交通流理論第四章(共19頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第四章 跟馳理論與加速度干擾本章將主要討論單車(chē)道情況下的車(chē)輛跟馳現(xiàn)象，介紹跟馳理論，建立相應(yīng)的跟馳理論模型，最后簡(jiǎn)要介紹一下加速度干擾問(wèn)題。跟馳理論是運(yùn)用動(dòng)力學(xué)方法研究在限制超車(chē)的單車(chē)道上，行駛車(chē)隊(duì)中前車(chē)速度的變化引起的后車(chē)反應(yīng)。車(chē)輛跟馳行駛是車(chē)隊(duì)行駛過(guò)程中一種很重要的現(xiàn)象，對(duì)其研究有助于理解交通流的特性。跟馳理論所研究的參數(shù)之一就是車(chē)輛在給定速度下跟馳行駛時(shí)的平均車(chē)頭間距，平均車(chē)頭間距則可以用來(lái)估計(jì)單車(chē)道的通行能力。在對(duì)速度間距關(guān)系的研究中，單車(chē)道通行能力的估計(jì)基本上都是基于如下公式： (41)式中：?jiǎn)诬?chē)道通行能力（veh/h）；速度（km/h）；平均車(chē)頭間距（m）

2、。研究表明，速度間距的關(guān)系可以由下式表示： (42)式中系數(shù)、可取不同的值，其物理意義如下：車(chē)輛長(zhǎng)度，； 反應(yīng)時(shí)間，；跟馳車(chē)輛最大減速度的二倍之倒數(shù)。附加項(xiàng)保證了足夠的空間，使得頭車(chē)在緊急停車(chē)的情況下跟馳車(chē)輛不與之發(fā)生碰撞，的經(jīng)驗(yàn)值可近似取為0.023s2/英尺。一般情況下是非線性的，對(duì)于車(chē)速恒定（或近似恒定）、車(chē)頭間距相等的交通流，的近似計(jì)算公式可取為： (43)式中：、分別為跟車(chē)和頭車(chē)的最大減速度。跟馳理論除了用于計(jì)算平均車(chē)頭間距以外，還可用于從微觀角度對(duì)車(chē)輛跟馳現(xiàn)象進(jìn)行分析，近似得出單車(chē)道交通流的宏觀特性?？傊?，跟馳理論是連接車(chē)輛個(gè)體行為與車(chē)隊(duì)宏觀特性及相應(yīng)流量、穩(wěn)定性的橋梁。第一節(jié) 線

3、性跟馳模型的建立單車(chē)道車(chē)輛跟馳理論認(rèn)為，車(chē)頭間距在100125m以內(nèi)時(shí)車(chē)輛間存在相互影響。分析跟馳車(chē)輛駕駛員的反應(yīng)，可將反應(yīng)過(guò)程歸結(jié)為以下三個(gè)階段：感知階段：駕駛員通過(guò)視覺(jué)搜集相關(guān)信息，包括前車(chē)的速度及加速度、車(chē)間距離（前車(chē)車(chē)尾與后車(chē)車(chē)頭之間的距離，不同于車(chē)頭間距）、相對(duì)速度等；決策階段：駕駛員對(duì)所獲信息進(jìn)行分析，決定駕駛策略；控制階段：駕駛員根據(jù)自己的決策和頭車(chē)及道路的狀況，對(duì)車(chē)輛進(jìn)行操縱控制。線性跟馳模型是在對(duì)駕駛員反應(yīng)特性分析的基礎(chǔ)上，經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)化得到的。一、線性跟馳模型的建立跟馳模型實(shí)際上是關(guān)于反應(yīng)刺激的關(guān)系式，用方程表示為： 反應(yīng) =·刺激 (44)式中為駕駛員對(duì)刺激的反應(yīng)系數(shù)

4、，稱(chēng)為靈敏度或靈敏系數(shù)。駕駛員接受的刺激是指其前面引導(dǎo)車(chē)的加速或減速行為以及隨之產(chǎn)生的兩車(chē)之間的速度差或車(chē)間距離的變化；駕駛員對(duì)刺激的反應(yīng)是指根據(jù)前車(chē)所做的加速或減速運(yùn)動(dòng)而對(duì)后車(chē)進(jìn)行的相應(yīng)操縱及其效果。 線性跟馳模型相對(duì)較簡(jiǎn)單，圖41為建立線性跟馳模型的示意圖。d2d1n車(chē)開(kāi)始減速位置Ln+1車(chē)的制動(dòng)距離T時(shí)間內(nèi)n+1車(chē)行駛過(guò)的距離d3n車(chē)停車(chē)位置xn(t)xn+1(t)s (t)n+1nn+1n+1nn車(chē)的制動(dòng)距離圖41 線性跟馳模型示意圖圖中各參數(shù)意義如下： 時(shí)刻車(chē)輛間的車(chē)頭間距；反應(yīng)時(shí)間內(nèi)車(chē)行駛的距離； 時(shí)刻車(chē)的位置； 時(shí)刻車(chē)的位置； 反應(yīng)時(shí)間或稱(chēng)反應(yīng)遲滯時(shí)間； 車(chē)的制動(dòng)距離；車(chē)的制動(dòng)距

