函數(shù)、極限與連續(xù)（Word）

1、第一講 函數(shù)、極限與連續(xù)一、考試內(nèi)容與要求1 函數(shù)（1）函數(shù)的概念: y=f(x)，重點：要求會建立函數(shù)關(guān)系.（2）復(fù)合函數(shù): y=f(u), u=，重點：確定復(fù)合關(guān)系并會求復(fù)合函數(shù)的定義域.（3）分段函數(shù): 注意，為分段函數(shù).（4）初等函數(shù)：通過有限次的四則運算和復(fù)合運算且用一個數(shù)學式子表示的函數(shù)。（5）函數(shù)的特性：單調(diào)性、有界性、奇偶性和周期性注：變限積分所定義函數(shù)或的特性：若f(x)為奇（偶）函數(shù)，則為偶（奇）函數(shù)；若f(x+T)=f(x), 且，則仍為以T為周期的周期函數(shù).例 設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，則在下列函數(shù)中，必為偶函數(shù)的是（A） （ B） (C) (D) 解 直接利用上述結(jié)論或取特

2、殊值法，如f(x)=1, 排除(A),(B); 又取f(x)=x， 排除(C).2 極限(1) 數(shù)列的極限： (2) 函數(shù)在一點的極限的定義：(3) 單側(cè)極限: 1) 左右極限2) 極限存在的充要條件：(4) 極限存在的準則1) 夾逼定理： 數(shù)列情形，函數(shù)情形2) 單調(diào)有界數(shù)列必有極限(5)極限的基本性質(zhì)：唯一性，保號性，四則運算(6) 兩類重要極限: , (7) 無窮小量與無窮大量1) 無窮小量; 2) 無窮大量; （注意與無界變量的差異）3) 無窮小量與無窮大量的關(guān)系(8) 無窮小量階的比較1 / 93 連續(xù)1) 連續(xù)的定義2) 區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)3) 間斷點及其分類4) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的

3、性質(zhì)：有界性定理、最值定理、介值定理、零點定理注：復(fù)合函數(shù)求極限公式二、 重要公式與結(jié)論1 常見極限不存在的情形：1) 方法：用無窮小量乘有界變量2） 方法：分或討論.2 特別：若3 無窮小量的等價代換若，則，當時，常見無窮小量的等價代換：若，則有 特別注意： （ ， （）， （）4 若 由此有 三、 典型題型與例題題型1 求函數(shù)的極限分析 未定式類型：解題提示 常見方法：1) 極限運算法則，2)無窮小量等價代換，3）洛必達法則例1 求極限 例2 求 型未定式例3 , 例4 ;例5 求極限例6 求題型2 求極限的逆問題解題提示 方法：1）運算法則，2）等價代換，3）洛必塔法則，4）(用泰勒公式

4、)例7 試確定a,b,c的值，使 例8 已知(A) 0, (B) 6, (C) 36, (D) 題型3 無窮小量的比較例9 設(shè)當x0時，是比高階的無窮小，而是比高階的無窮小量，則正整數(shù)n等于(A) 1 （B） 2 (C) 3 （D）4題型4 求數(shù)列的極限解題提示 方法：(1)轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限： 例10 計算(2) 利用單調(diào)有界數(shù)列收斂準則例11 設(shè)x1=a0, 證明：數(shù)列的極限存在并求其值。(3) 利用夾逼定理(適合n項求和的情形)(4) 利用定積分定義(適合n項求和的情形)公式： 1） 2） 例12 求 題型5 判斷函數(shù)的連續(xù)性與間斷點的類型例13 求函數(shù)的間斷點，并指出其類型。題型6 綜合題例14 已知f(x)在（內(nèi)可導，且，求c的值.例15 1）證明當x0時，2）令 ，則單調(diào)增加且有上界，從而存在.例16 由拉格朗日中值定理有，其中，則.補充練習題：1、求極限 2、求極限 3、求 4、求 5、求極限 6、求極限 1 7、x表示不超過x的最大整數(shù)，試確定常數(shù)a的值，使存在，并求出此極限。 a=-2, 28、已知當 時，是的高階無窮小，則a= ,b= . 9、設(shè)常數(shù)，求極限 ， 10、設(shè)試補