2黃金分割點(diǎn)學(xué)案

1、第四章相似圖形第二節(jié)黃金分割點(diǎn)e 百、L預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)2008年是非常尋常的一年，08奧運(yùn)將在北京舉行。五星紅旗將會(huì)在今年更加熠熠閃光。不知道同學(xué)們是否仔細(xì)觀(guān)察過(guò)“五角星這個(gè)圖案，度量點(diǎn)C到點(diǎn)A、B的距離，空與空相等嗎？ABAC比值大約是多少？在分割一條線(xiàn)段時(shí).在長(zhǎng)度為全長(zhǎng)的約0.618處進(jìn)行分割.就叫作黃金分割.這個(gè)分割點(diǎn)就叫做黃金分割點(diǎn)。1、首先閱讀教材P112的“讀一讀”，了解黃金分割的歷史。2000多年前，古希臘雅典學(xué)派的第三大算學(xué)家歐道克薩斯首先提出黃金分割。所謂黃金分割，指的是把長(zhǎng)為L(zhǎng)的線(xiàn)段分為兩部分，使其中一部分對(duì)于全部之比，等于另一部分對(duì)于該部分之比。而計(jì)算黃金分割最簡(jiǎn)單的方法，是計(jì)

2、算斐波那契數(shù)列1,1,2,3,5,8,13,21,.后二數(shù)之比2/3,3/5,4/8,8/13,13/21,.近似值的。黃金分割在文藝復(fù)興前后，經(jīng)過(guò)阿拉伯人傳入歐洲，受到了歐洲人的歡迎，他們稱(chēng)之為金法，17世紀(jì)歐洲的一位數(shù)學(xué)家，甚至稱(chēng)它為各種算法中最可寶貴的算法。這種算法在印度稱(chēng)之為三率法或三數(shù)法則，也就是我們現(xiàn)在常說(shuō)的比例方法。其實(shí)有關(guān)“黃金分割，我國(guó)也有記載。雖然沒(méi)有古希臘的早，但它是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家獨(dú)立創(chuàng)造的，后來(lái)傳入了印度。經(jīng)考證。歐洲的比例算法是源于我國(guó)而經(jīng)過(guò)印度由阿拉伯傳入歐洲的，而不是直接從古希臘傳入的。2、我們常常聽(tīng)說(shuō)有“黃金分割”這個(gè)詞，“黃金分割”當(dāng)然不是指的怎樣分割黃金，這

3、是一個(gè)比喻的說(shuō)法，就是說(shuō)分割的比例像黃金一樣珍貴。那么這個(gè)比例是多少呢？是0.618。人們把這個(gè)比例的分割點(diǎn),叫做黃金分割點(diǎn)，把0.618叫做黃金數(shù)。并且人們認(rèn)為如果符合這一比例的話(huà)，就會(huì)顯得更美、更好看、更協(xié)調(diào)。在生活中，對(duì)“黃金分割”有著很多的應(yīng)用，諸如繪畫(huà)、雕塑、音樂(lè)、建筑等藝術(shù)領(lǐng)域，而且在管理、工程設(shè)計(jì)等方面也有著不可忽視的作用。(1)五角星是非常美麗的，我們的國(guó)旗上就有五顆，還有不少?lài)?guó)家的國(guó)旗也用五角星，這是為什么？因?yàn)樵谖褰切侵锌梢哉业降乃芯€(xiàn)段之間的長(zhǎng)度關(guān)系都是符合黃金分割比的。正五邊形對(duì)角線(xiàn)連滿(mǎn)后出現(xiàn)的所有三角形，都是黃金分割三角形。由于五角星的頂角是36度，這樣也可以得出黃金

4、分割的數(shù)值為姓名：時(shí)間：月日評(píng)級(jí)：2Sin18度。(2)最完美的人體：肚臍到腳底的距離/頭頂?shù)侥_底的距離=0.618(3)最漂亮的臉龐：眉毛到脖子的距離/頭頂?shù)讲弊拥木嚯x=0.618(4)做饅頭時(shí)放的發(fā)酵粉的量與面粉的比值是0.618那做的饅頭最好吃。(5)人在環(huán)境氣溫22C24C下生活感到最適宜.因?yàn)槿梭w的正常體溫是36C-37C,這個(gè)體溫與0.618的乘積恰好是22.4C-22.8C,而且在這一環(huán)境溫度中，人體的生理功能、生活節(jié)奏等新陳代謝水平均處于最佳狀態(tài)。(6)營(yíng)養(yǎng)學(xué)中強(qiáng)調(diào)，一餐主食中要有六成粗糧和四成細(xì)糧的搭配進(jìn)食，有益于腸胃的消化與吸收，避免腸胃病。這也可納入飲食的0.618規(guī)律之

