線性代數(shù)習(xí)題集

1、第二章習(xí)題解答一、單項(xiàng)選擇題1 .若”,4線性相關(guān)，則()(1) a1,|,asA線性無關(guān)(2)必有一部分線性無關(guān)(3)必有一個(gè)可由其余的線性表示(4)每一個(gè)都可由其余的線性表示2 .線性方程組 Xi X2 &, X2 X3 a2, X3 X4 a3, X4 % = a4,X5 _ Xi =為 有解的充分必要條件是()(1) ai =0,i =1,|1,5 ai+a2+a3+a4+a5 =0(3) aI+a2 =a3+a4+%(4) a + a?+a3 = a4+a53 .若 AX =AY ,且 A#0 ,則 X 與 Y ()(1)必相等(2)必不相等(3)不能確定它們的關(guān)系(4)以上

2、全不對(duì)X1 2x2 x3 -x4 =04 .線性方程組 3 3x1 +6x2 -x3 -3x4 =0 一定是()5x1 10x2 x3 -5x4 = 0(1)只有零解(2)有非零解(3)無解(4)解唯一 - X ' X2 ' X3 = 15,非齊次線性方程組 X X, 十九X2 +x3 =%有無窮多解的條件是()IX1 X2- X3 =(1)九=1(2)九 #1(3)九# 2(4)九=26.設(shè)向量組 A的秩為，向量組B的秩為萬，若A組能用B組線性表示，則()(1) r1M r2 r2q (3)號(hào)=2(4)r12r2anX1 -HI - amXn =07 .設(shè)齊次方程組川川川Hi

3、ll的系數(shù)矩陣的秩為r,則它的基礎(chǔ)解系所含向量的(3m1X1 *| *amnXn - 0個(gè)數(shù)為()(1) r(2)n -r (3) n (4) n + r8 . 一個(gè)向量組中的極大線性無關(guān)組()9. r(A)=門是口元線性方程組 AX=B有唯一解的(1)充分必要條件(2)充分條件(3)必要條件(1)個(gè)數(shù)唯一(2)個(gè)數(shù)不唯一(3)所含向量個(gè)數(shù)唯一(4)所含向量個(gè)數(shù)不唯一(4)無關(guān)條件)10.向量組 3=(2,1,1,1)02 =(0,3,1,0),口3 =(5,3,2,1)04 =(6,6,1,3)的秩是()(1) 1(2) 2(3) 3(4) 411 .設(shè)B是數(shù)域K上n階可逆矩陣，對(duì)于K中任意

4、n個(gè)數(shù)h,川，bn,線性方程組B x2 ="的解() +h+r(3)不存在 (4)存在與否不確定jXn - P 1% +X2 +X3 +X4 +% =0的基礎(chǔ)解系所含向量的個(gè)數(shù)是()(1)存在且唯一 (2)存在但不唯一12 .齊次線性方程組(1) 4(2) 3(3) 2(4) 113 .向量組四”,5線性無關(guān)的條件是()(1)當(dāng) kj|,k,全為 0時(shí)，k% +”| + k'% =0 (2)當(dāng) k1,|,kr 不全為 0 時(shí)，+“|+10(=0(3)當(dāng) k1,|,kr 全為 0 時(shí)，k1% +“|+kQr 00(4)當(dāng)且僅當(dāng) kJH,kr 全為 0 時(shí)，kQ1+|+krO(r

5、=014 .已知m個(gè)方程組n個(gè)未知量的一般線性方程組AX = B有解，則有無窮多解的條件是()(1) m0n (2) m = n (3) r(A) <n(4) r(A) = n15 .設(shè)豆1,|Qm線性無關(guān)，若口能由%,IHPm線性表示，則表示法有()(1)有限個(gè)(2)無窮多個(gè) (3) 一個(gè)(4)不確定16 .含有零向量的向量組必()(1)線性無關(guān)(2)線性相關(guān)(3)沒有極大無關(guān)組(4)以上說法都不對(duì)17 . 一個(gè)齊次線性方程組有非零解的充要條件是系數(shù)矩陣的秩r與方程組未知量個(gè)數(shù) n的關(guān)系為()(1) r <n(2) r > n (3) r = n (4) r 與 n 的關(guān)系

