R，回路部分導(dǎo)軌電阻可忽略，棒與導(dǎo)軌無摩擦，不計(jì)重力和電磁輻射，且開始時圖中左側(cè)導(dǎo)體棒靜止，右側(cè)導(dǎo)體棒具有向右的初速v0，試求兩棒之間距離增長量x的上限。7如圖所示，電動機(jī)牽引一根原來靜止的、長L為1m、質(zhì)量m為0.1kg的導(dǎo)體棒MN上升，導(dǎo)體棒的電阻R為1，架在豎直放置的框架上，它們處于磁感應(yīng)強(qiáng)度B為1T的勻強(qiáng)磁場中，磁場方向與框架平面垂直。當(dāng)導(dǎo)體棒上升h=3.8m時，獲得穩(wěn)定的速度，導(dǎo)體棒上產(chǎn)生的熱量為2J，電動機(jī)牽引棒時，電壓表、電流表的讀數(shù)分別為7V、1A，電

22、動機(jī)內(nèi)阻r為1，不計(jì)框架電阻及一切摩擦，求：（1）棒能達(dá)到的穩(wěn)定速度；（2）棒從靜止至達(dá)到穩(wěn)定速度所需要的時間。參考答案：1（1）va=vb=（2）E= magh（3）Qa=E=magh ， Q b=E=magh2解析：當(dāng)兩棒的速度穩(wěn)定時，回路中的感應(yīng)電流為零，設(shè)導(dǎo)體棒ef的速度減小到v1， 導(dǎo)體棒gh的速度增大到v2，則有2BLv1-BLv2=0，即v2=2v1。對導(dǎo)體棒ef由動量定理得：對導(dǎo)體棒gh由動量定理得：由以上各式可得：3解析：先比較甲、乙線圈落地速度的大小。乙進(jìn)入磁場時的速度較大，則安培力較大，克服安培力做功較多，即產(chǎn)生的焦耳熱較多。由能量守恒定律可知，乙線圈落地速度較小。線圈穿過磁場區(qū)域時受到的安培力為變力，設(shè)受到的平均安培力為F，穿過磁場時間為，下落全過程時間為，落地時的速度為v，則全過程由動量定理得=。而