隨機變量及其分布習題解答

1、第二章隨機變量及其分布1>解：設(shè)公司賠付金額為X,則X的可能值為；投保一年內(nèi)因意外死亡：20萬，概率為投保一年內(nèi)因其他原因死亡：5萬，概率為投保一年內(nèi)沒有死亡：0,概率為所以X的分布律為:2、一袋中有5只乒乓球，編號為1、2、3. 4、5,在其中同時取三只，以X表示 取出的三只球中的最大號碼，寫出隨機變量X的分布律解：X可以取值3, 4, 5,分布律為IC； 10也可列為下表上 3,4, 5P（X=3） = P（球為3號,兩球為1,2號）=上華 =4 1010103、設(shè)在15只同類型寒件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽樣，以X表示取出次品的只數(shù)，（1）求X的分布律，

2、（2）畫出分布律的圖形。解：任取三只，其中新含次品個數(shù)X可能為0, 1, 2個。C1322C： x C.1P(X=2)=; 13再列為下表11_> x/：0, 1, 2可222 21 J_4. 進行重復獨立實驗，設(shè)每次成功的概率為廠 失敗的概率為q =l-p（0<p<l）（1）將實驗進行到出現(xiàn)一次成功為止，以/表示所需的試驗次數(shù)，求斤的分布律。 （此時稱Y服從以p為參數(shù)的幾何分布。）（2）將實驗進行到出現(xiàn)廠次成功為止，以Y表示所需的試驗次數(shù)求卩的分布律。（此時稱I7服從以門P為參數(shù)的巴斯卡分布。）（3）籃球運動員的投籃命中率為45%,以X表示他首次投中時累計已投籃的次 數(shù)，寫

3、出尤的分布律，并計算尤取偶數(shù)的概率。解：（1） PX諭二d 'P 1.2,（2）Y=r-n=最后一次實驗前廣切一 1次有刀次失敗，且最后一次成功P（y = r + n） =嚴 p = C爲3 /, n = 0丄2,，其中尸1 p,（或記 r+n二k、則=/7）A"rt k = w + l,（3）P （尤嘆）=斤=1,230x11P （J取偶數(shù)）二2P（X=2k） =（0.55）2=70.45 =普i-i左】5、一房間有3扇同樣大小的窗子，其中只有一扇是打開的。有一只鳥自開著的 窗子飛入了房間，它只能從開著的窗子飛出去。鳥在房子里飛來飛去，試圖飛出房間。 假定鳥是沒有記憶的，鳥

4、飛向各扇窗子是隨機的。（1）以才表示鳥為了飛出房間試飛的次數(shù)，求*的分布律。（2）戶主聲稱，他養(yǎng)的一只鳥，是有記憶的，它飛向任一窗子的嘗試不多于一次。 以卩表示這只聰明的鳥為了飛出房間試飛的次數(shù)，如戶主所說是確實的，試求卩的分布 律。（3）求試飛次數(shù)才小于卩的概率；求試飛次數(shù)F小于才的概率。解：（1）*的可能取值為1, 2, 3,，刀，P X=n=P 前”一1次飛向了另2扇窗子，第"次飛了出去= （|）n_，4» "1，2,（2）的可能取值為1, 2, 3P Y=P 第1次飛了出去 = +P Y=2=P 第1次飛向另2扇窗子中的一扇，笫2次飛了出去 =1x1=13

5、23P 啟二” 第1, 2次飛向了另2扇窗子，第3次飛了出去2! _ 1| ZZ 3!3）PX5百P叱"詡（全概率公式并注意到）Ap（x <rir = i=o I=py = RPX <丫1丫 =燈如2= PY = kPX <k注意至風丫獨立即zPX <YY = k444xI44=%7-px<k同上，p(x = r = py = /；Px = nr = k= £p(r = z：Px=/： = lxl+lx| + lxA=.-138故 PY <X = -PX <Y-PX =Y) = 6、一大樓裝有5個同類型的供水設(shè)備，調(diào)查表明在任一時刻

6、f每個設(shè)備使用的概 率為，問在同一時刻(1) 恰有2個設(shè)備被使用的概率是多少P(X = 2) = C；p2qi =C； x(0 1尸 x (0.9)3 = 0.0729(2) 至少有3個設(shè)備被使用的概率是多少P(X > 3) = C： X (0.1)3 X (0.9)2 + C； X (0.1)4 X (0.9) + C? x (0.1)5 = 0.00856(3) 至多有3個設(shè)備被使用的概率是多少P(X <3) = Cf(0.9) +C* xOx(0.9)4 +C；x(Ox(0.9)3+ C；x (0)'X (0.9)2 = 0.99954(4) 至少有一個設(shè)備被使用的概

