新人教版第十三章《軸對稱》全章教案

1、§13.1 軸對稱（1）教學目標：1了解軸對稱圖形和兩個圖形成軸對稱的概念，知道軸對稱圖形和兩個圖形成軸對稱的區(qū)別與聯(lián)系 2探索成軸對稱的兩個圖形的性質和軸對稱圖形的性質，體會由具體到抽象認識問題的過程，感悟類比方法在研究數(shù)學問題中的作用 3了解線段垂直平分線的概念 教學重、難點：軸對稱的概念和性質教學過程：一、問題導入：引言對稱現(xiàn)象無處不在，從自然景觀到藝術作品，從建筑物到交通標志，甚至日常生活用品，都可以找到對稱的例子，對稱給我們帶來美的感受！二、課本精講：問題1如圖，把一張紙對折，剪出一個圖案（折痕處不要完全剪斷），再打開這張對折的紙，就得到了美麗的窗花觀察得到的窗花，你能發(fā)現(xiàn)

2、它們有什么共同的特點嗎？ 如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸這時，我們也說這個圖形關于這條直線（成軸）對稱教師：你能舉出一些軸對稱圖形的例子嗎？ 問題2觀察下面每對圖形（如圖），你能類比前面的內容概括出它們的共同特征嗎？ 共同特征：每一對圖形沿著虛線折疊，左邊的圖形都能與右邊的圖形重合 把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這條直線（成軸）對稱，這條直線叫做對稱軸，折疊后重合的點是對應點，叫做對稱點 教師：你能再舉出一些兩個圖形成軸對稱的例子嗎？ 教師：你能結合具體的圖形說明軸對

3、稱圖形和兩個圖形成軸對稱有什么區(qū)別與聯(lián)系嗎？兩者的聯(lián)系：把成軸對稱的兩個圖形看成一個整體，它就是一個軸對稱圖形把一個軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個圖形，這兩個圖形關于這條軸對稱兩者的區(qū)別：軸對稱圖形指的是一個圖形沿對稱軸折疊后這個圖形的兩部分能完全重合，而兩個圖形成軸對稱指的是兩個圖形之間的位置關系，這兩個圖形沿對稱軸折疊后能夠重合問題3如圖，ABC 和ABC關于直線MN 對稱，點A,B,C分別是點A，B，C 的對稱點，線段AA，BB，CC與直線MN 有什么關系？教師：你能說明其中的道理嗎？上面的問題說明“如果ABC 和ABC關于直線MN 對稱，那么，直線MN 垂直線段AA，BB和CC，并且直線M

4、N 還平分線段AA，BB和CC”如果將其中的“三角形”改為“四邊形”“五邊形”其他條件不變，上述結論還成立嗎？ 問題3如圖，ABC 和ABC關于直線MN 對稱，點A,B,C分別是點A，B，C 的對稱點，線段AA，BB，CC與直線MN 有什么關系？經(jīng)過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線 教師：你能用數(shù)學語言概括前面的結論嗎？ 成軸對稱的兩個圖形的性質：如果兩個圖形關于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線即對稱點所連線段被對稱軸垂直平分；對稱軸垂直平分對稱點所連線段問題4下圖是一個軸對稱圖形，你能發(fā)現(xiàn)什么結論？能說明理由嗎？ 結論：直線l 垂直線段A

5、A，BB，直線l平分線段AA，BB（或直線l 是線段AA，BB的垂直平分線） 教師：你能用數(shù)學語言概括前面的結論嗎？ 軸對稱圖形的性質：軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應點所連線段的垂直平分線 三、鞏固提高：教科書60頁練習1、2四、課堂小結：（1）本節(jié)課學習了哪些主要內容？ （2）軸對稱圖形和兩個圖形成軸對稱的區(qū)別與聯(lián)系是什么？ （3）成軸對稱的兩個圖形有什么性質？軸對稱圖形有什么性質？我們是怎么探究這些性質的？ 五、課后作業(yè)：教科書習題13.1第1、2、3、4、5題13.1 軸對稱（2）教學目標：1理解線段垂直平分線的性質和判定2能運用線段垂直平分線的性質和判定解決實際問題3會用尺規(guī)經(jīng)過已

