機(jī)械能和動(dòng)能定理典型例題

1、動(dòng)能和動(dòng)能定理、重力勢(shì)能典型例題精析例題1一個(gè)物體從斜面上高h(yuǎn)處由靜止滑下并緊接著在水平面上滑行一段距離后停止，量得停止處對(duì)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)處的水平距離為S,如圖8-27,不考慮物體滑至斜面底端的碰撞作用，并設(shè)斜面與水平面對(duì)物體的摩擦因數(shù) 相同求摩擦因數(shù)卩.思路點(diǎn)撥 以物體為研究對(duì)象，它從靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，最后又靜止在平 面上，考查全過(guò)程中物體的動(dòng)能沒(méi)有變化，即 Ek=0,因此可以根據(jù)全過(guò)程 中各力的合功與物體動(dòng)能的變化上找出聯(lián)系.解題過(guò)程設(shè)該面傾角為a，斜坡長(zhǎng)為I，則物體沿斜面下滑時(shí)，重力和摩擦力在斜面上的功分別為Wg = n)g/ * sina二mgh,盹= 'cosa.物體在平面上滑行時(shí)僅有

2、摩擦力做功，設(shè)平面上滑行距離為S2,則= -mgS2 對(duì)物體在全過(guò)程中應(yīng)用動(dòng)能定理： 工W=X Ek .h 一 (1 Si 一mgl sin a 卩 mg cos a 卩 mgS=0得卩 S2=0.式中Si為斜面底端與物體初位置間的水平距離.故h小結(jié)本題中物體的滑行明顯地可分為斜面與平面兩個(gè)階段，而且運(yùn)動(dòng)性質(zhì)也顯然分別為勻加速運(yùn)動(dòng)和勻減速運(yùn)動(dòng).依據(jù)各階段中動(dòng)力學(xué)和運(yùn)動(dòng) 學(xué)關(guān)系也可求解本題.比較上述兩種研究問(wèn)題的方法，不難顯現(xiàn)動(dòng)能定理解 題的優(yōu)越性.用動(dòng)能定理解題，只需抓住始、末兩狀態(tài)動(dòng)能變化，不必追究 從始至末的過(guò)程中運(yùn)動(dòng)的細(xì)節(jié)，因此不僅適用于中間過(guò)程為勻變速的，同樣 適用于中間過(guò)程是變加速的

3、.不僅適用于恒力作用下的問(wèn)題，同樣適用于變 力作用的問(wèn)題.例題2 質(zhì)量為500t的機(jī)車(chē)以恒定的功率由靜止出發(fā)，經(jīng) 5min行駛 2.25km，速度達(dá)到最大值54km/h，設(shè)阻力恒定且取g=10m/s2.求： 機(jī)車(chē) 的功率P=? (2)機(jī)車(chē)的速度為36km/h時(shí)機(jī)車(chē)的加速度a=?思路點(diǎn)撥因?yàn)闄C(jī)車(chē)的功率恒定，由公式P=Fv可知隨著速度的增加， 機(jī)車(chē)的牽引力必定逐漸減小，機(jī)車(chē)做變加速運(yùn)動(dòng)，雖然牽引力是變力，但由W=Pt可求出牽引力做功，由動(dòng)能定理結(jié)合 P=fvm,可P求出機(jī)車(chē)的功舉利用求出的功率最大速度可求阻九再根據(jù)V求出36km/h時(shí)的牽引力，再根據(jù)牛頓第二定律求出機(jī)車(chē)的加速度 a.解題過(guò)程(1)

4、以機(jī)車(chē)為研究對(duì)象，機(jī)車(chē)從靜止出發(fā)至達(dá)速度最大值過(guò)程，根據(jù)工W=A Ek,有P* t-f*當(dāng)機(jī)車(chē)達(dá)到最大速度時(shí)，F(xiàn)=f.所以聯(lián)立、式有2興=皿他P由2丄可求出機(jī)車(chē)受到的阻力f = = 2.5X104K當(dāng)機(jī)車(chē)速度v=36km/h時(shí)機(jī)車(chē)的牽引力3.75X12io -= 3 75X104R根據(jù)工F=ma可得機(jī)車(chē)v=36km/h時(shí)的加速度二 25X10% 乳F-f 3.75X10*-2.5X10*=500X 103小結(jié)機(jī)車(chē)以恒定功率起動(dòng)，直到最大速度，屬于變力做功的問(wèn)題.由于阻力恒定，所以機(jī)車(chē)在任一時(shí)刻運(yùn)動(dòng)的加速度a=mv m由于速度增大導(dǎo)致加速度減小，汽車(chē)做加速度逐漸減小而速度逐漸變大 的變加速運(yùn)動(dòng)此

