二次函數(shù)圖像與abc符號關(guān)系

1、二次函數(shù) y=ax+bx+c 的符號問題知識點一：知識點一：拋物線拋物線y=ax2+bx+c的符號問題：的符號問題：開口向上開口向上a0開口向下開口向下a0與與y軸的負(fù)半軸相交軸的負(fù)半軸相交 c0與與x軸有一個交點軸有一個交點b2-4ac=0與與x軸無交點軸無交點b2-4ac0,b2-4ac0 x知識點二：知識點二：2、拋物線、拋物線y=ax2+bx+c在在x軸下方的條軸下方的條 件是什么？件是什么？0402acba變式：變式：不論不論x取何值時，函數(shù)取何值時，函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）的值永遠(yuǎn)是負(fù)值的條件是什么？的值永遠(yuǎn)是負(fù)值的條件是什么？你知道嗎？你知道嗎？不論不論x x取何值時，函

2、數(shù)取何值時，函數(shù)y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c（a0a0）的值永遠(yuǎn)是非）的值永遠(yuǎn)是非正數(shù)的條件是什么？正數(shù)的條件是什么？知識點三：知識點三：拋物線拋物線y=ax2+bx+c的符號問題：的符號問題：（5）a+b+c的符號：的符號：由由x=1x=1時拋物線上的點的位置確定時拋物線上的點的位置確定點在點在x x軸上方軸上方點在點在x x軸下方軸下方點在點在x x軸上軸上a+b+c0a+b+c0a-b+c0, b0, 0.練習(xí)練習(xí)2、拋物線、拋物線y=ax2+bx+c如圖所示，試確定如圖所示，試確定a、b、c、的符號：、的符號：xyo a0, b0, c=0, 0.練習(xí)練習(xí)3、拋物線、拋物

3、線y=ax2+bx+c如圖所示，試確定如圖所示，試確定a、b、c、的符號：、的符號：xyo a0, b0, 0.練習(xí)練習(xí)4、拋物線、拋物線y=ax2+bx+c如圖所示，試確定如圖所示，試確定a、b、c、的符號：、的符號：xyo a0, b=0, c0, =0.練習(xí)練習(xí)5、拋物線、拋物線y=ax2+bx+c如圖所示，試確定如圖所示，試確定a、b、c、的符號：、的符號：xyo a0, b=0, c=0, =0.練習(xí)練習(xí)6、拋物線、拋物線y=ax2+bx+c如圖所示，試確定如圖所示，試確定a、b、c、的符號：、的符號：xyo a0, c0, 0.練習(xí)練習(xí)7、已知：二次函數(shù)、已知：二次函數(shù)y=ax2+

4、bx+c的圖象如圖所的圖象如圖所示，則點示，則點M（ ，a）在）在 （ ）A、第一象限、第一象限 B、第二象限、第二象限 C、第三象限、第三象限 D、第四象限、第四象限 cbxoy a0, c0,D練習(xí)練習(xí)8、已知：一次函數(shù)、已知：一次函數(shù)y=ax+c與二次函數(shù)與二次函數(shù)y=ax2+bx+c，它們在同一坐標(biāo)系中的大致圖，它們在同一坐標(biāo)系中的大致圖象是圖中的（象是圖中的（ ）xyoxyoxyoxyo（A）（B）（C）（D）C練習(xí)練習(xí)9、已知：二次函數(shù)、已知：二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所的圖象如圖所示，下列結(jié)論中：示，下列結(jié)論中：abc0；b=2a；a+b+c0；a+b-c0; a-b

5、+c0正確的正確的個數(shù)是個數(shù)是 （ ）A、2個個 B、3個個C、4個個 D、5個個xoy-11C練習(xí)練習(xí)10、已知：二次函數(shù)、已知：二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所的圖象如圖所示，下列結(jié)論中：示，下列結(jié)論中：b0；c0所以所以b-a-c兩邊同時平方兩邊同時平方11、已知：二次函數(shù)、已知：二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所的圖象如圖所示，下列結(jié)論中下不正確的是示，下列結(jié)論中下不正確的是 （ ）A、abc0 B、b2-4ac0C、2a+b0 D、4a-2b+c0 xoy-1-11 1D練習(xí)練習(xí)-b2a-2a,2a+b01、拋物線、拋物線y=x2-8x+m的頂點在的頂點在 x軸上則軸上

