高中數(shù)學(xué)立體幾何大題和答案及解析

1、高中數(shù)學(xué)立體幾何大題及答案解析(理)1.（2009全國(guó)卷）如圖，四棱錐中，底面為矩形，底面，點(diǎn)在側(cè)棱上，。 （I）證明：是側(cè)棱的中點(diǎn)；求二面角的大小。 2.（2009全國(guó)卷）如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABAC,D、E分別為AA1、B1C的中點(diǎn)，DE平面BCC1（）證明：AB=AC（）設(shè)二面角A-BACBA1B1C1DED-C為60°,求B1C與平面BCD所成的角的大小3.（2009浙江卷）如圖，平面，分別為的中點(diǎn)（I）證明：平面；（II）求與平面所成角的正弦值4.（2009北京卷）如圖，四棱錐的底面是正方形，點(diǎn)E在棱PB上.（）求證：平面；（）當(dāng)且E為PB的中點(diǎn)時(shí)，求AE

2、與平面PDB所成的角的大小.5.（2009江西卷）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，以的中點(diǎn)為球心、為直徑的球面交于點(diǎn)（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成的角；（3）求點(diǎn)到平面的距離6.（2009四川卷）如圖，正方形所在平面與平面四邊形所在平面互相垂直，是等腰直角三角形，（I）求證：；（II）設(shè)線段、的中點(diǎn)分別為、，求證： （III）求二面角的大小。7.（2009湖北卷文）如圖，四棱錐S-ABCD的底面是正方形，SD平面ABCD,SDADa,點(diǎn)E是SD上的點(diǎn)，且DEa(0<1). ()求證：對(duì)任意的（0、1），都有ACBE:()若二面角C-AE-D的大小為600C，求的值。8.

3、（2009湖南卷）如圖3，在正三棱柱中，AB=4, ,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AC上，且DEE.（）證明：平面平面; （）求直線AD和平面所成角的正弦值。9.（2009四川卷）如圖，正方形所在平面與平面四邊形所在平面互相垂直，是等腰直角三角形，（I）求證：；（II）設(shè)線段、的中點(diǎn)分別為、，求證： （III）求二面角的大小。10.（2009重慶卷文）如題（18）圖，在五面體中，四邊形為平行四邊形，平面，求：（）直線到平面的距離；（）二面角的平面角的正切值11如圖，四棱錐P­ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，DAB60°，AB2AD，PD底面ABCD(1)證明：PABD；

4、(2)設(shè)PDAD，求二面角APBC的余弦值12（本小題滿分12分）如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為等腰梯形，ABCD,ACBD，垂足為H，PH是四棱錐的高 ，E為AD中點(diǎn)（1） 證明：PEBC（2） 若APB=ADB=60°，求直線PA與平面PEH所成角的正弦值參考答案1、【解析】（I）解法一：作交于N，作交于E，連ME、NB，則面，,設(shè)，則,在中，。在中由解得，從而 M為側(cè)棱的中點(diǎn)M. 解法二:過(guò)作的平行線.（II）分析一:利用三垂線定理求解。在新教材中弱化了三垂線定理。這兩年高考中求二面角也基本上不用三垂線定理的方法求作二面角。過(guò)作交于,作交于,作交于,則,面,面面,面即為所

5、求二面角的補(bǔ)角.法二：利用二面角的定義。在等邊三角形中過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，則點(diǎn)為AM的中點(diǎn)，取SA的中點(diǎn)G，連GF，易證，則即為所求二面角.解法二、分別以DA、DC、DS為x、y、z軸如圖建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則。SABCDMzxy（）設(shè)，則，由題得，即解之個(gè)方程組得即所以是側(cè)棱的中點(diǎn)。法2：設(shè)，則又故，即，解得，所以是側(cè)棱的中點(diǎn)。（）由（）得，又，設(shè)分別是平面、的法向量，則且，即且分別令得，即，二面角的大小。2、解法一：（）取BC中點(diǎn)F，連接EF，則EF，從而EFDA。連接AF，則ADEF為平行四邊形，從而AF/DE。又DE平面，故AF平面，從而AFBC，即AF為BC的垂直平分線，所以AB=

6、AC。（）作AGBD，垂足為G，連接CG。由三垂線定理知CGBD，故AGC為二面角A-BD-C的平面角。由題設(shè)知，AGC=600. 設(shè)AC=2，則AG=。又AB=2，BC=，故AF=。由得2AD=，解得AD=。故AD=AF。又ADAF，所以四邊形ADEF為正方形。因?yàn)锽CAF，BCAD，AFAD=A，故BC平面DEF，因此平面BCD平面DEF。連接AE、DF，設(shè)AEDF=H，則EHDF，EH平面BCD。連接CH，則ECH為與平面BCD所成的角。因ADEF為正方形，AD=，故EH=1，又EC=2，所以ECH=300，即與平面BCD所成的角為300.解法二：（）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線AB為x軸的正半

