Simulink中連續(xù)與離散模型的區(qū)別

1、matlab/simulink/simpowersystem中連續(xù)vs離散!本文中的一些具體數(shù)學推導見下面鏈接：計算機仿真技術    連續(xù)系統(tǒng)是指系統(tǒng)狀態(tài)的改變在時間上是連續(xù)的，從數(shù)學建模的角度來看，可以分為連續(xù)時間模型、離散時間模型、混合時間模型。其實在simpowersystem的庫中基本所有模型都屬于連續(xù)系統(tǒng)，因為其對應的物理世界一般是電機、電源、電力電子器件等等。    離散系統(tǒng)是指系統(tǒng)狀態(tài)的改變只發(fā)生在某些時間點上，而且往往是隨機的，比如說某一路口一天的人流量，對離散模型的計算機仿真沒有實際意義，只有統(tǒng)計學上的意義，所以在simpowersys

2、tem中是沒有模型屬于離散系統(tǒng)的。但是在選取模型，以及仿真算法的選擇時，常常提到的discrete model、discrete solver、discrete simulate type等等中的離散到底是指什么呢？其實它是指時間上的離散，也就是指離散時間模型。    下文中提到的連續(xù)就是指時間上的連續(xù)，連續(xù)模型就是指連續(xù)時間模型。離散就是指時間上的離散，離散模型就是指離散時間模型，而在物理世界中他們都同屬于連續(xù)系統(tǒng)。為什么要將一個連續(xù)模型離散化呢？主要是是從系統(tǒng)的數(shù)學模型來考慮的，前者是用微分方程來建模的，而后者是用差分方程來建模的，并且差分方程更適合計算機計算，并且前者

3、的仿真算法（simulationsolver）用的是數(shù)值積分的方法，而后者則是采用差分方程的狀態(tài)更新離散算法。    在simpowersystem庫中，對某些物理器件，既給出的它的連續(xù)模型，也給出了它的離散模型，例如：離散模型一個很重要的參數(shù)就是采樣時間sampletime，如何從數(shù)學建模的角度將一個連續(xù)模型離散化，后面會有介紹。在simpowersystem中常用powergui這個工具來將系統(tǒng)中的連續(xù)模型離散以便采用discrete算法便于計算機計算。         下載附件  保存到相冊2013

4、-9-14 19:09 上傳                Note：這里的連續(xù)和離散都是指時間上的連續(xù)和離散，無關乎現(xiàn)實世界的連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)。所謂數(shù)學建模就是用什么樣的數(shù)學語言來描述模型，    連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學模型通?？梢杂靡韵聨追N形式表示：微分方程、傳遞函數(shù)、狀態(tài)空間表達式，這三中形式是可以相互轉(zhuǎn)換的，其中又以狀態(tài)空間表達式最有利于計算機計算。    微分方程：一個連續(xù)系統(tǒng)可以表示成高階微分方程，即      

5、; 下載附件  保存到相冊2013-9-14 19:10 上傳                  傳遞函數(shù)上式兩邊取拉普拉斯變換，假設 y 及 u 的各階導數(shù)(包括零階)的初值均為零，則有       下載附件  保存到相冊2013-9-14 19:10 上傳                 于是便

6、得微分方程的傳遞函數(shù)描述形式如下：         下載附件  保存到相冊2013-9-14 19:11 上傳      狀態(tài)空間表達式線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式包括下列兩個矩陣方程：下載附件  保存到相冊2013-9-14 19:11 上傳               （7-1）下載附件  保存到相冊2013-9-14 19:11 上傳   &

7、#160;                                 （7-2）式（7-1）由n 個一階微分方程組成，稱為狀態(tài)方程；式（7-2）由l個線性代方程組稱為輸出方程因此獲得如下的狀態(tài)方程與輸出方程（令a0=1 ）:下載附件  保存到相冊2013-9-14 19:12 上傳離散模型假定一個系統(tǒng)的輸入量、輸出量及其內(nèi)部狀態(tài)量是時間的離散函數(shù)，即為一個時間序列： G

8、(9.81 KB, 下載次數(shù): 6)下載附件  保存到相冊2013-9-14 17:50 上傳，其中T為離散時間間隔，其實T也就是上文中的sample time。Note：再強調(diào)一次，這里的離散模型是指離散時間模型，與現(xiàn)實世界中的離散事件模型沒有任何關系，在simpowersystem中所講的離散都是指時間上的離散，與我們在信號中學的那個離散概念沒有關系。離散時間模型有差分方程、離散傳遞函數(shù)、權序列、離散狀態(tài)空間模型等形式。差分方程差分方程的一般表達式為：   下載附件  保存到相冊2013-9-14 19:13 上傳    