6、則m= .2、拋物線、拋物線 y=x2+bx+1的頂點在的頂點在 y軸上軸上則則b= _ 3、拋物線、拋物線 y=x2+bx+1對稱軸是直線對稱軸是直線x=2則則b= _ 160-4練一練：練一練：1、已知：二次函數(shù)、已知：二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的圖象如圖所示，下列結(jié)論中：如圖所示，下列結(jié)論中：abc0；b=2a；a+b+c0；a+b-c0; a-b+c0正確的個數(shù)是正確的個數(shù)是 （ ）A、2個個 B、3個個C、4個個 D、5個個xoy-11C4錯錯練一練：練一練：2、已知：二次函數(shù)、已知：二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如的圖象如圖所示，下列結(jié)論中下正確的是（圖所示，下列結(jié)論中

7、下正確的是（ ）A、abc0 B、b2-4ac0C、2a+b0 D、4a-2b+c0 xoy-1-11 1D1.(天津天津)已知二次函數(shù)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c， 且且a0,a-b+c0,則一定有則一定有( ) A.b2-4ac0 B. b2-4ac=0 C.b2-4ac0 D. b2-4ac0二、典型例題分析二、典型例題分析A A2.(2.(重慶重慶) )二次函數(shù)二次函數(shù)y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的圖的圖 像如圖所示，則點像如圖所示，則點M M（b,c/a)b,c/a)在在 ( )( ) A. A.第一象限第一象限 B.B.第二象限第二象限 C.C.第三象限第三象限

8、D. D. 第四象限第四象限D(zhuǎn) D-1a 0,c 03.(河北省河北省)在同一直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=ax+c和二次函數(shù)和二次函數(shù)y=ax2+c的圖像大致為的圖像大致為 ( )B4.(山西省山西省)二次函數(shù)二次函數(shù)y=x2+bx+c 的圖像如圖所示，則函數(shù)值的圖像如圖所示，則函數(shù)值 y0時，對應(yīng)的時，對應(yīng)的x取值范圍取值范圍 是是 .-3x1.-3-3-3-35、已知二次函數(shù)、已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的的 圖像如圖所示，下列結(jié)論：圖像如圖所示，下列結(jié)論： a+b+c0，a-b+c0； abc0；b=2a 中正確個數(shù)為中正確個數(shù)為 ( ) A.4個個 B.3

9、個個 C.2個個 D.1個個A6、無論、無論m為任何實數(shù)，二次函數(shù)為任何實數(shù)，二次函數(shù)y=x2-(2-m)x+m 的圖像總是過點的圖像總是過點 ( ) A.(1，3) B.(1，0) C.(-1，3) D.(-1，0)C當(dāng)當(dāng)x= 1x= 1時時,y=a+b+c,y=a+b+c當(dāng)當(dāng)x=-1x=-1時時,y=a-b+c,y=a-b+ca 0,b 0 x=- b/2a=-1D7.(7.(安徽安徽)二次函數(shù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c 的圖像如圖，則下列的圖像如圖，則下列a、b、 c間的關(guān)系判斷正確的是間的關(guān)系判斷正確的是( ) A.ab 0 B.bc 0 D.a-b+c 0bx+a0的的 解為解為

10、( ) ( ) A.x a/b B.x -a/b A.x a/b B.x -a/b C.x a/b D.x -a/b C.x a/b D.x -a/b Da 0,b 0,c 0a 0,b 09.9.已知二次函數(shù)已知二次函數(shù)y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的圖像如圖所示，的圖像如圖所示， 那么下列判斷不正確的有那么下列判斷不正確的有( )( ) A.abc A.abc0 B. b0 B. b2 2-4ac-4ac0 0 C.2a+b C.2a+b0 D.4a-2b+c0 D.4a-2b+c0 0DX= - b/2a1X= - b/2a1-b2a-b2a2a+b2a+b0 0 當(dāng)當(dāng)x=-

