隱函數是函數關系的另一種表現形式討論隱函數的存在性、連續(xù)性

1、 隱函數是函數關系的另一種表現形式.討論隱函數的存在性、連續(xù)性與可微性,不僅是出于深刻了解這類函數本身的需要,同時又為后面研究隱函數組的存在性問題打好了基礎. 一、隱函數概念 二、隱函數存在性條件分析 三、隱函數定理 四、隱函數求導數舉例 1 隱函數一個方程式所確定的函數例如：一個方程式所確定的函數例如：3221sinyx, zxy .2/32/32/333330 xya, xyzxy.一、隱函數概念顯函數：顯函數：因變量可由自變量的某一表達式來表示因變量可由自變量的某一表達式來表示的函數例如：的函數例如： 隱函數：隱函數：自變量與因變量之間的對應關系是由某自變量與因變量之間的對應關系是由某隱

2、函數的一般定義：隱函數的一般定義： 設有一方程設有一方程( , )0,(1)F x y 則成立恒等式則成立恒等式,IXJY , .,0) )(,(IxxfxF 其中其中 若存在若存在 :R,R,R.FXYXYyJ 對任一對任一 有惟一確定的有惟一確定的 與之對應與之對應, 使使 xI , ( , )x y得得 滿足方程滿足方程 (1) , 則稱由方程則稱由方程 (1) 確定了一確定了一 個定義在個定義在 , 值域含于值域含于 的隱函數的隱函數IJ如果把此隱函如果把此隱函 , )(JyIxxfy 記為記為 122 yx取值范圍例如由方程可確定如下兩取值范圍例如由方程可確定如下兩 個函數：個函數：

3、 注注2 不是任一方程不是任一方程 都能確定隱函數都能確定隱函數, 0),( yxF例如例如 顯然不能確定任何隱函數顯然不能確定任何隱函數 0122 yx注注1 隱函數一般不易化為顯函數，也不一定需要隱函數一般不易化為顯函數，也不一定需要 )(xfy 化為顯函數上面把隱函數仍記為化為顯函數上面把隱函數仍記為 ，這，這 與它能否用顯函數表示無關與它能否用顯函數表示無關 注注3 隱函數一般需要同時指出自變量與因變量的隱函數一般需要同時指出自變量與因變量的 在在2 還要討論由多個方程確定隱函數組的問題還要討論由多個方程確定隱函數組的問題. . 0,1, 1,1, )1()(; 1,0, 1,1, )

4、1()(2221 yxxxfyyxxxfy.注注4 類似地可定義多元隱函數例如類似地可定義多元隱函數例如: 由方程由方程 0),( uzyxF,),(zyxfu 確定的隱函數確定的隱函數 0),( zyxF, ),(yxfz 確定的隱函數確定的隱函數 由方程由方程 二、隱函數存在性條件分析 條件時，由方程條件時，由方程 (1) 能確定隱函數能確定隱函數 , 并使并使 )(xfy ),(yxF要討論的問題是：當函數要討論的問題是：當函數 滿足怎樣一些滿足怎樣一些 該隱函數具有連續(xù)、可微等良好性質該隱函數具有連續(xù)、可微等良好性質? )(xfy ),(yxFz (a) 把上述看作曲面把上述看作曲面

5、與坐標與坐標 0 z平面的交線，故至少要求該交集非空，即平面的交線，故至少要求該交集非空，即 ),(000yxP . )(,0),(0000 xfyyxF ，滿足，滿足 連續(xù)是合理的連續(xù)是合理的0P)(xfy 0 x),(yxF(b) 為使為使 在在 連續(xù)，故要求連續(xù)，故要求 在點在點 0),(00 yxFy由此可見，是一個重要條件由此可見，是一個重要條件 00000000000d( ,( )(,)(,)()0 ,d(,)()(,)x xxyxyF x f xFxyFxyfxxFxyfx.Fxy點點 存在切線，而此切線是曲面存在切線，而此切線是曲面 在點在點 ),(yxFz 0P的切平面與的切