7、率是多少P(X n 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0.59049 = 0.409517、設(shè)事件A在每一次試驗中發(fā)生的概率為，當A發(fā)生不少于3次時，指示燈發(fā)出 信號。(1)進行了 5次獨立試驗，求指示燈發(fā)出信號的概率。(2)進行了 7次獨立試 驗，求指示燈發(fā)出信號的概率解：設(shè)X為A發(fā)生的次數(shù)。則X B(0.3,n). n=5, 7B： “指示等發(fā)出信號“5 P(B) = PX>3 =CO.3XO.7W = 063Jt-372 P(B)= PXn3 = YPX = K = l-PX=KA-30=10.7? -G* 0.3x0.76-G20.32x0.75 « 0.

8、3538、甲、乙二人投籃，投中的概率各為，令各投三次。求(1) 二人投中次數(shù)相等的概率。記尤表甲三次投籃中投中的次數(shù)F表乙三次投籃中投中的次數(shù)由于甲.乙每次投籃獨立，且彼此投籃也獨立。P (后二P (用0 FR)+P (乙2,(円.<=3)=P (用0) P (Y=0) + P (后 1) P (F=l)+ P (后2) P (K2)+ P (啟3) P (涇)=3X 3+ C x0.6x (0.4)2 xC x 0.7 x (0.3)2 J+ Cf x (0.6)2 x 0.4 x Cj x (0.7)2 x .3 + (0.6)3x (0.7)3 = 0.321(2) 甲比乙投中次數(shù)

9、多的概率。P (X>Y)=P (后 1. FR)+P (匕2, =0)+P (壯，F(xiàn)=l) +P (后3) P (K4)+ P (后3) P (M)+ P (F3) P (JU)二P QM) P (K-0) + P (后2, K4)+ P (啟=2. F=l) +P (后3) P (g)+ P (用3) P (卩=1)+ P(后3) P (Y=2)=C； x 0.6 x (0.4)2 x (O.3)3 + Cl x (0.6)2 x 0.4 x (0.3)8 +Cl x (0.6)2 x 0.4 x C x 0.7 x (0.3)2 + (0.6)3x (0.3)3 + (0.6)3 x

10、 C； x 0.7 x (0.3)2 + (0.6)3xCjx(0.7)2x 0.3 = 0.243'9、有一大批產(chǎn)品，其驗收方案如下，先做第一次檢驗：從中任取10件，經(jīng)驗收 無次品接受這批產(chǎn)品，次品數(shù)大于2拒收；否則作第二次檢驗，其做法是從中再任取5 件，僅當5件中無次品時接受這批產(chǎn)品，若產(chǎn)品的次品率為10肌求(1) 這批產(chǎn)品經(jīng)第一次檢驗就能接受的概率(2) 需作第二次檢驗的概率(3) 這批產(chǎn)品按第2次檢驗的標準被接受的概率(4) 這批產(chǎn)品在第1次檢驗未能做決定且第二次檢驗時被通過的概率(5) 這批產(chǎn)品被接受的概率解：尤表示10件中次品的個數(shù)，卩表示5件中次品的個數(shù)， 由于產(chǎn)品總數(shù)很

11、大，故膽B(tài) (10,), rB (5,)(近似服從)(1) P 偌0=(2) P 慮2=戶X=2+ P 1 = 0.120.98 +C*)0.1 0.99 «0.581(3) P 方0=認(4) P OOW2,比0(0CTW2與 F二2獨立)=P 0CTW2M 比0=x« (5) P 上0+ P 0<底2, K4)10、有甲.乙兩種味道和顏色極為相似的名酒各4杯。如果從中挑4杯，能將甲 種酒全部挑出來，算是試驗成功一次。(1) 某人隨機地去猜，問他試驗成功一次的概率是多少(2) 某人聲稱他通過品嘗能區(qū)分兩種酒。他連續(xù)試驗10次，成功3次。試問他 是猜對的，還是他確有區(qū)

12、分的能力(設(shè)各次試驗是相互獨立的。)解：(1)P (一次成功) = - = 4rC： 70(2) P (連續(xù)試臉 10 次，成功 3 次)=C|(-y)3(-y-) =-()()()()。此概率太小， 按實際推斷原理，就認為他確有區(qū)分能力。11.盡管在幾何教科書中已經(jīng)講過用圓規(guī)和直尺三等分一個任意角是不可能的。 但每年總有一些“發(fā)明者”撰寫關(guān)于用圓規(guī)和直尺將角三等分的文章。設(shè)某地區(qū)每年撰 寫此類文章的篇數(shù)X服從參數(shù)為6的泊松分布。求明年沒有此類文章的概率。解：X龍(6)2 = 6n = 1000, p = 0.0001,2 = np = 016、解：PX>2 = -PX =0-PX =1