7、軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz。設(shè)B（1，0，0），C（0，b，0），D（0，0，c），則（1，0，2c）,E（，c）.于是=（，0），=（-1，b,0）.由DE平面知DEBC， =0，求得b=1，所以 AB=AC。（）設(shè)平面BCD的法向量則又=（-1，1， 0），=（-1，0，c）,故令x=1, 則y=1, z=,=(1,1, ).又平面的法向量=（0，1，0）由二面角為60°知，=60°，故 °，求得于是 ， ， °所以與平面所成的角為30°3、（）證明：連接， 在中，分別是的中點(diǎn)，所以， 又，所以，又平面ACD ，DC平面ACD，

8、所以平面ACD（）在中，所以 而DC平面ABC，所以平面ABC 而平面ABE， 所以平面ABE平面ABC， 所以平面ABE由（）知四邊形DCQP是平行四邊形，所以 所以平面ABE， 所以直線AD在平面ABE內(nèi)的射影是AP， 所以直線AD與平面ABE所成角是 在中， ，所以4、【解法1】（）四邊形ABCD是正方形，ACBD，PDAC，AC平面PDB，平面.（）設(shè)ACBD=O，連接OE， 由（）知AC平面PDB于O， AEO為AE與平面PDB所的角， O，E分別為DB、PB的中點(diǎn)， OE/PD，又， OE底面ABCD，OEAO， 在RtAOE中， ，即AE與平面PDB所成的角的大小為.【解法2】如

9、圖，以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)則，（），ACDP，ACDB，AC平面PDB，平面.（）當(dāng)且E為PB的中點(diǎn)時(shí)， 設(shè)ACBD=O，連接OE， 由（）知AC平面PDB于O， AEO為AE與平面PDB所的角， ，即AE與平面PDB所成的角的大小為.多面體ABCDEF的體積為VEABCDVEBCF=5、解：方法（一）：（1）證：依題設(shè)，在以為直徑的球面上，則.因?yàn)槠矫?，則，又，所以平面，則，因此有平面，所以平面平面.（）設(shè)平面與交于點(diǎn)，因?yàn)?，所以平面，則，由（1）知，平面，則MN是PN在平面ABM上的射影，所以 就是與平面所成的角，且 所求角為（3）因?yàn)镺是BD的中點(diǎn)，則O點(diǎn)到平面ABM的距離等

10、于D點(diǎn)到平面ABM距離的一半，由（1）知，平面于M，則|DM|就是D點(diǎn)到平面ABM距離.因?yàn)樵赗tPAD中，所以為中點(diǎn)，則O點(diǎn)到平面ABM的距離等于。方法二：（1）同方法一；（2）如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則， ，設(shè)平面的一個(gè)法向量，由可得：，令，則，即.設(shè)所求角為，則，所求角的大小為.（3）設(shè)所求距離為，由，得：6、【解析】解法一：因?yàn)槠矫鍭BEF平面ABCD，BC平面ABCD，BCAB，平面ABEF平面ABCD=AB，所以BC平面ABEF.所以BCEF.因?yàn)锳BE為等腰直角三角形，AB=AE，所以AEB=45°，又因?yàn)锳EF=45,所以FEB=90°，即EFBE.因

11、為BC平面ABCD, BE平面BCE,BCBE=B所以 6分（II）取BE的中點(diǎn)N,連結(jié)CN,MN,則MNPC PMNC為平行四邊形,所以PMCN. CN在平面BCE內(nèi),PM不在平面BCE內(nèi), PM平面BCE. 8分（III）由EAAB,平面ABEF平面ABCD,易知EA平面ABCD.作FGAB,交BA的延長(zhǎng)線于G,則FGEA.從而FG平面ABCD,作GHBD于H,連結(jié)FH,則由三垂線定理知BDFH. FHG為二面角F-BD-A的平面角. FA=FE,AEF=45°,AEF=90°, FAG=45°.設(shè)AB=1,則AE=1,AF=,則在RtBGH中, GBH=45

12、°,BG=AB+AG=1+=,在RtFGH中, , 二面角的大小為 12分解法二: 因等腰直角三角形，所以又因?yàn)槠矫?，所以平面，所以即兩兩垂直；如圖建立空間直角坐標(biāo)系, (I) 設(shè)，則，從而，于是， , 平面，平面， （II），從而 于是 ，又平面，直線不在平面內(nèi)， 故平面（III）設(shè)平面的一個(gè)法向量為，并設(shè)（ 即 取，則，從而（1，1，3） 取平面D的一個(gè)法向量為 故二面角的大小為7、（）證發(fā)1：連接BD，由底面是正方形可得ACBD。 SD平面，BD是BE在平面ABCD上的射影，由三垂線定理得ACBE.(II)解法1：SD平面ABCD，平面， SDCD. 又底面是正方形， DD，又

