對弧長曲線積分ppt課件

1、第四節(jié)第四節(jié) 對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分一、弧微分一、弧微分二、對弧長的曲線積分的計算二、對弧長的曲線積分的計算第十章第十章 第一節(jié)第一節(jié)G 表示的幾種幾何形體以及其上的積分：表示的幾種幾何形體以及其上的積分：D閉區(qū)間閉區(qū)間a,bL(平面有界平面有界 閉區(qū)域閉區(qū)域)平面有限 曲線段有限曲有限曲 面片面片(空間有界空間有界 閉區(qū)域閉區(qū)域)(空間有限空間有限 曲線段曲線段)二重積分三重積分對弧長的曲線積分對面積的曲面積分幾何形體上的積分幾何形體上的積分 GfP dg ,;Dfx y d , ,fx y z dv ,;Lfx y ds , ,fx y z ds 重積分重積分對弧長的第一型曲線積

2、分對弧長的第一型曲線積分對面積的第一型曲面積分對面積的第一型曲面積分( , , )f x y z dS ( , )GLfP dgf x y ds 當(dāng)當(dāng)G為平面或空間有限光滑為平面或空間有限光滑(或分段光滑或分段光滑)曲線曲線(L或或 )時，積分稱為對弧長的曲線積分時，積分稱為對弧長的曲線積分 或第一型曲線積分或第一型曲線積分,即即 ( , , )GfP dgf x y z ds 或或( , )( , , )Lf x y dsf x y z ds 或或當(dāng)當(dāng)L(或或 )為簡單閉曲線時為簡單閉曲線時,對弧長的積分記為對弧長的積分記為 計算思緒：計算思緒：( , )Lf x y ds 化為定積分來計算

3、化為定積分來計算點在點在L L上變化上變化 ?復(fù)習(xí)弧長微分概念復(fù)習(xí)弧長微分概念xoyab( )yf x (1)(1)直角坐標(biāo)情形直角坐標(biāo)情形對對, x有有, s弧長微分公式弧長微分公式 22()()dsdxdy 21(),dydxdx 21,dsy dx xxx sxy22()() ,sxy 斜邊取取, xdyds以直代曲以直代曲一、弧長微分一、弧長微分(2) (2) 參數(shù)方程情形參數(shù)方程情形曲線弧為曲線弧為( ),( ),xtyt ().t 且在且在上具有延續(xù)導(dǎo)數(shù)上具有延續(xù)導(dǎo)數(shù) , ( ),t ( ).t 22()()dsdxdy 222( )( )()ttdt 22( )( ).dstt

4、dt ( ),dxt dt ( ).dyt dt 弧長微分弧長微分( (化為定積分化為定積分) )1 1參數(shù)方程情形參數(shù)方程情形( ),:(),( ),xtLtyt 其中其中( ),( )tt有有連連續(xù)續(xù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，且且22( )( )0;tt 設(shè)曲線設(shè)曲線 ,fx yL在在 上上連連續(xù)續(xù). .二、對弧長曲線積分的計算二、對弧長曲線積分的計算1. 1. 平面曲線積分平面曲線積分( , )Lf x y ds ( , ),f x yftt ( , )Lf x y ds 22 ( ),( )( )( )ftttt dt :( ),( ) ().L xtytt (化為對t 的定積分)22( )( )

5、.dstt dt ( , )x yL在在 上上變變化化，因此因此. 其其中中計算公式計算公式( , )Lf x y ds 22 ( ), ( )( )( ) ,ftttt dt 計算公式計算公式注注1:1: 右右端端被被積積函函數(shù)數(shù)在在, ,上上連連續(xù)續(xù)，故右端的定積分存在故右端的定積分存在.( , )Lf x y ds 22 ( ),( )( )( ),ftttt dt 注注2:2:在第一型曲線積分的計算中在第一型曲線積分的計算中, ,? 定積分的下限一定要小于上限定積分的下限一定要小于上限. .22( )( ).dstt dt0 00.0( , )Lf x y ds 2 2直角坐標(biāo)情形直角

6、坐標(biāo)情形化成參數(shù)方程化成參數(shù)方程,( ),xxyy x ( , )Lf x y ds 2 , ( ) 1( ).baf x y xyx dx :( ),L yy x .axb .axb 22222()( )()()1 ()xxxdsdxdyxydxydx ds :( ),L xx y cyd假設(shè)假設(shè)?21 ()ydsxdy ( , )Lf x y ds 2 ( ), 1( ).dcf x yyxy dy 例例1 1計算計算,LIxyds sin ,txat 其中其中L L的方程是的方程是cos ,(0).sin ,2xattyat cos ,tyat 22()()ttdsxydt22(sin