5、離；停車(chē)安全距離。從圖中可以得到： (45) (46)假設(shè)兩車(chē)的制動(dòng)距離相等，即，則有 (47)由式(45)和式(46)可得 (48)兩邊對(duì)求導(dǎo)，得到 (49)也即 1,2,3, (410)或?qū)懗?1,2,3, (411) 其中。與式(44)對(duì)比，可以看出式(411)是對(duì)刺激反應(yīng)方程的近似表示：刺激為兩車(chē)的相對(duì)速度；反應(yīng)為跟馳車(chē)輛的加速度。式(49)是在前導(dǎo)車(chē)剎車(chē)、兩車(chē)的減速距離相等以及后車(chē)在反應(yīng)時(shí)間內(nèi)速度不變等假定下推導(dǎo)出來(lái)的。實(shí)際的情況要比這些假定復(fù)雜得多，比如刺激可能是由前車(chē)加速引起的，而兩車(chē)在變速行駛過(guò)程中駛過(guò)的距離也可能不相等。為了考慮一般的情況，通常把式(410)或式(411)作為

6、線性跟馳模型的形式，其中不一定取值為，也不再理解為靈敏度或靈敏系數(shù)，而看成與駕駛員動(dòng)作強(qiáng)度相關(guān)的量，稱(chēng)為反應(yīng)強(qiáng)度系數(shù)，量綱為。二、車(chē)輛跟馳行駛過(guò)程的一般表示跟馳理論的一般形式可用傳統(tǒng)控制理論的框圖表示，見(jiàn)圖42a。式(411)所示的線性跟馳模型表示為圖42b，圖中駕駛員行為由反應(yīng)時(shí)間和反應(yīng)強(qiáng)度系數(shù)代替。完善的跟馳理論應(yīng)包括一系列方程，以便建模描述車(chē)輛及道路的動(dòng)態(tài)特性、駕駛員的生理心理特性以及車(chē)輛間的配合。命令輸出跟馳車(chē)輛狀態(tài)車(chē)輛的動(dòng)態(tài)特性反饋循環(huán)駕駛員感知和信息搜集決策與控制過(guò)程頭車(chē)狀態(tài)誤差圖42a 車(chē)輛跟馳框圖表示加速命令跟馳車(chē)輛速度綜合累計(jì)駕駛員反應(yīng)時(shí)間反應(yīng)強(qiáng)度系數(shù)頭車(chē)速度圖42b 線性跟

7、馳模型框圖表示第二節(jié) 穩(wěn)定性分析本節(jié)討論方程（410）所示線性跟馳模型的兩類(lèi)波動(dòng)穩(wěn)定性：局部穩(wěn)定性和漸進(jìn)穩(wěn)定性。局部穩(wěn)定性：關(guān)注跟馳車(chē)輛對(duì)它前面車(chē)輛運(yùn)行波動(dòng)的反應(yīng)，即關(guān)注車(chē)輛間配合的局部行為。漸進(jìn)穩(wěn)定性：關(guān)注車(chē)隊(duì)中每一輛車(chē)的波動(dòng)特性在車(chē)隊(duì)中的表現(xiàn)，即車(chē)隊(duì)的整體波動(dòng)特性，如車(chē)隊(duì)頭車(chē)的波動(dòng)在車(chē)隊(duì)中的傳播。一、局部穩(wěn)定性根據(jù)研究，針對(duì)（、參數(shù)的意義同前）取不同的值，跟馳行駛兩車(chē)的運(yùn)動(dòng)情況可以分為以下四類(lèi)：a) 時(shí)，車(chē)頭間距不發(fā)生波動(dòng)；b) 時(shí)，車(chē)頭間距發(fā)生波動(dòng)，但振幅呈指數(shù)衰減；c) 時(shí),車(chē)頭間距發(fā)生波動(dòng)，振幅不變；d) 時(shí),車(chē)頭間距發(fā)生波動(dòng)，振幅增大。對(duì)于的情況，利用計(jì)算機(jī)模擬的辦法給出了相關(guān)運(yùn)動(dòng)