6、知直線外一點作這條直線的垂線，了解作圖的道理教學重、難點：線段垂直平分線的性質教學過程：一、問題導入：探索并證明線段垂直平分線的性質如圖，直線l 垂直平分線段AB，P1，P2，P3，是l 上的點，請猜想點P1，P2，P3， 到點A 與點B 的距離之間的數(shù)量關系教師：你能用不同的方法驗證這一結論嗎？二、課本精講：請在圖中的直線l 上任取一點，那么這一點與線段AB 兩個端點的距離相等嗎？ 線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等證明：“線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等”已知：如圖，直線lAB，垂足為C，AC =CB，點P 在l 上求證：PA =PB用符號語言表示為： CA =CB

7、，lAB， PA =PB線段垂直平分線的性質：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等教師：反過來，如果PA =PB，那么點P 是否在線段AB 的垂直平分線上呢？點P 在線段AB 的垂直平分線上 已知：如圖，PA =PB求證：點P 在線段AB 的垂直平分線上用數(shù)學符號表示為：PA =PB，點P 在AB 的垂直平分線上與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上教師：你能再找一些到線段AB 兩端點的距離相等的點嗎？ 能找到多少個到線段AB 兩端點距離相等的點？這些點能組成什么幾何圖形？ 在線段AB 的垂直平分線l 上的點與A，B 的距離都相等；反過來，與A，B 的距離相等的點

8、都在直線l上，所以直線l 可以看成與兩點A、B 的距離相等的所有點的集合教師：如何用尺規(guī)作圖的方法經(jīng)過直線外一點作已知直線的垂線？三、鞏固提高：教科書62頁練習1、2.四、課堂小結：（1）本節(jié)課學習了哪些內容？（2）線段垂直平分線的性質和判定是如何得到的？兩者之間有什么關系？（3）如何判斷一條直線是否是線段的垂直平分線？ 五、課后作業(yè)：教科書習題13.1第6、9題13.1 軸對稱（3）教學目標：1能用尺規(guī)作線段的垂直平分線2進一步了解作圖的一般步驟和作圖語言，了解作圖的依據(jù)3運用尺規(guī)作圖的方法解決簡單的作圖問題教學重點：作線段的垂直平分線教學難點：作線段的垂直平分線教學過程：一、問題導入：有時

9、我們感覺兩個平面圖形是軸對稱的，如何驗證呢？不折疊圖形，你能準確地作出軸對稱圖形的對稱軸嗎？ 二、課本精講：作線段的垂直平分線我們已能用尺規(guī)完成：（1）作一條線段等于已知線段；（2）作一個角等于已知角；（3）作一個角的平分線；（4）經(jīng)過已知直線外一點作這條直線的垂線教師：那么利用尺規(guī)還能解決什么作圖問題呢？例1如圖，點A 和點B 關于某條直線成軸對稱，你能作出這條直線嗎？ 教師：怎樣作線段AB 的垂直平分線呢？作法：如圖（1）分別以點A，B 為圓心，以大于 AB的為半徑作弧，兩弧相交于C，D 兩點；（2）作直線CDCD 就是所求作的直線 教師：這種作法的依據(jù)是什么？教師：這種作圖方法還有哪些作

10、用？確定線段的中點 教師：如果兩個圖形成軸對稱，怎樣作出圖形的對稱軸？如果兩個圖形成軸對稱，其對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線因此，只要找到任意一組對應點，作出對應點所連線段的垂直平分線，就得到此圖形的對稱軸如圖中的五角星，請作出它的一條對稱軸. 你能作出這個五角星的其他對稱軸嗎？它共有幾條對稱軸？三、鞏固提高：教科書64頁練習1、2、3四、課堂小結：（1）本節(jié)課學習了哪些內容？ （2）作線段的垂直平分線的依據(jù)是什么？舉例說明 這種作法有哪些運用？（3）如何用尺規(guī)作軸對稱圖形的對稱軸？五、課后作業(yè)：教科書習題13.1第10、12題13.2 畫軸對稱圖形（1）教學目標：1理解圖形軸對稱