6、不確定18 .如果n個(gè)未知量n個(gè)線性方程組系數(shù)行列式不為零，那么這個(gè)方程組()(1)有唯一解(2)有無窮多解(3)無解(4)有解也可能無解19 .設(shè)A是4階矩陣，且 A的行列式為0,則慶中()(1)必有一列元素全為 0(2)必有兩列元素對(duì)應(yīng)成比例(3)必有一列向量是其余列向量的線性組合(4)任一列向量是其余列向量的線性組合1 2 320 .已知Q = 2 4 t ,P為三階非零矩陣，且滿足 PQ = 0,則() 3 6 9_(1) t=6時(shí)，t(P)=1(2) t=6時(shí)，t(P)=2(3) t=6時(shí)，t(P)=1(4) t06時(shí)，t(P)=221.已知向量組“1,0(2 p3，口4線性無關(guān)，則

7、() % +«2,«2 +口3,口3 +«4,«4 +% 線性無關(guān)(2) 0(1 CC2p2 一口3,口3一口4,久4 _“1 線性無關(guān)(3 ) % +«2,«2 F23 +汽4,久4 -«1線性無關(guān)(4 ) % +% +%,豆3 T444 %線性無關(guān)22 .已知P1，P2是非齊次線性方程組 AX=b的兩個(gè)不同的解，口1,支2是對(duì)應(yīng)齊次線性方程組AX = 0的基礎(chǔ)解系，k1,k2是任意常數(shù)，則方程組 AX = b的一般解是() 1% +k2(%+%)+出£)/2 kJ+k2(% %) + (01 + %)/2 kR

8、+k2(，+用)+僖-%)/2(4)2+卜2信邛2)+(%邛2)/223 .設(shè)A為mn矩陣，齊次線性方程組 AX =0僅有零解的充分條件是()(1) A的列向量線性無關(guān)(2) A的列向量線性相關(guān)(3) A的行向量線性無關(guān)(4) A的行向量線性相關(guān)24.設(shè)A為mn矩陣，AX =0是非齊次線性方程組 AX = b所對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組， 則下列結(jié)論正確的是()(1)若AX =0僅有零解，則AX =b有唯一解(2)若AX =0有非零解，則AX =b有無窮多個(gè)解(3)若AX =b有無窮多個(gè)解，則 AX =0僅有零解(4)若AX =b有無窮多個(gè)解，則 AX =0有非零解25.要是X1 =(1,0,2),

9、 X2 =(0,1,1)都是線性方程組 AX =0的解，只要系數(shù)矩陣為()2 0-1(1)笛1 1 一01-1(2) 4 -2 -20 11j1-1 0 2(3) I：0 1 -1一(4) (-2,1,1):、填空題1 .僅由一個(gè) 向量組成的向量組必線性相關(guān)。2 .單獨(dú)一個(gè)向量a線性無關(guān)的充分必要條件是 ,兩個(gè)向量a,P線性相關(guān)的充分必 要條件是。3 . 一個(gè)向量組可能有多個(gè)極大無關(guān)組，它們所含的向量個(gè)數(shù)是 ,并稱其為向量組的 O4 .設(shè)向量組2P3線性無關(guān)，則向量組 «1,0(1 +«2,«1 +a2 +a3線性5 .如果口1,汽2,111,05之2,0(1 0

10、0)線性相關(guān)，則必有一個(gè) «i(1<i <n)可被 線性表示6 .如果向量組 四|,八(1)線性無關(guān)，并可由 身,川，丸(2)線性表示，則sr，且(2)與其中某r個(gè)向量被(1)替換后得到的向量組7 .如果向量組0fl,| ps(s至2)中任一向量都不能被其余向量線性表示，則此向量組 8 . r(A) =r的充分必要條件是：A中至少有一個(gè)r階子式不為零，而 9 .若兩個(gè)向量組有相同的秩，且其中一個(gè)可以由另一個(gè)線性表示，則 10 .任意n+1個(gè)n維向量必線性11 .如果n1,n2,|,nt是一線性方程組的解，則邛1 +N2Tl2+111+收，(其中4 +也 +111 + 5