6、平面與 的交線，故應要求的交線，故應要求 在在 0P),(yxF0 z)(xfy 0 x)(xfy (c) 為使為使 在在 可導，即曲線在可導，即曲線在 0P. )0,0(),(, ),(0000 yxFyxFyx點點 可微，且可微，且 (d) 在以上條件下，通過復合求導數，得到在以上條件下，通過復合求導數，得到 三、隱函數定理定理定理18.1 ( 隱函數存在惟一性定理隱函數存在惟一性定理 ) 設方程設方程 (1) 中中 ),(yxF的函數的函數 滿足以下四個條件：滿足以下四個條件： ),(000yxP2R D(i) 在以在以 為內點的某區(qū)域為內點的某區(qū)域 上連續(xù)；上連續(xù)； (ii) ( 初始

7、條件初始條件 )；0),(00 yxFD),(yxFy(iii) 在在 內存在連續(xù)的偏導數內存在連續(xù)的偏導數 ； 00(,)0.yFxy (iv) 則有如下結論成立：則有如下結論成立：00( ),(,).yf xxxx;0)(,(, )()(,(0 xfxFPUxfx在在 上連續(xù)上連續(xù))(2xf),(00 xxDPU )(0)(0PU存在某鄰域存在某鄰域 ，在，在 內由方程內由方程 (1) 惟惟 一地確定了一個隱函數一地確定了一個隱函數 并且滿足：并且滿足： 00)(1yxf ),(00 xxx，當，當 時，使得時，使得 證證 首先證明隱函數的存在與惟一性首先證明隱函數的存在與惟一性證明過程歸

8、結起來有四個步驟證明過程歸結起來有四個步驟 ( 圖示如下圖示如下 )： (b) 正、負上下分正、負上下分_+_0 xyO0 x0 x0 x0y0y0y (c) 同號兩邊伸同號兩邊伸 x0 xy0yO0 x0 x0 y0y(d) 利用介值性利用介值性 x0 xy0yO0 x0 x0()U P0y0y( )yf x (a) 一點正一點正,一片正一片正+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + x0 x0 x0 x0y0y0yyO0000, ,SxxyyD.其中其中,),(,0),(S

9、yxyxFy 00(,)0.yFxy (a) “一點正一點正, 一片正一片正 ”由條件由條件 (iv), 不妨設不妨設 ),(yxFy因為因為 連續(xù)，所以根據連續(xù)，所以根據 保號性，保號性， 使得使得 0, (a) 一點正一點正,一片正一片正+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + x0 x0 x0 x0y0y0yySO.0),(,0),(0000 yxFyxF (b) 正、負上下分正、負上下分_+_0 xyO0 x0 x0 x0y0y0y(b) “正、負上下分正、負上下分 ”

10、 ,),(,0),(SyxyxFy , ,00 xxx因因 故故 y),(yxF,00 yy把把 看作看作 的函數，它在的函數，它在 上上 嚴格增，且連續(xù)嚴格增，且連續(xù) ( 據條件據條件 (i) ) 0(, ),F xy特別對于函數特別對于函數 由條由條 00(,)0F xy 件可知件可知因為因為 關于關于 連續(xù)，故由連續(xù)，故由 ),(, ),(00 yxFyxFx (b) 的結論，根據保號性，的結論，根據保號性， 使得使得 , )0( . ),(,0),(,0),(0000 xxxyxFyxF (c) 同號兩邊伸同號兩邊伸 x0 xy0yO0 x0 x0 y0y(c) “同號兩邊伸同號兩邊伸