13、 a 1-0.9953 = 0.00470! 1!17、M：設(shè)X服從(01)分布,其分布率為PX=£ = /(1 p)i,R=0,l,求X的 分布函數(shù)，并作出其圖形。解一：X(I1Pkl_ppX (0,1)X的分布函數(shù)為：0 ,x<0F(x) = U-p ,0<x<l1 、x>l如圖:18. 在區(qū)間0,可上任意投擲一個質(zhì)點，以X表示這個質(zhì)點的坐標。設(shè)這個質(zhì)點 落在0,4中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這個小區(qū)間的長度成正比例，試求X的分布函數(shù)。解：當XvO時。X<x是不可能事件，F(xiàn)(X)= PX5x = 0當 0<x<a 時，PO<X<x=

14、Alv 而0<X<6/是必然事 件:.PO<X <x=ka = k=丄X:.PO<X <x = kx = -則 F(x) = PX <x = PX <0 + P0<X <x = - 當x>d時，x<x是必然事件，有F(x) = PX<x = ix<00 < x < ax> a19、以尤表示某商店從早晨開始營業(yè)起直到第一顧客到達的等待時間(以分計), 尤的分布函數(shù)是求下述概率：(1)尸至多3分鐘； (2) P 至少4分鐘； (3) H3分鐘至4分鐘之間；(4) 川至多3分鐘或至少4分鐘； (5)

15、 P恰好分鐘解:(1) P至多 3 分鐘= P UW3 =Fx(3) = l-e-12(2) P 至少 4 分鐘 P (X 24) =1 一 耳(4)=廠“(3) 戶3分鐘至4分鐘之間= P 3底4=心(4)一心二小衛(wèi)一廣"(4) 川至多3分鐘或至少4分鐘山H至多3分鐘+尸至少4分鐘二_嚴+嚴(5) 川恰好分鐘= P (后020、設(shè)隨機變呈尤的分布函數(shù)為Fx (%) = In aJ <x<,.x>e 求(1) P CY<2), P 0CW3, P (2<X<%) ； (2)求概率密度 A (x). 解：(1) P CVW2)二用(2)= ln2,

16、P (0CTW3)= Fx (3)用(0)=1, P(2<X<| = FY(|)-Fx(2) = ln|-ln2 = ln|(2) /(x) = F W、”0,其它21. 設(shè)隨機變量X的概率密度/(x)為fM =其它x 0<x<l(2) /(x)斗2-x l<x<20 其他求尤的分布函數(shù)尸(X),并作出(2)中的f (x)與尸(0的圖形。解：(1)當一時:=xa/1 -x2it+ arcsin x + n2-” +-arcsin x乙F(x)=I 0+ yj-X2 dx = L» J-i nn 2+-arcsin x + -xv-l-1<X&

17、lt;I1<X當 1<A時：F(x) = J_1 0 dx + j1 yl-x2dx + Jo dx = 1 故分布函數(shù)為：0F(x) = i 丄Tt1解：(2) F(x) = P(X <x) = f 山當X<0時，F(xiàn)(x) =0J/=0當0 S x < 1時，F(xiàn)(x) =0 dt + ” dt =斗當1S x W 2時，F(xiàn)(x) = f = 0dl + J： / dt +(2 -t)dt = 2x-斗一 1 當2 < x時，F(xiàn)(x) =0 dl + ( / dt + (2 - t)dt + 0 d/ = 1故分布函數(shù)為F(x)=02牙T21x<00&

18、lt;x<ll<x<22<x(2)中的f 3與尸(力的圖形如下22. 由統(tǒng)計物理學知，分子運動速度的絕對值X服從邁克斯韋爾(Maxwell)分 布，其概率密度為Xb > |訂+型丘/工2血一型廠勸2倉）=_理疋兮2 J。2丄2Ab f 4b 12 V2 2Ab3- -Ab /% ,x>00,其它其中h = m/2kT , k為Boltzmann常數(shù)，了為絕對溫度，加是分子的質(zhì)量。試確 定常數(shù)A。解： V j（A）Jx = l即 J* f (x)dx = £ Ax2e b dx = _斗寸“ xe h d 4.Z1=byjbz當FvO時，坊(/) =

