高等數(shù)學(xué)測(cè)試題及詳細(xì)解答

1、第一單元 函數(shù)與極限一、填空題1、已知，則。2、。3、時(shí)，是的階無(wú)窮小。4、成立的為。5、。6、在處連續(xù)，則。7、。8、設(shè)的定義域是，則的定義域是_。9、函數(shù)的反函數(shù)為_(kāi)。10、設(shè)是非零常數(shù)，則。11、已知當(dāng)時(shí)，與是等價(jià)無(wú)窮小，則常數(shù)。12、函數(shù)的定義域是_。13、。14、設(shè)，則_。15、=_。二、選擇題1、設(shè)是上的偶函數(shù)，是上的奇函數(shù)，則中所給的函數(shù)必為奇函數(shù)。（）；（）；（C）；（D）。2、，則當(dāng)時(shí)有。（）是比高階的無(wú)窮小； （）是比低階的無(wú)窮小；（C）與是同階無(wú)窮小； （D）。3、函數(shù)在處連續(xù)，則。（）； （）； （C）； （D）。4、數(shù)列極限。（）； （）； （C）；（D）不存在但非。

2、5、，則是的。（）連續(xù)點(diǎn)；（）可去間斷點(diǎn)；（C）跳躍間斷點(diǎn)；（D）振蕩間斷點(diǎn)。6、以下各項(xiàng)中和相同的是（ ）（），； （），；（C），；（D），。7、= （ ）（）1； （）-1； （C）0； （D）不存在。8、 （ ）（）1； （）-1； （）； （）。9、在的某一去心鄰域內(nèi)有界是存在的（ ）（）充分必要條件；（） 充分條件；（C）必要條件；（D）既不充分也不必要條件.10、（ ）（）1； （）2； （C）； （D）0。11、設(shè)均為非負(fù)數(shù)列，且，則必有（ ）（A）對(duì)任意成立； （B）對(duì)任意成立；（C）極限不存在 ； （D）極限不存在。12、當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極限（ ）（）等于；（）等于；（）為；（

3、）不存在但不為。三、計(jì)算解答1、計(jì)算下列極限（1）；（2） ；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）。、試確定之值，使。、利用極限存在準(zhǔn)則求極限(1)。（2）設(shè)，且，證明存在，并求此極限值。5、討論函數(shù)的連續(xù)性，若有間斷點(diǎn)，指出其類型。6、設(shè)在上連續(xù)，且，證明在內(nèi)至少有一點(diǎn)，使。第一單元 函數(shù)與極限測(cè)試題詳細(xì)解答一、填空題1、。，。2、 。3、高階。，是的高階無(wú)窮小。4、。為有界函數(shù)，所以要使，只要，即。5、。6、。，。7、。8、根據(jù)題意 要求，所以 。9、，的反函數(shù)為。10、原式=。11、由與，以及，可得 。12、由反三角函數(shù)的定義域要求可得 解不等式組可得 ，的定義域?yàn)椤?3

4、、。14、。15、2。二、選擇題1、選（） 令，由是上的偶函數(shù)，是上的奇函數(shù)，。2、選（）3、選（A） 4、選（）5、選（） ， ， 6、選（）在（A）中的定義域?yàn)?，而的定義域?yàn)?，故不正確在（B）的值域?yàn)?，的值域?yàn)椋叔e(cuò)在（C）中的定義域?yàn)镽，的定義域?yàn)?，故錯(cuò)7、選（） ，不存在8、選（） ， 9、選（）由函數(shù)極限的局部有界性定理知，存在，則必有的某一去心鄰域使有界，而在的某一去心鄰域有界不一定有存在，例如，函數(shù)有界，但在點(diǎn)極限不存在10、選（）（11、選（D） （A）、（）顯然不對(duì)，因?yàn)橛袛?shù)列極限的不等式性質(zhì)只能得出數(shù)列“當(dāng)充分大時(shí)”的情況，不可能得出“對(duì)任意成立”的性質(zhì)。（）也明顯不對(duì)，

5、因?yàn)椤盁o(wú)窮小·無(wú)窮大”是未定型，極限可能存在也可能不存在。12、選（D）當(dāng)時(shí)函數(shù)沒(méi)有極限，也不是。三、計(jì)算解答1、計(jì)算下列極限：（1）解：。（2）解：。（3）解：。（4）解：。（5）解：。（6）解：。（7）解：。（8）解：。、解：。、（1）.而 。（2）先證有界（數(shù)學(xué)歸納法）時(shí)，設(shè)時(shí)， 則數(shù)列有下界，再證單調(diào)減，且即單調(diào)減，存在，設(shè)，則有 （舍）或，、解：先求極限 得 而 的連續(xù)區(qū)間為為跳躍間斷點(diǎn).。、解：令， 則 在上連續(xù)而由零點(diǎn)定理，使即 ，亦即 。第二單元 導(dǎo)數(shù)與微分一、填空題1、已知，則=。2、存在，有，則=。3、，則=。4、二階可導(dǎo)，則=；=。5、曲線在點(diǎn)處切線與連接曲線上

