全國高中數(shù)學聯(lián)賽江蘇賽區(qū)初賽試題

1、三題 號 一 二 總 成 績13 14 15 16得 分評 卷 人復 核 人考生注意：1.本試卷共三大題（16小題），全卷滿分150分. 考試時間：120分鐘. 2.用鋼筆、簽字筆或圓珠筆作答.3.解題書寫不要超出裝訂線.4.不能使用計算器.一、選擇題（本題滿分36分，每小題6分）得 分 評卷人 本題共有6小題，每題均給出A、B、C、D四個結論，其中有且僅有一個是正確的. 請將正確答案的代表字母填在題的括號內(nèi). 每小題選對得6分；不選、選錯或選出的字母超過一個（不論是否寫在括號內(nèi)），一律得0分.1. 已知函數(shù)，則 答： （A）有最小正周期 （B）有最小正周期（C）有最小正周期 （D）無最小周期

2、2. 關于的不等式任意兩個解的差不超過，則的最大值與最小值的和是 答： （A） （B） （C） （D） 3. 已知向量a、b，設ab，ab，ab，則一定共線的三點是 答： （A） 、 （B） 、（C） 、 （D） 、4. 設、為平面，、為直線，則的一個充分條件是 答： （A）， （B），（C）， （D），5. 若、，其中，并且，則實數(shù)對表示平面上不同點的個數(shù)為 答： （A）個 （B）個 （C）個 （D）個 6. 已知（R），且 則a的值有 答： （A）個 （B）個 （C）個 （D）無數(shù)個二、填空題（本題滿分54分，每小題9分）得 分 評卷人本題共有6小題，要求直接將答案寫在橫線上. 7. 設為

3、等差數(shù)列的前項和，若，則公差為 .8. 設且的圖象經(jīng)過點，它的反函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則等于 .9. 已知函數(shù)的圖象如圖，則滿足的的取值范圍為 . yOx110. 圓錐曲線的離心率是 .11. 在中，已知，則的面積為 .12. 設命題:，命題: 對任何R，都有. 命題與中有且僅有一個成立，則實數(shù)的取值范圍是 .三、解答題（本題滿分60分，共4小題，每題各15分）得 分 評卷人13. 設不等式組 表示的平面區(qū)域為. 區(qū)域內(nèi)的動點到直線和直線的距離之積為. 記點的軌跡為曲線. 過點的直線與曲線交于、兩點. 若以線段為直徑的圓與軸相切，求直線的斜率. 14. 如圖，斜三棱柱中，面是菱形，側面B1BA1C

4、1AC，. 求證：（1）；（2）求點到平面的距離. 15. 已知數(shù)列中，. 求.16. 已知平面上個圓，任意兩個都相交. 是否存在直線，與每個圓都有公共點？證明你的結論.2007年江蘇省高中數(shù)學聯(lián)賽初賽試題參考答案及評分標準一、選擇題（本題滿分36分，每小題6分）1已知函數(shù)，則（ B ）. （A） 有最小正周期為（B） 有最小正周期為（C） 有最小正周期為 （D） 無最小正周期解：，則最小正周期. 故選（B）2關于的不等式任意兩個解的差不超過9，則的最大值與最小值的和是（ C ）. （A） 2 （B） 1 （C） 0 （D） 解：方程的兩根是，則由關于的不等式任意兩個解的差不超過，得，即. 故

5、選（C）3. 已知向量a、b，設ab，ab，ab，則一定共線的三點是（ A ）.（A）A、B、D （B）A、B、C （C）B、C、D （D）A、C、D解：ab，所以A、B、D三點共線. 故選（A）4設、為平面，、為直線，則的一個充分條件是（ D ）.（A）， （B），（C）， （D），解：（A）選項缺少條件；（B）選項當，時，；（C）選項當、兩兩垂直（看著你現(xiàn)在所在房間的天花板上的墻角），時，；（D）選項同時垂直于同一條直線的兩個平面平行本選項為真命題. 故選（D）5. 若、，其中，并且，則實數(shù)對表示平面上不同點的個數(shù)為（ C ） （A）個 （B）個 （C）個 （D）個解：由及題設知，個位數(shù)字