19、 J；0力=0當 4 0 時，許(/) = / x) / =外(r) = J：著耳=1-<? 2410, r <0號(/) = <1 一戶,r>0 P50 <T<1OO = PT<1OO-PT<5O = F(1OO)-F(5O)_ /<期241-100/241 _ £1(X)100 i 丄122或 P50 <r<100 = J5)=匚 edt =-e23、某種型號的電子的壽命/(以小時計)具有以下的概率密度：fl 000“c- x > 1000JT0 其它現(xiàn)有一大批此種管子(設(shè)各電子管損壞與否相互獨立)。任取5只

20、，問其中至少有 2只壽命大于1500小時的概率是多少解：一個電子管壽命大于1500小時的概率為15001000_f-OH)00Jv = 1J 1(J(X) x2P(X > 1500) = 1-P(X <1500) = 1令F表示“任取5只此種電子管中壽命大于1500小時的個數(shù)”。則丫3(5,呂),> 2) = 1 - P(r < 2) = 1 - P(Y = 0) + P(Y = !)=!-,1 + 5x21 II 232=1T = I=35243243¥ 24、設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時間才(以分計)服從指數(shù)分布，其概率 密度為：巧(")=|

21、卜 3>0 0,其它某顧客在窗口等待服務(wù)，若超過10分鐘他就離開。他一個月要到銀行5次。以F 表示一個月內(nèi)他未等到服務(wù)而離開窗口的次數(shù)，寫出F的分布律。并求戶(診1)。解：該顧客“一次等待服務(wù)未成而離去”的概率為P(X >10) = £7x(x)dx = l*e 忑dx = -e 需=尸 因此 丫 e2).即 P(Y=k) = y2k(1 一 * -嚴,伙=123,4,5P(r > 1) = 1 - P(y < 1) = 1-P(r = 0) = 1-(1-e-2)5 =1-(1-y-)5 =1-(1- 0353363)，=1 一 0.8677 5 =1-0.

22、4833 = 0.5167.25.設(shè)K在(0, 5)上服從均勻分布，求方程4x2+4xK + K + 2 = 0有實根的概率0<K<5其他1J K的分布密度為：/(K) = < 口j0要方程有根，就是要滿足(W2-4X4X (K+2)M0。 解不等式，得於2時，方程有實根。P(K>2) = J'X/(x)Jx =0 dx = -|26、設(shè) XN ()(1) 求戶(2CTW5), P (一4)<慮10), PX/>9 P O>3).若 X-N ( p , o2),則 P (a<JO)=(i)f-j-P (一 4*10) =<1>

23、P (|J|>2)=1-P ( J|<2)= -P (-2< K2 )=1(t> ( +Q ( =1一+=“ 0>3)二1一“ crw3)二ie二i一二I 2丿(2) 決定 C使得 P X > C )=P UW0(x > c)=i-p (慮c)= p crwo(/) = y =) = 0.5,查表可得 = 0C=3(xc)=eC-327、某地區(qū)18歲的女青年的血壓(收縮區(qū)，以mm-Hg計)服從(110J22)在該 地區(qū)任選一 18歲女青年，測量她的血壓兒求(1) P CTW105), P (100<J <120)(2)確定最小的*使 P O

24、X) W 解：(1) P(X < 105)=嚴：11°)= 4>(-0.4167) = 1 一 (0.4167) = 1-0.6616 = 0.3384P(100<X <120)=(.y )一0>(1()()11()=(丄)一(一2)12 12 66=20(A) 一 1 = 2 (0.8333) -1 = 2 x 0.7976 一 1 = 0.59526(2) P(X>x) = l-P(X<x) = l-(二打畀)< 0.05 o (='匕)> 0.95.查表得 A 10 > 1.645. =>x> 11

25、0 +19.74 = 129.74故最小的X= 129.74丄厶'28、由某機器生產(chǎn)的螺栓長度(m)服從參數(shù)為ur。二的正態(tài)分布。規(guī)定長度在范圍土內(nèi)為合格品，求一螺栓為不合格的概率是多少設(shè)螺栓長度為尤刊尤不屬于一，+*(10.05 + 0.12) -10.05-m' 0.06J=1一戶 一*+=1-4>(2)-4>(-2)0.06(10.05 - 02)-10.0529. 一工廠生產(chǎn)的電子管的壽命/(以小時計)服從參數(shù)為u=160,。(未知)的 正態(tài)分布，若要求P (120<y200=,允許。最大為多少P(120<200) = 0 20°；16

