現(xiàn)代控制理論習題解答(前五章)

1、第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述3-1-1 求圖示網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)空間表達式,選取c u 和L i 為狀態(tài)變量。 (11R 2Ro 題3-1-1圖1(2o 題3-1-1圖2【解】: (1設(shè)狀態(tài)變量:11c u x =、22c u x =而=111c u C i 、=222c u C i根據(jù)基爾霍夫定律得:1122111(c c c c i u R R u u u C u +-+=22221c c c u R u C u +=整理得=+-+-=210112122221212121211001111x x u y u C R x x C R C R C R C R R R R x x i(2設(shè)狀態(tài)變量:L

2、 i x =1、c u x =2 而=c L u C i根據(jù)基爾霍夫定律得:c L L i u i L i R u +=整理得=+-=21021211001011x x u y u L x x CLL R x x i3-1-2 如圖所示電樞電壓控制的它勵直流電動機,輸入為電樞電壓a u 輸出為電動機角速度,電動機軸上阻尼系數(shù)為f ,轉(zhuǎn)動慣量J ,試列寫狀態(tài)方程和輸出方程。 L題3-1-2圖【解】:設(shè)狀態(tài)變量為:=a i x x 21 其中a i 為流過電感上的電流,電動機軸上的角速度。 電動機電樞回路的電壓方程為:b a a a a a e i R i L u +=b e 為電動機反電勢。電動

3、機力矩平衡方程為L D M f J M +=由電磁力矩和反電勢的關(guān)系,有e b c e =,a M D i c M =式中e c 為電動機反電勢系數(shù),M c 為電動機的轉(zhuǎn)矩系數(shù)。J 為電動機軸上粘性摩擦系數(shù),f 電動機軸上等效轉(zhuǎn)動慣量。 整理得=-+-=212121101001x x y M u J L x x J f Jc L c L R x x L a a Ma ea a (注:解是非唯一的3-1-3 試求圖示系統(tǒng)的模擬結(jié)構(gòu)圖,并建立狀態(tài)空間表達式。 (1 題3-1-3圖1(2題3-1-3圖2【解】: (1如題3-1-3圖3設(shè)狀態(tài)變量 題3-1-3圖32414111x T x T x+-=

4、 (3432x x K x-= 23x x= 6225224241x T K x T K x T x+-= 5525551x T x T K x -= (1111616x u T K x T x-+-= 1x y =寫成矩陣的形式得:xy u T K x T TK T T K T K T K T K K T T x0000010000010000010001000000010000000001111111555222223344=+-=(2如圖題3-1-3圖4設(shè)狀態(tài)變量 2y題3-1-3圖4 21x x= (4122x u c ax x-+-= 433fx ex x+-= 23244du dg

5、x dx bx x+-+-= 11x y = 32x y = 1x y =寫成矩陣的形式得:x y u d c x b dg d f e c a x=+-=01000001000000000000010 (注:此題解并非唯一的3-1-4 已知系統(tǒng)的微分方程,試將其轉(zhuǎn)變成狀態(tài)空間表達式。(1 u y y y y 2642=+ (2 u u y y y 237+=+ (3 u u u y y y y23745+=+ (4 u u y y y +-=+3234( 【解】:在零初始條件下,方程兩邊拉氏變換,得到傳遞函數(shù),再根據(jù)傳遞函數(shù)求狀態(tài)空間表達式。此題多解,一般寫成能控標準型、能觀標準型或?qū)菢藴?/p>

6、型,以下解法供參考。 (1傳遞函數(shù)為:6422(23+=s s s s G狀態(tài)空間表達式為:xy u x x 002100246100010=+-= (2傳遞函數(shù)為:3072372(2323+=+=s s s s s s s s G狀態(tài)空間表達式為:xy u x x 012100703100010=+-=(3傳遞函數(shù)為:74523(232+=s s s s s s G 狀態(tài)空間表達式為:xy u x x 132100547100010=+-= (4傳遞函數(shù)為:2030132313(23424+-=+-=s s s s s s s s s G 狀態(tài)空間表達式為:xy u x x 00311000

