對(duì)弧長(zhǎng)曲線(xiàn)積分ppt課件

1、第四節(jié)第四節(jié) 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分一、弧微分一、弧微分二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分的計(jì)算二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分的計(jì)算第十章第十章 第一節(jié)第一節(jié)G 表示的幾種幾何形體以及其上的積分：表示的幾種幾何形體以及其上的積分：D閉區(qū)間閉區(qū)間a,bL(平面有界平面有界 閉區(qū)域閉區(qū)域)平面有限 曲線(xiàn)段有限曲有限曲 面片面片(空間有界空間有界 閉區(qū)域閉區(qū)域)(空間有限空間有限 曲線(xiàn)段曲線(xiàn)段)二重積分三重積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分對(duì)面積的曲面積分幾何形體上的積分幾何形體上的積分 GfP dg ,;Dfx y d , ,fx y z dv ,;Lfx y ds , ,fx y z ds 重積分重積分對(duì)弧長(zhǎng)的第一型曲線(xiàn)積

2、分對(duì)弧長(zhǎng)的第一型曲線(xiàn)積分對(duì)面積的第一型曲面積分對(duì)面積的第一型曲面積分( , , )f x y z dS ( , )GLfP dgf x y ds 當(dāng)當(dāng)G為平面或空間有限光滑為平面或空間有限光滑(或分段光滑或分段光滑)曲線(xiàn)曲線(xiàn)(L或或 )時(shí)，積分稱(chēng)為對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分時(shí)，積分稱(chēng)為對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分 或第一型曲線(xiàn)積分或第一型曲線(xiàn)積分,即即 ( , , )GfP dgf x y z ds 或或( , )( , , )Lf x y dsf x y z ds 或或當(dāng)當(dāng)L(或或 )為簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn)時(shí)為簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn)時(shí),對(duì)弧長(zhǎng)的積分記為對(duì)弧長(zhǎng)的積分記為 計(jì)算思緒：計(jì)算思緒：( , )Lf x y ds 化為定積分來(lái)計(jì)算

3、化為定積分來(lái)計(jì)算點(diǎn)在點(diǎn)在L L上變化上變化 ?復(fù)習(xí)弧長(zhǎng)微分概念復(fù)習(xí)弧長(zhǎng)微分概念xoyab( )yf x (1)(1)直角坐標(biāo)情形直角坐標(biāo)情形對(duì)對(duì), x有有, s弧長(zhǎng)微分公式弧長(zhǎng)微分公式 22()()dsdxdy 21(),dydxdx 21,dsy dx xxx sxy22()() ,sxy 斜邊取取, xdyds以直代曲以直代曲一、弧長(zhǎng)微分一、弧長(zhǎng)微分(2) (2) 參數(shù)方程情形參數(shù)方程情形曲線(xiàn)弧為曲線(xiàn)弧為( ),( ),xtyt ().t 且在且在上具有延續(xù)導(dǎo)數(shù)上具有延續(xù)導(dǎo)數(shù) , ( ),t ( ).t 22()()dsdxdy 222( )( )()ttdt 22( )( ).dstt

4、dt ( ),dxt dt ( ).dyt dt 弧長(zhǎng)微分弧長(zhǎng)微分( (化為定積分化為定積分) )1 1參數(shù)方程情形參數(shù)方程情形( ),:(),( ),xtLtyt 其中其中( ),( )tt有有連連續(xù)續(xù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，且且22( )( )0;tt 設(shè)曲線(xiàn)設(shè)曲線(xiàn) ,fx yL在在 上上連連續(xù)續(xù). .二、對(duì)弧長(zhǎng)曲線(xiàn)積分的計(jì)算二、對(duì)弧長(zhǎng)曲線(xiàn)積分的計(jì)算1. 1. 平面曲線(xiàn)積分平面曲線(xiàn)積分( , )Lf x y ds ( , ),f x yftt ( , )Lf x y ds 22 ( ),( )( )( )ftttt dt :( ),( ) ().L xtytt (化為對(duì)t 的定積分)22( )( )

5、.dstt dt ( , )x yL在在 上上變變化化，因此因此. 其其中中計(jì)算公式計(jì)算公式( , )Lf x y ds 22 ( ), ( )( )( ) ,ftttt dt 計(jì)算公式計(jì)算公式注注1:1: 右右端端被被積積函函數(shù)數(shù)在在, ,上上連連續(xù)續(xù)，故右端的定積分存在故右端的定積分存在.( , )Lf x y ds 22 ( ),( )( )( ),ftttt dt 注注2:2:在第一型曲線(xiàn)積分的計(jì)算中在第一型曲線(xiàn)積分的計(jì)算中, ,? 定積分的下限一定要小于上限定積分的下限一定要小于上限. .22( )( ).dstt dt0 00.0( , )Lf x y ds 2 2直角坐標(biāo)情形直角

6、坐標(biāo)情形化成參數(shù)方程化成參數(shù)方程,( ),xxyy x ( , )Lf x y ds 2 , ( ) 1( ).baf x y xyx dx :( ),L yy x .axb .axb 22222()( )()()1 ()xxxdsdxdyxydxydx ds :( ),L xx y cyd假設(shè)假設(shè)?21 ()ydsxdy ( , )Lf x y ds 2 ( ), 1( ).dcf x yyxy dy 例例1 1計(jì)算計(jì)算,LIxyds sin ,txat 其中其中L L的方程是的方程是cos ,(0).sin ,2xattyat cos ,tyat 22()()ttdsxydt22(sin