6、兩點(diǎn)的弦平行。6、，則=。7、，則=，=。8、若，則=。9、曲線于點(diǎn)_處的切線斜率為2。10、設(shè)，則。11、設(shè)函數(shù)由方程確定，則。12、設(shè)則。二、單項(xiàng)選擇1、設(shè)曲線和在它們交點(diǎn)處兩切線的夾角為，則=（ ）。（）；（）； （C）；（）。3、函數(shù)，且，則（ ）。（）；（）； （C）；（）。4、已知為可導(dǎo)的偶函數(shù)，且，則曲線在處切線的方程是。（）；（）；（C）；（）。5、設(shè)可導(dǎo)，則=。（）；（）； （C）；（）。6、函數(shù)有任意階導(dǎo)數(shù)，且，則=。（）；（）；（C）；（）。7、若，則=（ ）（）； （）； （C）； （）。8、設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處存在和，則是導(dǎo)數(shù)存在的（ ）（）必要非充分條件；（）充分非必要條件

7、；（C）充分必要條件；（）既非充分又非必要條件。9、設(shè)則（ ）（）；（） ； （C）；（）。10、若可導(dǎo)，且，則有（ ）（）；（）；（C）；（）。11、設(shè)函數(shù)連續(xù)，且，則存在，使得（ ）（A）在內(nèi)單調(diào)增加； （B）在內(nèi)單調(diào)減少；（C）對(duì)任意的有；（D）對(duì)任意的有。12、設(shè)在處可導(dǎo)，則（ ）（A） ； （B）為任意常數(shù)；（C） ； （C）為任意常數(shù)。三、計(jì)算解答1、計(jì)算下列各題（1），求； （2），求；（3），； （4），求；（5），求；（6），求；（7），在處有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，求；（8）設(shè)在處有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，且，求。2、試確定常數(shù)之值，使函數(shù)處處可導(dǎo)。3、證明曲線與（為常數(shù)）在交點(diǎn)處切線相互

8、垂直。4、一氣球從距離觀察員500米處離地勻速鉛直上升，其速率為140米/分，當(dāng)此氣球上升到500米空中時(shí)，問(wèn)觀察員視角的傾角增加率為多少。5、若函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)有，且，證明。6、求曲線上過(guò)點(diǎn)處的切線方程和法線方程。第二單元 導(dǎo)數(shù)與微分測(cè)試題詳細(xì)解答一、填空題1、2、3、4、，5、弦的斜率，當(dāng)時(shí)，。6、7、，8、9、，由，在點(diǎn)處的切線斜率為210、 2，11、 方程兩邊對(duì)求導(dǎo)得 解得 。12、 由參數(shù)式求導(dǎo)公式得，再對(duì)求導(dǎo)，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法得。二、選擇題1、選（） 由交點(diǎn)為，3、選（） 由得 4、選（A） 由切線方程為：即 5、選（） 6、選（） 設(shè)，則7、選（） 又，8、選（） 在處可導(dǎo)的充分

9、必要條件是在點(diǎn)的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)都存在且相等。9、選（）另解：由定義，10、選（） 11、由導(dǎo)數(shù)定義知，再由極限的保號(hào)性知 當(dāng)時(shí)，從而 當(dāng)時(shí)，因此C成立，應(yīng)選C。12、由函數(shù)在處可導(dǎo)，知函數(shù)在處連續(xù)，所以。又，所以。應(yīng)選C。三、計(jì)算解答1、計(jì)算下列各題（1）（2），（3）兩邊對(duì)求導(dǎo)：（4）設(shè)則（5）兩邊取對(duì)數(shù)：兩邊求導(dǎo)： （6）利用定義：（7）又注：因在處是否二階可導(dǎo)不知，故只能用定義求。（8）2、易知當(dāng)時(shí)，均可導(dǎo)，要使在處可導(dǎo)則 ， 且在處連續(xù)。即而 又 由3、證明：設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，則對(duì)兩邊求導(dǎo)：曲線在處切線斜率又由曲線在處切線斜率又兩切線相互垂直。4、設(shè)分鐘后氣球上升了米，則兩邊對(duì)求導(dǎo)：當(dāng)m時(shí)

10、， 當(dāng)m時(shí)， （弧度/分）5、證明：6、解：由于，于是所求切線斜率為，從而所求切線方程為 ， 即又法線斜率為所以所求法線方程為 ，即 第三單元 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用一、填空題1、_。2、函數(shù)在區(qū)間_單調(diào)增。3、函數(shù)的極大值是_。4、曲線在區(qū)間_是凸的。5、函數(shù)在處的階泰勒多項(xiàng)式是_。6、曲線的拐點(diǎn)坐標(biāo)是_。7、若在含的（其中）內(nèi)恒有二階負(fù)的導(dǎo)數(shù)，且_,則是在上的最大值。8、在內(nèi)有_個(gè)零點(diǎn)。9、。10、。11、曲線的上凸區(qū)間是_。12、函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是_。二、單項(xiàng)選擇1、函數(shù)有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)且則（ ）（）不存在 ；（）0 ；（）-1 ；（）-2。2、設(shè)則在內(nèi)曲線（ ）（）單調(diào)增凹的； （）單調(diào)

11、減凹的；（）單調(diào)增凸的；（）單調(diào)減凸的。3、在內(nèi)連續(xù)，則在處（ ）（）取得極大值； （）取得極小值；（）一定有拐點(diǎn)；（）可能取得極值，也可能有拐點(diǎn)。4、設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則：在內(nèi)與：在上之間關(guān)系是（ ）（）是的充分但非必要條件； （）是的必要但非充分條件；（）是的充分必要條件；（）不是的充分條件，也不是必要條件。5、設(shè)、在連續(xù)可導(dǎo)，且，則當(dāng)時(shí)，則有（ ）（）；（）；（）；（）。6、方程在區(qū)間內(nèi)（）（）無(wú)實(shí)根； （）有唯一實(shí)根；（）有兩個(gè)實(shí)根；（）有三個(gè)實(shí)根。7、已知在的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)，且，則在點(diǎn) 處（ ）（）不可導(dǎo)； （）可導(dǎo)，且；（C）取得極大值； （）取得極小值。、設(shè)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且

