2019三年級奧數(shù)基礎教程-包含與排除_小學教育.doc

1、第1頁包含與排除同學們對這個題目可能很陌生，為了搞清楚什么是“包含與排除” ，大家先 一起回答兩個問題：（1） 兩個面積都是 4 厘米2的正方形擺在桌面上 （見左下圖 ） ，它們遮蓋住桌 面的面積是 8 厘米2嗎？（2）一個正方形每條邊上有 6 個點（ 見右上圖 ），四條邊上一共有 24 個點嗎？聰明的同學馬上就會發(fā)現(xiàn)：（1） 兩個正方形的面積和是 8 厘米2，現(xiàn)在它們有一部分重疊了。因此蓋住 桌面的面積應當從兩個正方形的面積和中減去重疊的這部分面積，所以蓋住桌 面的面積應少于 8 厘米2。（2） 四個角上的點每個點都在兩條邊上，因此被重復計算了，在求四條邊上 共有多少點時，應當減去重復計算的

2、點，所以共有6X4-4 = 20（個）點。這兩個問題，在計算時，都采用了“去掉”重復的數(shù)值（面積或個數(shù) ）的方法。一般地，若已知 A, B, C 三部分的數(shù)量（見右圖），其中 C 為 A, B 的重復部 分，則圖中的數(shù)量就等于A B- C 。因為 A, B 有互相包含（重復）的部分 C,所以，在求 A 和 B 合在一起的數(shù)量 時，就要在 A+ B 中減去 A 和 B 互相包含的部分 G 這種方法稱為包含排除法。實際上， 我們前面已經遇到過包含與排除的問題。如， 第 10 講“植樹問題”的例 3 和例 4，只不過那時我們沒有明確提出“包含排除法” 。例 1 把長 38 厘米和 53 厘米的兩根鐵

3、條焊接成一根鐵條。已知焊接部分長4 厘米，焊接后這根鐵條有多長？解：因為焊接部分為兩根鐵條的重合部分，所以，由包含排除法知，焊接 后這根鐵條長38+ 53-4 = 87（厘米）。例 2 某小學三年級四班， 參加語文興趣小組的有 28 人， 參加數(shù)學興趣小組 的有 29人，有 12 人兩個小組都參加。這個班有多少人參加了語文或數(shù)學興趣 小組？分析與解：如上頁左下圖所示，A 圓表示參加語文興趣小組的人，B 圓表示 參加數(shù)學興趣小組的人，A 與 B 重合的部分（陰影部分）表示同時參加兩個小組的 人。圖中 A 圓不含陰影的部分表示只參加語文興趣小組未參加數(shù)學興趣小組的 人，有 28-12 =16（人）

4、;圖中 B 圓不含陰影的部分表示只參加數(shù)學興趣小組未參 加語文興趣小組的人，有 29-12 = 17（人）（見上頁右下圖）。由此得到參加語文或數(shù)學興趣小組的有16+ 12 + 17 = 45（人）。根據包含排除法，直接可得28+ 29- 12 = 45（人）。例 3 某班共有 46 人，參加美術小組的有 12 人，參加音樂小組的有 23 人， 有 5人兩個小組都參加了。這個班既沒參加美術小組也沒參加音樂小組的有多 少人？分析與解：與例 2 對比，本例已知全班總人數(shù)，如果能仿照例 2 求出參加 了美術或音樂小組的人數(shù)，那么只需用全班總人數(shù)減去這個人數(shù)，就得到所求 的人數(shù)。根據包含排除法知，該班至

5、少參加了一個小組的總人數(shù)為12+ 23- 5 =第2頁30（人）。所以，該班未參加美術或音樂小組的人數(shù)是 46-30=16（人）。綜合列式 為46- （ 12 + 23- 5） = 16（人）。例 4 三年級科技活動組共有 63 人。在一次剪貼汽車模型和裝配飛機模型的 定時科技活動比賽中， 老師到時清點發(fā)現(xiàn)： 剪貼好一輛汽車模型的同學有 42 人， 裝配好一架飛機模型的同學有 34 人。每個同學都至少完成了一項活動。問：同 時完成這兩項活動的同學有多少人？分析與解：因 42 + 34= 76, 7663,所以必有人同時完成了這兩項活動。 由于每個同學都至少完成了一項活動，根據包含排除法知，42

6、+ 34-（ 完成了兩項活動的人數(shù) ）=全組人數(shù),即 76-（ 完成了兩項活動的人 數(shù)）= 63。由減法運算法則知,完成兩項活動的人數(shù)為76-63=13（人） 。例 5 在前 100 個自然數(shù)中,能被 2 或 3 整除的數(shù)有多少個？分析與解：如右圖所示，A 圓內是前 100 個自然數(shù)中所有能被 2 整除的數(shù)，B 圓內是前 100 個自然數(shù)中所有能被 3 整除的數(shù)，C 為前 100 個自然數(shù)中既能被 2 整除也能被 3 整除的數(shù)。前 100 個自然數(shù)中能被 2 整除的數(shù)有 100- 2=50（個）。由 100 - 3= 331 知，前 100 個自然數(shù)中能被 3 整除的數(shù)有 33 個。由 100

7、 - （2X3） = 164 知，前 100 個自然數(shù)中既能被 2 整除也能被 3 整除的數(shù)有 16 個。所以 A 中有 50 個數(shù)，B 中有 33 個數(shù)，C 中有 16 個數(shù)。因為 A，B 都包含 C, 根據包含排除法得到，能被 2 或 3 整除的數(shù)有50+ 33- 16 = 67（ 個） 。練習 301 .三年級四班組織了一次象棋和軍棋的棋類比賽， 參加象棋比賽的有 35 人， 參加軍棋比賽的有 24 人，有 16 人兩項比賽都參加了。這個班參加棋類比賽的 共有多少人？2. 某校一個歌舞表演隊里，能表演獨唱的有10 人，能表演跳舞的有 18 人，兩種都能表演的有 7 人。這個表演隊共有多少

8、人能登臺表演歌舞？3. 一班有 45 人，其中 26 人參加了數(shù)學競賽， 22 人參加了作文比賽， 12 人 兩項比賽都參加了。一班有多少人兩項比賽都沒有參加？4. 甲、乙兩家合住在一套單元房里。甲家能夠使用的面積（包括廚房、廁所、走廊等，下同 ）有 56 米 2，乙家能夠使用的面積有 65 米 2，甲、乙兩家都能使 用的面積有 30 米 2。求這套單元的使用面積。5. 在自然數(shù) 1100 中，能被 3 或 5 中任一個整除的數(shù)有多少個？6. 在自然數(shù) 1100 中， 不能被 2, 3 中任一個整除的數(shù)有多少個？ 答案與提示 練習 301.43 人。解： 35+ 24-16=43（ 人） 。2.21 人。解： 10+18-7=21（人）。3.9 人。解： 45-（26 + 22-12）=9（ 人）。4.91 米 2。解： 56+ 65-30=91 （米 2） 。5