常州市2013屆高三教學(xué)期末調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題

1、常州市2013屆高三教學(xué)期末調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題注 意 事 項(xiàng)考生在答題前請(qǐng)認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)及各題答題要求1. 本試卷共4頁(yè)，包含填空題（第1題第14題）、解答題（第15題第20題）本卷滿分160分，考試時(shí)間120分鐘考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回2. 答題前，請(qǐng)您務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置3. 請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上按照順序在對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，在其他位置作答一律無(wú)效作答必須用0.5毫米黑色墨水的簽字筆請(qǐng)注意字體工整，筆跡清楚4. 如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗5. 請(qǐng)保持答題卡卡面清潔，不要折疊、破損一律不準(zhǔn)使用膠帶紙、

2、修正液、可擦洗的圓珠筆 20131參考公式： 樣本數(shù)據(jù)， ，的方差，其中=一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計(jì)70分請(qǐng)把答案填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上1 設(shè)集合，若，則實(shí)數(shù)的值為 2 已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），計(jì)算：= 3 已知雙曲線的一條漸近線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則該雙曲線的離心率的值為 4 根據(jù)右圖所示的算法，可知輸出的結(jié)果為 5 已知某拍賣(mài)行組織拍賣(mài)的10幅名畫(huà)中，有2幅是膺品某人在這次拍賣(mài)中隨機(jī)買(mǎi)入了一幅畫(huà)，則此人買(mǎi)入的這幅畫(huà)是膺品的事件的概率為 6 函數(shù)的最小正周期為 7 函數(shù)的值域?yàn)?8 已知點(diǎn)和點(diǎn)在曲線C：為常數(shù)上，若曲線在點(diǎn)和點(diǎn)處的切線互相平行，則 9 已知向量，滿足，則向量，的夾角的

3、大小為 10 給出下列命題：（1）若一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面相互垂直；（2）若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線與另一個(gè)平面都平行，那么這兩個(gè)平面相互平行；（3）若兩條平行直線中的一條垂直于直線m，那么另一條直線也與直線m垂直；（4）若兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個(gè)平面也不垂直.其中，所有真命題的序號(hào)為 11 已知函數(shù)f(x)，若關(guān)于x的方程f(x)kx有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 12 已知數(shù)列滿足，則= 13 在平面直角坐標(biāo)系中，圓：分別交軸正半軸及軸負(fù)半軸于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，則的最大值為 14已知實(shí)數(shù)同時(shí)滿足，則的取值范圍是 二、解答

4、題：本大題共6小題，共計(jì)90分請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟15（本小題滿分14分）已知均為銳角，且， （1）求的值； （2）求的值16（本小題滿分14分）如圖，在四棱錐PABCD中，PD底面ABCD，ADAB，CDAB， ，直線PA與底面ABCD所成角為60°，點(diǎn)M、N分別是PA，PB的中點(diǎn)（1）求證：MN平面PCD；（2）求證：四邊形MNCD是直角梯形；（3）求證：平面PCB 17（本小題滿分14分）FEbaBDCA第八屆中國(guó)花博會(huì)將于2013年9月在常州舉辦，展覽園指揮中心所用地塊的形狀是大小一定的矩形ABCD，a，b為常數(shù)且滿足.組委會(huì)決定

5、從該矩形地塊中劃出一個(gè)直角三角形地塊建游客休息區(qū)（點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AB，AD上），且該直角三角形AEF的周長(zhǎng)為（），如圖設(shè)，的面積為（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）試確定點(diǎn)E的位置，使得直角三角形地塊的面積最大，并求出的最大值18（本小題滿分16分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知分別是橢圓E:的左、右焦點(diǎn)，A，B分別是橢圓E的左、右頂點(diǎn)，且. （1）求橢圓E的離心率；（2）已知點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，M 為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)（異于點(diǎn)、），連接并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)，連接、并分別延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)、，連接，設(shè)直線、的斜率存在且分別為、，試問(wèn)是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.19（本