9、;  同樣差分方程可以轉(zhuǎn)換成后面那些表達形式。正如7.1.連續(xù)系統(tǒng)vs離散系統(tǒng)中截圖所示的那樣，如何由一個連續(xù)模型得到它的離散模型，（RMS®discrete RMS value），以及powergui是通過什么方法將連續(xù)模型離散化的，即simulator是如何將微分方程轉(zhuǎn)換成差分方程的。假設連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為捕獲.JPG (8.54 KB, 下載次數(shù): 6)下載附件  保存到相冊2013-9-14 17:52 上傳  現(xiàn)在人為地在系統(tǒng)的輸入及輸出端加上采樣開關，同時為了使輸入信號復員 為原來的信號，在輸入端還要加一個保持器，如圖所示?，F(xiàn)假定

10、它為零階保持器，即假定輸入向量的所有分量在任意兩個依次相連的采樣瞬時為常值，比如，對第n個采樣周期u(t)=u(nt)，其中 T 為采樣間隔。      下載附件  保存到相冊2013-9-14 19:13 上傳                                       

11、     由采樣定理可知，當采樣頻率ws和信號最大頻率wmax滿足ws>2wmax的條件時，可由采樣后的信號唯一地確定原始信號。把采樣后的離散信號通過一個低通濾波器，即可實現(xiàn)信號 的重構(gòu)。值得注意的是，圖所示的采樣器和保持器實際上是不存在的，而是為了將式離散化而虛構(gòu)的。  下面對上式進行求解，對方程式兩邊進行拉普拉斯變換，得                        

12、    即 下載附件  保存到相冊2013-9-14 17:55 上傳                      通過一系列的拉斯反變換和卷積，最終得到其差分方程（具體過程不用關心）下載附件  保存到相冊2013-9-14 17:56 上傳下載附件  保存到相冊2013-9-14 19:15 上傳統(tǒng)稱為系統(tǒng)的離散系數(shù)矩陣。 在轉(zhuǎn)換過程中引入了一個重要參數(shù)T，即采樣間隔，也就是采樣時間，不管是powergui

13、還是其他離散模型，只要涉及到離散，都必然會涉及到sample  time，如下圖下載附件  保存到相冊2013-9-14 19:15 上傳那么sample time 一般取多大呢，一直滿足采樣定理即可，即信號的采樣頻率大于信號本身最大頻率的2倍即可。4. simulator連續(xù)模型的仿真算法（simulatesolver，也可譯成仿真解算器）和步長的概念。下載附件  保存到相冊2013-9-14 19:16 上傳連續(xù)系統(tǒng)的計算機仿真算法是數(shù)值積分法，即計算機用數(shù)值積分來解微分方程，從而得到其近似解。具體方法如下    歐拉法和改進的歐

14、拉法：現(xiàn)有微分方程如下：      下載附件  保存到相冊2013-9-14 19:15 上傳上式右端的積分，計算機是無法求出的，其幾何意義為曲線f（t,y）在區(qū)間(ti ,ti+1)上的面積。當(ti ,ti+1)充分小時，可用矩形面積來近似代替：         下載附件  保存到相冊2013-9-14 19:17 上傳其中h即為積分步長。Note:在simulator仿真計算時，h實際為仿真時間間隔。因此可得下式：      &#

15、160;      下載附件  保存到相冊2013-9-14 19:17 上傳  因此只要知道當前狀態(tài)和步長，便可得到下一狀態(tài)。其幾何意義如下：                   下載附件  保存到相冊2013-9-14 17:58 上傳分析其誤差特性：由泰勒展式可得：下載附件  保存到相冊2013-9-14 17:58 上傳可知其截斷誤差 下載附件  保存到相冊2013-9-14 1

16、7:59 上傳是和步長h2成正比的，因此計算機在計算時，若要使近似積分精度更高，就要減小步長，但會增加截斷誤差。改進的歐拉法（預測校正法）對積分公式()式利用梯形面積公式計算其右端積分，得到                         下載附件  保存到相冊2013-9-14 18:00 上傳將上式寫成遞推差分格式為：            &