11、2x=-2時時, ,y=4a-2b+cy=4a-2b+c0 0D10、若拋物線、若拋物線y=ax2+3x+1與與x軸有兩軸有兩 個交點，則個交點，則a的取值范圍是的取值范圍是 ( ) A.a0 B.a- 4/9 C.a 9/4 D.a9/4且且a011.某幢建筑物，從某幢建筑物，從10米高的窗口米高的窗口A用水管向用水管向外噴水，噴出的水呈拋物線狀外噴水，噴出的水呈拋物線狀(拋物線所在平面拋物線所在平面與墻面垂直，如圖所示與墻面垂直，如圖所示).如果拋物線的最高點如果拋物線的最高點M離墻離墻1米，離地面米，離地面40/3米，則水流落地點米，則水流落地點B離墻離墻的距離的距離OB是是 ( ) A

12、.2米米 B.3米米 C.4米米 D.5米米BO拋物線頂點拋物線頂點M（1,40/3) 與與y軸交點軸交點A(0.10) 求得拋物線解析式求得拋物線解析式;求出拋物線與求出拋物線與x軸的交點軸的交點;1、(青海省青海省)如圖所示，已知拋物線如圖所示，已知拋物線 y=-x2+bx+c與與x軸的兩個交點分別為軸的兩個交點分別為A(x1,0)， B(x2，0)，且，且x1+x2=4，x1x2=3，(1)求此拋物線的解析式；求此拋物線的解析式；(2)設(shè)此拋物線與設(shè)此拋物線與y軸的交點為軸的交點為C，過點，過點B、C作作直線，求此直線的解析式；直線，求此直線的解析式；(3)求求ABC的面積的面積.(1)

13、y= -x2+4x-3 (2) y= x-3 (3) 3 三、綜合應(yīng)用三、綜合應(yīng)用 能力提升能力提升2、已知、已知;二次函數(shù)二次函數(shù)y=2x2-(m+1)x+(m-1).(1)求證求證:不論不論m為何值時為何值時,函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像與x軸總軸總有交點有交點,并指出并指出m為何值時為何值時,只有一個交點；只有一個交點；(2)當(dāng)當(dāng)m為何值時為何值時,函數(shù)圖像過原點函數(shù)圖像過原點,并指出此時并指出此時函數(shù)圖像與函數(shù)圖像與x軸的另一個交點；軸的另一個交點；(3)若函數(shù)圖像的頂點在第四象限若函數(shù)圖像的頂點在第四象限,求求m的取值的取值范圍范圍.(2)另一個交點坐標(biāo)為另一個交點坐標(biāo)為(1，0) (3)

14、當(dāng)當(dāng)m-1且且m3時時,拋物線的頂點在第四象限拋物線的頂點在第四象限 .30. 0,) 3() 1(24) 1() 1 (22軸只有一個交點拋物線與時，時，即軸總有交點，且當(dāng)拋物線與為何值時，無論xmxmmmm用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，要根據(jù)給定條件用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，要根據(jù)給定條件的特點選擇合適的方法來求解的特點選擇合適的方法來求解一般地，在所給條件中已知頂點坐標(biāo)時，可設(shè)頂點一般地，在所給條件中已知頂點坐標(biāo)時，可設(shè)頂點式式y(tǒng)=a(x-h)2+k，在所給條件中已知拋物線與，在所給條件中已知拋物線與x軸軸兩交點坐標(biāo)或已知拋物線與兩交點坐標(biāo)或已知拋物線與x軸一交點坐標(biāo)與對稱軸一交點坐