7、0302100001000010-=+-= 【解】:此題多解,一般可以寫成能控標準型、能觀標準型或?qū)菢藴市?以下解法供參考。 (1xy u x x 1111006116100010=+-=結(jié)構(gòu)圖如圖題3-1-5圖1所示 題3-1-5圖1(2655216552656513(22222+-=+-+=+=s s s s s s s s s s s s s Guy u x x +-=+-=25105610 結(jié)構(gòu)圖如圖題3-1-5圖2(a 所示 題3-1-5圖2(a或有312116513(22+-+-=+=s s s s s s s Gux y u x x +-=+-=11113002 結(jié)構(gòu)圖如圖題3

8、-1-5圖2(b 所示 y題3-1-5圖2(b(33(1(4(2+=s s s s G1(11(23(3134(2+-+-+-+=s s s s s Gxy u x x-=+-=12313410111000110000300000 結(jié)構(gòu)圖如圖題3-1-5圖3所示 題3-1-5圖3(413332(232+=s s s s s s G xy u x x 123100331100010=+-=結(jié)構(gòu)圖如圖題3-1-5圖4所示 y題3-1-5圖43-1-6 將下列狀態(tài)方程化成對角標準型。(1u x x+-=106510 (2u x x +-=1537126712203010(3u x x +-=0116

9、116100010【解】:(1特征方程為:05(1(56(2=+=+=D 。特征值為:5,121-=-=系統(tǒng)矩陣A 為友矩陣,且特征值互異,因此可以化為對角標準型,其變換矩陣P 為范德蒙矩陣。變換陣:-=-=-111525.0,511111121P P 線性變換后的狀態(tài)方程為:u x u b P x AP P x -+-=+=-25.025.05001(11 (2特征方程為:03(2(1(6116671223123=+=+=+-=-A I 特征值為:3,2,1321-=-=-=。設(shè)變換陣:P=333231232221131211P P P P P P P P P 由0(=-i i P A I

10、得當11-=時,05712213011312111=-P P P 取-=1113121111P P P P當22-=時,04712223012322212=-P P P 取-=1423222122P P P P當33-=時,03712233013332313=-P P P 取-=3313323133P P P P變換陣:-=311341121P ,-=-15.15.212315.25.41P線性變換后的狀態(tài)方程為:u x x -+-=165.132015275.183* (3特征方程為:03(2(1(6116(23=+=+=D 。特征值為:3,2,1321-=-=-=。系統(tǒng)矩陣A 為友矩陣,且

11、特征值互異,因此可以化為對角標準型,其變換矩陣P 為:-=941321111111232221321P -=-5.05.111435.05.231P線性變換后的狀態(tài)空間表達式為:u x x -+-=5.275.53000200013-1-7 將下列狀態(tài)方程化成約旦標準型。(1u x x+-=102112 (2u x x +-=371523*(3u x x +-=100452100010 【解】:(1特征方程為:03(1(3421122=+=+=+-+=-A I 特征值為:3,121-=-=。設(shè)變換陣:=22211211P P P P P 由0(=-i i P A I 得:當11-=時,0111

12、12111=-P P 取=111P 當32-=時,011112212=-P P 取-=112P -=1111P ,-=-5.05.05.05.01P線性變換后的狀態(tài)空間表達式為:u x u b P x AP P x -+-=+=-5.05.03001(11 (2特征方程為:03(1(311212142=-=-=-A I 特征值為:1,3321=。 設(shè)變換陣:=333231232221131211P P P P P P P P P P 當31=時,由0(11=-P A I 得:0011231211312111=-P P P ,取=1111P當32=時,由122(P P A I -=-得:-=-1

