高中數(shù)學(xué)《加法原理與乘法原理》教學(xué)課例分析

1、高中數(shù)學(xué)加法原理與乘法原理教學(xué)課例分析 一、教學(xué)設(shè)計(jì)1、教學(xué)內(nèi)容分析。兩個基本原理一課是 排列、組合、二項(xiàng)式定理一章的開頭課，學(xué)習(xí)它所需的先行知識跟學(xué)生已知的數(shù)學(xué)知識聯(lián)系很少，它是在人們大量的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上歸納抽象出來的基本規(guī)律。而且，在日常工作和生活中，只要涉及到安排調(diào)配、統(tǒng)籌規(guī)劃等問題，就離不開它。因此，它具有廣泛的應(yīng)用性，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和實(shí)踐能力的良好素材。同時，兩個原理也是推導(dǎo)排列數(shù)、組合數(shù)計(jì)算公式的理論依據(jù)，是分析排列、組合應(yīng)用題的基本思路。正確使用兩個基本原理的前提是使學(xué)生分清楚兩個基本原理使用的條件：分類用加法原理，分步用乘法原理。單是這一點(diǎn)，學(xué)生是很容易理解的，問題在

2、于怎樣合理的分類、分步，特別是在分類、分步時怎樣才能做到既不重復(fù)，又不遺漏。在實(shí)際應(yīng)用中，常用到觀察、分析、歸納、類比、總結(jié)等方法，因此，也是幫助學(xué)生發(fā)展思維能力，培養(yǎng)學(xué)生周密思考、細(xì)心分析的良好習(xí)慣的好素材。2、數(shù)學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)。數(shù)學(xué)問題源于情境，因此情境創(chuàng)設(shè)的優(yōu)劣將直接影響問題的提出和提出問題的質(zhì)量。貼近學(xué)生生活數(shù)的學(xué)情境，能夠激發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的興趣，促進(jìn)學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中的問題，提出問題，并樂于去解決問題。所以，創(chuàng)設(shè)情境是運(yùn)用“情境問題”這一教學(xué)模式上好一堂課的關(guān)鍵。我上這一堂課的時間是 2002 年 6 月 4 日上午第四節(jié)課，當(dāng)時的背景是 2002 年韓日足球世界杯剛剛開幕，中國隊(duì)進(jìn)入了決賽階段

3、，并且當(dāng)天下午就要打第一場比賽，也是中國隊(duì)在本屆世界杯上，最有希望贏球的一場比賽。據(jù)估計(jì)，班上 80 % 的學(xué)生是球迷，對足球有著濃厚的興趣。因此，我設(shè)置了以下情境：中國隊(duì)進(jìn)入韓日世界杯決賽階段，就有了小組出線乃至奪冠的機(jī)會和可能，圓了眾多球迷 44 年的心愿。對于中國隊(duì)的第一場比賽，每個人都有不同的看法和預(yù)測。請說說你的看法和預(yù)測，你最關(guān)心什么？這個情境正是學(xué)生最關(guān)注的“誰能奪冠”及“中國隊(duì)能否出線”的內(nèi)容，也正好是作為引出兩個基本原理的實(shí)例。 3、課堂教學(xué)目標(biāo)根據(jù)教學(xué)大綱的要求，結(jié)合數(shù)學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)，確定本節(jié)課的素質(zhì)教育目標(biāo)是：1）、知識教學(xué)目標(biāo)：理解和掌握加法原理與乘法原理。2）、能力訓(xùn)練

4、目標(biāo)：通過分析、探究將足球賽的現(xiàn)實(shí)情境問題轉(zhuǎn)化為加法原理與乘法原理的數(shù)學(xué)問題來解決，培養(yǎng)學(xué)生從具體到抽象的思維方法，使學(xué)生獲得“數(shù)學(xué)化”的體驗(yàn)。3）、情感、態(tài)度目標(biāo)：通過對中國隊(duì)能否小組出線與奪冠可能性的討論，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和愛國熱情，培養(yǎng)學(xué)生正確地面對成功、失敗與挫折的良好心態(tài)。二、教學(xué)過程（一）、創(chuàng)設(shè)情境。師：中國隊(duì)進(jìn)入韓日世界杯決賽階段，就有了小組出線乃至奪冠的機(jī)會和可能。對于本次世界杯足球賽，每個人可能有不同的看法和預(yù)測。那么，大家最關(guān)心的是什么呢？今天下午，中國隊(duì)將進(jìn)行本屆世界杯上的第一場比賽：中國哥斯達(dá)黎加。這節(jié)課，我們先來聊一下足球賽。（通過聊足球賽來激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣）（時