11、變換的性質2能按要求畫出一個平面圖形關于某直線對稱的圖形教學重點：畫軸對稱圖形教學難點：畫軸對稱圖形教學過程：一、問題導入：在一張半透明紙張的左邊部分，畫出左腳印，如何由此得到相應的右腳印？二、課本精講：請動手在一張紙上畫一個你喜歡的圖形，將這張紙折疊，描圖，再打開紙，看看你得到了什么？由一個平面圖形得到與它關于一條直線對稱的圖形 一個平面圖形和與它成軸對稱的另一個圖形之 間有什么關系？ 由一個平面圖形可以得到與它關于一條直線l 對稱的圖形，這個圖形與原圖形的形狀、大小完全相同；新圖形上的每一點都是原圖形上的某一點關于直線 l 的對稱點；連接任意一對對應點的線段被對稱軸垂直平分 教師：如果有一

12、個圖形和一條直線，如何作出這個圖形關 于這條直線對稱的圖形呢？ 例1 如圖，已知ABC 和直線l，畫出與ABC關于直線l 對稱的圖形畫法：（1）如圖，過點A 畫直線l 的垂線，垂足為點O，在垂線上截取OA=OA，點A就是點A 關于直線l 的對稱點；（2）同理，分別畫點B，C 關于直線l 的對稱點B，C；（3）連接AB，BC，CA，得到的ABC即為所求教師：如何驗證畫出的圖形與ABC 關于直線l 對稱？已知一個幾何圖形和一條直線，說一說畫一個與該圖形關于這條直線對稱的圖形的一般方法幾何圖形都可以看作由點組成對于某些圖形，只要畫出圖形中的一些特殊點（如線段端點）的對稱點，連接這些對稱點，就可以得到

13、原圖形的軸對稱圖形三、鞏固提高：教科書68頁練習1、2四、課堂小結：（1）本節(jié)課學習了哪些內容？ （2）一個平面圖形和與它成軸對稱的另一個圖形之間有什么關系？（3）畫軸對稱圖形的一般方法是什么？依據(jù)是什么？五、課后作業(yè)：教科書習題13.2第1題 13.2 畫軸對稱圖形（2）教學目標：1理解在平面直角坐標系中，已知點關于x 軸或y 軸對稱的點的坐標的變化規(guī)律2掌握在平面直角坐標系中作出一個圖形的軸對稱圖形的方法教學重、難點：在平面直角坐標系中關于x 軸或y 軸對稱的點的變化規(guī)律和作出與一個圖形關于x 軸或y 軸對稱的圖形教學過程：一、問題導入：如圖，如果以天安門為原點，分別以長安街和中軸線為x軸

14、和y 軸建立平面直角坐標系，對應于東直門的坐標，你能找到西直門的位置，說出西直門的坐標嗎？二、課本精講：探究并歸納已知點關于坐標軸對稱的點的坐標變化規(guī)律對于平面直角坐標系中任意一點，你能找出其關于x 軸或y 軸對稱的點的坐標嗎？它們之間有什么規(guī)律？ 在平面直角坐標系中，畫出下列已知點及其關于x 軸對稱的點，把它們的坐標填入表格中教師：觀察下圖中關于x 軸對稱的每對對稱點的坐標有怎樣的變化規(guī)律？關于x 軸對稱的每對對稱點的橫坐標相等，縱坐標互為相反數(shù)教師：觀察關于y 軸對稱的每對對稱點的坐標有怎樣的變化規(guī)律？ 關于y 軸對稱的每對對稱點的橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標相等教師：請你再找?guī)讉€點，分別畫出

15、它們的對稱點，檢驗一下你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律 點（x，y）關于x 軸對稱的點的坐標為（_，_）； 點（x，y）關于y 軸對稱的點的坐標為（_，_）例 如圖，四邊形ABCD 的四個頂點的坐標分別為 A（-5，1），B（-2，1），C（-2，5），D（-5，4），分別畫出與四邊形ABCD 關于x 軸和y 軸對稱的圖形教師：歸納畫一個圖形關于x 軸或y 軸對稱的圖形的方法和步驟. 先求出已知圖形中一些特殊點（多邊形的頂點）的對稱點的坐標，描出并連接這些點，就可以得到這個圖形的軸對稱圖形步驟簡述為：（1）求特殊點的坐標；（2）描點；（3）連線三、鞏固提高：教科書70頁練習1、2、3四、課堂小結：（1）本節(jié)課學習