7、)( cos )atatdt.adt 解解axyOLLIxyds 22()().ttdsxydtadt 20cossinat at adt 320sin(sin )atdt 23(sin)220ta 3.2a (0)2t 例例2 2 計(jì)算計(jì)算 ,LIxy ds 其中其中L是以是以 (0,0),1,0 ,1,1OAB為頂點(diǎn)的為頂點(diǎn)的.LOAABBA LOAABBO 三角形邊境三角形邊境. .L是分段光滑弧段是分段光滑弧段, ,解解yx (1,1)B(0,0)(1,0)AOxy在在OAOA上，上， 0, 01yx 22dsdxdydx 1012OAxy dsxdx 故故在在ABAB上，上， 1,

8、01xydsdy 10312ABxy dsy dy 故故yx (1,1)B(0,0)(1,0)AOxy 10222OAxy dsxdx 故故在在BOBO上，上， , 01yxx 2dsdx 1 32 222 2Lx y ds 因此因此yx (1,1)B(0,0)(1,0)AOxy2. 2. 空間對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分計(jì)算空間對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分計(jì)算( ),:( ), ().( ),xtyttzt ( , , )f x y z ds 222( )( )( ).ttt dtds( (參數(shù)情形參數(shù)情形) ) ( ),( ),( )fttt 曲線(xiàn)曲線(xiàn)平面情形的推行平面情形的推行例例3 3計(jì)算計(jì)算222,dsxy

9、z 其中其中是螺線(xiàn)是螺線(xiàn)的第一圈的第一圈222()()()tttdsxyzdt cos ,xat sin ,yat zbt (02 ).t 222(sin )( cos )( )atatb dt 22.ab dt解解22.dsab dt 222dsxyz 22222 20dtabab t 2222220( cos )( sin )()ab dtatatbt 22222 20( )abd btbab t 2221arctan()0abbtbaa 222arctan.abbaba 22(1arctan)dxaxxcaa 以圓弧的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)以圓弧的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn), ,L例例4 4 有一段鐵絲成半

10、圓形有一段鐵絲成半圓形L L，半徑為半徑為R R，其上任一點(diǎn)的線(xiàn)密度的大小等于該點(diǎn)到其其上任一點(diǎn)的線(xiàn)密度的大小等于該點(diǎn)到其兩端點(diǎn)連線(xiàn)的間隔，兩端點(diǎn)連線(xiàn)的間隔，求其質(zhì)量求其質(zhì)量. .L的對(duì)稱(chēng)軸為的對(duì)稱(chēng)軸為y 軸軸,那么那么建立坐標(biāo)系建立坐標(biāo)系( (如圖如圖).). ,.LLMx y dsyds yxo解解R ,x y L 的參數(shù)方程為L(zhǎng)Myds cos ,sin ,xRyR (0). 20cosR 20sinRd 22.R 22()().dsxydtRd 小小 結(jié)結(jié)對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分的計(jì)算對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分的計(jì)算-化為定積分化為定積分( , )Lf x y ds 1.把積分途徑把積分途徑L代入被積函

11、數(shù)；代入被積函數(shù)；2.根據(jù)積分途徑根據(jù)積分途徑L的不同的表示方式，的不同的表示方式，求出弧微分求出弧微分.3. 定出定積分的上下限，下限小于上限定出定積分的上下限，下限小于上限.(1) (1) 曲線(xiàn)弧為參數(shù)方程的計(jì)算曲線(xiàn)弧為參數(shù)方程的計(jì)算(2)(2)曲線(xiàn)弧的方程為顯函數(shù)方程的計(jì)算曲線(xiàn)弧的方程為顯函數(shù)方程的計(jì)算:( ),( ) ().L xtytt ( , )Lf x y ds 22 ( ),( )( )( )ftttt dt 22( )( ).dstt dt 將顯函數(shù)方程化為參數(shù)方式：將顯函數(shù)方程化為參數(shù)方式：( , )Lf x y ds 2 , ( ) 1( ).baf x y xyx dx

12、 :( ),L yy x .axb 21 ()xdsydx 思索題思索題1.1.以下兩式正確否？以下兩式正確否？(1)區(qū)域區(qū)域222:,D xya 那么那么22aa ( (錯(cuò)誤錯(cuò)誤) )(2)曲線(xiàn)曲線(xiàn)222:,L xya 那么那么22()Lxy ds 32.a 4.a ( (正確正確) )22()Dxy d 22aa 2a 2a 221,4x yxy 22281xy 2.2.假設(shè)有不均勻的橢圓假設(shè)有不均勻的橢圓形構(gòu)件，形構(gòu)件， ,x y其上一點(diǎn)其上一點(diǎn)的線(xiàn)密度的線(xiàn)密度 那么此橢圓形構(gòu)那么此橢圓形構(gòu)件件的平均線(xiàn)密度是的平均線(xiàn)密度是 提示：平均線(xiàn)密度提示：平均線(xiàn)密度= =質(zhì)量質(zhì)量M / M / 曲線(xiàn)長(zhǎng)曲線(xiàn)長(zhǎng)L L平均線(xiàn)密度平均線(xiàn)密度22),( LLLLdsdsdsdsyx 2 221,4LLx y dsdsxy 其其中中1212LLdsds22221:281:42LxyL xy平均線(xiàn)密度平均線(xiàn)密度22),( LLLLdsdsdsdsyx 討論題 由此給出對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分的幾何意義由此給出對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分的幾何意義. . 知一柱面的準(zhǔn)線(xiàn)平面曲線(xiàn)和高，知一柱面的準(zhǔn)線(xiàn)平面曲線(xiàn)和高，可以利用積分求出它的面積嗎？可以利用積分求出它的面積嗎？提示：由定積分的幾何意義推行提示：由定積分的幾何意義推行. .答：柱面的側(cè)面積答：柱面的側(cè)面積( , )Lf x y ds y