15、標(biāo)與對稱軸，可設(shè)交點式軸，可設(shè)交點式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2);在所給的三個條在所給的三個條件是任意三點時，可設(shè)一般式件是任意三點時，可設(shè)一般式y(tǒng)=ax2+bx+c;然后然后組成三元一次方程組來求解。組成三元一次方程組來求解。例例:已知關(guān)于已知關(guān)于x的二次函數(shù)的二次函數(shù),當(dāng)當(dāng)x=1時時,函數(shù)值為函數(shù)值為10,當(dāng)當(dāng)x=1時時,函數(shù)值為函數(shù)值為4,當(dāng)當(dāng)x=2時時,函數(shù)值為函數(shù)值為7,求這求這個二次函數(shù)的解析試個二次函數(shù)的解析試.由題意得：為解：設(shè)所求的二次函數(shù),2cbxaxy724410cbacbacba5, 3, 2cba解得，5322xxy所求的二次函數(shù)是待定系數(shù)法待定系數(shù)法例：根據(jù)下列條

16、件，分別求出對應(yīng)的二次函數(shù)解析式（1）已知拋物線的頂點是（1，2）且過點（2，3)（2）已知拋物線與x軸兩交點橫坐標(biāo)為1，3且圖像過（0，-3）已知頂點坐標(biāo)設(shè)頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k頂點是（1，2）設(shè)y=a(x-1)2+2，又過點（2，3）a(2-1)2+2=3，a=1 y=(x-1)2+2，即y=x2-2x+3已知與x軸兩交點橫坐標(biāo)，設(shè)交點式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2)由拋物線與x軸兩交點橫坐標(biāo)為1，3，設(shè)y=a(x-1)(x-3),過（0，-3）， a(0-1)(0-3)=-3, a=-1 y=-(x-1)(x-3),即y=-x2+4x-3(3)已知二次函數(shù)的圖像過（-1，2），（0

17、，1），（2，-7）已知普通三點設(shè)一般式y(tǒng)=ax2+bx+c,設(shè)y=ax2+bx+c過（-1，2），（0，1），（2，-7）三點a-b+c=0c=14a+2b+c=-7a=-1b=-2c=1y=-x2-2x+1例：已知一拋物線與x軸的交點A（-2，0），B（1，0）且經(jīng)過點C（2，8）（1）求該拋物線的解析式 （2）求該拋物線的頂點坐標(biāo)解：設(shè)這個拋物線的表達(dá)式為Y=ax2+bx+c由已知，拋物線過點（-2，0），B（1，0），C（2，8）三點，得4a-2b+c=0a+b+c=04a+2b+c=8解這個方程組得，a=2b=2C=-4所以該拋物線的表達(dá)式為y=2x2+2x-4(2)y=2x2+2x

18、-4=2(x2+x-2)=2(x+1/2)2-9/2所以該拋物線的頂點坐標(biāo)為（-1/2，-9/2）例：如圖，已知二次函數(shù)例：如圖，已知二次函數(shù) 的圖像經(jīng)過點的圖像經(jīng)過點A和點和點B（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式；）求該二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）寫出該拋物線的對稱軸及頂點坐標(biāo)；）寫出該拋物線的對稱軸及頂點坐標(biāo)；（3）點）點P（m，m）與點）與點Q均在該函數(shù)圖像上均在該函數(shù)圖像上（其中（其中m0），且這兩點關(guān)于拋物線的對稱軸對），且這兩點關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，求稱，求m的值及點的值及點Q 到到x軸的距離軸的距離24y a xx c xyO3911AB圖13解：（1）將x=-1，y=-1；x=3，y=-9分別代入 得 解得二次函數(shù)的表達(dá)式為（2）對稱軸為 ；頂點坐標(biāo)為（2，-10）（3）將（m，m）代入 ，得 ，解得 m0， 不合題意，舍去m=6點P與點Q關(guān)于對稱軸 對稱，點Q到x軸的距離為6cxaxy42.3439,) 1(4) 1(122caca.6,1ca642xxy2x642xxy642mmm121,6mm11m2x拋物線拋物線y=ax2+bx+c的符號問題：的符號問題