--單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)題解教學(xué)文案

1、1-1 一單層房屋結(jié)構(gòu)可簡(jiǎn)化為題 1-1 圖所示的模型， 房頂質(zhì)量為 m,視為一剛性桿；柱子高 h,視為無質(zhì)量的彈性桿，其抗彎剛度為 EJ。求該房屋作水平方向振動(dòng)時(shí)的固有頻率。解：由于兩根桿都是彈性的，可以看作是兩根相同的彈簧的并聯(lián)。等效彈簧系數(shù)為 k則mgk其中為兩根桿的靜形變量，由材料力學(xué)易知-U3二mgh-24EJ24EJh3設(shè)靜平衡位置水平向右為正方向，則有mxkx1-2 一均質(zhì)等直桿，長(zhǎng)為 1,重量為 W,用兩根長(zhǎng) h 的相同的鉛垂線懸掛成水平位置，如題圖所示。試寫出此桿繞通過重心的鉛垂軸作微擺動(dòng)的振動(dòng)微分方程，并求出振動(dòng)固有周期。a=h22Fcos=mg由動(dòng)量矩定理:IM12I一m

2、l122aaMFasincos-mgmga所以固有頻率Pn24EJmh31-2解：給桿一個(gè)微轉(zhuǎn)角228hsincos-1222%lh2,3ga1-3 求題 1-3 圖中系統(tǒng)的固有頻率，懸臂梁端點(diǎn)的剛度分別是 ki和 k3,懸臂梁的質(zhì)量忽略不計(jì)。kk2k4k2k3k4k1k2k4m(k1k3k2k3k1k2k1k4k2k4)1-4 求題 1-4 圖所示的階梯軸一圓盤系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的固有頻率。其中 J1、J2和 J3是三個(gè)軸段截面的極慣性矩，I是圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，各個(gè)軸段的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不計(jì)，材料剪切彈性模量為Go解：k1GJ1/l1(1)k2GJ2/l2(2)k3GJ34(3)k23GJ2J3/(J2l3

3、J3l2)(4)Pn2(k1k23)/I由(1)(2)(3)(4)知2PnG(J1J2l3J3J1l2J2J3l1)/Il1(J2l3J3l2)其中1ml212mg4h2Pn3gaPh2冗Pn解：懸臂梁可看成剛度分別為k1和k3的彈簧，因此，k1與k2串聯(lián),設(shè)總剛度為kok/與k3并聯(lián)，設(shè)總剛度為k2,。k2與k4串聯(lián)，設(shè)總剛度為ko即為k1k1k2k1k2k2k3k1k2k1k2k1k2k4卜2卜3kk1k2k4k1k3k2k3k1k2k1k4k2k4題1-3圖題1-4圖1-5 如題 1-5 圖所示，質(zhì)量為 m2的均質(zhì)圓盤在水平面上可作無滑動(dòng)的滾動(dòng)，鼓輪繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 I,忽略繩子的彈性、

4、質(zhì)量及個(gè)軸承間的摩擦力，求此系統(tǒng)的固有頻率。由于系統(tǒng)機(jī)械能守恒，因此:TmaxUmax由上式可解得系統(tǒng)的固有頻率為:解：此系統(tǒng)是一個(gè)保守系統(tǒng)，能量守恒.如圖題中的廣義坐標(biāo)xAsin(wta)則系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過程中速度表達(dá)式為：&Awcos(wta)x,設(shè)系統(tǒng)的振動(dòng)方程為:系統(tǒng)最大位移和速度分別為：0axxhaxAx系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過程中,動(dòng)能表達(dá)式為:T1mx22lm2&2-m2r1I2R2彈性勢(shì)能為:1Uk1R2R21k2x2系統(tǒng)最大動(dòng)能為:1m1(Aw)21m2(Aw)21m2r2Aw2AwR2最大彈性勢(shì)能為:Umax1k21k2A221212m1(Aw)m2(Aw)22一一m2r22