13、11011231211322212P P P ,取=0012P 當13=時,由0(33=-P A I 得:0211211213332313=-P P P ,取=1203P變換陣:=101201011P ,-=-1102112101P線性變換后的狀態(tài)空間表達式為:u x x -+=432518100030013 (3特征方程為:02(1(254(223=-=-+-=D 。特征值為:2,1321=。系統(tǒng)矩陣A 為友矩陣,且特征值有重根,因此可以化為約當標準型,其變換矩陣P 為:=3111321P d dP P P P P P =11112111P ,=21021012P ,=42112333P 變

14、換陣:=421211101P ,-=-1211321201P線性變換后的狀態(tài)空間表達式為:u x x -+=1112000100113-1-8 已知狀態(tài)空間表達式,u x x -+-=324111410030012(1試用x P x 1-=進行線性變換,變換矩陣=-1000200011P 求變換后的狀態(tài)空間表達式。(2試證明變換前后系統(tǒng)的特征值的不變性和傳遞函數(shù)矩陣的不變性?！窘狻? (1x P x x P x 1=-=-45.0003005.021AP P A-=-3282111B P Bu x x -+-=32821145.0003005.02(2證明:變換后的系統(tǒng)矩陣為AP P A 1-

15、=,輸入矩陣為B P B 1-=特征值的不變性:A sI P A sI P AP P P sP AP P sI -=-=-=-1111傳遞函數(shù)矩陣的不變性:BA sI CB PP A sI CPP B P P A sI P CP B P AP P P sP CP B P AP P sI CP s G 11111111111111(-=-=-=-=-=驗證:變換前的特征方程為:04(3(2(1=+=D變換后的特征方程為:04(3(2(2=+=D(21D D =所以變換前后系統(tǒng)的特征值是不變的。 3-1-9 已知兩個子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣分別為 矩陣。 【解】:(1 串聯(lián)(1s G 在前,(2s G

16、 在后時+=+=2(1(11(13(2(1(6623(1(11021110111131(2212s s s s s s s s s s s s s s s s s s G s G s G(2s G 在前,(1s G 在后時+=+=01(11(13(2(1(520111131102111(221s s s s s s s s s s s s s s G s G s G (2 并聯(lián)+=+=+=s s s s s s s s s s s s s s s G s G s G 11(12(1(323(1(420111131102111(213-1-10 已知離散系統(tǒng)的差分方程為(21(1(52(33(k

17、 u k u k y k y k y k y +=+ ,求系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式,并畫出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。 【解】:根據(jù)差分方程,在零初始條件下,方程兩邊Z 變換,得到系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為1532(23+=z z z z z G (012(100(3511000101(k x k y k u k x k x =+-=+ 其結(jié)構(gòu)圖如圖題3-1-10圖所示: y題3-1-10圖3-1-11 已知離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為(10(31101(1(2121k u k x k x k x k x +=+,=(11(21k x k x k y ,求系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)?！窘狻?H G zI C z W 1(-=-=

18、-10311111z z-=10113131112z z z z 1312-+=z z z也可以直接寫出。 【解】:此題多解,一般可以寫成能控標準型、能觀標準型或?qū)菢藴市?以下解法供參考。 (1(212(100(61161000101(k x k y k u k x k x =+-=+(2(001(100(4521000101(k x k y k u k x k x =+-=+第二章 狀態(tài)空間表達式的解3-2-1 試求下列矩陣A 對應(yīng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣(t 。 (1 -=2010A (2 -=0410A (3 -=2110A (4 -=452100010A (5=0000100001000010

19、A (6=000100010000A 【解】:(1+=+-=-=-2(102(11201(11111s s s s L s s L A sI L t -=+-=-t t e e s s s s L 22105.05.012(102(5.05.01(2-=+-+=-=-=-t t t t s s s s s sL s s L A sI L t 2cos 2sin 22sin 5.02cos 44441441(222211111(3+-+=+-=-=-2222111111(1(11(11(2211(s s s s s s L s s L A sI L t -+=-t t tt tt te e te