11、” (d) “利用介值性利用介值性” , ),(00 xxx), (yxFy因因 關于關于 連續(xù)連續(xù), 且嚴且嚴 格增，故由格增，故由 (c) 的結論，依據介值性定理的結論，依據介值性定理, 存在惟存在惟 (d) 利用介值性利用介值性 x0 xy0yO0 x0 x0()U P0y0y( )yf x滿足滿足00(,),yyy一的一的 就證得存在惟一的隱函數就證得存在惟一的隱函數: .0), ( yxF由的任意性由的任意性, 這這 x0000(,),(,).xIxxyJyy ,)(0JIPU 1若記若記 則定理結論則定理結論 得證得證 下面再來證明上述隱函數的連續(xù)性下面再來證明上述隱函數的連續(xù)性:

12、 00(,) ,xxx即即欲證上述欲證上述 在在 連續(xù)連續(xù). )(xfx( ),yf x .xxOyxxyyy0y0y0P.00,yyyy( ,)0 ,( ,)0 .F x yF x y類似于前面類似于前面 (c) ， 使得使得, 0 ( , )0,F x y ,0 取取 足夠小，使足夠小，使 ),(yxFy由由 對對 嚴格增，而嚴格增，而 ( ).yf x 其中其中推知推知 , ),(),(00 xxxx.0),(,0),( yxFyxF, ),(,)( xxxyxfy在在 上處處連續(xù)上處處連續(xù)),(00 xx因此因此 在連續(xù)在連續(xù). 由的任意性由的任意性, 便證得便證得 x)(xf)(xf

13、x),( xxx且當且當 時，有時，有 類似于前面類似于前面 (d) ，由于隱函數惟一，故有，由于隱函數惟一，故有 注注1 定理定理 18.1 的條件的條件 (i) (iv) 既是充分條件既是充分條件, 又又 是一組十分重要的條件是一組十分重要的條件. 例如：例如： 在點在點 雖雖 ,0)0 , 0(,0),(33 yFxyyxF)0,0(.xy 不滿足條件不滿足條件 (iv)，但仍能確定惟一的隱函數，但仍能確定惟一的隱函數 0)(),(22222 yxyxyxF (雙紐線雙紐線), 在在 點點 同樣不滿足同樣不滿足 )0,0(xyO11 條件條件 (iv)，而在該點，而在該點 無論多小的鄰域

14、內無論多小的鄰域內, 用這兩個較強的條件，一則是使用時便于檢驗，用這兩個較強的條件，一則是使用時便于檢驗， 的作用的作用二則是在后面的定理二則是在后面的定理 18.2 中它們還將起到實質性中它們還將起到實質性 注注3 讀者必須注意讀者必須注意, 定理定理 18.1 是一個是一個局部性局部性的隱的隱 函數存在定理例如從以上雙紐線圖形看出函數存在定理例如從以上雙紐線圖形看出: 除了除了 )0, 1( , )0, 1( , )0, 0( 三點以外三點以外, 曲線上其余各點處都曲線上其余各點處都 確實不能確定惟一的隱函數確實不能確定惟一的隱函數 (見圖見圖).注注 2 條件條件 (iii) 、 (iv

15、) 在證明中只是用來保證在鄰在證明中只是用來保證在鄰 )(0PU域域 內內 關于為嚴格單調之所以采關于為嚴格單調之所以采 ),(yxFy存在局部隱函數存在局部隱函數 ( 這不難用定理這不難用定理 18.1 加加 )(xfy 以檢驗，見以檢驗，見 四、例四、例) 注注4 在方程在方程 中中, 0),( yxFxy與與 的地位是平等的地位是平等 的的. 當條件當條件 (iii) 、 (iv) 改為改為 . )( ygx 時，將存在局部的連續(xù)隱函數時，將存在局部的連續(xù)隱函數 ),(yxFx0),(00 yxFx 連續(xù)連續(xù), 且且 “”),(yxF定理定理 18.2 ( 隱函數可微性定理隱函數可微性定