12、，則（）（）是的極大值；（）是的極小值；（）是曲線的拐點(diǎn)；（）不是的極值點(diǎn)。9、設(shè)為方程的二根，在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則在內(nèi)（ ）（A）只有一實(shí)根； （B）至少有一實(shí)根； （C）沒(méi)有實(shí)根； （D）至少有2個(gè)實(shí)根。10、在區(qū)間上滿足羅爾定理?xiàng)l件的函數(shù)是（ ）（A）； （B）； （C）； （D）。11、函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則在內(nèi)是函數(shù)在內(nèi)單調(diào)增加的（ ）（A）必要但非充分條件； （B）充分但非必要條件；（C）充分必要條件； （C）無(wú)關(guān)條件。12、設(shè)是滿足微分方程的解，且，則在（ ）（A）的某個(gè)鄰域單調(diào)增加； （B）的某個(gè)鄰域單調(diào)減少；（）處取得極小值； （）處取得極大值。三、計(jì)算解答1、計(jì)算下列極限(

13、1)；(2)；(3) ； (4) ；(5) ； (6)。2、證明以下不等式(1)、設(shè)，證明。(2)、當(dāng)時(shí)，有不等式。3、已知，利用泰勒公式求。4、試確定常數(shù)與的一組數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，與為等價(jià)無(wú)窮小。5、設(shè)在上可導(dǎo)，試證存在，使。6、作半徑為的球的外切正圓錐，問(wèn)此圓錐的高為何值時(shí)，其體積最小，并求出該體積最小值。7、若在上有三階導(dǎo)數(shù)，且，設(shè)，試證：在 內(nèi)至少存在一個(gè)，使。第三單元 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用測(cè)試題詳細(xì)解答一、填空題1、2、在上單調(diào)增3、20令當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，極大值為 4、，當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，曲線在上是凸的5、6、，令，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)而當(dāng)時(shí)，拐點(diǎn)為7、,當(dāng)時(shí)，單調(diào)增加；當(dāng)時(shí)，單調(diào)減少8、1

14、，在上單調(diào)增加又.在內(nèi)有1個(gè)零點(diǎn)。9、 原式。10、 原式=。11、令，當(dāng)時(shí)，上凸，其它區(qū)間，上凹，故應(yīng)填入。12、 函數(shù)的定義區(qū)間為，在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)、可導(dǎo)，且，因?yàn)樵趦?nèi)，所以函數(shù)在上單調(diào)增加。二、選擇題1、選（） 2、選（） 當(dāng)時(shí)，又在上單調(diào)減且為凹的。3、選（） ，則，是的拐點(diǎn)；設(shè)，則，而是的極值點(diǎn)。4、選（）由在內(nèi)的充分必要條件是在內(nèi)（為常數(shù)），又因?yàn)樵趦?nèi)連續(xù)，所以，即在上。5、選（）由單調(diào)減少，.6、選（） 令，則；當(dāng)時(shí)，單調(diào)增加，當(dāng)時(shí)，單調(diào)減少當(dāng)時(shí)，單調(diào)增加.而，在上有一實(shí)根，在上有一實(shí)根，在上有一實(shí)根。、選（） 利用極限的保號(hào)性可以判定的正負(fù)號(hào)：（在的某空心鄰域）；由，有，即在取

15、極小值。8、選（） 由極限的保號(hào)性：（在的某空心鄰域）；由此（在的某空心鄰域），單調(diào)增，又由，在由負(fù)變正，由極值第一充分條件，是的極小點(diǎn)。9、選（B）由羅爾定理保證至少存在一點(diǎn)使。10、選（C），A選項(xiàng)在不連續(xù)，B選項(xiàng)在處不可導(dǎo)，D選項(xiàng)。11、選（B），如在單增，但，故非必要條件。12、選（），由有，所以在處取得極小值。三、計(jì)算解答1、計(jì)算極限（1）解： (2)解： 。(3)解： (4)解：(5)解： 。(6)解： 2、(1)證明：令 ，則在上連續(xù)在上單調(diào)增加，得 ， 即(2)令在時(shí)，在上單調(diào)增 即3、解： 泰勒公式而對(duì)比 的導(dǎo)數(shù)有：4、解： ，5、即證：令，則在上滿足拉氏定理的條件，使即即

16、6、解： 設(shè)圓錐的高為，底面圓半徑為，則有比例關(guān)系令唯一駐點(diǎn)所以，當(dāng)時(shí)，體積最小，此時(shí)7、解： 由題設(shè)可知在上存在，又，由羅爾定理，使，又，可知在上滿足羅爾定理，于是，使，又，對(duì)在上再次利用羅爾定理，故有，使得。第四單元 不定積分一、填空題1、=_。2、=_。3、=_。4、=_。5、=_。6、=_。7、=_。8、=_。9、_。10、_。11、_。12、。二、單項(xiàng)選擇1、對(duì)于不定積分，下列等式中（ ）是正確的.（A）；（B）；（C）；（D）。2、函數(shù)在上連續(xù)，則等于（ ）（A）；（B）；（C）；（D）。3、若和都是 的原函數(shù)，則（ ）（A）；（B）；（C）(常數(shù))；（D）(常數(shù))。4、若，則（