5、列。(7)人體的消化道長(zhǎng)9米。它的61.8%約為5.5米，是承擔(dān)消化吸收任務(wù)的小腸的長(zhǎng)度。人類(lèi)是雜食動(dòng)物，最適合消化以素食為主的混合膳食。(8)研究證明，生理上的抗衰為四，而心理上的抗衰為六，也符合黃金分割律。一天合理的生活作息也符合0.618的分割，24小時(shí)中，2/3時(shí)間是工作與生活，1/3時(shí)間是休息與睡眠(10)從辯證觀(guān)和大量的生活實(shí)踐證明，動(dòng)與靜的關(guān)系同一天休息與工作的比例一樣，動(dòng)四分，靜六分，才是最佳的保健之道.動(dòng)靜：從辯證觀(guān)點(diǎn)看，動(dòng)和靜是一個(gè)0.618比例關(guān)系，大致四分動(dòng)六分靜才是較佳養(yǎng)生之法。(11)你從電視中見(jiàn)過(guò)碧水輕流的安大略湖畔的加拿大名城多倫多嗎？這個(gè)高樓大廈鱗次櫛比的現(xiàn)代

6、化城市中，最醒目的建筑就是高聳的多倫多電視塔，它器宇軒昂，直沖云霄。有趣的是嵌在塔中上部的扁圓的空中樓閣，恰好位于塔身全長(zhǎng)的0.618倍處，即在塔高的黃金分割點(diǎn)上。它使瘦削的電視塔顯得和諧、典雅、別具一格。多倫多電視塔被稱(chēng)為“高塔之王”，這個(gè)奇妙的“0.618”起了決定性作用。與此類(lèi)似，舉世聞名的法蘭西國(guó)土上的“高塔之祖”一一埃菲爾鐵塔，它的第二層平臺(tái)正好坐落在塔高的黃金分割點(diǎn)上，給鐵塔增添了無(wú)窮的魅力。(12)氣勢(shì)雄偉的建筑物少不了“0.618”，藝術(shù)上更是如此。舞臺(tái)上，演員既不是站在正中間，也不會(huì)站在臺(tái)邊上，而是站在舞臺(tái)全長(zhǎng)的0.618倍處，站在這一點(diǎn)上，觀(guān)眾看上去才愜意。我們所熟悉的米洛

7、斯的“維納斯”、“雅典娜”女神像及“海姑娘”阿曼達(dá)等一些名垂千古的比值”一一0.618,因而作品達(dá)到了美的奇境。(13)達(dá)芬奇的蒙娜麗莎、拉斐爾筆下溫和俊秀的圣母像，都有意無(wú)意地用上了這個(gè)比值。因?yàn)槿梭w的很多部位，都遵循著黃金分割比例。人們公認(rèn)的最完美的臉型一一“鵝蛋”形，臉寬與臉長(zhǎng)的比值約為0.618,如果計(jì)算一下翩翩欲仙的芭蕾演員的優(yōu)美身段，可以得知，他們的腿長(zhǎng)與身長(zhǎng)的比值也大約是0.618,組成了人體的美。我國(guó)一位二胡演奏家在漫長(zhǎng)的演奏生涯中發(fā)現(xiàn)，如果把二胡的“千斤”放在琴弦某處，音色會(huì)無(wú)與倫比的美妙。經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)家驗(yàn)證，這一點(diǎn)恰恰是琴弦的黃金分割點(diǎn)0.618!黃金比值，在創(chuàng)造著奇跡！偶然嗎

8、？不， 在人們身邊， 到處都有0.618的“杰作”： 人們總是把桌面、 門(mén)窗等做成長(zhǎng)方形、 寬與長(zhǎng)比值為0.618。 在數(shù)學(xué)上，0.618更是大顯神通。0.618,美的比值、美的色彩、美的旋律，廣泛地體現(xiàn)在人們的日常生活中，與人們關(guān)系甚密。0.618,奇妙的數(shù)字！它創(chuàng)造了無(wú)數(shù)的美，統(tǒng)一著人們的審美觀(guān)。我們要首先感受并體會(huì)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的美。數(shù)學(xué)美不同于其它的美，這種美是獨(dú)特的、內(nèi)在的。這種美，正如英國(guó)著名哲學(xué)家、數(shù)理邏輯學(xué)家羅素所說(shuō)：數(shù)學(xué)，如果正確地看它，不但擁有真理，而且也具有至高無(wú)上的美，正象雕刻的美，是一種冷而嚴(yán)肅的美。這種美不是投合我們天性的微弱的方面，這種美沒(méi)有繪畫(huà)或音樂(lè)那樣華麗的服飾