11、=1) 12 .線性方程組 AX =8有解的充分必要條件是 工a11X1 - HI - anXn = b113 .線性方程組 IIIIHHHIHIIIIIIIIHI經(jīng)過某一初等變換后變?yōu)榱硪环匠探M，則新方程組 am1X1 UI amnXn - bm與原方程組為出 HI - QnXn =014 .齊次線性方程組 lllinHIIIHIIIIIIHIII當(dāng)m<n時(shí),它必有 解Iam1X1amnXn - 015 .如果齊次線性方程組系數(shù)矩陣 A的秩r等于未知量個(gè)數(shù)n ,則它只有 解16 .設(shè)A與A分別為n個(gè)未知量的線性方程組的系數(shù)矩陣和增光矩陣，則方程組有解的條件是,在有解時(shí)，如果r(A) =

12、 n ,則有 解，如果r(A)<n,則有 解17 .當(dāng)向量組5 P J/線性無關(guān)時(shí)，a +P, P +?,? +a 18 .齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系中含有向量的個(gè)數(shù)為 。其中 是未知量的個(gè)數(shù)，為其系數(shù)矩陣的19 .給定兩個(gè)向量組1a1jllFr與久,1”,久，如果,反過來,則這兩組向量等I x1 x2x3 = 120 .當(dāng)九=時(shí)，線性方程組X x2+5x3=2有解，這時(shí)其特解為 ,導(dǎo)出組的基Xi -4x3 =1礎(chǔ)解系為, 一般解為21 .一個(gè)向量組中的任何一個(gè)線性無關(guān)組，都可以擴(kuò)充成一個(gè) 22 .向量組 % =(12,3,4), «2 =(2,3,4,5),口3 = (3,4,

13、5,6), 口4 = (4,5,6,7)的秩為23 .設(shè)4階方陣A的秩為2 ,則其伴隨矩陣 A*的秩為工 x1 x2 x3 = 024 .齊次線性方程組I x1 + :一次+ x3 = 0只有零解，則 九應(yīng)滿足的條件是 I xi x2 1;，x3 : 0ah aib2 |l| aibn25 .設(shè) A=a2bi a2b2 III a?bn，其中 a 0 0出 # 0(i =1,|, n),則矩陣 A 的秩 r( A)為nbi anb2 III anbn j26 .設(shè)線性方程組 AX =B有解，若系數(shù)矩陣A中，則該方程組的任何解中，未知量xk有同一個(gè)數(shù)值三、判斷題'xi +x2 +x3 +

14、x4 +x5 =i3為 + 2x2 + x3 + x4 -3x5 = a1 .當(dāng)a =0,b =i時(shí)，方程組有解x2+2x3 + 2x4+6x5 =35xi +4x2 +3x3 +3x4 x5 =b2 .向量組 a =(2/) =(i,4), a3 =(2,3)線性無關(guān)3 .已知兩向量組有相同的秩，且其中之一可被另一個(gè)線性表示，則這兩個(gè)向量組等價(jià)4 .若向量組%Ml,%和BiMlft都線性相關(guān),則叫IIPs,BiJ|l,Bt也線性相關(guān)5 .向量組 a =(i,0,i,0,0), a2=(i,i,i,i,0), a3 = (0,i,2,i,0)的秩為 36 .系數(shù)行列式不為零的齊次線性方程組必有

15、非零解7 .向量組ai,|,as(s>2)線性相關(guān)的充分必要條件是其中每一個(gè)向量都能被其余向量線性表不8 .向量組 a =(i, -i,2,4), a2 =(0,3,i,2)線性無關(guān)10 .包含兩個(gè)相等向量的向量組是線性相關(guān)的11 .設(shè)A和A分別為線性方程組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣，則線性方程組有解的充要條件是r(A) =r(A)aiiXi - III - ainXn =bi12 .線性方程組IIIIIIIHIIIIIIIIIHHII對(duì)任意的bjll'bn都有解的充分必要條件是其系數(shù)aniXi III - annXn 也a11 III aii行列式 III HI III #0an1