17、）（A）；（B）；（C）；（D）。5、設(shè)的一個(gè)原函數(shù)為，則（ ）（A）；（B）；（C）；（D）。6、設(shè)，則（ ）（A）；（B）；（C）；（D）。、（ ）（A）； （B）；（C）； （D）。、若的導(dǎo)函數(shù)為，則的一個(gè)原函數(shù)是（ ）（A）； （B）； （C）； （D）。、為可導(dǎo)函數(shù)，且，又，則=（ ）（A）； （B）； （C）； （D）。10、（ ）（A）； （B）；（C）； （D）。11、=（ ）（A）；（B）；（） ；（D）。12、=（ ）（）；（）；（）；（）。三、計(jì)算解答1、計(jì)算下列各題(1)；(2)；(3)、； (4)；(5)、； (6)。2、設(shè)，當(dāng)時(shí)求。3、 設(shè)為的原函數(shù)，當(dāng)時(shí)有，且，求

18、。4、 確定A、B使下式成立5、設(shè)的導(dǎo)數(shù)的圖像為過(guò)原點(diǎn)和點(diǎn)的拋物線，開(kāi)口向下，且的極小值為2，極大值為6，求。第四單元 不定積分測(cè)試題詳細(xì)解答一、填空題1、。2、。3、。4、。5、。6、。7、。8、。9、。10、11、令，則原式12、。二、選擇題 1、選（）。由，知（A）、（B）、（）選項(xiàng)是錯(cuò)的，故應(yīng)選。2、選（）。由微分的定義知。3、選（）。函數(shù)的任意兩個(gè)原函數(shù)之間相差一個(gè)常數(shù)。4、選（B） 兩邊對(duì)微分得5、選（B） 原式6、選（C） 、選（D） 8、選（B）由題意知，的原函數(shù)為，取，故選B。9、選（C）由兩邊求導(dǎo)得，又，所以，所以，又因?yàn)?，所以?0、選（）。11、選（B）。12、選（）。

19、三、計(jì)算解答1、計(jì)算下列各題(1)解：；(2)解：；(3)解：；(4)解： 令，則得 ；(5)解：；(6)解：。2、解：3、解：對(duì)兩邊積分：由知又得4、解：由整理得由不定積分的定義：有即對(duì)此導(dǎo)數(shù)：，（也可直接兩邊求導(dǎo)求解）5、解：設(shè)由，.由令駐點(diǎn)，又，為極小值點(diǎn)，為極大值點(diǎn)，而由第五單元 定積分一、填空題1、=_。2、=_。3、。4、。5、。6、。7、設(shè)在上連續(xù)，則。8、設(shè)在上連續(xù)，且，則。9、。 10、。11、。12、_，_。13、_。二、單項(xiàng)選擇1、（ ）（A） 0 ；（B） e ；（C） ln2 ；（D） 1 。2、若，則等于（ ）。（A） ；（B） ；（C）；（D） 0 。3、定積分的

20、值是（ ）。（A） 0 ；（B） 2 ；（C） 2e2+2；（D） 。4、設(shè)連續(xù)，已知，則n=（ ）（A） 1/4 ；（B） 1 ；（C） 2 ；（D） 4 。5、若連續(xù)函數(shù)滿足關(guān)系式，則等于（ ）。（A）；（B）；（C）；（D）。6、設(shè)，則有（ ）（A）； （B）；（C）；（D）。7、設(shè)則當(dāng)時(shí)，是的（A）等價(jià)無(wú)窮小；（B）同階但非等價(jià)無(wú)窮小；（C）高階無(wú)窮小；（D）低階無(wú)窮小。8、設(shè)是連續(xù)函數(shù)，且，則等于（ ）（A）； （B）；（C）； （D）。9、設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且，則方程 在開(kāi)區(qū)間內(nèi)的根有（ ）（A）0個(gè)； （B）1個(gè)； （C）2個(gè)； （D）無(wú)窮多個(gè)。10、設(shè)連續(xù)，則（ ）（A）；

21、 （B）； （C）； （D）。11、設(shè)是連續(xù)函數(shù)，且，則=（ ）（A）； （B）； （）； （D）。12、=（ ）（）；（）；（）；（）。三、計(jì)算解答1、計(jì)算下列各題(1)； (2)；(3)；(4)；(5)； (6)。2、 已知在的鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且，求。3、設(shè)其中，求。4、證明方程在區(qū)間內(nèi)有且僅有兩個(gè)不同實(shí)根。5、已知在上連續(xù)，且，證明，其中。6、已知在上連續(xù)，定義，證明，并求。第五單元 定積分測(cè)試題詳細(xì)解答一、填空題1、。2、。3、。4、。5、。6、7、兩邊求導(dǎo)：，令 得8、29、10、011、 ， 12、原式二、選擇題1、選（）2、選（A）3、選（）4、選（） 令 得5、選（）兩邊求導(dǎo) 6、