5、類(lèi)問(wèn)題應(yīng)用牛頓第二定律求解，在中學(xué)物理范圍內(nèi)是無(wú)法 求解的但應(yīng)用動(dòng)能定理求解變力做功，進(jìn)而求解相關(guān)物理量是一種簡(jiǎn)捷優(yōu) 化的解題思路與方法.例題3一輛車(chē)通過(guò)一根跨過(guò)定滑輪的繩 PQ提升井中質(zhì)量為m的物體，如圖8-28所示：繩的P端拴在車(chē)后的掛鉤上，Q端拴在物體上，設(shè)繩 的總長(zhǎng)不變；繩的質(zhì)量、定滑輪的質(zhì)量和尺寸、滑輪上的摩擦都忽略不計(jì).開(kāi) 始時(shí)，車(chē)在A(yíng)點(diǎn)，左右兩側(cè)繩都已繃緊并且是豎直的，左側(cè)繩繩長(zhǎng)為H.提升時(shí)，車(chē)加速向左運(yùn)動(dòng)，沿水平方向從 A經(jīng)過(guò)B駛向C.設(shè)A到B的距離也 為H,車(chē)經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)的速度為VB.求車(chē)由A移到B的過(guò)程中，繩Q端的拉力 對(duì)物體做的功?思路點(diǎn)撥 汽車(chē)從A到B把物體提升的過(guò)程中，

6、物體只受到拉力和重 力的作用，根據(jù)物體速度的變化和上升的高度， 特別是汽車(chē)運(yùn)動(dòng)速度VB與物 體上升過(guò)程中的瞬時(shí)速度關(guān)系，應(yīng)用動(dòng)能定理即可求解.解題過(guò)程 以物體為研究對(duì)象，開(kāi)始動(dòng)能Ekl =0,隨著車(chē)的加速拖動(dòng), 重物上升，同時(shí)速度在不斷增加.當(dāng)車(chē)運(yùn)動(dòng)至 B點(diǎn)時(shí)，左邊的繩與水平面所 成角9 =45°，設(shè)物體已從井底上升高度 h，此時(shí)物體速度為VQ,即為收繩 的速度，它等于車(chē)速沿繩子方向的一個(gè)分量，如圖 8-29J2 ,莎vq = vbi = vg * cos45° =設(shè)汽車(chē)扌立力對(duì)物體所做的功為W, 依兄 W 二 AEk, 一 mgh 二£迫廿§,uU 6

7、-29因?yàn)槲矬w上升高度h = 2cosff所以 W二噸(血 T)H +-m(vB)2=-1) H.小結(jié) 此題需明確：速度分解跟力的分解相似，兩個(gè)分速度方向應(yīng)根 據(jù)運(yùn)動(dòng)的實(shí)際效果確定.車(chē)子向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，繩端（P）除了有沿繩子方向的分運(yùn) 動(dòng)外（每一瞬間繩均處于張緊的狀態(tài)），還參與了繞定滑輪0的轉(zhuǎn)動(dòng)分運(yùn)動(dòng)（繩 與豎直方向的夾角不斷變化），因此還應(yīng)該有一個(gè)繞0點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的分速度，這個(gè)分速度垂直于繩長(zhǎng)的方向.所以車(chē)子運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)的速度分解如圖8- 29所 示，有 vQ=vB 仁VBCOS 0 =vBcos45°.例題4在光滑水平面上有一靜止的物體，現(xiàn)以水平恒力甲推這一物 體，作用一段時(shí)間后，換成相反

