三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)[高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)][高中數(shù)學(xué)課時(shí)訓(xùn)]

1、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)1. 在(0,)上遞減；以2為周期；是奇函數(shù).寫出一個(gè)同時(shí)滿足上述條件的函數(shù) （寫出一個(gè)你認(rèn)為正確的即可）.答案 y=-sinx2.（2009·東海高級中學(xué)高三調(diào)研）將函數(shù)y=sin的圖象先向左平移,然后將所得圖象上所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變），則所得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為 .答案 y=sin3.設(shè)函數(shù)y=acosx+b（a、b為常數(shù))的最大值是1，最小值是-7，那么acosx+bsinx的最大值是 .答案 54.函數(shù)y=|sinx|的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間是 （寫出一個(gè)即可）.答案 5.（2008·全國理）若動(dòng)直線x=a與函數(shù)f(x)=si

2、nx和g(x)=cosx的圖象分別交于M、N兩點(diǎn)，則|MN|的最大值為 .答案 例1 求下列函數(shù)的定義域：（1）y=lgsin(cosx);(2)y=.解 （1）要使函數(shù)有意義，必須使sin(cosx)0.-1cosx1,0cosx1.方法一 利用余弦函數(shù)的簡圖得知定義域?yàn)閤|-+2kx+2k,kZ.方法二 利用單位圓中的余弦線OM，依題意知0OM1,OM只能在x軸的正半軸上，其定義域?yàn)?（2）要使函數(shù)有意義，必須使sinx-cosx0.方法一 利用圖象.在同一坐標(biāo)系中畫出0,2上y=sinx和y=cosx的圖象，如圖所示.在0，2內(nèi)，滿足sinx=cosx的x為，再結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的周期是

3、2,所以定義域?yàn)?方法二 利用三角函數(shù)線，如圖MN為正弦線，OM為余弦線，要使sinxcosx,即MNOM，則x（在0，2內(nèi)）.定義域?yàn)榉椒ㄈ?sinx-cosx=sin0，將x-視為一個(gè)整體，由正弦函數(shù)y=sinx的圖象和性質(zhì)可知2kx-+2k,解得2k+x+2k,kZ.所以定義域?yàn)?例2 求下列函數(shù)的值域：（1）y=;(2)y=sinx+cosx+sinxcosx;(3)y=2cos+2cosx.解 （1）y=2cos2x+2cosx=2-.于是當(dāng)且僅當(dāng)cosx=1時(shí)取得ymax=4,但cosx1,y4，且ymin=-,當(dāng)且僅當(dāng)cosx=-時(shí)取得.故函數(shù)值域?yàn)?（2）令t=sinx+cos

4、x,則有t2=1+2sinxcosx,即sinxcosx=.有y=f(t)=t+=.又t=sinx+cosx=sin，-t.故y=f(t)= (-t),從而知：f(-1)yf(2),即-1y+.即函數(shù)的值域?yàn)?（3）y=2cos+2cosx=2coscosx-2sinsinx+2cosx=3cosx-sinx=2=2cos.1該函數(shù)值域?yàn)?2，2.例3 （14分）求函數(shù)y=2sin的單調(diào)區(qū)間.解 方法一 y=2sin化成y=-2sin.1分y=sinu(uR)的遞增、遞減區(qū)間分別為（kZ), (kZ),4分函數(shù)y=-2sin的遞增、遞減區(qū)間分別由下面的不等式確定2k+x-2k+（kZ),即2k

5、+x2k+（kZ),8分2k-x-2k+（kZ),即2k-x2k+（kZ).12分函數(shù)y=2sin的單調(diào)遞減區(qū)間、單調(diào)遞增區(qū)間分別為（kZ),（kZ).14分方法二 y=2sin可看作是由y=2sinu與u=復(fù)合而成的.2分又u=為減函數(shù)，由2k-u2k+（kZ),-2k-x-2k+ (kZ).即（kZ）為y=2sin的遞減區(qū)間.由2k+u2k+ (kZ),即2k+-x2k+ (kZ)得-2k-x-2k- (kZ),即（kZ)為y=2sin的遞增區(qū)間.12分綜上可知：y=2sin的遞增區(qū)間為（kZ）；遞減區(qū)間為（kZ）. 14分 1.求f(x)=的定義域和值域.解 由函數(shù)1-cos0,得sin

6、x,利用單位圓或三角函數(shù)的圖象，易得所求函數(shù)的定義域是Z .當(dāng)sinx=cos=時(shí)，ymin=0;當(dāng)sinx=cos=-1時(shí)，ymax=.所以函數(shù)的值域?yàn)?，.2.已知函數(shù)f(x)=,求它的定義域和值域，并判斷它的奇偶性.解 由題意知cos2x0，得2xk+，解得x（kZ）.所以f(x）的定義域?yàn)镽 Z .又f（x)= =cos2x-1=-sin2x.又定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，f（x）是偶函數(shù).顯然-sin2x-1，0，但x,kZ.-sin2x-.所以原函數(shù)的值域?yàn)?3.（1）求函數(shù)y=sin的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）求y=3tan的周期及單調(diào)區(qū)間.解 （1）方法一 令u=,y=sinu，利用復(fù)合函數(shù)