20、 te e te t (4特征值為:2,1321=。由習題3-1-7(3得將A 陣化成約當標準型的變換陣P 為=421211101P ,-=-1211321201P線性變換后的系統(tǒng)矩陣為:=-2000100111AP P A=t t t t tA e e te e e20000 -=-1211321200000421211101(21t t t ttA At e te e eP Pe e t -+-+-+-=t t t tt t t t t t t t t t t tt t t t t t t t tt e te e e te e e te e e te e e te e e te e e t

21、e e e te e te e t 34838424225342222322(222222222 (5為結(jié)構(gòu)四重根的約旦標準型。04321=10100211061211100100!2110!31!211(232232t t t t t t t t t t t t e e t t At (6=4321雖然特征值相同,但對應(yīng)著兩個約當塊。=t A tA Ate e et 2100( t t A e e A =11=t t t t t t tA e te e e t te e e A 00021001001222 =t t t t t t tAte te e e t te e e et 00002

22、10000(2 或0100010000(1111-=-=s s s s L A sI L t +-+-+-+-+-+-+-=-s s s s s s s L 100(1100(1(11000012321=t t t t t t t e te e e t te e e 00002100002 3-2-2 已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程和初始條件=1010(,210010001x x x (1用laplace 法求狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣; (2用化標準型法求狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣; (3用化有限項法求狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣; (4求齊次狀態(tài)方程的解。 【解】: (1210010001(1111-=-=s s s L A sI L t+-=

23、-=-t tt tt e e e e e s s s s s L 221000002(12(11(1001(101(1(2特征方程為:02(1(2100100012=-=-=-A I 特征值為:2,1321=。1110000000(11=-=-n rank A I rank 1110000000(221=-n rank A I rank 由于112=n n ,所以1對應(yīng)的廣義特征向量的階數(shù)為1。求滿足0(11=-P A I 的解1P ,得:0110000000312111=-P P P ,=0011P 再根據(jù)0(22=-P A I ,且保證1P 、2P 線性無關(guān),解得:T P 1102-=對于

24、當23=的特征向量,由0(33=-P A I 容易求得:T P 1003=所以變換陣為:-=110010001321P P P P ,=-1100100011P線性變換后的系統(tǒng)矩陣為:=-2000100011AP P A=t t t tA e e e e200000 +-=-t tt t t t t t Ate e e e e P e e e P e t 22120000000000( (3特征值為:2,1321=。2121101a a a e t +=12121a a te t +=2323103a a a e t +=即=-t t t e te e a a a 31112331211210

25、12101 =-t t te te e 21421210111 -=t t te te e 2111232120 +-+-=t t t t t t t t e te e e te e e te 22223222210A a A a I a e At += +-=t tt t t e e e e e 2200000 (4=+-=t t t tt t t e e e e e e e x t t x 22201010000(3-2-3 試判斷下列矩陣是否滿足狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的條件,如果滿足,試求對應(yīng)的矩陣A 。(1-=t t t t t sin cos 0cos sin 0001(2-=-tt e e

26、t 2201(5.01(3+-+-=-t t ttt t tt e e e e e e e e t 22222222(4+-+-+=-tt tt t t t t e e e e e e e e t 33335.05.025.025.05.05.0( 【解】:(1I t t t t t -=-=010100001sin cos 0cos sin 00010(0不滿足狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的條件。(2I e e t tt =-=-100101(5.010(022 滿足狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的條件。由(t A t =,得A A =0(0( 。 -=-=-=-20102000(,200(02222t t t t t e

27、e A e e t (3I e e ee e e e e t t t ttt t tt =+-+-=-0222222220( 滿足狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的條件。-=-+-+-=-31204242220(02222t t t tt t t tt e e ee e e e e A(4I e e e e e e e e t t t tt t t tt =+-+-+=-033335.05.025.025.05.05.00(滿足狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的條件。=+-+-=-14115.15.0375.025.05.15.00(03333t tt tt t t tt e e ee e e e e A 【解】:取(*(*(,21