22、選（D） 因?yàn)椋?、選（B） 8、選（A） 。9、選（B） 因?yàn)椋瑒t有，又.可知是嚴(yán)格增的，由介值定理知存在唯一的一個(gè)，使。10、選（A）首先通過(guò)積分換元，把被積函數(shù)中的參變量“解脫”出來(lái)：由此， 原式=。11、選（A）設(shè)，則有恒等式。為求常數(shù)，兩邊取由到的積分得，解得。由此，。12、選（A） 三、計(jì)算解答1、計(jì)算下列各題(1)解： 令 得(2)解：(3)解：(4)解：(5)解：。(6)解：。2、解：3、解：4、解：令 則 令 駐點(diǎn) 在內(nèi)，單調(diào)增加.在內(nèi)，單調(diào)減少又而在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)即 方程在內(nèi)有且僅有兩個(gè)不同實(shí)根5、解：證：其中6、解：即 而 第六單元 定積分的應(yīng)用

23、一、填空題1、由曲線及軸所圍成平面區(qū)域的面積是_。2、由曲線及直線所圍成平面區(qū)域的面積是_。3、由曲線 所圍成平面區(qū)域的面積是_ 。4、由曲線與直線所圍成平面區(qū)域的面積是_ 。5、連續(xù)曲線直線，及軸所圍圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體的體積_，繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體的體積_。6、拋物線及直線所圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)而成的立體的體積_。7、漸伸線，上相應(yīng)于從0變到的一段弧長(zhǎng)為_(kāi)。8、曲線與軸所圍成的圖形的面積。9、界于之間由曲線所圍圖形的面積_。10、對(duì)數(shù)螺線自到的弧長(zhǎng)。11、心形線和直線圍成圖形繞極軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積為_(kāi)。二、選擇題1、曲線及軸所圍圖形的面積（ ）。（A）； （B）； （C）； （D

24、）。2、曲線所圍面積（ ）。（A）； （B）； （C）； （D）。3、曲線及所圍面積（ ）。（A）； （B）； （C）； （D）。4、曲線上一段弧長(zhǎng)（ ）。（A）； （B）；（C）； （D）。5、雙紐線所圍成的區(qū)域面積可用定積分表示為（ ）（A）； （B）；（C）； （D）。6、繞軸所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體的體積為（）（）；（）；（）；（）。、曲線上相應(yīng)于從到的一段弧的長(zhǎng)度（ ）（）； （）；（）；（）。8、曲線的一個(gè)周期的弧長(zhǎng)等于橢圓的周長(zhǎng)的（ ）（）1倍；（）2倍；（）3倍；（）4倍。三、計(jì)算解答1、求拋物線及其在和處的切線所圍成圖形的面積。2、求雙紐線所圍圖形的面積。3、求由平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)

25、體體積。4、求擺線的一拱及繞軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積。5、求心形線的全長(zhǎng)，其中是常數(shù)。6、求由曲線及所圍圖形的面積。7、計(jì)算底面是半徑為的圓，而垂直于底面上一條固定直徑的所有截面都是等邊三角形的立體的體積。第六單元 定積分的應(yīng)用測(cè)試題詳細(xì)解答一、填空題1、1與及軸交點(diǎn)為，取微積分變量則2、與交點(diǎn)為，取微積分變量則。3、。4、。5、由旋轉(zhuǎn)體體積公式知：，。6、。7、。8、，零點(diǎn)為則。9、10、由極坐標(biāo)弧長(zhǎng)公式得所求的弧長(zhǎng)11、由得，時(shí)，由元素法。二、選擇題1、選（C）。以為積分變量，以為積分變量。2、選（D）。由極坐標(biāo)曲邊扇形面積公式，知。3、選（D）。4、選（B）。5、選（A）。由方程可以看到雙紐

26、線關(guān)于軸、軸都對(duì)稱，只需計(jì)算所圍圖形在第一象限部分的面積；雙紐線的直角坐標(biāo)方程比較復(fù)雜而極坐標(biāo)方程較為簡(jiǎn)單：。其在第一象限部分的變化范圍是：。再由對(duì)稱性得。6、選（B）。繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積。7、選（C）。從而弧長(zhǎng)元素，所求弧長(zhǎng)為。8、選（A）。設(shè)為曲線的一個(gè)周期的弧長(zhǎng)，為橢圓的周長(zhǎng)，顯然，將橢圓化成參數(shù)方程則從而有=。三、計(jì)算解答1、解：切線方程分別為和，其交點(diǎn)坐標(biāo)是，。2、解：由對(duì)稱性。3、解：。4、解：。5、解：由極坐標(biāo)系下的弧微分公式得，由于以為周期，因而的范圍是。又由于，心形線關(guān)于極軸對(duì)稱。由對(duì)稱性，。6、解：由于在處取極小值所以可得所圍圖形面積為。7、解：取固定直徑為軸，為積分

27、變量且，過(guò)點(diǎn)且垂直于軸的立體截面面積為于是。第九單元 重積分一、填空題1、設(shè)為常數(shù)，則=_2、區(qū)域D由閉區(qū)域構(gòu)成，則=_3、設(shè)函數(shù)在閉區(qū)域D上連續(xù)，是D的面積，則在D上至少存在一點(diǎn)使得=_4、計(jì)算=_，其中 D是由直線所圍成的閉區(qū)域。5、設(shè)D是頂點(diǎn)分別為的直邊梯形，計(jì)算=_6、改變下列二次積分的積分次序=_；=_；=_；=_；7、把下列二重積分表示為極坐標(biāo)形式的二次積分=_；=_；=_()；8、二重積分=_，其中 D是由中心在原點(diǎn)、半徑為a的圓周所圍成的閉區(qū)域。9、將下列三重積分化為三次積分=_，為曲面及平面所圍成的閉區(qū)域；=_，為曲面及面所圍成的閉區(qū)域；10、區(qū)域?yàn)槿鴺?biāo)面及平面所圍成的閉區(qū)