17、#160;              下載附件  保存到相冊2013-9-14 18:01 上傳從上式可以看出，在計算 yn+1中，需要知道fn+1，而fn+1=f(tn+1,fn+1)又依賴于yn+1本身。因此要首先利用歐拉法計算每一個預估的ypn+1，以此值代入原方程式計算fpn+1，最后利用下式求修正后的ypn+1。所以改進的歐拉法可描述為       image098.jpg (5.1 KB, 下載次數(shù): 6)下載附件  保存到相冊201

18、3-9-14 17:39 上傳      龍格庫塔法（rung-kuta）歐拉法是將 image099.jpg (14.94 KB, 下載次數(shù): 6)下載附件  保存到相冊2013-9-14 17:39 上傳經(jīng)泰勒級數(shù)展開并截去h2以后各項得到的一階一步法，所以精度較低。如果將展開式多取幾項以后截斷，就得到精度較高的高階數(shù)值解，但直接使用泰勒級數(shù)展開式要計算函數(shù)的高階導數(shù)較難。龍格庫塔法是采用間接利用泰勒級數(shù)展開式的思路，即用在n個點上的函數(shù)值f的線性組合來 代替f的導數(shù)，然后按泰勒級數(shù)展開式確定其中的系數(shù)，以提高算法的階數(shù)。這樣既能避免計算函

19、數(shù)的導數(shù)，同時又 保證了計算精度。由于龍格庫塔法具有許多優(yōu)點，故在許多仿真程序包中，它是一個最基本的算法之 一。線性多步法以上所述的數(shù)值解法均為單步法。在計算中只要知道 下載附件  保存到相冊2013-9-14 18:07 上傳。也就是說，根據(jù)初始條件可以遞推計算出相繼各時刻的y值，所以這種方法都可以自啟動。 下面要介紹的是另一類算法，即多步法。用這類算法求解時，可能需要 image101.jpg (13.92 KB, 下載次數(shù): 6)下載附件  保存到相冊2013-9-14 17:39 上傳各時刻的值。顯然多步法計算公式不能自啟動，并且在計算過程中占用的內(nèi)存較大，但可以提

20、高計算精度和速度。例如：亞當斯貝?；羲癸@式多步法剛性（stiff）系統(tǒng)解法所謂剛性系統(tǒng)，就是用來描敘這類系統(tǒng)的微分方程的解，往往是由多個時間常數(shù)共同作用的，其中某些小時間常數(shù)對解的影響往往是微乎其微但的確不可或缺的。例如下式是一個簡單剛性系統(tǒng)微分方程的解：下載附件  保存到相冊2013-9-14 18:07 上傳image105.jpg (10.19 KB, 下載次數(shù): 6)下載附件  保存到相冊2013-9-14 17:39 上傳當時間較大時特征解-1000幾乎對方程不起任何作用，但開始時有不能忽略e-1000t的影響，因此若前面介紹的計算機數(shù)值解法，為了保證解的穩(wěn)定性在

21、選取步長h時，必須保證1000h較小，也就是說步長h必須十分的小，這必然會增大計算次數(shù)，增大計算時間，而又因為在t一定大時，e-1000t 幾乎不起作用，因此這種增大次數(shù)又不會對計算精度有多大改善，就是說常規(guī)解法計算剛性系統(tǒng)是在做無用功。到目前為止，已提出不少解剛性方程的數(shù)值方法，基本上分為：顯式公式， 隱式公式和預測校正型。顯示公式常用雷納爾法隱式方程都是穩(wěn)定的，故都適合于解描述剛性系統(tǒng)的方程組，如隱式的龍格庫塔法。但這種方法每計算一步都需要進行迭代，故計算量大，在工程上使用有一定困難。因此在解剛性方程時，常采用Rosenbrock提出的半隱式龍格庫塔法。預測校正型中常用的解剛性方程的方法是

22、Gear算法5. simulator離散模型的仿真算法和步長的概念。   離散模型的數(shù)學建模一般采用差分方程的方式，在matlab中其仿真算法是采用discrete算法，就是根據(jù)simulation step 定時對離散模塊進行更新（就是定時計算差分方程的意思）下載附件  保存到相冊2013-9-14 19:18 上傳至于其步長的概念和連續(xù)模型中h的概念差不多，但是它的大小選擇和sample time 有著密切關系，下面會給予說明。6.simulink中仿真參數(shù)（simulation/configurationparameters）    有了

