中南大學高等工程數(shù)學考試

1、考試日期：2010年 4 月 日 時間110分鐘 注：解答全部寫在答題紙上一、填空題(本題24分，每小題3分)1.若函數(shù),且有和, 則方程在上的解存在唯一，對任意為初值由迭代公式產生的序列一定收斂于方程在上的解，且有誤差估計式；2.建立最優(yōu)化問題數(shù)學模型的三要素是：確定決策變量、建立適當?shù)募s束條件、建立目標函數(shù)；3求解無約束非線性最優(yōu)化問題的最速下降法會產生“鋸齒現(xiàn)象”，其原因是：最速下降法前后兩個搜索方向總是垂直的；4已知函數(shù)過點，設函數(shù)是的三次樣條插值函數(shù)，則滿足的三個條件（1）在每個子區(qū)間（i=1，2，n）上是不高于三次的多項式；（2）S（x），S（x），S（x）在上連續(xù)；（3）滿足插值

2、條件S（xi）=yi（i=1，2，n）；5隨機變量為樣本，是樣本均值，則N（3，0.4）；6正交表中各字母代表的含義為L表示正交表，N表示試驗次數(shù)，n、m表示因子水平數(shù)，p、q表示試驗至多可以安排因素的個數(shù)；7線性方程組其系數(shù)矩陣滿足A=LU，且分解唯一時，可對進行解，選主元素的Gauss消元法是為了避免采用絕對值很小的主元素導致誤差傳播大，按列選取主元素時第步消元的主元akk為8取步長，用Euler法解的公式為。二、（本題6分）某汽車廠三種汽車：微型轎車、中級轎車和高級轎車。每種轎車需要的資源和銷售的利潤如下表。為達到經濟規(guī)模，每種汽車的月產量必須達到一定數(shù)量時才可進行生產。工廠規(guī)定的經濟規(guī)

3、模為微型車1500輛，中級車1200輛，高級車1000輛，請建立使該廠的利潤最大的生產計劃數(shù)學模型。微型車中級車高級車資源可用量鋼材（噸）26000（噸）人工（小時）30405055000（小時）利潤234解：設微型車生產了x1輛，中級車生產了x2輛，高級車生產了x3輛，而鋼材、人工均有限制，所以應滿足限制條件：1+2x236000 人工：30x1+40x2+50x355000生產數(shù)量：x11500 x21200 x31000從而問題的數(shù)學模型為：Max c1x1+c2x2+c3三、（本題10分）已知的數(shù)據(jù)如表：0 125-53 06用Newton插值法求的三次插值多項式，計算的近似值，給出誤

4、差估計式。解：xiF(xi)一階差商二階差商三階差商四階差商0-513820-3-11/25625/427/206因此，而四、（本題12分）為了研究小白鼠在接種不同菌型傷寒桿菌后的存活日數(shù)有沒有差異，現(xiàn)試驗了在接種三種不同菌型傷寒桿菌（記為并假設，）后的存活日數(shù)，得到的數(shù)據(jù)已匯總成方差分析表如下：方差來源平方和自由度樣本方差F值組間SSA66233組內SSE6312總和SST12914 (1) 試把上述方差分析表補充完整（請在答卷上畫表填上你的答案）(2) 小白鼠在接種不同菌型傷寒桿菌后的存活日數(shù)有無顯著差異？（取，）解：（1）見表中紅色部分（2） 設H0：1=2=3=i選取統(tǒng)計量，由于顯著性

5、水平未給出，設=0.05，查表得，因為F=6.286>，所以拒絕H0，即小白鼠在接種不同型傷寒桿菌后存活日數(shù)有顯著差異。五、（本題12分）用表格形式單純形法求解6、 （本題10分）試確定求積公式 中的待定系數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高。解：將分別代入式中得，因此得七、（本題12分）（1）在多元線性回歸建模過程中，需要考慮自變量的選擇問題。常用的方法有向前回歸法、向后回歸法、逐步回歸法。試解釋什么是逐步回歸法？（2）如果要考察因素A、B、C及交互作用A×B、A×C、B×C，如何用正交表安排試驗，交互作用見下表，試作表頭設計。表兩列間交互作用表列號(列號) 1 2 3