13、AD=D，CD平面SAD。過(guò)點(diǎn)D在平面SAD內(nèi)做DFAE于F，連接CF，則CFAE， 故CFD是二面角C-AE-D 的平面角，即CFD=60°在RtADE中，AD=, DE= ， AE= 。于是，DF=在RtCDF中，由cot60°=得， 即=3， 解得=8、解:（）如圖所示，由正三棱柱的性質(zhì)知平面.又DE平面ABC，所以DE.而DEE，,所以DE平面.又DE 平面，故平面平面. （）解法 1: 過(guò)點(diǎn)A作AF垂直于點(diǎn),連接DF.由（）知，平面平面，所以AF平面,故是直線AD和平面所成的角。 因?yàn)镈E，所以DEAC.而ABC是邊長(zhǎng)為4的正三角形，于是AD=，AE=4-CE=4

14、-=3.又因?yàn)椋訣= = 4, , .即直線AD和平面所成角的正弦值為 .解法2 : 如圖所示，設(shè)O是AC的中點(diǎn)，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(2,0,0,), (2,0,), D(-1, ,0), E(-1,0,0).易知=（-3，-），=（0，-，0），=（-3，0）.設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則解得.故可取.于是 = . 由此即知，直線AD和平面所成角的正弦值為 .所以ME與BN不共面，它們是異面直線。 .12分9、【解析】解法一：因?yàn)槠矫鍭BEF平面ABCD，BC平面ABCD，BCAB，平面ABEF平面ABCD=AB，所以BC平面ABEF.所以BCEF.因?yàn)锳

15、BE為等腰直角三角形，AB=AE，所以AEB=45°，又因?yàn)锳EF=45,所以FEB=90°，即EFBE.因?yàn)锽C平面ABCD, BE平面BCE,BCBE=B所以 6分（II）取BE的中點(diǎn)N,連結(jié)CN,MN,則MNPC PMNC為平行四邊形,所以PMCN. CN在平面BCE內(nèi),PM不在平面BCE內(nèi), PM平面BCE. 8分（III）由EAAB,平面ABEF平面ABCD,易知EA平面ABCD.作FGAB,交BA的延長(zhǎng)線于G,則FGEA.從而FG平面ABCD,作GHBD于H,連結(jié)FH,則由三垂線定理知BDFH. FHG為二面角F-BD-A的平面角. FA=FE,AEF=45&#

16、176;,AEF=90°, FAG=45°.設(shè)AB=1,則AE=1,AF=,則在RtBGH中, GBH=45°,BG=AB+AG=1+=,在RtFGH中, , 二面角的大小為12分解法二: 因等腰直角三角形，所以又因?yàn)槠矫?，所以平面，所以即兩兩垂直；如圖建立空間直角坐標(biāo)系, (I) 設(shè)，則，從而，于是， , 平面，平面， （II），從而 于是 ，又平面，直線不在平面內(nèi)， 故平面（III）設(shè)平面的一個(gè)法向量為，并設(shè)（ 即 取，則，從而（1，1，3） 取平面D的一個(gè)法向量為 故二面角的大小為10、解法一:（）平面, AB到面的距離等于點(diǎn)A到面的距離，過(guò)點(diǎn)A作于G，因，

17、故；又平面，由三垂線定理可知，故，知，所以AG為所求直線AB到面的距離。在中，由平面，得AD，從而在中，。即直線到平面的距離為。（）由己知，平面，得AD，又由，知，故平面ABFE，所以，為二面角的平面角，記為.在中, ,由得,從而在中, ,故所以二面角的平面角的正切值為.解法二: （）如圖以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)榈恼较蚪⒖臻g直角坐標(biāo)系數(shù),則A(0,0,0) C(2,2,0) D(0,2,0) 設(shè)可得,由.即,解得 ，面,所以直線AB到面的距離等于點(diǎn)A到面的距離。設(shè)A點(diǎn)在平面上的射影點(diǎn)為,則 因且,而,此即 解得,知G點(diǎn)在面上,故G點(diǎn)在FD上.,故有 聯(lián)立,解得, 為直線AB到面的距離. 而 所以（）因四邊形為平行四邊形,則可設(shè), .由得,解得.即.故由,因,故為二面角的平面角，又,所以11.解：(1)因?yàn)镈AB60°，AB2AD，由余弦定理得.從而B(niǎo)D2AD2AB2，故BDAD又PD底面ABCD，可得BDPD所以BD平面PAD故PABD(2)如圖，以D為坐標(biāo)