26、°屮20 J60卜伴卜卜譽卜08。解出巴便得:又對標準正態(tài)分布有<t> (x)=l <t> (x)上式變?yōu)楣勹帽恚?ZY_>1.281 a < = 31.25a1.28130.解：V -120V N(120,2?) X =子N(0,l)則p=PV 電118,122 = PV v 1185 > 122=2P-1 >X = 2(1-0.8413) = 0.31742(1一 )3 =0320412 丁31、解：0K V 0F(x)=，0.2+ 08" 30,0<x<3032、解：1>30f(x)>0,g(

27、x)>0,0<a<:.af(x) + (l-a)g(x)>0且J妙(“)+(1 -d)g(x)xN'L/(x)6/x + (1-6Z)J qg(x)dx = a + (l-a) = l所以0(x) + (l d)g(x)為概率密度函數(shù)33.設(shè)隨機變量*的分布律為：X： 2、 1,0,1,3p 1 11111P:亍15 30求的分布律 Y=X (一2)2(-1)2(0)2(I)2p 11 1111P： J?530再把尤2的取值相同的合并，并按從小到大排列，就得函數(shù)卩的分布律為: .- K： 0149P.丄丄+丄丄1156 1553034. 設(shè)隨機變呈才在(0, 1

28、)上服從均勻分布(1)求的分布密度尤的分布密度為：/心：務(wù)轟Y=g (X)=是單調(diào)增函數(shù) 又 X=h二加；反函數(shù)存在 且a = minVg (0). g (1)二加5(1, e)=lP =maxg (0), g (1)二刃£ly(1, e)= e.卩的分布密度為：(y)J w>').|/r(y) 1=1-11 0y為其他(2)求Y=-21nX的概率密度。Y= g (X)-21nX是單調(diào)減函數(shù)£又X=h(Y) = e反函數(shù)存在。且 a = ming (0). g (1)=加/7(+8. 0 )=0 P-maxg (0), g 二呃v(+8, o )= +80 &

29、lt; v < +xy為其他的分布密度為：川)4(刃Mg” 訃艸035. 設(shè)尤N(0, 1)(1)求的概率密度X的概率密度是/(%) =-00 < X < +00W g (，n=e是單調(diào)増函數(shù) 又X二h (K) = InY反函數(shù)存在且 a = min.g (°°), g (+°°) =zz7J/7(O, +°°)=0 fi = maxlg ( 8). g (+8)= max© +°°)= +°° F的分布密度為：1(y)= /My)-l/(y)l=-=-°&

30、lt;>,<+co0y為其他(2)求畑斤+1的概率密度。在這里，比2斤+1在(+8, 8)不是單調(diào)函數(shù)，沒有一般的結(jié)論可用。 設(shè)卩的分布函數(shù)是斤(y),則F、(滬P UW0 二P (2F+lWy)當 y<l 時：Fy ( y)二 0當時:化(y)"-訐? 珂£故卩的分布密度e ( y)是：當 yWl 時："(y)= Fy ( y)Y = (0)* =0當y>時.(3) 求Y=/ X /的概率密度。卩的分布函數(shù)為Fy ( 0二P (PWy MP ( X /Wy) 當 y<0 時，F(xiàn)y ( y)二0 當日才(/心宀(-燉補匸怎丁 卩的概率

31、密度為:當 yWO 時：2 ( y)= Fy ( y)' = (0) * =0W ( y)= Fy ( /)'巾；越J罟宀36、(1)設(shè)隨機變量才的概率密度為f (力，求卩二尤'的概率密度。 Y=g (J)=是尤單調(diào)增函數(shù)，又X二h (卩)二門，反函數(shù)存在，且 a = min.g (°°) t g (+°°) =z»7/7(0, +°°)=00P = maxg ( 8), g (+oo)= max© +°°)= +°°.- F的分布密度為：I2if (

32、 y)= f Ih (/?)力'(y) =3 ,-oo<yv+oo,但$hO肖(0) = 0(2)設(shè)隨機變量才服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，求的概率密度。幺一"牙> 0法一：I 尤的分布密度為：f(x) = 0x<0比/是非單調(diào)函數(shù)當x<0時y=x反函數(shù)是x = -J7卩fi（/）= /（-77）（-7?）+/（V7）（77）0 +斗小=272"0y>0v<0*y>0y<0法二：Y Fy (刃=P(Y £ y) = P(-丘 < X 5 丘)=P(X 5 五)一 P(X 5 -丘)37、設(shè)尤的概率密度為仝- OVXVTT/（x） = k20x為其他求fsin才