充分條件與必要條件-點撥

1、.學科：數(shù)學教學內容：充分條件與必要條件【基礎知識精講】1.對充要條件的理解對于命題“若p則q”，即p是條件，q為結論.(1)如果已知pq，我們就說p是q的充分條件，q是p的必要條件.例如，“若x=y,x2=y2”是一個真命題，可寫成x=yx2=y2“x=y”是“x2=y2”的充分條件，“x2=y2”是“x=y”的必要條件.(2)如果既有pq，又有qp，就記作pq.這時，p既是q的充分條件，又是q的必要條件，我們就說p是q的充分必要條件，簡稱充要條件.例如，命題p：x+2是無理數(shù)， 命題q：x是無理數(shù).由于“x+2是無理數(shù)”“x是無理數(shù)”，所以p是q的充要條件.2.從邏輯推理關系上看充分條件、

2、必要條件和充要條件是重要的數(shù)學概念，主要是用來區(qū)分命題的條件p和結論q之間的下列關系：若pq，但qp，則p是q的充分但不必要條件；若qp，但pq，則p是q的必要但不充分條件；若pq，且qp，則p是q的充要條件；若pq，且pq，則p是q的充要條件；若pp，且qp，則p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件.3.從集合與集合之間關系上看若條件p以集合A的形式出現(xiàn)，結論q以集合B的形式出現(xiàn)，則若AB，則p是q的充分條件；若AB，則p是q的必要條件；若AB，則p是q的充要條件；若AB，且AB，則p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件.從集合的觀點來判斷充要條件的思考方法，可以進一步加深對充要條件的理

3、解.4.應用充分條件，必要條件，充要條件時須注意的問題.(1)充分而不必要條件，必要而不充分條件，充要條件，既不充分也不必要條件，反映了條件p和結論q之間的因果關系，在結合具體問題進行判斷時，要注意以下幾點：確定條件是什么，結論是什么；嘗試從條件推結論，結論推條件；確立條件是結論的什么條件；要證明命題的條件是主要的，就既要證明原命題成立，又要證明它的逆命題成立，證明原命題即證明條件的充分性，證明逆命題即證明條件的必要性.(2)對于充要條件，要熟悉它的同義詞語.在解題時常常遇到與充要條件同義的詞語，如“當且僅當”“必須且只需”“等價于”“反過來也成立”.準確地理解和使用數(shù)學語言，對理解和把握數(shù)學

4、知識是十分重要的.【重點難點解析】本小節(jié)重點是充分條件、必要條件、充要條件的概念及命題真假的判斷.難點是對“若p則q”命題中，p是q(或q是p)的什么條件的判斷問題.首先要注意“條件”和“結論”是可以相互轉化的.也就是說“pq”中p和q都可認為是條件(或結論)，只不過一個是條件則另一個就可認為是結論.其次，充分條件和必要條件是同時定義的，亦即對“pq”而言，p是q的充分條件，同時q是p的必要條件.例1 請在下列各題中選出(A)充分不必要條件，(B)必要不充分條件，(C)充分必要條件，(D)既不充分也不必要條件四個選項中最恰當?shù)囊豁椞羁眨?1)p(x-1)(x+2)=0是qx=-2的 .(2)p

5、x5是qx3的 .(3)p0x5是qx-23的 .(4)px2是qx2的 .解：(1)p=x(x-1)(x+2)=0q=xx=-2，即qp，填B.(2)p=xx5q=xx3，填A.(3)p=x0<x5q=xx-23，填A.(4)p=xx2q=xx2，填B.評析 對于涉及范圍問題的充要條件的判斷，可利用集合觀點：pq時，稱p是q的充分不必要條件.可用“小范圍推出大范圍”幫助記憶.例2 是的什么條件?并說明理由.解： 但反之卻不一定成立.例如取=1,=5,顯然滿足但不滿足所以是的必要但不充分條件.評析 此例中由于但不能推出所以根據箭頭推出方向可知是的必要但不充分條件.例3 已知px2-8x-

