小波分析小結(jié)

1、小波分析的形成小波分析是一門數(shù)學(xué)分支，是繼Fourier變換之后新的時(shí)頻域分析工具。小波理論的形成經(jīng)歷了三個(gè)發(fā)展階段：Fourier變換階段：Fourier變換是將信號在整個(gè)時(shí)間軸上進(jìn)行積分，它將信號的時(shí)域特征和頻域特征聯(lián)系起來，分別進(jìn)行分析。設(shè)信號 f (t)，其Fourier變換為：F()f (t)e i tdtF()確定了 f(t)在整個(gè)時(shí)間域上的頻譜特性。但Fourier變換不能對信號從時(shí)域和頻域結(jié)合起來分析，它是一種全局變換，在時(shí)間域上沒有任何分辨率。例：f(t) 1,( 2 t 2)，其Fourier變換對應(yīng)圖如下:短時(shí)Fourier變換階段:短時(shí)Fourier變換即加窗Fouri

2、er變換，其思想是把信號分成許多小的時(shí)間間隔，用Fourier分析每個(gè)時(shí)間間隔，以確定該間隔存在的頻率，達(dá)到時(shí)頻局部化目的。其表達(dá)式為：Gf( , ) f (t),g(t)ej t f (t)g(t )e j tdtR式中，g(t)為時(shí)限函數(shù)，即窗口函數(shù)，ejt起頻限作用，Gf(,)大致反映了 f(t)在 時(shí)、 頻率為的信號成分含量。由上式，短時(shí)Fourier變換能實(shí)現(xiàn)一定程度上的時(shí)頻局部化，但窗口函數(shù)確定時(shí)，窗口 大小和形狀固定，所得時(shí)頻分辨率單一。小波分析階段：為了克服上述缺點(diǎn)，小波變換應(yīng)運(yùn)而生。小波變換在研究信號的低頻成分時(shí) 其窗函數(shù)在時(shí)間窗長度上增加，即在頻率寬上減?。辉谘芯啃盘柕膯J頻

3、成分時(shí)其 窗函數(shù)在時(shí)間窗長度上減小，而在頻率寬上增加。對信號可以進(jìn)行概貌和細(xì)節(jié)上 的分析。小波的定義：設(shè)(t) L2(R)(為能量有限的空間信號)，其Fourier變換為()，若滿足容許條件：則稱(t)為母小波，由容許條件可得：(0)(t)dt 0,說明(t)具有波動(dòng)性，在有限區(qū)間外恒為0或快速趨近于0.12匸以Marr小波(t).； (1 t2)e 2為例，如下圖:將母小波進(jìn)行伸縮平移所得小波系列稱為子小波，定義式如下b,a(t)(), a 0>ja a其中a為伸縮因子，b為平移因子。a以Marr小波為例，分別取伸縮平移因子 a，b為、1、2、4； -1、0、1,對應(yīng)圖形如下：f申編系

4、議刊。外1 . 2、4的小滾固數(shù)Daubichies 小波常見的小波有 Daubechies、Symlets、Morlet、Mexican Hat、Meyer 小波等，其對應(yīng)的圖形及性質(zhì)如下：2-115Daubechies小波是正交小波，沒有解析表達(dá)式（除 Haar小波外）。其簡寫形式為dbN, N表示階數(shù)，支集區(qū)間為（0, 2N-1）。Symlets小波與db小波的差別是sym小波有更好的對稱性。mod小波函數(shù)m昭*卜波函數(shù)-10 -510mart小波巒數(shù)1o.e0.6040,20 -0 2<0.4-0.6-0 8-1 -J ”2024m exh小波囲數(shù)Morlet小波不具備正交性，不

5、存在緊支集，不能做離散小波變換，沒有解析尺度函數(shù),其小波函數(shù)為:(x)x2/2cos(5x)Mexica n Hat小波不具有正交性，不存在尺度函數(shù)，是高斯函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，小波函數(shù)為:(X)1/4x2 /2eMeyer小波為在頻域定義的具有解析形式的正父小波，不存在緊支集，但其頻譜有限，具有對稱性。小波函數(shù)的特點(diǎn)：正交性：小波函數(shù)與自身內(nèi)積為1,而與其伸縮平移后的小波系列內(nèi)積為0。正交小波的優(yōu)點(diǎn)是小波變換可將信號分解到無重疊的子頻帶上，并且可以進(jìn)行高效的離散小波變換。對稱性：不具有對稱性的小波函數(shù)所重構(gòu)的信號會(huì)有相位失真。緊支性：具有緊支性的小波其小波函數(shù)僅在有限區(qū)間內(nèi)是非零的，其局部化能力強(qiáng)