16、理 ) 設函數設函數 滿滿 D足定理足定理 18.1 中的條件中的條件 (i) (iv), 在在 內還存在連內還存在連 ),(yxFx0),( yxF續(xù)的續(xù)的 . 則由方程則由方程 所確定的隱所確定的隱 函數函數 在在 I 內有連續(xù)的導函數，且內有連續(xù)的導函數，且)(xfy ( , )( )( , ).(2)( , )xyFx yfx,x yIJFx y ( 注注: 其中其中00(,)Jyy與與),(00 xxI示于定理示于定理18.1 的證明的證明 (d) ).( )()yf x , yyf xxJ.0),(, 0),( yyxxFyxF使用微分中值定理使用微分中值定理, 使得使得 , )1

17、0( 0(,)( , )F xx yyF x y,Ixxx 證證 設則設則 由條件易知由條件易知 F 可微，并有可微，并有 (,)yFxx yyy,(,)xFxx yyx.),(),(yyxxFyyxxFxyyx 顯然也是連續(xù)函數顯然也是連續(xù)函數)(xf 0 x,0 yyxFFf,因因 都是連續(xù)函數都是連續(xù)函數, 故故 時時并有并有 00(,)( )limlim(,)xxxyFxx yyyfxxFxx yy 0( , )lim,( , ).( , )xxyFx yyx yIJx Fx y ,0),(),( yyxFyxFyx.0)( yFyyFFyFFyyyxyyxxx(3)2232.xyxy

18、yxxxyyyF F FF FF FF),(yxF注注1 當當 存在二階連續(xù)偏導數時，所得隱函存在二階連續(xù)偏導數時，所得隱函 數也二階可導應用兩次復合求導法，得數也二階可導應用兩次復合求導法，得 將將 (2) 式代入上式，經整理后得到式代入上式，經整理后得到 21(2)xxxyyyyyFF yF yF注注2 利用公式利用公式 (2) , (3) 求隱函數的極值求隱函數的極值:0 y 00 xFF( , )A x y% % %(a) 求使求使 的點的點 , 即即 的解的解 0 xFA(b) 在點在點 處因，而使處因，而使 (3) 式化簡為式化簡為 .AyxxAFFy (4)0 (0)Ay 或或(

19、c) 由極值判別法由極值判別法, 當當 時時, 隱函數隱函數 在在 取得極大值取得極大值(或極小值或極小值).y( )yf x x設在以點設在以點 為內點的某區(qū)域為內點的某區(qū)域 上上, ),(0000zyxP3R D,0),(000 zyxF.0),(000 zyxFz則存在某鄰域則存在某鄰域 在其內存在惟一的、連在其內存在惟一的、連 ,)(0DPU 續(xù)可微的隱函數續(xù)可微的隱函數 ，且有，且有),(yxfz 注注3 由方程由方程 0),( zyxF(5),(yxfz 確定隱函數的相關定理簡述如下：確定隱函數的相關定理簡述如下： F 的所有一階偏導數都連續(xù)，并滿足的所有一階偏導數都連續(xù)，并滿足

20、0),(21 yxxxFn,.yxxyzzFFzzffxFyF (6)更一般地，由方程更一般地，由方程 ),(21nxxxfy 確定隱函數確定隱函數 的相關定理的相關定理, 見教見教 材下冊材下冊 p.149 上的上的定理定理18.3 , 這里不再詳述這里不再詳述. 0)(22222 yxyx解解 令令 它有連續(xù)的它有連續(xù)的 ,)(),(22222yxyxyxF .2)(4,2)(42222yyxyFxyxxFyx 求解求解 分別得到分別得到 ,0),(0),(0),(0),( yxFyxFyxFyxFyx與與四、隱函數求導數舉例 例例1 試討論雙紐線方程試討論雙紐線方程 ( )( ).yf