6、的選擇有5種. 因為，故（1） 由知，首位數(shù)字的可能選擇有種；（2） 由及知，首位數(shù)字的可能選擇有種. 于是，符合題設的不同點的個數(shù)為種. 故選（C）6已知（R），且 則a的值有（ D ）.（A）2個 （B）3個 （C）4個 （D）無數(shù)個解：由題設知為偶函數(shù)，則考慮在時，恒有所以當，且時，恒有由于不等式的解集為，不等式的解集為因此當時，恒有. 故選（D）二、填空題（本題滿分54分，每小題9分）7設為等差數(shù)列的前項和，若，則公差為 .解：設等差數(shù)列的首項為，公差為. 由題設得即解之得.8. 設且的圖象經(jīng)過點，它的反函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則等于 .解：由題設知 化簡得 解之得 （舍去）. 故等于4.9

7、已知函數(shù)的圖象如圖，則滿足的的取值范圍為 yOx1（第9題）解： 因為 ，所以. 于是，由圖象可知，即 ，解得. 故x的取值范圍為10圓錐曲線的離心率是 解：原式變形為，即 所以動點到定點的距離與它到直線的距離之比為故此動點軌跡為雙曲線，離心率為11在中，已知，則的面積為解：在中，由 得由正弦定理得 因為，所以角可取銳角或鈍角，從而故12. 設命題:，命題: 對任何R，都有. 命題與中有且僅有一個成立，則實數(shù)的取值范圍是 或 .解：由得由對于任何R成立，得，即因為命題、有且僅有一個成立，故實數(shù)的取值范圍是 或 三、解答題（本題滿分60分，每小題15分）13. 設不等式組 表示的平面區(qū)域為. 區(qū)

8、域內(nèi)的動點到直線和直線的距離之積為. 記點的軌跡為曲線. 過點的直線與曲線交于、兩點. 若以線段為直徑的圓與軸相切，求直線的斜率. 解：由題意可知，平面區(qū)域如圖陰影所示xyO設動點為，則，即 由知，xy<0，即x2y2<0所以y2x24(y0)，即曲線的方程為1(y0)5分設，則以線段為直徑的圓的圓心為.因為以線段為直徑的圓與軸相切，所以半徑 ，即 10分因為直線AB過點F(2，0)，當AB x軸時，不合題意所以設直線AB的方程為yk(x2)代入雙曲線方程1(y0)得，k2(x2)2x24，即(k21)x24k2x(8k24)0因為直線與雙曲線交于A，B兩點，所以k±1所

9、以x1x2，x1x2所以|AB|x1x2|，化簡得：k42k210，解得k21（k21不合題意，舍去）由(4k2)24(k21) (8k24) 3k210，又由于y0，所以1<k< 所以k15分解：由題意可知，平面區(qū)域D如圖陰影所示xyO設動點P(x，y)，則×2，即|x2y2|4由PD知：xy0，xy<0，即x2y2<0所以y2x24(y0)即曲線C的方程為1(y0)5分設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則以線段AB為直徑的圓的圓心為Q(，)因為以線段AB為直徑的圓與y軸相切，半徑r|AB|即|AB|x1x2| 10分因為直線AB過點F(2，0)，當AB

10、 x軸時，不合題意所以設直線AB的方程為yk(x2)代入雙曲線方程1(y0)得，k2(x2)2x24，即(k21)x24k2x(8k24)0因為直線與雙曲線交于A，B兩點，所以k±1所以x1x2，x1x2所以|AB|x1x2|，化簡得：k42k210，解得k21（k21不合題意，舍去）由(4k2)24(k21) (8k24) 3k210，又由于y0，所以1<k<所以k15分14. 如圖，斜三棱柱中，面是菱形，側面B1BA1C1AC，.求證：（1）；（2）求點到平面的距離. 證：（1）設中點為，連、. （第14題）因為，所以因為面，所以面又為正三角形，所以 . 從而 6分（2）由（1），有，面設到面的距離為，則A. 因為，CEB所以 又 ，且.設的高為，則，.于是有 ，即到平面的距離為 15分15已知數(shù)列中，. 求.解：由題設，則. 5分由 ，得，則.10分于是 ，所以 a2007=2007易知數(shù)列，符合本題要求 15分注意：猜得答案或，給2分16已知平面上個圓，任意兩個都相交是否存在直線，與每個圓都有公共點？證明你的結論A1Ak10A2B1B2Bm解：存在直線，與每個圓都有公共點證明如下：如圖，先作直線，設第個圓在直線上的正投影是線段，其中、分別是線段的左右端點個圓有