16、了哪些內容？ （2）在平面直角坐標系中，已知點關于x 軸或y 軸的對稱點的坐標有什么變化規(guī)律，如何判斷兩個點是否關于x 軸或y 軸對稱？（3）說一說畫一個圖形關于x 軸或y 軸對稱的圖形的方法和步驟五、課后作業(yè)：教科書習題13.2第2、4、5題 13.3 等腰三角形（1）教學目標：1探索并證明等腰三角形的兩個性質 2能利用性質證明兩個角相等或兩條線段相等3結合等腰三角形性質的探索與證明過程，體會軸對稱在研究幾何問題中的作用 教學重、難點：探索并證明等腰三角形性質教學過程：一、問題導入：如圖所示，把一張長方形的紙按圖中虛線對折，并剪去陰影部分，再把它展開，得到的ABC 有什么特點？教師：仔細觀察

17、自己剪出的等腰三角形紙片，你能發(fā)現(xiàn)這個等腰三角形有什么特征嗎？ 教師：同學們剪下的等腰三角形紙片大小不同，形狀各異，是否都具有上述所概括的特征？二、課本精講：教師：在練習本上任意畫一個等腰三角形，把它剪下來，折一折，上面得出的結論仍然成立嗎？由此你能概括出等腰三角形的性質嗎？等腰三角形的特征:（1）等腰三角形的兩個底角相等；（2）等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合教師：利用實驗操作的方法，我們發(fā)現(xiàn)并概括出等腰三角形的性質1和性質2對于性質1，你能通過嚴格的邏輯推理證明這個結論嗎？（1）你能根據(jù)結論畫出圖形，寫出已知、求證嗎？（2）結合所畫的圖形，你認為證明兩個底角相等的思

18、路是什么？（3）如何在一個等腰三角形中構造出兩個全等三角形呢？從剪圖、折紙的過程中你能獲得什么啟發(fā)？已知：如圖，ABC 中，AB =AC求證：B = C你還有其他方法證明性質1嗎？可以作底邊的高線或頂角的角平分線. 教師：性質2可以分解為三個命題，本節(jié)課證明“等腰三角形的底邊上的中線也是底邊上的高和頂角平分線”教師：在等腰三角形性質的探索過程和證明過程中，“折痕”“輔助線”發(fā)揮了非常重要的作用，由此，你能發(fā)現(xiàn)等腰三角形具有什么特征？等腰三角形是軸對稱圖形，底邊上的中線（頂角平分線、底邊上的高）所在直線就是它的對稱軸三、鞏固提高：教科書77頁練習1、2四、課堂小結：（1）本節(jié)課學習了哪些主要內容

19、？ （2）我們是怎么探究等腰三角形的性質的？（3）本節(jié)課你學到了哪些證明線段相等或角相等的方法？五、課后作業(yè)：教科書習題13.3第1、2、4、6題13.3 等腰三角形（2）教學目標：1探索等腰三角形判定定理2理解等腰三角形的判定定理，并會運用其進行簡單的證明3了解等腰三角形的尺規(guī)作圖.教學重、難點：理解和運用等腰三角形的判定定理教學過程：一、問題導入：問題等腰三角形性質定理的內容是什么？這個命題的題設和結論分別是什么？性質定理的條件是：一個三角形中有兩條邊相等結論：這兩條邊所對的角相等二、課本精講：思考性質定理證明方法是什么？ 作頂角的平分線或底邊上的高或底邊的中線，將一個三角形的問題轉化為兩

20、個全等三角形來證明兩個角相等 問題一個三角形滿足什么條件是等腰三角形？ 思考1如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊有什么關系？這兩個角所對的邊相等思考2這個命題的題設和結論又分別是什么呢？ 如何證明這個命題？題設：一個三角形有兩個角相等 結論：這兩個角所對的邊相等 問題類比等腰三角形性質定理的證明方法，你能選擇一種來證明這個命題嗎？ 已知：如圖，在ABC 中，B =C. 求證：AB =AC教師：你還有其他證明方法嗎？ 思考能作底邊BC 上的中線嗎？ 等腰三角形的判定方法： 如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡寫成“等角對等邊”）符號語言：在ABC 中，B =C