7、)( cos )atatdt.adt 解解axyOLLIxyds 22()().ttdsxydtadt 20cossinat at adt 320sin(sin )atdt 23(sin)220ta 3.2a (0)2t 例例2 2 計算計算 ,LIxy ds 其中其中L是以是以 (0,0),1,0 ,1,1OAB為頂點的為頂點的.LOAABBA LOAABBO 三角形邊境三角形邊境. .L是分段光滑弧段是分段光滑弧段, ,解解yx (1,1)B(0,0)(1,0)AOxy在在OAOA上，上， 0, 01yx 22dsdxdydx 1012OAxy dsxdx 故故在在ABAB上，上， 1,

8、01xydsdy 10312ABxy dsy dy 故故yx (1,1)B(0,0)(1,0)AOxy 10222OAxy dsxdx 故故在在BOBO上，上， , 01yxx 2dsdx 1 32 222 2Lx y ds 因此因此yx (1,1)B(0,0)(1,0)AOxy2. 2. 空間對弧長的曲線積分計算空間對弧長的曲線積分計算( ),:( ), ().( ),xtyttzt ( , , )f x y z ds 222( )( )( ).ttt dtds( (參數(shù)情形參數(shù)情形) ) ( ),( ),( )fttt 曲線曲線平面情形的推行平面情形的推行例例3 3計算計算222,dsxy

9、z 其中其中是螺線是螺線的第一圈的第一圈222()()()tttdsxyzdt cos ,xat sin ,yat zbt (02 ).t 222(sin )( cos )( )atatb dt 22.ab dt解解22.dsab dt 222dsxyz 22222 20dtabab t 2222220( cos )( sin )()ab dtatatbt 22222 20( )abd btbab t 2221arctan()0abbtbaa 222arctan.abbaba 22(1arctan)dxaxxcaa 以圓弧的圓心為坐標(biāo)原點以圓弧的圓心為坐標(biāo)原點, ,L例例4 4 有一段鐵絲成半

10、圓形有一段鐵絲成半圓形L L，半徑為半徑為R R，其上任一點的線密度的大小等于該點到其其上任一點的線密度的大小等于該點到其兩端點連線的間隔，兩端點連線的間隔，求其質(zhì)量求其質(zhì)量. .L的對稱軸為的對稱軸為y 軸軸,那么那么建立坐標(biāo)系建立坐標(biāo)系( (如圖如圖).). ,.LLMx y dsyds yxo解解R ,x y L 的參數(shù)方程為LMyds cos ,sin ,xRyR (0). 20cosR 20sinRd 22.R 22()().dsxydtRd 小小 結(jié)結(jié)對弧長的曲線積分的計算對弧長的曲線積分的計算-化為定積分化為定積分( , )Lf x y ds 1.把積分途徑把積分途徑L代入被積函

11、數(shù)；代入被積函數(shù)；2.根據(jù)積分途徑根據(jù)積分途徑L的不同的表示方式，的不同的表示方式，求出弧微分求出弧微分.3. 定出定積分的上下限，下限小于上限定出定積分的上下限，下限小于上限.(1) (1) 曲線弧為參數(shù)方程的計算曲線弧為參數(shù)方程的計算(2)(2)曲線弧的方程為顯函數(shù)方程的計算曲線弧的方程為顯函數(shù)方程的計算:( ),( ) ().L xtytt ( , )Lf x y ds 22 ( ),( )( )( )ftttt dt 22( )( ).dstt dt 將顯函數(shù)方程化為參數(shù)方式：將顯函數(shù)方程化為參數(shù)方式：( , )Lf x y ds 2 , ( ) 1( ).baf x y xyx dx

12、 :( ),L yy x .axb 21 ()xdsydx 思索題思索題1.1.以下兩式正確否？以下兩式正確否？(1)區(qū)域區(qū)域222:,D xya 那么那么22aa ( (錯誤錯誤) )(2)曲線曲線222:,L xya 那么那么22()Lxy ds 32.a 4.a ( (正確正確) )22()Dxy d 22aa 2a 2a 221,4x yxy 22281xy 2.2.假設(shè)有不均勻的橢圓假設(shè)有不均勻的橢圓形構(gòu)件，形構(gòu)件， ,x y其上一點其上一點的線密度的線密度 那么此橢圓形構(gòu)那么此橢圓形構(gòu)件件的平均線密度是的平均線密度是 提示：平均線密度提示：平均線密度= =質(zhì)量質(zhì)量M / M / 曲線長曲線長L L平均線密度平均線密度22),( LLLLdsdsdsdsyx 2 221,4LLx y dsdsxy 其其中中1212LLdsds22221:281:42LxyL xy平均線密度平均線密度22),( LLLLdsdsdsdsyx 討論題 由此給出對弧長的曲線積分的幾何意義由此給出對弧長的曲線積分的幾何意義. . 知一柱面的準(zhǔn)線平面曲線和高，知一柱面的準(zhǔn)線平面曲線和高，可以利用積分求出它的面積嗎？可以利用積分求出它的面積嗎？提示：由定積分的幾何意義推行提示：由定積分的幾何意義推行. .答：柱面的側(cè)面積答：柱面的側(cè)面積( , )Lf x y ds y