7、單調(diào)性，由2k-2x+2k+(kZ),得2k-2x2k+（kZ),-k-x-k+ (kZ),即k-xk+（kZ).原函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為 (kZ).方法二 由已知函數(shù)y=-sin,欲求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，只需求y=sin的單調(diào)遞增區(qū)間.由2k-2x-2k+（kZ),解得k-xk+（kZ).原函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（kZ）.（2）y=3tan =-3tan,T=4,y=3tan的周期為4.由k-k+，得4k-x4k+ (kZ),y=3tan的單調(diào)增區(qū)間是(kZ）y=3tan的單調(diào)遞減區(qū)間是 (kZ).一、填空題1.已知函數(shù)y=tanx在內(nèi)是減函數(shù),則的范圍是 .答案 -102.（2009·

8、;徐州模擬）函數(shù)f(x)=sinx-cosx (x-，0)的單調(diào)遞增區(qū)間是 .答案 3.函數(shù)f(x)=tanx (0)的圖象的相鄰的兩支截直線y=所得線段長為,則f（）的值是 .答案 04.函數(shù)y=2sin（-2x）(x0，)為增函數(shù)的區(qū)間是 .答案 5.函數(shù)f(x)=lg(sin2x+cos2x-1)的定義域是 .答案 6.給出下列命題：函數(shù)y=cos是奇函數(shù)；存在實(shí)數(shù),使得sin+cos=;若、是第一象限角且,則tantan;x=是函數(shù)y=sin的一條對稱軸方程；函數(shù)y=sin的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱圖形.其中命題正確的是 （填序號）.答案 7.（2008·江蘇，1）f(x)=co

9、s(x-)最小正周期為，其中0，則= .答案 108.（2009·東海高級中學(xué)高三調(diào)研）定義在R上的函數(shù)f(x):當(dāng)sinxcosx時(shí)，f(x)=cosx;當(dāng)sinxcosx時(shí)，f(x)=sinx.給出以下結(jié)論：f(x)是周期函數(shù)f(x)的最小值為-1當(dāng)且僅當(dāng)x=2k (kZ)時(shí)，f(x)取最大值當(dāng)且僅當(dāng)2k-x(2k+1)(kZ)時(shí)，f(x)0f(x)的圖象上相鄰最低點(diǎn)的距離是2.其中正確命題的序號是 .(把你認(rèn)為正確命題的序號都填上)答案 二、解答題9.已知x，若方程mcosx-1=cosx+m有解，試求參數(shù)m的取值范圍.解 由mcosx-1=cosx+m得cosx=,作出函數(shù)y

10、=cosx的圖象（如圖所示），由圖象可得1,解得m-3.10.設(shè)a=,b=(4sinx,cosx-sinx),f(x)=a·b.（1）求函數(shù)f(x)的解析式；（2）已知常數(shù)0，若y=f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)，求的取值范圍；（3）設(shè)集合A=，B=x|f(x)-m|2,若AB，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解 （1）f(x)=sin2·4sinx+(cosx+sinx)·(cosx-sinx)=4sinx·+cos2x=2sinx(1+sinx)+1-2sin2x=2sinx+1,f(x)=2sinx+1.（2）f(x)=2sinx+1,0.由2k-x2k+,得f(x

11、)的增區(qū)間是,kZ.f（x）在上是增函數(shù)，.-且,.（3）由|f(x)-m|2,得-2f(x)-m2,即f(x)-2mf(x)+2.AB，當(dāng)x時(shí)，不等式f(x)-2mf(x)+2恒成立.f（x）max-2mf(x)min+2,f(x)max=f()=3,f(x)min=f()=2,m（1，4）.11.定義在R上的函數(shù)f(x)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，若f(x)的最小正周期是,且當(dāng)x時(shí)，f（x）=sinx.（1）求當(dāng)x-，0時(shí)，f(x)的解析式；（2）畫出函數(shù)f(x)在-，上的函數(shù)簡圖；（3）求當(dāng)f(x)時(shí)，x的取值范圍.解 （1）f(x)是偶函數(shù)，f（-x）=f（x）.而當(dāng)x時(shí)，f(x)=sinx.當(dāng)x時(shí)，f(x)=f(-x)=sin(-x)=-sinx.又當(dāng)x時(shí)，x+，f（x）的周期為，f（x）=f(+x)=sin(+x)=-sinx.當(dāng)x-,0時(shí)，f(x)=-sinx.（2）如圖：（3）由于f(x）的最小正周期為,因此先在-，0上來研究f(x),即-sinx,sinx-,-x-.由周期性知，當(dāng)x,kZ時(shí)，f(x).12.已知a0，函數(shù)f(x)=-2asin+2a+b,當(dāng)x時(shí)，-5f(x)1.（1）求常數(shù)a,b的值；(2)設(shè)g(x)=f且lg g(x)0,求g(x)的單調(diào)區(qū)間.解 （1）x，2x+.sin，-2asin-2a,a.f(x)b,3a+b,又-