6、200，qx2-2x+1-a20.若p是q的充分而不必要條件，求正實數(shù)a的取值范圍.分析 利用數(shù)軸觀察，能找到解題途徑.解：pA=xx-2，或x10， qB=xx1-a，或x1+a，a0如圖，依題意，pq，但q不能推出p，說明AB，則有 解得0a3.實數(shù)a的取值范圍是0a3.例4 設A=x-2xa，B=yy=2x+3,xA，M=ZZ=x2,xA.求使MB的充要條件是什么?解：A=x-2xa,M=ZZ=x2,xA.B=yy=2x+3,xA=y-1y2a+3.當-2a0時，M=Za2Z4.當0a2時，M=Z0Z4.當a2時，M=Z0Za2.當-2a2時，MB42a+3，即a2；當a2時，MBa22

7、a+3，即2a3.綜上可知，所求的充要條件為a3.【難解巧解點撥】例1 已知條件pab0,a+b=1；條件qab0,a3+b3+ab-a2-b2=0.求證：p是q的充分必要條件.證明：先證充分性成立：ab0,a+b=1,即b=1-a,a3+b3+ab-a2-b2a3+(1-a)3+a(1-a)-a2-(1-a)2a3+1-3a+3a2-a3+a-a2-a2-1+2a-a20再證必要性成立：ab0，a0且b0.a3+b3+ab-a2-b2=0，即 (a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=0， (a2-ab+b2)(a+b-1)=0. a2-ab+b20， a+b=1.由、知，p是q

8、的充分必要條件.評析 注意，證明充分必要條件，實際上需要證明原命題和逆命題都成立.它亦等價于證明：(1)原命題和否命題都成立；(2)逆否命題和逆命題都成立；(3)逆否命題和否命題都成立.這種等價轉換的思想，就能使思路更廣闊，方法更靈活，復雜問題簡單化.例2 選擇題已知條件px+y-2,qx,y不都是-1.則p是q的( ).A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件分析 由四種命題中，原命題逆否命題，逆命題否命題，可知判斷p能否推出q，等價于判斷q能否推出p；判斷q能否推出p，等價于判斷q能否推出p.解：px+y-2,qx-1或y1.px+y-2,qx-1且y

9、1.qp,但pq.p是q的充分而不必要條件，選A.評析 注意，pq，要給以證明；而pq，只需舉一反例說明.在上例中，要證明或者說明p與q的關系比較困難和抽象，而證明qp很容易：由x=-1且y=-1，即有x+y=-2；說明pq也很容易：設x=-5，y=3，有x+y=-2，但x-1，y-1.這種等價轉換換的思想也是一種重要的數(shù)學思想方法，它幾乎貫穿在整個數(shù)學學習過程中，要注意掌握好它，并逐步靈活運用它創(chuàng)造性地解決一些數(shù)學問題.例3 判斷下列各題中條件是結論的什么條件：(1)條件Aax2+ax+10的解集為R，結論B0a4；(2)條件pAB，結論qAB=B.錯誤分析：此類題的易錯點是在用定義判斷時，

10、忽略了無論是AB，還是BA均要認真考慮是否有反例，這一點往往是判斷充分性和必要性的關鍵，也是難點.如(1)題中，往往根據二次不等式的解去考慮此題，而忽略了a=0時原不等式變?yōu)?0這一絕對不等式的情況.在(2)題中同樣容易忽略A=B這一特殊情況.解：(1)=a2-4a0，即0a4當0a4時，ax2+ax+10恒成立.故BA.而當a=0時，ax2+ax+10恒成立，AB.故A為B的必要不充分條件.(2)ABAB=B，而當A=B時，AB=B，即qp，p為q的充分不必要條件.【課本難題解答】課本復習參考題B組第6題提示：當a=0時，原方程變形為一元一次方程2x+1=0，有一個負根x=-當a0時，原方程

11、為一元一次方程，有實根的充要條件是=4-4a0即a1設方程ax2+2x+1=0(a0)的根是x1x2，由x1+x2=-,x1x2=.可知方程ax2+2x+1=0(a0)有一個負的實數(shù)根的充要條件是a10 即a0方程ax2+2x+1=0(a0)有兩個負的實數(shù)根的充要條件是a1-0 即0a10綜上所述，ax2+2x+1=0至少有一個負的實數(shù)根a1評析 本題也可以用排除法求解.【命題趨勢分析】主要考查：在理解并掌握四種命題及其關系的基礎上，會用反證法證明.平時要求：1.初步掌握四種命題及其關系2.掌握反證法【典型熱點考題】例1 選擇題設全集S=(x,y)x、yR，M=(x,y)=1，N=(x,y)y