8、參數(shù)的變化曲線（其中反應(yīng)時(shí)間，），如圖43。模擬過(guò)程中假定頭車(chē)的加速和減速性能是理想的，頭車(chē)采取恒定的加速度和減速度。圖中實(shí)線代表頭車(chē)運(yùn)動(dòng)參數(shù)的變化，虛線代表跟馳車(chē)輛運(yùn)動(dòng)參數(shù)的變化，其中的“速度變化”是指頭車(chē)和跟馳車(chē)輛分別相對(duì)于初始速度的變化值，即每一時(shí)刻的速度與初始速度之差。圖44中給出了另外四個(gè)不同值的車(chē)頭間距變化圖，分別取阻尼波動(dòng)、恒幅波動(dòng)和增幅波動(dòng)幾種情況的值。加 速 度(m2/s)速度變化(m/s)相對(duì)速度(m/s)車(chē)頭間距(m)2.41.81.20.60-0.6-1.2-1.80-0.6-1.2-1.8-2.4-3.0-3.61.20.60.0-0.6-1.2-1.8-2.4-3.

9、0-3.62118150 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20圖43 頭車(chē)加速度波動(dòng)方式及對(duì)兩車(chē)運(yùn)動(dòng)的影響時(shí)間車(chē)頭間距圖44 不同C值對(duì)應(yīng)的車(chē)頭間距變化對(duì)于一般情況下的跟馳現(xiàn)象（不一定為車(chē)隊(duì)啟動(dòng)過(guò)程或剎車(chē)過(guò)程），如果跟馳車(chē)輛的初始速度和最終速度分別為和，那么有 (412)式中：跟馳車(chē)輛的加速度。從方程（410）我們得到也即 (413)式中：、分別為頭車(chē)和跟馳車(chē)輛的速度； 車(chē)頭間距變化量。時(shí)，車(chē)頭間距以非波動(dòng)形式變化，從式(413)可知車(chē)速?gòu)淖優(yōu)闀r(shí)其變化量為。如果頭車(chē)停車(chē)，則最終速度，車(chē)頭間距的總變化量為，因此跟馳車(chē)輛為了不發(fā)生碰撞，車(chē)間距離最小值必須為，相應(yīng)的車(chē)頭間距為（為車(chē)輛長(zhǎng)

10、度）。為了使車(chē)頭間距盡可能小，應(yīng)取盡可能大的值，其理想值為。二、漸進(jìn)穩(wěn)定性在討論了方程（410）所示線性跟馳模型的局部穩(wěn)定性之后，下面通過(guò)分析一列運(yùn)行的車(chē)隊(duì)（頭車(chē)除外）來(lái)討論其漸進(jìn)穩(wěn)定性。描述一列長(zhǎng)度為的車(chē)隊(duì)的方程為（假設(shè)車(chē)隊(duì)中各駕駛員反應(yīng)強(qiáng)度系數(shù)值相同）： 1,2,3,， (414)無(wú)論車(chē)頭間距為何初始值，如果發(fā)生增幅波動(dòng)，那么在車(chē)隊(duì)后部的某一位置必定發(fā)生碰撞，方程（414）的數(shù)值解可以確定碰撞發(fā)生的位置。下面我們分析判斷波動(dòng)是增幅還是衰減的標(biāo)準(zhǔn)，也即漸進(jìn)穩(wěn)定性標(biāo)準(zhǔn)。根據(jù)研究，一列行駛的車(chē)隊(duì)僅當(dāng)< 0.50.52（一般取0.5）時(shí)才是漸進(jìn)穩(wěn)定的，即車(chē)隊(duì)中車(chē)輛波動(dòng)的振幅呈衰減趨勢(shì)。漸進(jìn)穩(wěn)

11、定性的判定標(biāo)準(zhǔn)把兩個(gè)參數(shù)確定的區(qū)域分成了穩(wěn)定和不穩(wěn)定兩部分，如圖45所示。由此可知，保證局部穩(wěn)定性的同時(shí)也確保了漸進(jìn)穩(wěn)定性。 穩(wěn)定不穩(wěn)定（s-1）反應(yīng)時(shí)間（s）1.000.750.500.250 0.5 1.0 1.5 2.0圖45 漸進(jìn)穩(wěn)定性區(qū)域?yàn)榱苏f(shuō)明車(chē)隊(duì)的漸進(jìn)穩(wěn)定性，下面我們通過(guò)圖示給出兩組利用計(jì)算機(jī)模擬得到的數(shù)值計(jì)算結(jié)果。圖46給出了一列8輛車(chē)組成的車(chē)隊(duì)中相鄰車(chē)輛車(chē)頭間距與時(shí)間的關(guān)系，分別取0.368,0.5,0.75。頭車(chē)的初始波動(dòng)方式與圖43所示情況相同，即先緩慢減速再加速至初始速度(加速度絕對(duì)值相等)，因此加速度對(duì)時(shí)間的積分為零。時(shí)車(chē)頭間距均為21m。第一種情況0.368()，為