6、 4 5 6 7 (1) 3 2 5 4 7 6 (2) 1 6 7 4 5 (3) 7 6 5 4 (4) 1 2 3 (5) 3 2 (6) 1解：(1)逐步回歸法就是對全部因子按其對y影響程度大小（偏回歸平方的大?。瑥拇蟮叫〉匾来沃饌€地引入回歸方程，并隨時對回歸方程當時所含的全部變量進行檢驗，看其是否仍然顯著，如不顯著就將其剔除，知道回歸方程中所含的所有變量對y的作用都顯著是，才考慮引入新的變量。再在剩下的未選因子中，選出對y作用最大者，檢驗其顯著性，顯著著，引入方程，不顯著，則不引入。直到最后再沒有顯著因子可以引入，也沒有不顯著的變量需要剔除為止。（2） 如果因子A放在第1列，因子B

7、放第2列，則A×B放在第3列。如C放在第4列，再查交互作用表，A×C和B×C應分別放在第5列和第6列。表頭設計如下：列號1234567因子ABA×BCA×CB×C八、（本題14分）設方程組為（1）對方程組進行適當調整，使得用Gauss-Seidel迭代法求解時收斂；（2）取，用Gauss-Seidel迭代法計算兩步迭代值，；（3）取，估計用Jacobi迭代求解與準確解的誤差。解：（1）將原矩陣變換為如下：，經變換后的矩陣為嚴格對角占優(yōu)陣，因此在用Gauss-Seidel迭代法求解時收斂。（2） 由GS迭代公式得：，又由于，因此經兩步迭

8、代后得，（3） 由Jacobi迭代公式得：因此中南大學工程碩士“高等工程數(shù)學”考試試卷考試日期：2011年 月 日 時間110分鐘 注：解答全部寫在答題紙上一、填空題(本題24分，每小題3分)（1） 對方程，寫出其Newton迭代公式，使得由迭代公式產生的序列可以2階收斂于方程的唯一正根；解：由牛頓迭代公式得因其存在2重跟，故需對其進行修正得（2）在上，設與等價，則當滿足(x)于a,b一階導數(shù)存在，當xa,b時，有(x)a,b和|g(x)|L1，xa,b時，由（）產生的序列收斂于方程的根；（3）用Doolittle分解法求方程：則：=，= ，解=；解：，,因此,（4）已知 ，則：=6；=6；4

9、+6+5=15。（5）已知在區(qū)間上通過點，則其三次樣條插值函數(shù)是滿足在每個子區(qū)間上不高于三次的多項式，S(x），S（x），S（x）在上連續(xù)，滿足插值條件；（6）設有線性回歸模型，其中且相互獨立，寫出參數(shù)的最小二乘估計，。解：，因此得，故（7）在多元線性回歸建模過程中，需要考慮自變量的選擇問題。寫出三種常用的自變量的選取方法向后回歸法、向前回歸法、逐步回歸法。（8）影響數(shù)學模型數(shù)值求解結果的誤差有：截斷誤差，舍入誤差，觀測誤差 。二、（本題8分）已知的數(shù)據(jù)如表：-2 0260 4 -210試求三次Newton插值多項式，求的近似值，并給出相應的誤差估計式。xF(x)一階差商二階差商三階差商四階差