28、12(,2112(1221222111t A t A t A t A t t t A t t t A =-=-=得: +-+-+=d d I e t t t t t t d A tt 2(0002112!212112,( +-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+= (21(32(1(21(32(1,(03032202200220003032200t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t3-2-5 已知線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為u x x+-=103210 ,初始條件為-=110(x 試求輸入為單位階躍函數(shù)時系統(tǒng)狀態(tài)方程的解?！窘狻?(11-=A s

29、I L t+-+-=+-+=-t t t t t t tt e e ee e e ee s s s s s s s s s s L t 2222122222(1(2(1(22(1(12(1(3( -+=-=-tt e e B t I A x t t x 2215.05.0(0( 3-2-6 已知線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為x y u x x21,026510=+-= ,已知狀態(tài)的初始條件為=100(x ,輸入量為0(=-t e t u t,試求系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。【解】:+-+-=-=-t t tt t t tt e e e e e e e e A sI L t 5555114541454541

30、414145( d Bu t c x t c t y t(0(0-+=+-+-=-104541454541414145215555t t tt t t t t e e e e e e ee d e ee e e e e e e tt t t t t t t t -+-+-+024*1414145210(5(5(5(5(d e e e e e e e t t t t tt t -+-+ +-=(5(5(05252521252149410(8987252925(494150455+-=+-+-=-+-t e e te d e e e e t t t tt t t t 3-2-7線性定常系統(tǒng)的齊次方

31、程為(t Ax x= ,已知當-=210(x 時,狀態(tài)方程的解為 -=-t t e e t x 222(;而當-=110(x 時,狀態(tài)方程的解為-=-t t e e t x (,試求: (1系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣(t ; (2系統(tǒng)的系數(shù)矩陣A ?！窘狻?0(x t t x =0(0(212221121121x x t x t x -=-=-11;212222112112221121122t t t t e e e e t e 212112-=-,t e 2222122-=- t e -=-1211,t e -=-2221+-+-=-t t t t t t tt e e ee e e e e t 2

32、222222112112222(-=3210(0t t A 3-2-8 已知線性時變系統(tǒng)為-=110(,010x x t x,試求系統(tǒng)狀態(tài)方程的解?！窘狻?對任意時間t 1和t 2有=2211010(,010(t t A t t A 得:(*(*(1221t A t A t A t A 所以有+=ttd d A A d A I t 01022101(0,(+=3226102105.0001001t tt t -+=116102105.0001001(0(0,(322 ttt t x t t x+-=-+=615.01(21111615.010211(322322 t t t t t t t t

33、 t x第三章 線性控制系統(tǒng)的能控性和能觀性3-3-1 判斷下列系統(tǒng)的狀態(tài)能控性。(1=-=01,0101B A (2-=-=111001,342100010B A (3-=-=020011,100030013B A (4=1110,0000000011111B A 【解】:(12,1011=-=n rankU AB BU c c ,所以系統(tǒng)完全能控。(2-=7111111010012B A ABBU c 前三列已經(jīng)可使3=n rankU c ,所以系統(tǒng)完全能控(后續(xù)列元素不必計算。 (3A 為約旦標準型,且第一個約旦塊對應(yīng)的B 陣最后一行元素全為零,所以系統(tǒng)不完全能控。 (4A 陣為約旦標準

34、型的特殊結(jié)構(gòu)特征,所以不能用常規(guī)標準型的判別方法判系統(tǒng)的能控性。同一特征值對應(yīng)著多個約旦塊,只要是單輸入系統(tǒng),一定是不完全能控的。 可以求一下能控判別陣。2,111321031211312113121121132=c c rankU B A BA AB BU ,所以系統(tǒng)不完全能控。3-3-2 判斷下列系統(tǒng)的輸出能控性。(1 -=-+-=xy u x x 011101020011100030013 (2 =+-=x y u x x 0011006116100010【解】: (1已知-=-=020011,100030013B A ,-=011101C ,=0000D -=111300002B CA