6、小題滿分16分） 已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列， （1）若求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）若是正整數(shù)且成等比數(shù)列，求的最大值20（本小題滿分16分）已知函數(shù).（1）若a=1，求函數(shù)在區(qū)間的最大值;（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若恒成立，求的取值范圍2013屆高三教學(xué)期末調(diào)研測(cè)試 數(shù)學(xué)（附加題） 注 意 事 項(xiàng)考生在答題前請(qǐng)認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)及各題答題要求1. 本試卷只有解答題，供理工方向考生使用本試卷第21題有A、B、C、D 4個(gè)小題供選做，每位考生在4個(gè)選做題中選答2題若考生選做了3題或4題，則按選做題中的前2題計(jì)分第22、23題為必答題每小題10分，共40分考試時(shí)間30分鐘考試結(jié)束后，請(qǐng)將

7、答題卡交回.2. 答題前，請(qǐng)您務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置3. 請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上按照順序在對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，在其他位置作答一律無(wú)效作答必須用0.5毫米黑色墨水的簽字筆請(qǐng)注意字體工整，筆跡清楚4. 如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗5. 請(qǐng)保持答題卡卡面清潔，不要折疊、破損一律不準(zhǔn)使用膠帶紙、修正液、可擦洗的圓珠筆 2013121【選做題】在A、B、C、D 四小題中只能選做兩題，每小題10分，共計(jì)20分請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟A選修41：幾何證明選講如圖，是的直徑，是上的兩點(diǎn)，

8、過(guò)點(diǎn)作的切線FD交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)連結(jié)交OAEBDFC于點(diǎn). 求證：.B選修42：矩陣與變換 已知矩陣，若矩陣屬于特征值6的一個(gè)特征向量為，屬于特征值1的一個(gè)特征向量為求矩陣的逆矩陣C選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 已知曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的極坐標(biāo)方程為，判斷兩曲線的位置關(guān)系D選修45：不等式選講設(shè)，求證：【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計(jì)20分請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟22 (本小題滿分10分)袋中裝有大小相同的黑球和白球共9個(gè)，從中任取2個(gè)都是白球的概率為現(xiàn)甲、乙兩人從袋中輪流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，每次摸取1個(gè)球，取出的球不放回，

9、直到其中有一人取到白球時(shí)終止用X表示取球終止時(shí)取球的總次數(shù)（1）求袋中原有白球的個(gè)數(shù)；（2）求隨機(jī)變量X的概率分布及數(shù)學(xué)期望23(本小題滿分10分)空間內(nèi)有個(gè)平面，設(shè)這個(gè)平面最多將空間分成個(gè)部分. （1）求 ；（2）寫(xiě)出關(guān)于的表達(dá)式并用數(shù)學(xué)歸納法證明.2013屆高三教學(xué)期末調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題參考答案一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分10 2 3. 4. 5 62 7 8 9 10、 11 12 13 14 二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟15解：（1），從而 又， 4分 6分（2）由（1）可得，為銳角， 10分 12分= 14分16證

10、明：（1）因?yàn)辄c(diǎn)M，N分別是PA，PB的中點(diǎn)，所以MNAB2分因?yàn)镃DAB，所以MNCD又CD 平面PCD， MN 平面PCD，所以MN平面PCD. 4分（2）因?yàn)锳DAB，CDAB，所以CDAD，又因?yàn)镻D底面ABCD，平面ABCD，所以CDPD，又，所以CD平面PAD6分因?yàn)槠矫鍼AD，所以CDMD，所以四邊形MNCD是直角梯形8分（3）因?yàn)镻D底面ABCD，所以PAD就是直線PA與底面ABCD所成的角，從而PAD= 9分 在中， 在直角梯形MNCD中， 從而，所以DNCN 11分在中，PD= DB=， N是PB的中點(diǎn)，則DNPB13分又因?yàn)?，所以平面PCB 14分17解：（1）設(shè)，則，整