16、III ann13 .一個(gè)向量組的任一線性無關(guān)的部分組都可以擴(kuò)充成它的一個(gè)極大無關(guān)部分組14 .只含零向量的向量組的極大無關(guān)組為零向量15 .等價(jià)向量組的秩相等16 .如果口 1,口2*1，口線性無關(guān)，且ki«i +k2«2 +| + 1口+kP =0,則P可由汽142小1戶r 線性表示17 .向量組%=(11,2,4), «2 =(0,3,1,2),% =(3,0,7,14)線性無關(guān)1 ' X - y = a ,、18.九=1時(shí)，線性方程組i有唯一解-x : y = baiiXi . |l aiiXn =019 .若齊次線性方程組 IIIIIHIIHII

17、HIIIIHIII的系數(shù)行列式d#0,則此方程組有非零解 aniXi 川 annXn = 020 .在線性方程組中，若方程個(gè)數(shù)小于未知量個(gè)數(shù)，則必有非零解21 .設(shè) % =(1,1)戶2 = (0,2,5),63 =(13,6),則 O(2P3 是 口1,口243 的一個(gè)極大無關(guān)組22 .如果Q1p2,川，叫線性無關(guān)，且有不全為零的數(shù)ki,m,kr,k使2% +| + kar +k? =0,則B可由%,4,川，%線性表示23 .如果向量組%,|,an,an十線性相關(guān)，且其秩為n ,則其中任意n個(gè)向量均構(gòu)成此向量組 的極大無關(guān)組,.24 .設(shè)A為n階方陣，則r(A)=r(A),其中A為A的轉(zhuǎn)置矩

18、陣25 .設(shè)兩個(gè)向量組ai,IH«s(1),Pi,lll,Pm(2),如果組(1)可由組 線性表示，則組(1)的秩 不超過組(2)的秩26 .向量組%,|“,a.線性無關(guān)的條件是，當(dāng)ki,|,k不全為零時(shí)，匕由十用十K% #027 .若以",/和良|,目都線性無關(guān),則ai,"Es,BiMI,Bt也線性無關(guān)28 .若向量組 5,HI,%可由P1JII,久線性表示，且r<s,則四川，ar線性無關(guān)29 .設(shè)向量組%，川,%(1)，Pi，|l|，Pm(2)都線性無關(guān)，且組(1)不可由組(2)線性表示，組(2)也不可由組(1)線性表示,則向量組ct1,|,as,P1,

19、|,Pm線性無關(guān)30 .若一個(gè)齊次線性方程組有兩個(gè)不同的解，則它一定有無窮多個(gè)解四、簡(jiǎn)答(或計(jì)算)題1 .求向量組 % =(1,1,0),% =(1,1,1),% =(1,3,0),% =(1,1,1)的極大無關(guān)組2 .設(shè) % = (3,1,2,5), 3 (1,1,1,2), 3 (2,0,1,3), 4 = (1,-1,0,1),a5 = (4,2,3,7),求此向 量組的一個(gè)極大無關(guān)組3 .設(shè)% =(3,2,2),支2 =(2,3,2), 口3 =(2,2,3),問這個(gè)向量組是否線性相關(guān)4 .設(shè)向量組«1,a2,|,am線性無關(guān)(m A1),從中任取一部分向量，如口1,口2,1

20、11,外*£4|), 問向量C(1,C(2,HI 3k是否也線性無關(guān)5 .設(shè)a =(3,-2,-1,1),P =(-3,1,-2,1),求向量 r =(c1,c2,c3,c4),使 2a +3r = P6 .設(shè)久=(2,5,1,3), P =(10,1,5,10), ¥ = (4,1 -1,1),求向量 X ,使3(： -X) 2( X) =5( -X)7 .將 P =(1,2,1,1)表示成 % =(1,1,1,1),% =(11,1,1),% = (11,1,-1),口4 = (1,一1, -1,1)的線性組合8 .判斷向量 P=(4,4,1,2)能否由 %=(2,1,