12、非波動(dòng)狀態(tài)。第二種情況0.5 （即漸進(jìn)穩(wěn)定性的限值），此時(shí)出現(xiàn)高阻尼波動(dòng)，這說(shuō)明即使是在漸近穩(wěn)定性標(biāo)準(zhǔn)的極限處，波動(dòng)振幅也將隨著波動(dòng)在車(chē)隊(duì)的傳播而衰減，即波動(dòng)被阻尼。第三種情況0.75，圖中很好地說(shuō)明了波動(dòng)的不穩(wěn)定性。時(shí)間 (s)車(chē)頭間距(m)20181614201816141220181614120 5 10 15 20 25 30 35 401-23-45-67-8C = 1/e = 0.3681-23-45-67-8C= 0.501-23-45-6C = 0.75圖46 線性跟馳模型車(chē)隊(duì)中車(chē)頭間距隨時(shí)間的變化圖47中（0.80）給出了9輛車(chē)組成的車(chē)隊(duì)中每一輛車(chē)的運(yùn)動(dòng)軌跡，采用的坐標(biāo)系是移

13、動(dòng)坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)的速度與車(chē)隊(duì)的初始速度一致。時(shí)，所有的車(chē)輛都以速度行駛，車(chē)頭間距均為12m。頭車(chē)在時(shí)開(kāi)始以4km/h/sec的減速度減速2s，速度從變成8km/h，之后又加速至原速度。0.80，所以頭車(chē)的這種速度波動(dòng)將在車(chē)隊(duì)中不穩(wěn)定地傳播。從圖中可以看到，在頭車(chē)發(fā)生第一次波動(dòng)后大約24s時(shí)，第7輛與第8輛車(chē)之間的車(chē)間距離變?yōu)榱?，即?chē)頭間距等于車(chē)輛長(zhǎng)度，此時(shí)即發(fā)生碰撞。26242220181614121086420-2時(shí)間（s）123456789 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0車(chē)輛在移動(dòng)坐標(biāo)系中的位置（m） 圖47 9輛車(chē)車(chē)隊(duì)的漸進(jìn)穩(wěn)定性(C=0.80)三、次

14、最近車(chē)輛的配合跟馳行駛的車(chē)輛除了受最近車(chē)輛（直接在其前面的車(chē)輛）的影響之外，還會(huì)受次最近車(chē)輛（在其前面的第二輛車(chē)）的影響，這種影響也可以列入模型中，那么跟馳模型可以寫(xiě)成如下形式： (415)式中：、分別為跟馳車(chē)輛駕駛員對(duì)最近車(chē)輛和次最近車(chē)輛刺激的反應(yīng)強(qiáng)度系數(shù)。為了確定次最近車(chē)輛的影響程度，研究人員專(zhuān)門(mén)做了三車(chē)跟馳實(shí)驗(yàn)。通過(guò)對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的分析，認(rèn)為在車(chē)輛跟馳行駛過(guò)程當(dāng)中，只有最近車(chē)輛對(duì)跟馳車(chē)輛有明顯的影響，次最近車(chē)輛的影響可以忽略不計(jì)。第三節(jié) 穩(wěn)態(tài)流分析滿足局部穩(wěn)定性和漸進(jìn)穩(wěn)定性要求，即不發(fā)生恒幅和增幅波動(dòng)的交通流為穩(wěn)態(tài)流。本節(jié)將利用單車(chē)道車(chē)輛跟馳模型討論穩(wěn)態(tài)流的特性，針對(duì)不同的交通流狀態(tài)對(duì)跟馳模

15、型進(jìn)行必要的擴(kuò)充和修正，并由此推導(dǎo)相應(yīng)的速度間距（或速度密度）、流量密度關(guān)系式。一、線性跟馳模型分析為了討論方便，重寫(xiě)式（410）如下： 1,2,3, (416) 運(yùn)動(dòng)過(guò)程中車(chē)隊(duì)將從一種穩(wěn)定狀態(tài)進(jìn)入另一種隨機(jī)穩(wěn)定狀態(tài)，為了使兩種穩(wěn)定狀態(tài)聯(lián)系起來(lái)，現(xiàn)假定在時(shí)每一輛車(chē)的速度為，車(chē)頭間距為。頭車(chē)在時(shí)速度開(kāi)始改變（加速或減速），在一段時(shí)間后其最終速度變?yōu)椤Ｈ?.47，交通流是穩(wěn)定的，因此車(chē)隊(duì)中每一輛車(chē)的速度最終都將達(dá)到速度。在速度由向轉(zhuǎn)變的同時(shí)，車(chē)頭間距也從變化到,由式（413）得 (417)車(chē)頭間距是交通流密度的倒數(shù)，于是由方程（417）得到速度密度關(guān)系式： (418)由此可知，式(417)和(41