21、，AB =AC思考與等腰三角形性質進行比較看有什么區(qū)別？例1求證：如果三角形一個外角的平分線平行于三角形的一邊，那么這個三角形是等腰三角形. 已知：CAE 是ABC 的外角，1 =2，ADBC求證：AB =AC.例2已知等腰三角形底邊長為a ，底邊上的高的長為h ，求作這個等腰三角形.作法：（1）作線段AB =a；（2）作線段AB 的垂直平分線MN，與AB 相交于點D；（3）在MN上取一點C，使DC =h； （4）連接AC，BC，則ABC 就是所求作的等腰三角形.三、鞏固提高：教科書79頁練習1、2、3、4四、課堂小結：（1）本節(jié)課學習了哪些內容？（2）等腰三角形的判定方法有哪幾種？ （3）結

22、合本節(jié)課的學習，談談等腰三角形性質和判定的區(qū)別和聯(lián)系五、課后作業(yè)：教科書習題13.3第2、5題 13.3 等腰三角形（3）教學目標：1探索等邊三角形的性質和判定2能運用等邊三角形的性質和判定進行計算和證明教學重、難點：探索等邊三角形的性質與判定教學過程：一、問題導入：問題滿足什么條件的三角形是等邊三角形？三條邊都相等的三角形是等邊三角形二、課本精講：請分別畫出一個等腰三角形和等邊三角形，結合你畫的圖形說出它們有什么區(qū)別和聯(lián)系？聯(lián)系：等邊三角形是特殊的等腰三角形；區(qū)別：等邊三角形有三條相等的邊，而等腰三角形只有兩條.問題等腰三角形有哪些特殊的性質呢？ 從邊的角度：兩腰相等；從角的角度：等邊對等角

23、；從對稱性的角度：軸對稱圖形、三線合一思考將等腰三角形的性質用于等邊三角形，你能得到什么結論？ 結合等腰三角形的性質，你能填出等邊三角形對應的結論嗎？ 圖形邊角軸對稱圖形等腰三角形兩邊相等（定義）兩底角相等（等邊對等角）是（三線合一）一條對稱軸等邊三角形三邊相等（定義）對“等邊三角形的三個內角都相等，并且每一個角都等于60°”這一結論進行證明.已知：ABC 是等邊三角形 求證：A =B =C =60°證明：ABC 是等邊三角形， BC =AC，BC =AB A =B，A =C A =B =C A +B +C =180°， A =60° A =B =C =

24、60°等邊三角形的性質：等邊三角形的三個內角都相等，并且每一個角都等于60°.符號語言：ABC 是等邊三角形，A =B =C =60°思考利用所學知識判斷，等邊三角形是軸對稱圖形嗎？若是軸對稱圖形，請畫出它的對稱軸.問題等邊三角形除了用定義（即用邊）來判定以外，能否利用角來判定呢？思考1一個三角形的三個內角滿足什么條件是等邊三角形？思考2一個等腰三角形滿足什么條件是等邊三角形？三個角都相等的三角形或者一個角為60°的等腰三角形請你將得到的這兩個命題進行證明.等邊三角形的判定定理1：三個角都相等的三角形是等邊三角形 符號語言：在ABC 中， A=B =C

25、， ABC 是等邊三角形等邊三角形的判定定理2：有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形 符號語言：在ABC 中，BC =AC，A =60°，ABC 是等邊三角形判定等邊三角形的方法：從邊的角度：等邊三角形的定義；從角的角度：等邊三角形的兩條判定定理 等邊三角形的判定定理1：三個角都相等的三角形是等邊三角形等邊三角形的判定定理2：有一個角為60°的等腰三角形 例1如圖，ABC 是等邊三角形，DEBC, 分別交AB，AC 于點D，E求證：ADE 是等邊三角形. 三、鞏固提高：教科書80頁練習1、2四、課堂小結：（1）本節(jié)課學習了等邊三角形的性質和判定；（2）等邊三角形與等腰三角形相比有哪些特殊的性質？ 共有幾種判定等邊三角形的方法？（3）結合本節(jié)課的學習，談談研究三角形的方法五、課后作業(yè)：教科書習題1