28、域，則三重積分=_.二、選擇題1、分別為單位圓盤在一、二、三、四象限的部分，則=（ ）(A)；(B)；(C)；(D)0. 2、，則=（ ）(A)；(B)；(C)；(D).3、由不等式確定：，則=（ ）(A)；(B)；(C)；(D).4、為單位球：，則=（）(A)；(B)；(C)；(D).5、由不等式確定：，則（ ）(A)；(B)；(C)；(D).6、設(shè)有空間閉區(qū)域，則有（ ）(A)；(B)；(C)；(D).7、設(shè)有平面閉區(qū)域，。則=（ ）(A)；(B)；(C)；(D)0.三、計(jì)算解答1、設(shè)區(qū)域，計(jì)算.2、計(jì)算，其中D是由拋物線及直線所圍成的閉區(qū)域.3、計(jì)算，其中D是由拋物線，及直線所圍成的閉區(qū)

29、域.4、計(jì)算，其中D是由所圍成的閉區(qū)域.5、計(jì)算，其中D是由，直線，所圍成的閉區(qū)域.6、求錐面被柱面所割下部分面積.7、求底圓半徑相等的兩個(gè)直交圓柱面及所圍立體的表面積.8、計(jì)算三重積分，其中為三個(gè)坐標(biāo)面及平面所圍成的閉區(qū)域.9、，其中是由與所圍成的閉區(qū)域.10、計(jì)算三重積分，其中是與平面所圍成的閉區(qū)域.11、計(jì)算三重積分，其中是與平面，所圍成的閉區(qū)域.12、計(jì)算三重積分，其中是球面所圍成的閉區(qū)域.13、計(jì)算三重積分，其中是球面所圍成的閉區(qū)域.第九單元 重積分測(cè)試題詳細(xì)解答一、填空題1、設(shè)為常數(shù)，則=2、區(qū)域D由閉區(qū)域構(gòu)成，則=3、設(shè)函數(shù)在閉區(qū)域D上連續(xù)，是D的面積，則在D上至少存在一點(diǎn)使得=

30、4、=，其中 D是由直線所圍成的閉區(qū)域。分析：5、設(shè)D是頂點(diǎn)分別為的直邊梯形，計(jì)算=分析：6、改變下列二次積分的積分次序；7、把下列二重積分表示為極坐標(biāo)形式的二次積分；8、二重積分=，其中 D是由中心在原點(diǎn)、半徑為a的圓周所圍成的閉區(qū)域。分析：原式=9、將下列三重積分化為三次積分，；，；10、區(qū)域?yàn)槿鴺?biāo)面及平面所圍成的閉區(qū)域，則三重積分=_分析：二、選擇題1、選(A)；解答：在第一象限和第二象限是對(duì)稱的。所以在第一二象限的值相等。2、選(A)；3、選(D)；解答：與相交的部分可分為兩部分時(shí)，為錐體時(shí)，為半球體4、選(B)解答：注意，計(jì)算時(shí)5、選(C)6、選(C)7、選(A)三、計(jì)算解答1、設(shè)

31、區(qū)域，計(jì)算.解：2、計(jì)算，其中D是由拋物線及直線所圍成的閉區(qū)域。解：3、計(jì)算，其中D是由拋物線，及直線所圍成的閉區(qū)域。解：4、計(jì)算，其中D是由所圍成的閉區(qū)域。解：5、計(jì)算，其中D是由，直線，所圍成的閉區(qū)域。解：6、求錐面被柱面所割下部分面積解：,投影區(qū)域D：;所以面積7、求底圓半徑相等的兩個(gè)直交圓柱面及所圍立體的表面積。解：,所以8、計(jì)算三重積分，其中為三個(gè)坐標(biāo)面及平面所圍成的閉區(qū)域。解：9、，其中是由與所圍成的閉區(qū)域。解：10、計(jì)算三重積分，其中是與平面所圍成的閉區(qū)域。解：用柱面坐標(biāo)變換,令11、計(jì)算三重積分，其中是與平面，所圍成的閉區(qū)域。解：用柱面坐標(biāo)變換,令12、計(jì)算三重積分，其中是球面

32、所圍成的閉區(qū)域。解：用球面坐標(biāo)變換積分，令：13、計(jì)算三重積分，其中是球面所圍成的閉區(qū)域。解：用球面坐標(biāo)變換積分，令：第十章 曲線積分與曲面積分一、填空題1、設(shè)L是平面上沿順時(shí)針?lè)较蚶@行的簡(jiǎn)單閉曲線，且，則L所圍成的平面閉區(qū)域D的面積等于_.2、設(shè)曲線L是分段光滑的，且L=L1+L2，=2，=3，則=_.3、 設(shè)函數(shù)在曲線弧L上有定義且連續(xù)，L的參數(shù)方程為，其中在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，則曲線積分=_.4、設(shè)L是拋物線上點(diǎn)與點(diǎn)之間的一段弧=_.5、則=_。6、設(shè)L是從沿到的圓弧，則=_。7、設(shè)L是平面有向曲線，由兩類曲線積分之間的聯(lián)系，則_.8、區(qū)域D由和所圍成的閉區(qū)域，則區(qū)域D的面積為_(kāi).