16、8)把一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)和另外一個(gè)隨機(jī)穩(wěn)定狀態(tài)聯(lián)系了起來(lái)，建立了包含車(chē)輛跟馳微觀參數(shù)在內(nèi)的宏觀交通流變量之間的關(guān)系。對(duì)于停車(chē)流，,相應(yīng)的車(chē)頭間距由車(chē)輛長(zhǎng)度和車(chē)輛間的相對(duì)距離構(gòu)成，通常稱(chēng)為車(chē)輛的有效長(zhǎng)度（或稱(chēng)為停車(chē)安全距離），用表示。對(duì)應(yīng)于的密度被稱(chēng)作阻塞密度。給定，對(duì)于任意交通狀態(tài)，速度為，密度為，式(418)可寫(xiě)為： (419)將此公式與單車(chē)道交通試驗(yàn)觀測(cè)結(jié)果對(duì)比，如圖48，可以得出的估計(jì)值0.60s-1。根據(jù)漸進(jìn)穩(wěn)定性標(biāo)準(zhǔn)： 0.5，可以得出的上限約束為0.83s。從式(419)可以得到如下流量密度關(guān)系式： （420）由于模型是線性的，并不能很合理地描述交通流流量和密度這兩個(gè)基本參數(shù)的變化特征，

17、圖49利用與圖48中相同的數(shù)據(jù)進(jìn)行了說(shuō)明。為了使結(jié)果更具客觀性，圖中應(yīng)用的是標(biāo)準(zhǔn)化流量和標(biāo)準(zhǔn)化密度，直線為式（420）標(biāo)準(zhǔn)化后的圖示。所謂標(biāo)準(zhǔn)化，就是利用觀測(cè)或計(jì)算所得的絕對(duì)值與對(duì)應(yīng)的最佳值（最大值）相比，得到其相對(duì)值。標(biāo)準(zhǔn)化流量即是用實(shí)際流量與最佳流量（最大流量）之比，標(biāo)準(zhǔn)化密度即是實(shí)際密度與最大密度（阻塞密度）之比。式（420）對(duì)流量和密度所要求的定性關(guān)系無(wú)法進(jìn)行解釋?zhuān)@引出了對(duì)線性跟馳模型的修改。u(km/h)k (veh/km)60453015060204080100120140圖48 速度密度關(guān)系圖（最小二乘法擬合）圖49 標(biāo)準(zhǔn)流量與標(biāo)準(zhǔn)密度關(guān)系圖二、非線性跟馳模型分析線性跟馳模型假

18、定駕駛員的反應(yīng)強(qiáng)度與車(chē)間距離無(wú)關(guān)，即對(duì)給定的相對(duì)速度，不管車(chē)間距離?。ㄈ?或10m）還是大（如幾百米），反應(yīng)強(qiáng)度都是相同的。實(shí)際上，對(duì)于給定的相對(duì)速度，駕駛員的反應(yīng)強(qiáng)度應(yīng)該隨車(chē)間距離的減小而增大，這是因?yàn)轳{駛員在車(chē)輛間距較小的情況相對(duì)于車(chē)輛間距較大的情況更緊張，因而反應(yīng)的強(qiáng)度也會(huì)較大。為了考慮這一因素，我們可以認(rèn)為反應(yīng)強(qiáng)度系數(shù)并非常量， 而是與車(chē)頭間距成反比的，由此得出如下的非線性跟馳模型。1車(chē)頭間距倒數(shù)模型這種模型認(rèn)為反應(yīng)強(qiáng)度系數(shù)與車(chē)頭間距成反比，即： (421)這里是一個(gè)新參數(shù)，假定為常量。把式（421）帶入式（416）中，可得到如下的跟馳方程： 1,2,3, (422)同前，我們假定這些