35、 CAB CB D前兩列已經(jīng)使22=m B CA CAB CB D rank ,所以系統(tǒng)輸出能控。(2系統(tǒng)為能控標準型,所以狀態(tài)完全能控。又因輸出矩陣C 滿秩,且輸出維數(shù)m 小于狀態(tài)維數(shù)n ,所以狀態(tài)能控則輸出必然能控。2-3-3 判斷下列系統(tǒng)的能觀性。(1 -=-=xy x x 121110342100010 ;(2 =xy x x 110111 ; (3 =-=x y x x 110300020012 ;(4=-=x y x x 411100040004 【解】: (1已知-=-=121110,342100010C A -= 44212111020CA CA C V前三行已使30=n ra

36、nkV ,所以系統(tǒng)完全能觀(后續(xù)元素不必計算。(211,0111=C A 2,121100=n rankV CA C V所以系統(tǒng)完全能觀。(3狀態(tài)空間表達式為約旦標準型,且C 陣對應(yīng)于第一個約旦塊的第一列元素為零,所以系統(tǒng)狀態(tài)不完全能觀。 (4狀態(tài)空間表達式為約旦標準型的特殊結(jié)構(gòu)形式,所以不能用常規(guī)方法判系統(tǒng)的能觀性。同一特征值對應(yīng)著多個約旦塊,只要是單輸出系統(tǒng),一定是不完全能觀的。也可求2,0,416164444110020=-=rankV V CA CA C V所以系統(tǒng)不完全能觀。3-3-4 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為Bu Ax x+= ,若1x 、2x 是系統(tǒng)的能控狀態(tài),試證狀態(tài)21x x +也是

37、能控的(其中、為任意常數(shù)?！窘狻? 設(shè):x Cx y =因為,狀態(tài)1x 和2x 能控,所以至少有21=-B A AB B rank n 。而由系統(tǒng)輸出能控的判別陣得: 1(12=-B A AB BC rank B CA CAB CB rank n ,(C 陣又滿秩。 所以x Cx y =一定是能控的。3-3-5 設(shè)系統(tǒng)1和2的狀態(tài)空間表達式為=+-=+-=2222221111112:12104310:x y u x xxy u x x (1試分析系統(tǒng)1和2的能控性和能觀性,并寫出傳遞函數(shù);(2試分析由1和2組成的串聯(lián)系統(tǒng)的能控性和能觀性,并寫出傳遞函數(shù); (3試分析由1和2組成的并聯(lián)系統(tǒng)的能控

38、性和能觀性,并寫出傳遞函數(shù)。 【解】: (12,2312;2,4110:1=-=-=o o c c rankV V rankU U=+-=2222222:x y u x x兩個子系統(tǒng)既能控又能觀。(2以系統(tǒng)1在前系統(tǒng)2在后構(gòu)成串聯(lián)系統(tǒng)為例(串聯(lián)順序變化狀態(tài)空間表達式不同,又都是SISO 系統(tǒng),傳遞函數(shù)相同: 系統(tǒng)有下關(guān)系成立:u u =1,12y u =,2y y =21x x x xx C y u x u b x A C b A x100001021204301000212121=+-=+= ;2,41013414102=-=c c rankU b A Ab bU3,4472121002=-=o o rankV CA CA C V串聯(lián)后的系統(tǒng)不能控但能觀。傳遞函數(shù)為:1111212212(b A sI C b A sI C s G s G s G -=34(12(34(2104311212(12211+=+=+-+=-s s s s s s s s s (3并聯(lián)后的系統(tǒng)數(shù)學模型為: 系統(tǒng)有下關(guān)系成立:u u u =21,21y y y +=并聯(lián)后的狀態(tài)空間表達式為:xx C C y