21、xxg y或或所能確定的隱函數所能確定的隱函數 再考慮隱函數的極值由于再考慮隱函數的極值由于 )(xfy 26(0,0)(,)0,44xxFF在其他所有點處都存在局部的可微隱函數在其他所有點處都存在局部的可微隱函數( ).xg y )0, 1( , )0, 0( 所以，除所以，除 這三點外，曲線上在其他這三點外，曲線上在其他 . )(xfy 所有點處都存在局部的可微隱函數所有點處都存在局部的可微隱函數 )42,46(, )0, 0( 同理，除同理，除 這五點外，曲線上這五點外，曲線上 (0,0)1,00.yyFF, )126(2),(22 yxyxFxx2().4 值值26( )(,)44f

22、x在點取得極小在點取得極小由對稱性可知由對稱性可知, 622,( )(,);444f x 因此在點取得極大值因此在點取得極大值622623(,),(,),442442yxxFF 62(,)443 2320222y各點處都能確定局部的隱函數各點處都能確定局部的隱函數)(xfy 例例2 討論討論 Descartes 葉形線葉形線 )0(333 aaxyyx(7)(xfy 所確定的隱函數所確定的隱函數 的存的存 在性，并求其一階、二階導數在性，并求其一階、二階導數 .3),(33axyyxyxF 解解 令令 0)(32 xayFy先求出在曲線先求出在曲線 (7) 上使上使 的點為的點為 )2,4(,

23、 )0 , 0(33aaBO . 除此兩點外除此兩點外, 方程方程 (7) 在其他在其他 然后再算出然后再算出:.)(3)(32222xayxyaxayyaxFFyyx .)(54,)(54, )(54222222222yaxyFFxayxFFyaxxayaFFFyyxxxyyxyx 為了使用公式為了使用公式 (3) , 先算出先算出: 由公式由公式 (2) 求得求得 .)(2)()3(32)()(32)(27)()()(54232332322323332232222222322xayyxaxayayxayxyxaxayayxyxyxaxayyaxyxayxyaxxayaFFFFFFFFyyy

24、yxxxyyxyx 平切線和垂直切線平切線和垂直切線0 y類似于例類似于例1 的方法的方法, 求出曲線上使求出曲線上使 的點為的點為 . )4,2(33aaA在幾何上，它是兩條曲線在幾何上，它是兩條曲線 0),( yxF0),( yxFx和和,024|3 ayA的交點的交點 (見圖見圖). 容易驗證容易驗證 所以所以 )(xfy A34 .a隱函數在點隱函數在點 取得極大值取得極大值 AB以上討論同時說明以上討論同時說明, 該曲線在點該曲線在點 和和 分別有水分別有水 例例3 試求由方程試求由方程 所確定的隱所確定的隱 3230 xyzxyz函數函數 在點在點 處的全微分處的全微分 (0,1,

25、1)P( , )zf x y 2(31)d0,xyzz332(2 )d(3)dyzxxxzyyd3dd0,dd3d .Pxyzzxy解法解法 1 ( 形式計算法形式計算法 ) 對方程兩邊微分，得對方程兩邊微分，得( , , )(0,1,1)x y z 將將 代入，又得代入，又得 解法解法 2 ( 隱函數法隱函數法 ) 設設 323( , , ).F x y zxyzxyz由于由于 上處處連續(xù)上處處連續(xù), 而而 3(0,1,1)0,RxyzFFFF 在在2(0,1,1)(31)10,zPFxyz .313,31222323zyxyzxFFyzzyxxzyFFxzzyzx 因此在點因此在點 P 附近能惟一地確定連續(xù)可微的隱函數附近能惟一地確定連續(xù)可微的隱函數 ( , );zz x y 且可求得它的偏導數如下：且可求得它的偏導數如下： 以以 代入代入, 便得到便得到 ( , , )(0,1,1)x y z 1,3,x Py Pzzdd3d .Pzxy例例4 用隱函數方法處理反函數的存在性及其導數用隱函數方法處理反函數的存在性及其導數. 解解 設設 在在 的某鄰域內有連續(xù)的導函數的某鄰域內有連續(xù)的導函數 )(xfy 0 x, )(xf 且且 現在來考察方程現在來考察方程 00().f xy 由于由