6、，小波變換復(fù)雜度低。正則性：用于刻畫小波函數(shù)的光滑程度，正則性越高，函數(shù)越光滑。消失矩：用于衡量小波逼近光滑函數(shù)時(shí)的能力。消失矩越大，壓縮比越大。尺度函數(shù)：若函數(shù)(t) L2(R)，其整數(shù)平移系列 k(t) (t k)滿足：k(t), k(t)； kk則稱(t)為尺度函數(shù)。對尺度函數(shù)(t)進(jìn)行平移和伸縮，可得一個(gè)尺度和位移均可變的函數(shù)集合：j,k(t)2 j/2(2 jt k) k(2 jt)稱每一個(gè)固定尺度j上的平移系列 k(2 jt)所張成的空間Vj為尺度j的尺度空間：Vj span k(2jt),k Z正交多分辨分析：Hilbert空間L2(R)中，若一列閉子空間Vjjz滿足如下性嵌套性

7、：VjVj 1,( j z);逼近性：.Vj0, , VjL2(R);j z Jj伸縮性：f(t)Vjf(2t) Vj 1；平移不變性：f(t) V f(t k) Vj, j 乙z是Vo的標(biāo)準(zhǔn)正交基(1)kh k, k z作 Fourier2kzgkeik，稱H()和正交性(Riesz基)：存在(t) Vo，使得 (t k),k濾波器：在二尺度方程中，對系數(shù)系列hJk z和gk1變換得H()和G()，其中H()丄hke ik，G() 2k zG()分別為低通濾波器和高通濾波器。稱hkk z和gkkz分別為低通濾波器系 數(shù)和高通濾波器系數(shù)。小波變換連續(xù)小波變換：設(shè) 為一母小波，f (t) L2(

8、R)，稱(W f)(a,b) f, a,b |a|2 f(t) (S)dta為f的連續(xù)小波變換。離散小波變換離散小波：通過離散化連續(xù)小波變換中的平移因子b和尺度因子a得到，通常取 a a0°,b nb0a0°, m,n Z .m離散小波變換：(W f)(a,b) f, a,b| a01 2f (t) (a0mtng)dt若取 a。2,b01，可以得到二進(jìn)小波： m,n(t)2 m/2 (2mtn),m,nZ信號的離散小波變換并不是直接由尺度函數(shù)(t)和對應(yīng)的小波(t)與信號內(nèi)積來實(shí)現(xiàn)，而是利用濾波器組 hn和gn來實(shí)現(xiàn)，用矩陣形式表述如下:50h0h1IIIhk 0III0

9、05 1【0Cj10*I0bbh【0】4叫1】III*4hk+III0Cj畀*嗚1卅bhk40* 0 00h0h1Cj 1 n 1* g0叩0ig1IIIgk0III00Cj 100hhg04g1RIIIgk卅li01Cj 11Nhdjn 1 HIbgk4010001g0g1hCj 1 n 1其中，設(shè)濾波器長度為k。并且兩濾波器系數(shù)間有如下關(guān)系：gk ( i)kh?k z|hk |2 2 ；k zhk 2 ；k zh2kh2k 1 1 ；k zk zhk 2nhk 2 n0,門 zk z以db5小波為例，其低通濾波器系數(shù)如下(這里取二尺度方程為.2hk (2t k)所得的系數(shù)：k zh0=0.

10、;h1=;h2=;h3=0.;h4=;h5=;h6=;h7=;h8=;h9=;變換所得系數(shù)Cj和dj分別為離散小波變換的不同尺度下的低頻和高頻系數(shù)。小波逆變換即信號的重建運(yùn)算， 重構(gòu)是從尺度最低的近似系數(shù) Cj和細(xì)節(jié)系數(shù)dj開始， 通過低頻和高頻重構(gòu)濾波器恢復(fù)出上一尺度的近似信號 Cj 1，繼續(xù)這個(gè)過程，直 到恢復(fù)原始信號。其計(jì)算公式為：5 1,m Cj,kh(m 2k)dj,kg(m 2k),k Zkk離散小波變換與重構(gòu)實(shí)例如下：所采用的信號為添加白噪聲的正弦信號，信號共1000個(gè)采樣，采用db4小波做3層分解，其原始信號、低頻系數(shù)、高頻系數(shù)和重構(gòu)信號如下圖：noissinfj 號0100200300400500007008009001000低頻系魏Ili.=020406C80100120140第3層分解高頻系數(shù)6 -qFLIL0SO1001S02002S0300第1層分解高頻系數(shù)10100200300400£00600重枸信號0100200300400500£