10、商-200422-2-3-5/4610319/3250因此而三、（本題10分）引入人工變量利用大M法求解下面的線性規(guī)劃（要求寫出計算過程）：解：將約束條件加上松弛變量x3，剩余變量x4和人工變量x5后得到一個有基可行解的典型方程如下：相應的目標函數(shù)為列出初始單純形表，并進行迭代得：基變量CBXBX1X2X3X4X53400-MX304211002X5-M110-111Zj-M0M-M-M-30M0X3020212-21X13110-11Zj30-3300-33+MX241011-1X13103Zj3400-2.5+M這時的檢驗數(shù)已全部非負。得最優(yōu)解；人工變量X5=0，去掉人工變量部分，得原線性

11、規(guī)劃問題的最優(yōu)解為，最優(yōu)值4、 （本題8分）某廠生產甲、乙、丙三種產品，都分別經A,B兩道工序加工，A工序在設備或上完成，B工序在，三種設備上完成。已知產品甲可在A，B任何一種設備上加工；產品乙可在任何規(guī)格的A設備上加工，但完成B工序時，只能在設備上加工；產品丙只能在與設備上加工。加工單位產品所需要工序時間及其他數(shù)據(jù)見下表。設備產品設備有效臺時設備加工費（元/小時）甲乙丙5106000791210000684000411700074000原料費（元/件）售價（元/件）（1）建立線性優(yōu)化模型，安排使該廠獲利最大的最優(yōu)生產計劃（不要求計算出結果）；（2）寫出所建立的模型的對偶形式。解：（1）設在A

12、1設備上生產甲x11件，乙x12件，在A2設備上生產甲x21件，乙x22件，丙x23件，在B1設備上生產甲x31件，乙x32件，在B2設備上生產甲x41件，丙x43件，在B3設備上生產甲x51件由已知條件得（2） 因目標函數(shù)為最大值，而線性規(guī)劃方程符合要求，故不需轉換形式，由此得：5、 （本題12分）一種生產降血壓藥品的生產廠家聲稱，他們生產的一種降壓藥服用一周后能使血壓明顯降低的效率可以達到80%，今在高血壓的人群中隨機抽取了200人服用此藥品，一周后有148人血壓有明顯降低，試問生產廠家的說法是否真實？解：設降壓效率為p，作假設H0：p80% H1：p80%由點估計，m為血壓明顯降低的人數(shù)

13、，抽取的樣本為大樣本，因此選取統(tǒng)計量為，對=0.01，拒絕域。由已知得m=148，n=200,因此統(tǒng)計量，查表得Z=2.33，從而，樣本觀測值未落入拒絕域中，不能拒絕H0，即生產廠家說法是真實的。六、（本題10分）設有數(shù)值求積公式，試確定，使該數(shù)值積分公式有盡量高的代數(shù)精度，并確定其代數(shù)精度為多少。解：將分別代入式中得，因此A0=2.25，A1=1.5，A2將，因此代數(shù)精度為3。七、（本題12分）影響水稻產量的因素有秧齡、每畝基本苗數(shù)和氮肥，其水平如下表因素秧齡 苗數(shù) 氮肥1水平2水平小苗 15萬株/畝 8斤/畝大畝 25萬株/畝 12斤/畝若考慮之間的交互作用，采用安排試驗，并按秧齡、每畝基

14、本苗數(shù)、氮肥分別放在表的第一、二、四列，解答下列問題：（1） 它們的交互作用分別位于哪一列？（2）若按這種表頭作試驗并測得產量為83.4, 84.0, 87.3, 84.8, 87.3, 88.0, 92.3, 90.4，試尋找較好的生產條件。解：列表如下：1（秧齡A）A2（苗數(shù)B）3（A×B）4（氮肥C）5（A×C）6（B×C）產量斤/畝12345678111122221122112211222211121212121212212112211221K1iK2i 358R由表計算數(shù)據(jù)及直觀分析可知，因子B×C、A、B是重要的。顯然A取水平A2，B取水平B