11、理，得3分 ， 4分（2）當(dāng)時(shí)，在遞增，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，在上，遞增，在上，遞減，故當(dāng)時(shí)，.18解：（1），.，化簡(jiǎn)得，故橢圓E的離心率為.（2）存在滿足條件的常數(shù)，.點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，從而，左焦點(diǎn)，橢圓E的方程為.設(shè)，則直線的方程為，代入橢圓方程，整理得，.，.從而，故點(diǎn).同理，點(diǎn).三點(diǎn)、共線，從而.從而.故，從而存在滿足條件的常數(shù)，.19解：（1）由題得，所以，從而等差數(shù)列的公差，所以，從而，所以 3分（2）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，則，.因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以設(shè)，則，整理得，.解得（舍去負(fù)根）.，要使得最大，即需要d最大，即及取最大值.，當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)，及取最大值.從而最大的， 所以

12、，最大的 16分20解：（1）若a=1, 則 當(dāng)時(shí), ,， 所以在上單調(diào)增, . 2分 （2）由于， （）當(dāng)時(shí)，則， 令，得（負(fù)根舍去）， 且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， 所以在上單調(diào)減，在上單調(diào)增.4分（）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， , 令，得（舍），若，即, 則，所以在上單調(diào)增；若，即, 則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以在區(qū)間上是單調(diào)減，在上單調(diào)增. 6分當(dāng)時(shí), ,令，得，記，若，即, 則，故在上單調(diào)減；若，即, 則由得，且，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng) 時(shí)，所以在區(qū)間上是單調(diào)減，在上單調(diào)增；在上單調(diào)減. 8分綜上所述，當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減區(qū)間是 ，單調(diào)遞增區(qū)間是；當(dāng)時(shí), 單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)的遞增區(qū)間是；當(dāng)時(shí), 單調(diào)遞減區(qū)間是(0, )和，單

13、調(diào)的遞增區(qū)間是和. 10分（3）函數(shù)的定義域?yàn)?由，得 *（）當(dāng)時(shí)，不等式*恒成立，所以；（）當(dāng)時(shí)，所以； 12分（）當(dāng)時(shí)，不等式*恒成立等價(jià)于恒成立或恒成立令，則因?yàn)椋?，從而因?yàn)楹愠闪⒌葍r(jià)于，所以令，則再令，則在上恒成立，在上無(wú)最大值綜上所述，滿足條件的的取值范圍是 16分2013屆高三教學(xué)調(diào)研測(cè)試（二）數(shù)學(xué)（附加題） 參考答案OAEBDFC21、【選做題】在A、B、C、D 四小題中只能選做兩題，每小題10分，共計(jì)20分 A選修41：幾何證明選講證明：連結(jié)OF因?yàn)镈F切O于F，所以O(shè)FD=90°所以O(shè)FC+CFD=90°因?yàn)镺C=OF，所以O(shè)CF=OFC 因?yàn)镃OAB

14、于O，所以O(shè)CF+CEO=90° 所以CFD=CEO=DEF，所以DF=DE因?yàn)镈F是O的切線,所以DF2=DB·DA所以DE2=DB·DAB選修42：矩陣與變換解：由矩陣屬于特征值6的一個(gè)特征向量為，可得6，即； 由矩陣屬于特征值1的一個(gè)特征向量為可得，即， 解得即，逆矩陣是.C選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 解：將曲線化為直角坐標(biāo)方程得：，即，圓心到直線的距離，曲線相離 D選修45：不等式選講證明：由=【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計(jì)20分22解：（1）設(shè)袋中原有個(gè)白球，則從9個(gè)球中任取2個(gè)球都是白球的概率為，由題意知=，即，化簡(jiǎn)得解得或（舍去）故袋中原有白球的個(gè)數(shù)為6. （2）由題意，X的