8、方向的水平恒力乙推這一物體當(dāng)恒力乙作 用時(shí)間與恒力甲作用時(shí)間相同時(shí)，物體恰好回到原處，此時(shí)物體的動(dòng)能為 32J，則在整個(gè)過(guò)程中，恒力甲做的功和恒力乙做的功各等于多少?思路點(diǎn)撥由題意：物體先做勻加速運(yùn)動(dòng)，后做勻減速運(yùn)動(dòng)回到原 處.整個(gè)過(guò)程中的位移為零，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，即可確定兩 個(gè)力的大小關(guān)系，然后根據(jù)全過(guò)程中兩個(gè)力做功和動(dòng)能的變化即可得解.解題過(guò)程物體從靜止受水平恒力F甲作用，做勻加速運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間t后的速度為此后物體受反方向水平恒力F乙作用，做勻減速運(yùn)動(dòng)，a2= ,經(jīng)時(shí)間t后回到原處，前后兩段時(shí)間內(nèi)的位移大小相等，方向相反，所以因止匕F乙=3F甲.設(shè)在F甲作用下物體的位移為

9、S,對(duì)全過(guò)程應(yīng)用動(dòng)能定理F甲S+ F 乙 S=A Ek，代入F乙=3F甲，F(xiàn)甲S+ 3F甲 S=A Ek，所以恒力甲和乙做的 功分別為1 A 1W甲=庁甲 S = -AEh = -X32=8J,W乙二* S = 3F甲.S = |x32 = 24L小結(jié)本題屬多階段物理過(guò)程求功問(wèn)題，運(yùn)動(dòng)往復(fù)性的不同階段有不同的恒力作用，運(yùn)用功能定理從整體上考證功能轉(zhuǎn)換比從力和運(yùn)動(dòng)關(guān)系去研 究要簡(jiǎn)便.當(dāng)然此題也可根據(jù)兩個(gè)力作用時(shí)間相同、兩個(gè)物理過(guò)程中的位移 大小相等，由平均速度的大小相等找出兩者末速度的關(guān)系求解；也可以利用 v-1圖線(xiàn)更直觀(guān)地得到啟發(fā)，根據(jù)圖線(xiàn)上下方與t軸間的面積相等求兩段加 速度之比，進(jìn)而求解.

10、例題5 如圖8- 30所示，長(zhǎng)為L(zhǎng),質(zhì)量為mi的木板A置于光滑水平 面上，在A(yíng)板上表面左端有一質(zhì)量為n2的物塊B，B與A的摩擦因數(shù)為 卩， A和B一起以相同的速度v向右運(yùn)動(dòng)，在A(yíng)與豎直墻壁碰撞過(guò)程中無(wú)機(jī)械能 損失，要使B 一直不從A上掉下來(lái)，v必須滿(mǎn)足什么條件（用n、n?、L、卩 表示）？倘若V0已知，木板B的長(zhǎng)度L應(yīng)滿(mǎn)足什么條件（用nl、nt、Vo、卩表 示）？圖 6-30解題過(guò)程系統(tǒng) p=0,所以思路點(diǎn)撥A和墻壁碰撞后，A以大小為v的速度向左運(yùn)動(dòng)，B仍以原速向右運(yùn)動(dòng).以后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程有三種可能：（1）若n>n2，則n和m2最后 以某一共同速度向左運(yùn)動(dòng)；（2）若m=n2，則A B最后都停

11、在水平面上，但 不可能與墻壁發(fā)生第二次碰撞；（3）若nv n2，則A將多次和墻壁碰撞、最 后停在靠近墻壁處.若nl >nt，碰撞后的總動(dòng)量方向向左，以向左為正方向,miv ntv=(mi + nt)v，八mi +ni2若相對(duì)靜止時(shí)B剛好在A(yíng)板右端，則系統(tǒng)總機(jī)械能損失應(yīng)為卩m2gL,則功能關(guān)系為12121(mi -m2)2v22miv +嚴(yán)琴-刁(眄+此!)(蟲(chóng)+叱乎二卩氐口,解得2ci若V0已知，則板長(zhǎng)L應(yīng)滿(mǎn)足所以卩皿述二土血+m2)Vf扌01 +皿2)伽-3(mi +m2)22切啼卩 g(nil +m2)若m1=n2，碰撞后系統(tǒng)總動(dòng)量為零，最后都靜止在水平面上，設(shè)靜止時(shí)B在A(yíng)的右端，則所以1 2 1 2-mLvz+-m2v"=km2gL,2knfi2gL(g +m2)若禺已知，則板長(zhǎng)L應(yīng)為L(zhǎng) =(m】+叱)碼2/im2g若mvm2,則A與墻壁將發(fā)生多次碰撞，每次碰撞后總動(dòng)量方向都向右，而B(niǎo)相對(duì)于A(yíng)始終向右運(yùn)動(dòng)，設(shè)最后