12、x+1，那么Cs(MN)等于( ).A.B.（2,3）C.(2,3)D.(x,y)y=x+1分析 本題考查集合的概念與運算，以及分式性質與一次函數(shù)的圖像.解：集合N表示整個直角坐標系中去掉直線y=x+1后的所有點.由=1，得y=x+1(x2).集合M表示直線y=x+1，去掉點(2，3).集合MN表示直角坐標平面上所有點，但去掉點(2，3).Cs(MN)表示僅含點(2，3)的單元素集合（2,3）.應選B.例2 選擇題設甲、乙、丙是三個條件，如果甲是乙的必要條件；丙是乙的充分條件但不是乙的必要條件.那么( )A.丙是甲的充分條件，但不是甲的必要條件B.丙是甲的必要條件，但不是甲的充分條件C.丙是甲

13、的充要條件D.丙不是甲的充分條件，也不是甲的必要條件分析 本題考查充分條件與必要條件的概念.解：依題意，畫出圖.不難看出，丙甲，但甲丙.丙是甲的充分條件，但不是甲的必要條件，應選A.例3 (1998年江西)已知p2-,qx2+x-30.求p是q的什么條件.分析 本題考查含有絕對值的不等式、一元二次不等式的解法，考查充分條件和必要條件的概念.解：p、q可轉化為pxx，或x，qx-6x.pA=xx， qB=xx-6或x.觀察圖知，AB.p是q的充分但不必要條件.評析 用集合的觀點研究充分條件和必要條件有時的確很方便.例4 設命題甲為“0x5”，命題乙為“x-23”.那么( )A.甲是乙的充分條件，

14、但不是乙的必要條件B.甲是乙的必要條件，但不是乙的充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件分析與解：不等式x-23的解是-1x5，顯然，當x滿足0x5時一定滿足-1x5.而反之不然.如x=-0.5滿足-1x5，但不滿足0x5，即甲乙，乙甲.故甲是乙成立的充分不必要條件.應選A【同步達綱練習】一、選擇題1.“AB=A”是A=B的( ).A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件2.下列判斷正確的是( ).A.(x+1)(x-2)=0是x=-1的充分條件B.x24是x22的必要條件C.x+11是-2x0的充要條件D.(a-2)2+

15、(b+3)2=0是(a-2)(b+3)=0的必要條件3.若條件px+12；條件qx25x-6.則p是q的( ).A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件4.已知A是B的必要條件，B是C的充分條件，則A是C的( )A.充分條件 B.必要條件 C.充要條件 D.無法判斷5.“0x5”是“x-23”的( )A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件6.“xy0”是“x+y=x+y”的( )A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件二、填空題(從“充分而不必要條件”、“必要而不充分條件”、“充要條件”、“既

16、不充分也不必要條件”中選出適當?shù)囊环N填空)1.復合命題“非p”為假命題是復合命題“p或q”為真命題的 .2.k4,b5是一次函數(shù)y=(k-4)x+b-5的圖像交y軸于負半軸，交x軸于正半軸的.3.是的.三、解答題1.分別舉出四個例子，說明p是q的“充分而不必要條件”、“必要而不充分條件”、“充要條件”、“既不充分也不必要條件”，并說明理由.2.已知全集R，A=xx-36，B=xxa,aN+.當a為何值時.A是B的充分而不必要條件；A是B的必要而不充分條件；A是B的充要條件.3.求關于x的一元二次不等式ax2-ax+10對一切xR都成立的充要條件是什么.4.已知pxZ，yZ，m=x2-y2； q

17、kZ,m=2K+1,或m=4k.求證：p是q的充分條件.【素質優(yōu)化訓練】1.設關于x的一元二次不等式mx2-mx+10對一切實數(shù)均成立，求a的取值范圍.2.是否存在實數(shù)p，使“4x+p0”是“x2-x-20”的充分條件?如果存在，求出p的取值范圍.是否存在實數(shù)p，使“4x+p0”是“x2-x-20”的必要條件.如果存在，求出p的取值范圍.【生活實際運用】在下列電路圖中，閉合開關A是燈泡B亮的什么條件：如圖(1)所示，開關A閉合是燈泡B亮的條件；如圖(2)所示，開關A閉合是燈泡B亮的條件；如圖(3)所示，開關A閉合是燈泡B亮的條件；如圖(4)所示，開關A閉合是燈泡B亮的條件；參考答案：【同步達綱練習】一、1.B