33、9、設(shè)L是任意一條分段光滑的閉曲線，則=_.10、在面上，是某個(gè)函數(shù)的全微分，則這個(gè)函數(shù)是 _.11、設(shè)是由平面，及所圍成的四面體的整個(gè)邊界曲面，則= _.12、設(shè)是的外側(cè)，則=_.13第二類曲面積分化成第一類曲面積分為_(kāi).二、選擇題1、設(shè)曲面是上半球面：，曲面是曲面在第一卦限中的部分，則有（ ）.(A)；(B)；(C)；(D).2、設(shè)曲線L:,其線密度，則曲線的質(zhì)量為（ ）.(A)；(B)；(C)；(D).3、=（ ），其中L為圓周.(A)；(B)；(C)；(D).4、設(shè)是從到點(diǎn)的直線段，則與曲線積分不相等的積分是（ ）(A)；(B)；(C)；(D).5、設(shè)L為，方向按增大的方向，則=（ ）

34、(A)；(B)；(C)； (D).6、用格林公式計(jì)算，其中L為沿逆時(shí)針繞一周，則得（ ）(A)；(B)；(C)； (D).7、L是圓域D:的正向周界，則=（ ）(A)；(B)0；(C)； (D).8、設(shè)為在面上方部分的曲面，則=（ ）(A)；(B)；(C)； (D).9、設(shè)為球面，則=（ ）(A)；(B)；(C)； (D).10、設(shè)曲面：，方向向下，D為平面區(qū)域，則=（ ）(A)1；(B)；(C)； (D)0.11、設(shè)曲面：的上側(cè)，則=（）(A)；(B)；(C)；（D)0.12、設(shè)曲面：的外側(cè)，則=（ ）(A)；(B)；(C)；（D).三、計(jì)算解答1、，其中C為以為頂點(diǎn)的三角形的邊界。2、，其

35、中為曲線上相應(yīng)于從0到2的這段弧。3、計(jì)算，其中是拋物線從到的一段弧.4、，其中為有向閉折線，這里的依次為.5、，其中C為正向圓周。6、計(jì)算，其中L為一條無(wú)重點(diǎn)、分段光滑且不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的連續(xù)閉曲線，L的方向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较颉?、利用曲線積分求星形線所圍圖形的面積。8、，為球面上的部分。9、，為球面的外側(cè)。10、計(jì)算，為橢球面的外側(cè)。第十單元 曲線積分與曲面積分測(cè)試題詳細(xì)解答一、填空題1、設(shè)L是平面上沿順時(shí)針?lè)较蚶@行的簡(jiǎn)單閉曲線，且，則L所圍成的平面閉區(qū)域D的面積等于分析：2、設(shè)曲線L是分段光滑的，且L=L1+L2，=2，=3，則=_5_.分析：3、 設(shè)函數(shù)在曲線弧L上有定義且連續(xù)，L的參數(shù)方程為，其

36、中在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，則曲線積分=4、設(shè)L是拋物線上點(diǎn)與點(diǎn)之間的一段弧=分析：5、則=_3_。分析：6、設(shè)L是從沿到的圓弧，則=。分析：令：7、設(shè)L是平面有向曲線，由兩類曲線積分之間的聯(lián)系，則8、區(qū)域D由和所圍成的閉區(qū)域，則區(qū)域D的面積為分析：令:面積9、設(shè)L是任意一條分段光滑的閉曲線，則=_0_分析：10、在面上，是某個(gè)函數(shù)的全微分，則這個(gè)函數(shù)是 分析：設(shè)原函數(shù)為，則，則所以11、設(shè)是由平面，及所圍成的四面體的整個(gè)邊界曲面，則= 分析：在，三個(gè)坐標(biāo)面上，積分值為0。則只求在面上的積分即可。，.所以12、設(shè)是的外側(cè)，則=分析：把積分曲面分成和兩部分，則它們?cè)诿嫔系耐队皡^(qū)域都是的圓域。1

37、3第二類曲面積分化成第一類曲面積分為二、選擇題1、選(C)解答：在第一卦限，對(duì)三個(gè)坐標(biāo)的曲面積分相等，即，而在一、二、三、四卦限中的積分值相等。所以2、選(A)解答：3、選(B)解答：4、選(D)解答：5、選(C)解答：6、選(B)解答：7、選(D)解答：8、選(D)解答：,9、選(D)解答：10、選(C)11、選(C)解答：12、選(B)三、計(jì)算解答1、，其中C為以為頂點(diǎn)的三角形的邊界。解：2、，其中為曲線上相應(yīng)于從0到2的這段弧。解：3、計(jì)算，其中是拋物線從到的一段弧。解：4、，其中為有向閉折線，這里的依次為.解：5、，其中C為正向圓周。解：6、計(jì)算，其中L為一條無(wú)重點(diǎn)、分段光滑且不經(jīng)過(guò)原

38、點(diǎn)的連續(xù)閉曲線，L的方向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较颉＝猓毫?，?dāng)時(shí)，有,記所圍成閉區(qū)域?yàn)?，?dāng)時(shí)，有當(dāng)時(shí)，選取適當(dāng)小的作為內(nèi)的圓周。，記和所圍成的閉區(qū)域?yàn)?，其中方向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较颉?、利用曲線積分求星形線所圍圖形的面積。解：令，則8、，為球面上的部分。解：9、，為球面的外側(cè)。解：10、計(jì)算，為橢球面的外側(cè)。解：第十二單元 微分方程一、填空題1、方程是階微分方程。2、以函數(shù)為通解的微分方程是。3、設(shè)曲線上任意一點(diǎn)的切線垂直于此點(diǎn)與原點(diǎn)的連線，則該曲線所滿足的微分方程為。4、連續(xù)函數(shù)滿足關(guān)系式，則=。5、微分方程的通解。6、以為特征根的二階常系數(shù)線性齊次微分方程是。7、判斷對(duì)錯(cuò)：（填“正確”或“錯(cuò)誤”）（1）所有微分