5、間控制在 5 分鐘之內(nèi)）學(xué)生1：中國隊(duì)能進(jìn)入世界杯的決賽階段，我是非常高興的，我希望中國隊(duì)在本次世界杯上能取得很好的成績，最好能進(jìn)入決賽，爆出一個大冷門。師：同學(xué)1說出了我們大家的希望，希望中國隊(duì)能發(fā)揮他們的水平，賽出中國隊(duì)的風(fēng)格來。學(xué)生2：對于本次世界杯，中國隊(duì)的實(shí)力還達(dá)不到和世界強(qiáng)隊(duì)競爭的水平，所以我只希望中國隊(duì)能進(jìn)一個球，能贏一場比賽，也就不枉進(jìn)了一回世界杯。師:看來這位同學(xué)對中國隊(duì)的現(xiàn)狀是作了一些實(shí)力分析，態(tài)度比較保守。學(xué)生3：足球是圓的，在比賽場上是什么情況都有可能發(fā)生的，只要中國隊(duì)能贏一場平一場，那么，就可以進(jìn)入 16 強(qiáng)，我最關(guān)心的是“誰能奪冠”及“中國隊(duì)能否出線”。師：“奪冠”

6、、“出線”可能是在座各位最關(guān)心的問題了。（在黑板上板書“奪冠”、“出線”）（二）、提出問題。師：在足球場上，要想贏球，是和教練的事前戰(zhàn)術(shù)布置、球員的技術(shù)發(fā)揮、比賽雙方的實(shí)力對比、天氣情況等各種外在、內(nèi)在的因素密不可分的。比賽場上，什么情況都有可能發(fā)生。所以不能說中國隊(duì)就完全沒有出線、乃至奪冠的可能。奪冠問題如果排除各種外在、內(nèi)在的因素，單單從奪冠的可能性來說，這次世界杯的冠軍會有多少種不同的可能？出線問題中國所在的 C 組，分別以第一名、第二名身份出線的兩隊(duì)，有多少種不同的可能？（三）、解決問題。師：這節(jié)課我們就來解決這兩個問題。1、奪冠問題。（由學(xué)生分組討論解決方法）（時間控制在 15 分鐘

7、之內(nèi)）小組1：將球隊(duì)按所在的賽區(qū)可以分為 6 類，即 6 個賽區(qū)：直接晉級的 3 支，亞洲隊(duì) 2 支，非洲隊(duì) 5 支，歐洲隊(duì) 14 支，北美洲隊(duì) 3 支，南美洲隊(duì) 5 支，由于無論哪一個賽區(qū)中的哪一支球隊(duì)都有奪冠的可能。所以一共有 N = 3 + 2 + 5 + 14 + 3 + 5 = 32種不同的奪冠可能。師：上面這種方法可以歸納為我們所說的“加法原理”：做一件事，完成它可以有 n 類辦法，在第一類辦法中有 m 1 種不同的方法，在第二類辦法中有 m 2 種不同的方法， 在第 n 類辦法中有 m n 種不同的方法。那么，完成這件事共有 N = m 1 + m 2 + + m n 種不同的方

8、法。小組2：按照世界杯的分組來分類，可以分為 8 類，即8 個小組，每組 4 支隊(duì)，每個小組內(nèi)的 4 支球隊(duì)都有奪冠的可能，則一共有 N = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 32 種不同的可能。小組3：將這 32 支球隊(duì)看成一類，這一類中有 32 種不同的方法，每一種方法都能獨(dú)立的完成“奪冠”這件事，所以根據(jù)加法原理，一共有 32 種不同的可能。2、出線問題：（時間控制在 20 分鐘之內(nèi)）學(xué)生5：為了解決問題可以列出各種可能，以 C 組為例：第一名 第二名 第一名 第二名 土耳其 巴 西巴西 中 國 共3種 哥斯達(dá)黎加 中 國 共3種 哥斯達(dá)黎加 土耳其 巴 西

9、 巴 西中國 土耳其 共3種 土耳其 中 國 共3種 哥斯達(dá)黎加 哥斯達(dá)黎加一共有 4 × 3 = 12 種不同的出線可能。師：上面這種方法可以歸納為下面要講的“乘法原理”：做一件事，完成它需要分成 n 個步驟，做第一步有 m 1 種不同的方法，做第二步有 m 2 種不同的方法， 做第 n 步有 m n 種不同的方法。那么，完成這件事共有 N = m 1 × m 2 × × m n 種不同的方法。淺析兩個基本原理。1、共同點(diǎn)：計(jì)算做一件事完成它的所有不同的方法種數(shù)。2、區(qū)別：加法原理與分類有關(guān)，要求不論哪一類辦法中的哪一種方法，都能單獨(dú)的完成這件事。每類