15、2，而B×C由B2×C1：，B2×C2：故C取C1水平。從而最優(yōu)水平為A2B2C1。八、（本題16分）設方程組為（1）對方程組進行適當調整，使得用雅可比迭代方法和高斯塞德爾迭代法求解時都收斂；（2）寫出對應的高斯塞德爾迭代格式的分量形式；（3）取初始向量，用雅可比迭代方法求準確解的近似解，使至少需要迭代多少次？解：（1），經變換后的矩陣為嚴格對角占優(yōu)陣，因此在用Gauss-Seidel迭代法求解時收斂。（2）（3） 解方程組可知雅克比迭代法形式為 kX1(k)X2(k)X3(k)12345中南大學工程碩士“高等工程數(shù)學”考試試卷考試日期：2010年 4 月日時間1

16、10分鐘 注：解答全部寫在答題紙上一、填空題(本題24分，每小題3分)1. 若方程可表成，且在內有唯一根，那么滿足，則由迭代公式產生的序列一定收斂于。（滿足：,且有, ；）2. 已知二元非線性函數(shù)，該函數(shù)從X0 出發(fā)的最速下降方向為（最速下降方向為：）；3已知二元非線性函數(shù)，該函數(shù)從X0 出發(fā)的Newton方向為（Newton方向為：）；4已知在區(qū)間上通過點，則其三次樣條插值函數(shù)是滿足（1）在每個小區(qū)間是次數(shù)不超過3次的多項式，（2）在區(qū)間上二階導數(shù)連續(xù)，（3）滿足插值條件）；5設某個假設檢驗問題的拒絕域為W，且當原假設H0成立時，樣本值落入W的概率為0.15，則犯第一類錯誤的概率為_（）；6

17、在實際問題中求某參數(shù)的置信區(qū)間時，總是希望置信水平愈 大 愈好，而置信區(qū)間的長度愈短愈好。但當增大置信水平時，則相應的置信區(qū)間長度總是變長 ；7取步長，解的Euler法公式為：（）；8對實際問題進行建模求解時可能出現(xiàn)的誤差有：（模型誤差，觀測誤差，方法誤差，舍入誤差。）。二、（本題8分）某鋼鐵公司生產一種合金，要求的成分是：錫不少于28%，鋅不多于15%，鉛恰好10%，鎳介于35%到55%之間，不允許有其他成分。鋼鐵公司擬從五種不同級別的礦石中進行冶煉，每種礦物的成分含量和價格如下表。礦石雜質在冶煉中廢棄，并假設礦石在冶煉過程中金屬含量沒有發(fā)生變化。合金礦石錫（%）鋅（%）鉛（%）鎳（%）雜質

18、（%）費用（元/噸）125101025303402400030302603015520601804202004020230585151715190（1）建立線性優(yōu)化模型，安排最優(yōu)礦物冶煉方案，使每噸合金產品成本最低。（不要求計算出結果）；（2）寫出所建立的模型的對偶形式。（1）設是第j 種礦石的數(shù)量，目標是使成本最低，得線性規(guī)劃模型如下： 4分（2）上述線性規(guī)劃模型的對偶形式如下： 4分三、（本題8分）已知的數(shù)據(jù)如表：0 1 3 7試求三次插值多項式P(x)，求的近似值，并給出相應的誤差估計式。解：用Newton插值法求的插值多項式，由所給數(shù)據(jù)如表可得差商表如下：xif(xi)一階差商二階差商

19、三階差商四階差商00   1  32 7/64由差商表得出的三次插值多項式為： 3分于是有 2分相應的誤差估計式為： 2分四、（本題12分）為了考察硝酸鈉NaNO的可容性溫度之間的關系，對一系列不同的溫度（），觀察它在100的水中溶解的NaNO的重量（g），得觀察結果如下：溫度x 20 30 33 40 15 13 26 38 35 43重量y 7 9 8 11 5 4 8 10 9 10（1）求Y對X的線性回歸方程。（結果保留小數(shù)點后兩位。）, , , , （2）對回歸方程的顯著性進行檢驗。（取顯著水平為0.05，0.01），。解：（） 4分回歸函數(shù)為 4分（），或