19、參數(shù)是來(lái)自穩(wěn)態(tài)流的。方程通過(guò)積分得到速度密度的如下關(guān)系： (423)及流量密度的關(guān)系： (424)由此可知時(shí)，車(chē)頭間距等于車(chē)輛的有效長(zhǎng)度，即：。利用圖48和49中的數(shù)據(jù)，結(jié)合交通流參數(shù)的穩(wěn)態(tài)關(guān)系式（式（423）和式（424）我們可以得到圖410和411。用最小二乘法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，得到和的值分別為27.7km/h和142veh/km。經(jīng)推導(dǎo)，密度為時(shí)流量最大，為，該最大流量即為通行能力，代入可得此條件下的通行能力近似為1400veh/h。u(km/h)k (veh/km)60453015020406080100120圖410 速度密度關(guān)系圖（最小二乘法擬合） 圖411 標(biāo)準(zhǔn)流量與標(biāo)準(zhǔn)密度關(guān)系圖

20、（參數(shù)由圖410擬合）分析式（424），在時(shí)正切值趨于無(wú)窮大（從圖411也能看出），這是不合理的。實(shí)際上，低密度情況下的車(chē)頭間距很大，車(chē)輛間的跟馳現(xiàn)象已變得很微弱。除了上述對(duì)模型的修改形式以外，我們還可以做另一種修改。分析駕駛員的反應(yīng)過(guò)程，其反應(yīng)強(qiáng)度除和車(chē)頭間距有關(guān)外，還應(yīng)與車(chē)輛速度有關(guān)，高速時(shí)的反應(yīng)強(qiáng)度應(yīng)該比低速時(shí)大，這同樣是由于速度高時(shí)駕駛員的緊張程度也高，反應(yīng)強(qiáng)度自然也大，由此得到如下的跟馳模型。2. 正比于速度的間距平方倒數(shù)模型對(duì)反應(yīng)強(qiáng)度系數(shù)作如下修改：為新參數(shù)，假定為常量。于是跟馳模型變?yōu)槿缦滦问剑?1,2,3, (425)利用車(chē)頭間距和密度的倒數(shù)關(guān)系對(duì)此式積分，如果最大流量時(shí)的速度

21、（最佳速度）取為,則系數(shù)為，相應(yīng)地我們可以得到如下的穩(wěn)態(tài)方程： (426)和 (427)式中是自由流速度，即密度趨于零時(shí)的速度，是最大流量時(shí)的密度（最佳密度）。為了更完整地說(shuō)明交通流速度在低密度下與車(chē)輛密度大小無(wú)關(guān)，速度密度關(guān)系可以寫(xiě)成如下形式： 當(dāng)時(shí) (428)和 當(dāng)時(shí) (429)其中是車(chē)輛間剛要產(chǎn)生影響時(shí)的密度，超過(guò)此值交通流速度將隨著密度的增加而減小。如果假定影響剛發(fā)生時(shí)的間距為120m，那么的值近似為8veh/km。描述速度密度關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ停焊窳窒栔尉€性模型，就可以近似地表示這種關(guān)系。 3.格林希爾治模型格林希爾治線性模型為： (430)式中：自由流車(chē)速；阻塞密度。式（430）可以

22、寫(xiě)成如下形式： (431)對(duì)兩邊求導(dǎo)可得： (432)對(duì)第（）輛車(chē)引入反應(yīng)時(shí)間之后： 1,2,3, (433)反應(yīng)強(qiáng)度系數(shù)為： (434)4.模型的統(tǒng)一表示總結(jié)上述的各種跟馳理論方程（包括線性模型），可以得到如下的通式： (435)其中的反應(yīng)強(qiáng)度系數(shù)取以下幾種形式：1）常數(shù)，；2）反比于車(chē)頭間距，；3）正比于車(chē)速、反比于車(chē)頭間距的平方，；4）反比于車(chē)頭間距的平方，。反應(yīng)強(qiáng)度系數(shù)可以看作下述一般形式的具體化： (436)這里的是常數(shù),由實(shí)驗(yàn)確定，、為指數(shù)且、。就穩(wěn)態(tài)流而言，式（435）和式（436）給出了跟馳模型的基本形式。三、交通流基本參數(shù)關(guān)系式的一般表示將方程（435）對(duì)時(shí)間積分，取式(43

23、6)的形式，可以得到： (437)式中：,積分常數(shù)；交通流的穩(wěn)態(tài)速度；穩(wěn)態(tài)車(chē)頭間距?？捎上率酱_定（或）：時(shí)， (438)時(shí)， (439)積分常數(shù)的確定依賴(lài)于具體的和值（，），而且與兩個(gè)邊界條件：（1）時(shí)，；（2）時(shí)，的滿足情況有關(guān)（各參數(shù)含義同前），下面分幾種情況進(jìn)行討論。（1），的情況，兩邊界條件均滿足，積分常數(shù)、的值可由下式求得： (440)（2），的情況，僅滿足第一個(gè)邊界條件，可得到積分常數(shù)的值如下： (441)積分常數(shù)的值可以通過(guò)具體實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合求得。（3），的情況，僅滿足第二個(gè)邊界條件，可以得到積分常數(shù)、具有如下關(guān)系： (442)同樣、的值可以利用具體實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)通過(guò)擬合求得。 （4），