5、2Aw1I2AwR21k1R1R2題1-5圖k1R1k2R23Im,m2_?2R21-6 如題 1-6 圖所示，剛性曲臂繞支點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I0,求系統(tǒng)的固有頻率。解：設(shè)曲臂順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)的角為廣義坐標(biāo)，系統(tǒng)作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，具運(yùn)動(dòng)方程為sin(Pnt)很小，系統(tǒng)的動(dòng)能為T2I。1-m12(a)21八m2(l2)2所以,PnCOS(Pnt題1-6圖2I。22Pn2221Pna-222.2Pnl取系統(tǒng)平衡位置為勢(shì)能零點(diǎn)。設(shè)各彈簧在靜平衡位置伸長(zhǎng)為3,由mo(F)0,k11amgak33bk22l由題意可知，系統(tǒng)勢(shì)能為12vk1(a1)2將(A)式代入(B)12由,2I。22Pn所以，有2Pnk1a21-

6、7 一個(gè)有阻尼的彈簧12k3(b3)2322)2mga(B)可得系統(tǒng)最大勢(shì)能為,-1.22Vmax二k1a2TmaxVmax222122.2Pna-Pnl222k3b2k2l22i2m1am2l-質(zhì)量系統(tǒng)，質(zhì)量為振幅從 0.64cm 減至 0.16cm,求阻尼系數(shù)解：振動(dòng)衰減曲線得包絡(luò)方程為：XAent振動(dòng)20個(gè)循環(huán)后，振幅比為：0640.1612k32b212k22i21.22k121a2k32212.2b-k2l210kg,彈簧靜伸長(zhǎng)是 1cm,自由振動(dòng) 20 個(gè)循環(huán)后,20nTde示。寫出運(yùn)動(dòng)微分方程，并求臨界阻尼系數(shù)和固有頻率的表達(dá)式。解：圖（1）為系統(tǒng)的靜平衡位置，畫受力圖如（為：c

7、l21ml23c3ka2當(dāng) n=Pn時(shí)，c=cCTdIn420n代入TdT/曰/ln4、2彳導(dǎo):(),15220n，4P2TN2ln420n)22100gNc=6.9Ns/m2amk2Pn3ka2ml21-8 一長(zhǎng)度為l、質(zhì)量為m 的均質(zhì)剛性桿較接于 O 點(diǎn)并以彈簧和粘性阻尼器支承，如題 2-8 圖所CC2nm2pnm2amkO由動(dòng)量矩定理，列系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程a22Pn3kaml223crmg題1-8圖FCYOFK1-9 如題 1-9 圖所示的系統(tǒng)中，剛桿質(zhì)量不計(jì)，試寫出運(yùn)動(dòng)微分方程，并求臨界阻尼系數(shù)及固有Pn時(shí)2ca2b!jmka1-10 如題 1-10 圖所示，質(zhì)量為 2000kg 的重

8、物以 3cm/s 的速度勻速運(yùn)動(dòng)，與彈簧及阻尼器相撞后一起作自由振動(dòng)。已知 k=48020N/m,c=1960Ns/m,問重物在碰撞后多少時(shí)間達(dá)到最大振幅？最大振幅是多少方程為所以有&+-)&+kx=0mm2196048020其特征萬程為：r+r+zoo。=0r=-0.494.875i0.49t0.49t所以：x=c1ecos4.875t+c2esin4.875t由于npn,由已知條件,頻率。解:ml2akb2ca2&2PnPn2nkb22caml2ml2kb2ml22caml22ml2QPd,Pkb2ml22.44ml2ml24kmb2l2c2a4解：以系統(tǒng)平衡位置為

9、坐標(biāo)原點(diǎn)，建立系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分x2nx2PnX0題1-10圖題1-9圖mk三個(gè)方程聯(lián)立，解得:Pd2m2,.,2pd2m221mPdPn2p2cn2m2196021QQ0，Pnk4802024.01,XQ0,XQm20000.03m/so故通解為其中，Pd.P24.875。代入初始條件,C1xo0,C2nx0X0X0PdxC2entsinPdt=0.006eent(C1cospdtC2sinpdt)0.0060.49tsin4.875t0.49t一.一x=0.006e(-0.49)sin4.875t+0.0064.875cos4.875物體達(dá)到最大振幅時(shí)，有xnC2entsinpdtC2entpdcospdt既得t=0.30s時(shí)，物