39、方程都存在通解。（2）微分方程的通解包含了所有的解。（3）設(shè)為某二階微分方程的解，其中為任意常數(shù)，則此解是該方程的通解。（4）若函數(shù)是一階線性微分方程兩個(gè)不相同的特解，則就是該方程的通解。8、若是全微分方程，則函數(shù)應(yīng)滿足。9、已知是某二階非齊次線性微分方程的三個(gè)解，則該方程的通解為。10、微分方程滿足初始條件的特解。11、求方程的通解時(shí)可令，則。12、微分方程的通解為。二、選擇題1、下列方程中（ ）是常微分方程(A)；(B)；(C)；(D)。2、下列方程中（ ）二階微分方程(A)； (B)；(C)； (D)。3、微分方程的通解是（ ），其中均為常數(shù)(A)； (B)；(C)； (D)。4、一曲線

40、在其上任意一點(diǎn)處的切線斜率等于，這曲線是（ ）(A)直線； (B)拋物線； (C)圓； (D)橢圓。5、下列微分方程：（1），（2），（3）中，線性微分方程是（ ）(A)（1）； (B)（2）； (C)（3）； (D)（1）、（2）、（3）均不是。6、曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且滿足微分方程，則當(dāng)時(shí)，（ ）(A)0； (B)1； (C)2； (D)4。7、已知微分方程有一特解，則此方程通解為（ ）(A)； (B)； (C)； (D)。8、設(shè)是方程的解，若，且，則在點(diǎn)（ ）(A)取得極大值； (B)取得極小值； (C)某鄰域內(nèi)單調(diào)增； (D)某鄰域內(nèi)單調(diào)減。9、若和是二階齊次線性方程的兩個(gè)特解，、為任意常數(shù)，

41、則（ ）(A)是該方程的通解；(B)是該方程的特解；(C)是該方程的解；(D)不一定是該方程的解。10、曲線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且在原點(diǎn)處切線與直線平行，而滿足方程，則曲線方程是（ ）(A)；(B)；(C)；(D)。11、微分方程的特解的形式為（ ）(A)； (B)； (C)； (D)。12、微分方程的特解的形式為（ ）(A)； (B)； (C)； (D)。三、計(jì)算解答1、驗(yàn)證由方程所確定的函數(shù)是微分方程的通解。2、求解下列微分方程：（1）；（2）；（3）；（4），；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）。3、設(shè)，為可微函數(shù)，求。4、已知，曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，求函數(shù)。5、設(shè)都是方程的特解，且不

42、恒等于常數(shù)，證明為方程的通解（其中為任意常數(shù)）。6、一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，從速度等于零時(shí)刻起，有一個(gè)和時(shí)間成正比（比例系數(shù)為）的力作用在它上面，此外質(zhì)點(diǎn)又受到阻力，阻力和速度成正比（比例系數(shù)為），試求此質(zhì)點(diǎn)的速度和時(shí)間的關(guān)系。第十二單元 微分方程單元測(cè)試題詳細(xì)解答一、填空題1、微分方程的階是指微分方程中含有未知函數(shù)最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，因此該方程是三階微分方程。2、該通解中含有兩個(gè)任意常數(shù)，可見(jiàn)其所對(duì)應(yīng)的方程應(yīng)是二階的，對(duì)分別求一階和二階導(dǎo)數(shù)得：，三個(gè)式子連立消去得，即為所求。另解，直觀看出是某二階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解，而該二階常系數(shù)線性齊次微分方程的特征根為，其對(duì)應(yīng)的特征方程為，從而

43、對(duì)應(yīng)的微分方程是。3、設(shè)曲線為，則由題意有：即為所求。4、對(duì)兩邊求導(dǎo)得，解此微分方程得，即，又由可知，代入求得，從而。5、該方程為二階常系數(shù)線性齊次微分方程，其特征方程為，解得特征根，從而通解為。6、以為根的一元二次方程是，從而對(duì)應(yīng)的二階常系數(shù)線性齊次微分方程是。7、（1）錯(cuò)誤，例如微分方程，該方程只有解，顯然這不是通解。（2）錯(cuò)誤，例如微分方程，易求得該方程的通解為，又知也是方程的解，顯然不包含在中。（3）錯(cuò)誤，因?yàn)橹械牟皇窍嗷オ?dú)立的，事實(shí)上，可見(jiàn)該解中只含有一個(gè)任意常數(shù)。（4）正確，根據(jù)線性微分方程解的結(jié)構(gòu)理論，由于不相等，所以線性無(wú)關(guān)且是對(duì)應(yīng)齊次方程的解，從而是對(duì)應(yīng)齊次方程的通解，因此就是該方程的通解。8、。9、根據(jù)線性微分方程解的結(jié)構(gòu)理論，和是對(duì)應(yīng)齊次線性微分方程的解，又這兩個(gè)解是線性無(wú)關(guān)的，所以是對(duì)應(yīng)齊次線性微分方程的通解，從而是該非齊次線性微分方程的通解10、方程中不顯含未知函數(shù)，因此作變量代換令，則，代