24、的情況，兩邊界條件均不滿足，積分常數(shù)、的值只能通過(guò)具體實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合求得。利用式（437）、（438）、（439）、（440）、（441）、（442）以及穩(wěn)態(tài)流的特性，可以得到速度、密度和流量之間的關(guān)系。圖412、413包含了一些不同、值對(duì)應(yīng)的流量密度關(guān)系曲線，其中的參數(shù)通過(guò)和進(jìn)行了標(biāo)準(zhǔn)化。121.00.80.60.40.200.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0圖412 標(biāo)準(zhǔn)流量與標(biāo)準(zhǔn)密度關(guān)系圖（利用式（434）和（435）,m=0）l=1l=3l=2m=11.21.00.80.60.40.200.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.

25、8 0.9 1.0 1.2 qnkn0圖413 標(biāo)準(zhǔn)流量與標(biāo)準(zhǔn)密度關(guān)系圖（利用式（434）和（435）,m = 1）從圖中可以看到，這些模型大部分與穩(wěn)態(tài)流的定性描述相一致，只要模型參數(shù)選擇適當(dāng)，基本上可以用來(lái)擬合圖48的數(shù)據(jù)。式（435）和（436）所給的跟馳模型的一般形式中，、不一定必須取整數(shù)值，也可以取非整數(shù)值，例如曾經(jīng)有人提出過(guò)0.8、2.8的模型。實(shí)際上在早期的對(duì)穩(wěn)態(tài)流和車(chē)輛跟馳現(xiàn)象的研究中，各種各樣的和值都得到過(guò)。四、跟馳理論的不足以及相應(yīng)的新研究方向在先前所有的討論中，我們都假定駕駛員對(duì)于同一刺激采取相同的比率加速和減速，即加速度的絕對(duì)值相等。但是，這一假設(shè)是不符合實(shí)際的，大多數(shù)車(chē)

26、輛的減速性能要比加速性能強(qiáng)，而且在交通比較擁擠時(shí)，跟馳車(chē)輛的駕駛員對(duì)前車(chē)減速的反應(yīng)強(qiáng)度要比加速的反應(yīng)強(qiáng)度大一些，這是出于行車(chē)安全的考慮。因此，對(duì)應(yīng)于前面車(chē)輛的加速或減速刺激，即相對(duì)速度是正還是負(fù)或者車(chē)頭間距是增大還是減小，跟馳車(chē)輛的反應(yīng)具有不對(duì)稱(chēng)性。為了在跟馳模型中反映出這種不對(duì)稱(chēng)性，我們可以把跟馳理論的基礎(chǔ)模型改寫(xiě)成如下形式： (443)其中或，取決于相對(duì)速度是正還是負(fù)或者車(chē)頭間距是增大還是減小。經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，的平均值要比高大約10%，這使得在利用跟馳理論解釋跟馳現(xiàn)象時(shí)產(chǎn)生了一個(gè)特殊的困難，即在頭車(chē)加速至較高速度再減速至初始速度的循環(huán)過(guò)程中，不對(duì)稱(chēng)性將阻止車(chē)輛減速至原來(lái)的速度。次循環(huán)后，車(chē)頭間

27、距將增大到一定值以至于一部分車(chē)輛從車(chē)隊(duì)中漂移。為了解決這一困難，可以在模型中加一項(xiàng)松弛項(xiàng)，以考慮這種不對(duì)稱(chēng)性。遺憾的是，到目前為止還沒(méi)有這方面的成型理論，對(duì)此尚需進(jìn)一步的研究和探討。除此之外，跟馳理論還有一些不足。我們上面通過(guò)對(duì)穩(wěn)態(tài)流分析，對(duì)跟馳理論的模型不斷進(jìn)行修正和擴(kuò)充，以使模型適合于各種不同的交通狀況。但是經(jīng)過(guò)近幾年的實(shí)驗(yàn)和進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，流量密度曲線在接近最大流的地方有明顯的間斷，流量突然下降。這說(shuō)明流量密度曲線具有不連續(xù)性，而以前的研究認(rèn)為該曲線是連續(xù)的，并沒(méi)有發(fā)現(xiàn)這一問(wèn)題。針對(duì)這一情況，現(xiàn)在有人提出了一種全新理論：突變理論。這種理論與傳統(tǒng)跟馳理論的建模方法完全不同，該理論中第一次提