10、是獨(dú)立完成事情。乘法原理與分步有關(guān)，要求依次完成所有步驟后，才能完成這件事，每步是階段性的完成事情。所以，應(yīng)用兩個原理的關(guān)鍵在于恰當(dāng)?shù)姆诸惢蚍植剑狗诸惢蚍植讲恢貜?fù)，不遺漏。換句話說，類類互斥，步步獨(dú)立。師：對于剛才的 數(shù)學(xué)結(jié)論是排除了各方面的干擾的，但實(shí)際問題中，是要受到各種各樣的因素的干擾。所以，不能僅僅根據(jù)我們算出來的結(jié)論就武斷地做出結(jié)論，必須具體問題具體分析。認(rèn)真而又冷靜的對待比賽的結(jié)果。三、回顧反思這堂課受到聽課教師和學(xué)生的好評，主要是因?yàn)閿?shù)學(xué)情境設(shè)置的時機(jī)非常適宜。下午就要進(jìn)行比賽，而上午就上這堂大家都比較感興趣的課。1、創(chuàng)設(shè)情境是上好課的基礎(chǔ)。為了創(chuàng)設(shè)好的數(shù)學(xué)情境，教師必須悉心研

11、究教材，了解教材內(nèi)容體系，了解學(xué)生的興趣愛好、身心發(fā)展水平，選擇既貼近學(xué)生生活，能激起學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動學(xué)生的求知欲，又緊扣教材知識內(nèi)容的實(shí)際問題作為情境。設(shè)置了好的數(shù)學(xué)情境，因?yàn)閷W(xué)生感興趣，所以能自然的引導(dǎo)學(xué)生提出問題，并由學(xué)生自己想辦法解決問題，充分發(fā)揮了學(xué)生的主體作用。2、恰當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生提出數(shù)學(xué)問題。對于進(jìn)行“數(shù)學(xué)情境與提出問題”課題研究，在上課前需要事先預(yù)想學(xué)生可能會提出的問題以及可能提出的解決方法，但是也不能忽視學(xué)生的發(fā)散思維。在講授過程中并不是每一個環(huán)節(jié)都能按照教師的預(yù)想的步驟進(jìn)行，對于課堂上的突發(fā)性的問題，教師要能自如的應(yīng)對。比如，在講授“奪冠問題”加法原理時，有學(xué)生突然提出一種分

12、類的方法：按照隊(duì)員的膚色來分類。在講課時只是一帶而過：“有很多隊(duì)伍中的隊(duì)員膚色并不統(tǒng)一，那他們該屬于哪一類呢？這是不能確定的。分類必須具有確定性，所以這種分類不能采用。”但是，應(yīng)該抓住這個契機(jī)，在鼓勵學(xué)生發(fā)散思維進(jìn)行思考的同時，還應(yīng)該對于學(xué)生的不規(guī)范的答案進(jìn)行點(diǎn)撥?！半m然隊(duì)伍中的隊(duì)員膚色不統(tǒng)一，但是可以通過增加條件來解決。比如，根據(jù)隊(duì)長的膚色來分類，那么問題就可以解決了。”3、以單元大情境帶動數(shù)學(xué)教學(xué)。在教學(xué)過程中，學(xué)生的思維是活躍的。本課中，學(xué)生除了提出“奪冠”與“出線”兩個緊扣本課內(nèi)容的問題外，還提出了其他很多有價值的問題。這些問題雖然不能在本節(jié)課中得到解決，但卻是學(xué)生關(guān)心并希望自己能夠解決的問題；這些問題為下一步進(jìn)行排列組合的概念，排列數(shù)、組合數(shù)公式以及排列組合實(shí)際應(yīng)用問題作了鋪墊。比如：1）、每個小組要進(jìn)行多少場比賽？這個問題可以用來解決求排列數(shù)公式的問題。2）、中國隊(duì)共有 5名運(yùn)動員可以踢前鋒的位置，一場比賽需要2名前鋒，可以有多少種出場方式？這個問題可以用來解決求組合數(shù)公式的問題。3）、如果贏一場比賽得 3 分，平一場得 1 分，輸一場得 0 分，那么中國隊(duì)所在的 C 組，會有多少種得分情況。4）、如果中國隊(duì)每個位置都有