21、0,5),% = (-4,一2,3,0),%=61,0,1,0期4 = (0, -1,2,5)線性表示9 .設(shè)% 二(1,1,1)P2=(1,2,3),%=(1,3,t)(1)問當(dāng)t為何值時(shí)，向量組口 1P2p3線性無關(guān)(3)當(dāng)向量組«1,0(2,«3線性相關(guān)時(shí)，將a3表示為巴和1a2的線性組合10.設(shè)4，&，川，&是不同的數(shù)，問向量組«1 =(1,31,111，air),(i = 1,2, |,r)是否線性相關(guān)11.設(shè)向量組5，32產(chǎn)3線性相關(guān)，向量組0(2戶3,0(4線性無關(guān)，問(1) %能否由«2,«3線性表示，為什么(2

22、) 也能否由«1 ,«2,«3線性表示，為什么X -2x2 +3x3 -4x4 =4X2 X3 + X4 312 .用消元法解線性方程組 2|x1 3x2 x4 =1I 7x2 3x3 x4 - -3x1 + x2 + x3 + 4x4 - % = 02x1 +x2 +3x3 +5x4 -5x5 =013 .求齊次線性方程組1的基礎(chǔ)解系和全部解x, -x2 +3x3 -2x4 - % =03x1 +x2 +5x3 + 6x4 -7x5 = 0x1 2x2 - x3 - 2x4 = 014 .決定九的值，使線性方程組 2 2x1 -x2 -x3 +x4 =1有解，并

23、求其全部解 3x1 x2 - 2x3 -x4x1 x2 - 3x4 - x5 = 015 .求齊次線性方程組 xx1 - x2+2x3 - x4 =0的基礎(chǔ)解系4x1 -2x2 6x3 3x4 -4x5 =0x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 42x1 +5x2 -x3 + 2x5 = 一6-16 .求線性方程組 (的全部解| x1 -4x2 2x3 -2x4 x5 = 2J 2x1 2x2 2x3 -x4 4x5 = 0x1 x2 -3x3 - x4 =117 .求線性方程組彳3為-x2 -3x3+4x4 =4的一般解x1 5x2 -9x3 -8x4 =0x1 x2 kx3 =

24、 418. k為何值時(shí),無解、有無窮多組解？在有解線性方程組x1 + kx2 + x3 = k2有唯一解、x1 -x2 2x3 = -4的情況下，求出其全部解2x1 x2 -5x3 x4 = 819.用克萊姆法則求解線性方程組Xi - 3x? _ 6x4 = 9| 2x? _ x3 . 2 x45x1 4x2 - 7x3 6x4 = 020.討論a, b為何值時(shí)，下列方程組有解？在有解時(shí)，求出其解x1 x2 -x3 = 12x1 (a 2)x2 (-b -2)x3 =3-3ax2 (a 2b)x3 = -3五、證明題i.已知cti,|,%與,川,%,%+,|,%有相同的秩,證明 %,|,%與”

25、,川,%,%中2.若汽1,111,網(wǎng)線性無關(guān)，而%,III,豆s, B線性相關(guān)，則P可由«1,IH «s線性表示，且表示法唯一3.證明%=(1,2,3,4), % =(3,5,4,1), 4 =(2,1,3,4), % =G,6,1,召)線性相關(guān)4.設(shè) a =(2,1,2), P =(4,2,3),尸=(8,8,5),證明：存在數(shù) k 使 2a +kP =尸5.已知向量組 s1,a2,|,am+(m>1)線性無關(guān)，向量組 3,2,111, “可表示為 叫=%十ti«m+(i =1,2,|,m),其中 ti(i =1,2,|,m)是數(shù)，證明向量組 Pi,P2JH,Pm線性無關(guān)6.%=(aii,ai2, |,ain),i =1,2,|,n ,證明如果 R ) =0,則 a/ILan線性無關(guān)7.設(shè)A是nn矩陣，如果對(duì)任一 n維向量'X =(Xi