28、出可以用“交點(diǎn)突變”的思想來(lái)解釋和描述交通流參數(shù)的上述不連續(xù)性，有望解決傳統(tǒng)跟馳理論的不足。初步的研究表明，這一理論應(yīng)用于交通流分析具備可行性。隨著科技的發(fā)展，道路和車(chē)輛技術(shù)水平也在不斷提高。為了進(jìn)一步提高道路的利用率和通行能力，現(xiàn)在又提出了智能化公路和車(chē)輛自動(dòng)駕駛的設(shè)想方案，并在做一些試驗(yàn)性的研究和探索。所謂智能化公路和車(chē)輛自動(dòng)駕駛，就是在道路上開(kāi)設(shè)裝有導(dǎo)向設(shè)備（如導(dǎo)向槽）的專(zhuān)門(mén)車(chē)道，車(chē)輛在配有特殊裝置的情況下可以進(jìn)入該車(chē)道進(jìn)行自動(dòng)行駛，無(wú)需駕駛員手工操縱。車(chē)輛也可以隨意離開(kāi)該車(chē)道進(jìn)入普通車(chē)道，由駕駛員手工駕駛車(chē)輛行駛。傳統(tǒng)的跟馳理論都是基于駕駛員手工操縱車(chē)輛進(jìn)行的研究，如果智能化公路和車(chē)輛

29、自動(dòng)駕駛技術(shù)在實(shí)用領(lǐng)域取得突破性進(jìn)展，那么必將導(dǎo)致跟馳理論新的研究領(lǐng)域和發(fā)展方向。目前，智能化公路與車(chē)輛自動(dòng)駕駛技術(shù)的研究還處于實(shí)驗(yàn)室階段，但也取得了一些可喜成果，其應(yīng)用前景是十分樂(lè)觀的。第四節(jié) 加速度干擾本節(jié)簡(jiǎn)單介紹一下關(guān)于加速度干擾的問(wèn)題。分析駕駛員在路上的行車(chē)過(guò)程，任何人都不會(huì)始終維持某一速度恒定不變，而是在一定速度范圍內(nèi)變化或擺動(dòng)。交通量較小時(shí)駕駛員也會(huì)出現(xiàn)這種現(xiàn)象；交通量較大時(shí)雖然跟馳現(xiàn)象十分明顯，但是由于受交通控制信號(hào)的影響，車(chē)輛速度更會(huì)出現(xiàn)擺動(dòng)。加速度干擾就是對(duì)車(chē)輛速度擺動(dòng)的描述，車(chē)速擺動(dòng)還涉及到乘車(chē)舒適性的問(wèn)題，加速度干擾可以作為一個(gè)定量評(píng)價(jià)指標(biāo)。一、加速度干擾的計(jì)算車(chē)輛速度擺

30、動(dòng)的大小可用加速度對(duì)平均加速度的標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)表示，我們稱(chēng)為加速度干擾，單位與加速度的單位一致，其公式如下： （444）式中： 觀測(cè)總時(shí)間；時(shí)刻加速度；平均加速度。如果假定平均加速度為0，那么加速度干擾的公式變成如下形式： （445）式中參數(shù)含義同上。如果加速度的觀測(cè)以連續(xù)的時(shí)間間隔來(lái)取樣，那么相應(yīng)的計(jì)算公式如下： （446）各參數(shù)含義同上。相應(yīng)地如果平均加速度為0，則變?yōu)槿缦滦问剑?（447）參數(shù)含義同上。下面來(lái)推導(dǎo)加速度干擾計(jì)算的實(shí)用公式，實(shí)際應(yīng)用中一般采用如下公式形式： （448）式中：第觀測(cè)時(shí)間段的加速度（認(rèn)為各小時(shí)間段內(nèi)加速度值相等）；第觀測(cè)時(shí)間段長(zhǎng)。其余參數(shù)含義同上，將此式進(jìn)行如下變換： （449）這里為第觀測(cè)時(shí)間段的速度，相應(yīng)地： （450）而所以有 （451）將式（451）代入式（450），并且利用,有： （452）將此式代入式（449）得到： （453）式中：觀測(cè)總時(shí)段的末速度；觀測(cè)總時(shí)段的初速度；速度的等分間距，。此式適合于用坐標(biāo)紙對(duì)速度和加速度觀測(cè)值進(jìn)行繪圖計(jì)算。二、加速度干擾的影響因素加速度干擾主要受三個(gè)因素的影響：駕駛員、道路和交通狀況?？梢韵胍?jiàn)，一個(gè)魯莽的駕駛員比一個(gè)穩(wěn)重的駕駛員對(duì)車(chē)速