23、上面知識的鋪墊，可以介紹simulink仿真參數(shù)的設置下載附件  保存到相冊2013-9-14 19:19 上傳上圖中solver（仿真解算器）就是上面介紹的各種算法用計算機語言編程的實現(xiàn)。continuous solver就是數(shù)值積分法，discrete solver就是離散解法。步長有variable step（變步長）和fixed step（固定步長之分）。continuous solver中的步長就是h，就是積分時間間隔，對于discrete  solver的步長是和要仿真的模型中的sample time有密切關系的，是不可以隨便取的。下載附件  

24、;保存到相冊2013-9-14 19:19 上傳variable step（變步長）下載附件  保存到相冊2013-9-14 19:20 上傳就是說變步長會根據(jù)模型狀態(tài)的變化的快慢適當調(diào)節(jié)步長，也就是相鄰仿真計算的時間間隔，這樣在保證了一定精度的同時又減少了仿真的次數(shù)，從而減小了仿真時間。對于continuous solver而言，可以人為設定max step size 和min step size，然后計算機自動選擇積分步長h進行數(shù)值積分。以下是它的仿真solver（ODE表示常微分方法）image117.jpg (25.74 KB, 下載次數(shù): 6)下載附件  保存到相

25、冊2013-9-14 17:39 上傳    fixed step（固定步長）下載附件  保存到相冊2013-9-14 19:21 上傳    就是仿真從頭到尾用同一個步長。Note：對于continuous solver而言固定步長可以認為任??；而對于dicretesolver而言固定步長可以auto（即仿真幫你?。?，若人為取必選要遵守和sample time之間的一定關系，下面會有介紹。Note: 關于simulink中搭建一些 DSP，fpga等外設模塊，仿真通過后自動生成代碼，可在實際器件上運行時，此時simulation step一定

26、要用fixed step（固定步長）。具體說明見下圖：image121.jpg (12.75 KB, 下載次數(shù): 6)下載附件  保存到相冊2013-9-14 17:39 上傳discretesolverimage123.jpg (5.62 KB, 下載次數(shù): 6)下載附件  保存到相冊2013-9-14 17:39 上傳image124.png (13.19 KB, 下載次數(shù): 6)下載附件  保存到相冊2013-9-14 17:39 上傳solver就是discrete算法，就是不斷更新discrete block在各離散點的狀態(tài)，步長的大小是與模型中的sam

27、pletime 有密切關系的，由上面闡述的差分方程可知，差分方程中T采樣時間是固定的，對于discrete solver而言不管是variable step 還是fixed step，simulation step（仿真步）必須要有出現(xiàn)在sample time所有的整數(shù)倍上，即simulation step的設置必須使simulator在1T、2T、3T要對模型進行計算仿真，以免錯過主要狀態(tài)的轉(zhuǎn)化。    若一個離散仿真模型中具有多個sample time，那么要保證每個模型在其采用時間的1T、2T、3T都能進行仿真，那么最小步長只能取各個仿真時間的公約數(shù)，其中最大公約數(shù)又

28、稱為fundamental sample time，例子如下 假設仿真的離散模型中有兩個采樣時間T1=2e-6，T2=4e-6那么其公約數(shù)為1e-6和2e-6，而fundamental sample time=2e-6image126.png (14.72 KB, 下載次數(shù): 7)下載附件  保存到相冊2013-9-14 17:39 上傳若采用fixed step步長，為了不錯過模型在每個采樣時刻狀態(tài)的變化，要求simulator的仿真時間必須要包含每一個采樣時刻的整數(shù)倍，因此其固定步長必須取各個sampletime 的公約數(shù)，可以是1e-6或2e-6，若寫auto則為fundamental sample time=2e-6，若寫出其他步長，則simulation會提示錯誤。image129.jpg (6.48 KB, 下載次數(shù): 6)下載附件  保存到相冊2013-9-14 17:39 上傳上述仿真過程如下：下載附件  保存到相冊2013-9-14 18:10 上傳箭頭表示simulation step，就是simulator在每一個箭頭處都會仿真計算一次；圓圈處表示模型采樣時刻（sample time）處，其實只有在這一刻離散模型的狀態(tài)才有可能發(fā)生改變，即差分方程的解才有可能發(fā)生改變；由上圖可見這樣設置步長