9、，它可以純凈到崇高的地步，能夠達(dá)到嚴(yán)格的只有偉大的藝術(shù)能顯示的那種完滿(mǎn)的境界?！闭n堂上老師經(jīng)常給我們講數(shù)學(xué)美，通過(guò)高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，我漸漸地領(lǐng)略到數(shù)學(xué)美的真正含義，這種感覺(jué)是奇異的、微妙的，是可以神會(huì)而難以言傳的，數(shù)學(xué)，對(duì)我來(lái)說(shuō)，是那樣的富有魅力在生活中只要我們善于觀(guān)察，善于思考，將所學(xué)的知識(shí)與生活結(jié)合起來(lái)將會(huì)感到數(shù)學(xué)的樂(lè)趣。生活中處處都應(yīng)用著數(shù)學(xué)的知識(shí)。學(xué)習(xí)目標(biāo)1、通過(guò)建筑、藝術(shù)等方面的實(shí)例了解黃金分割，體會(huì)其中的文化價(jià)值。2、在應(yīng)用中進(jìn)一步理解線(xiàn)段的比、成比例線(xiàn)段等相關(guān)內(nèi)容。在實(shí)際操作、思考、交流等過(guò)程中增強(qiáng)學(xué)生的時(shí)間已是和自信心。3、會(huì)用尺規(guī)作圖找到一條線(xiàn)段的黃金分割點(diǎn)，會(huì)做出黃金矩形，提

10、高作圖能力已知一條線(xiàn)段，怎樣用尺規(guī)作圖作出它的黃金分割點(diǎn)呢?雕像中，都可以找到“黃金合作探究已知：線(xiàn)段AB求作：線(xiàn)段AB的黃金分割點(diǎn)Co作法：如圖1所示，1(1)過(guò)B點(diǎn)作BDXAB,使BD=AB;2(2)連結(jié)AD,在AD上截取DE=BD;(3)在AB上截取AC=AE。則點(diǎn)C就是所求的黃金分割點(diǎn)。1證明：AC=AE=AD-1AB2而AD=.AB2BD2AB?/I2J1-AB251=ABAB2,5-1AB.C點(diǎn)是線(xiàn)段AB的黃金分割點(diǎn)。黃金分割點(diǎn)的近似求法已知：線(xiàn)段AB求作：線(xiàn)段AB的黃金分割點(diǎn)。分析：若不限于尺規(guī)作圖，用量角器可以作以線(xiàn)段AB為一腰，頂角/A=36。的等腰三角形ABC,如圖2所示，

11、然后作/ACB的平分線(xiàn)CD交AB于點(diǎn)D。則點(diǎn)D就是線(xiàn)段AB的黃金分割點(diǎn)。結(jié)束下一早相似三角形的學(xué)習(xí)后你就可以理解這個(gè)過(guò)程證明：在4ABC中1.AB=AC,/A=36ACB/c180-36=B=72又CD平分/ACB，1=/2=36,/3=/A+/1=72BC=CD=ADCDB、ABCDBBCBC-ACBC2=ACDB,即AD2=AB-DB二D點(diǎn)是線(xiàn)段AB的黃金分割點(diǎn)。圖1AC5-1一5-1,1、若點(diǎn)C是線(xiàn)段AB的黃金分割點(diǎn)，且=上，或者AC=-AB,則點(diǎn)C是線(xiàn)段AB的AB22那么BC=AB2、若點(diǎn)C把線(xiàn)段AB的黃金分割，且ACBC,AB=1則AC=BC=做一做觀(guān)察下面一列數(shù)：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55。你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？請(qǐng)你試著寫(xiě)出接下來(lái)的兩個(gè)數(shù),。利用計(jì)算器，依次用后面的數(shù)去除它前面的數(shù)，所得的結(jié)果有什么規(guī)律？你知道嗎？這個(gè)數(shù)列的名字叫做菲波那契數(shù)列。3、采用下面的方法也可以得到黃金分割點(diǎn)，你是否可以說(shuō)出這種做法的道理嗎？設(shè)AB是已知線(xiàn)段，以AB為邊作正方形ABCD,取AB的中點(diǎn)E,連接BE,延長(zhǎng)DA到點(diǎn)F,使EF=EB,以線(xiàn)段AF為邊作正方形AFGH,則點(diǎn)H就是線(xiàn)段AB的黃金分割點(diǎn)。由于作頂