2019六校第三次聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試題

1、 2019 屆第三次六校聯(lián)考 本試卷共 4 頁，21 小題，滿分 150 分.考試用時 120 分鐘. 1 參考公式：錐體體積公式 V Sh，其中S為錐體的底面積，h為錐體的高. 3 第 I 卷 一選擇題：本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題 目要求的. 1 已知A, B是非空集合，命題甲: AUB =B，命題乙：A = B，那么 B.甲是乙的必要不充分條件 D.甲是乙的既不充分也不必要條件 x y _0 I x - y K 0確定的平面區(qū)域內(nèi)，則 N (x, y)所在平面區(qū)域的面積是 x蘭2 () C. 4 7.已知平面，：，直線m,l，

2、點(diǎn) A，有下面四個命題: A .若I : , m二A則I與m必為異面直線; B.若山:，l _m 則 mLI ：；4.等差數(shù)列a n中，已知as =5 , a2 a12, a* = 29，則 n 為 A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 5.函數(shù) A. C. 1亠x y = log2 _ _的圖像 1 -x 關(guān)于原點(diǎn)對稱 關(guān)于y軸對稱 B. D. 關(guān)于主線 關(guān)于直線 6.若某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是 B. 2 2 2 主視圖 A.甲是乙的充分不必要條件 C.甲是乙的充要條件 2.復(fù)數(shù)-2i-: i -1 A . 1 -i B. -1 i C. 1 i D. -1

3、 -i 3.已知點(diǎn)N(x,y)在由不等式組 B. 2 俯視圖 C.若丨二二，m 二-,1 LI ：, mLI：-貝 U LI ：; D.若，i J, p| ： = m,門：=1,1 Im，則丨 _ ：. 其中正確的命題是 8.某種游戲中，黑、黃兩個“電子狗”從棱長為 1 的正方體 ABCD-AiBiCiDi的頂點(diǎn) A 出發(fā)沿棱向前爬行， 每爬完一條棱稱為“爬完一段”，黑“電子狗”爬行的路線是 AA AiDL，黃“電子狗”爬行的路 線是 ABT BBi，它們都遵循如下規(guī)則：所爬行的第 i+2 段與第 i 段所在直線必須異面直線 ( (其中 i 是 正整數(shù)).設(shè)黑“電子狗”爬完 20i9 段、黃“

4、電子狗”爬完 20i9 段后各自停止在正方體的某個頂點(diǎn)處， 第口卷 這 時 黑 八、 黃 a 電 ( ) A. 0 B. i C. 2 狗 ” 間 的 距 離 是 D. 、3 C.若丨二二，m 二-,1 LI ：, mLI：-貝 U LI ：; 、填空題：本大題共 7 小題，考生作答 6 小題，每小題 5 分，滿分 30 分. (一)必做題：第 9、iO、ii、i2、i3 題是必做題，每道試題考生都必須做答. 0 J 2 9. j1-xdx=- 2 iO.函數(shù)f(x)二sin x，cos2xxR的最小正周期為 11.在直角 ABC 中，.C =90 , A =30 , BC =1 , D為斜邊

5、AB的中點(diǎn)，貝U AB CD =一 2 2 i2.若雙曲線 篤-上 1 (a 0)的一條漸近線方程為 3x-2y=0，則以雙曲 a 9 線的頂點(diǎn)和焦點(diǎn)分別為焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的橢圓的離心率為 13將“楊輝三角”中的數(shù)從左到右、從上到下排 成一數(shù)列：i, i, i, i, 2 i, i, 3, 3, i, i, 4, 6, 4, i，右圖所示程序框圖用來輸出此數(shù)列的 前若干項并求其和，若輸入 m=4 則相應(yīng)最后的輸出 S 的值是 _ . (二)選做題：第 i4、i5 題是選做題，考生只能從中選做一題. 14 .(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)已知曲線G、C2的極坐標(biāo)方程分別為卜工-2cos( ), 2 、2c

6、os( )1=0，則曲線 G上的點(diǎn)與曲線 4 C2上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為 15 (幾何證明選講選做題) 如圖，點(diǎn)M為L O的弦AB上的一點(diǎn)，連接 MO . MN _ 0M , MN 交圓于 N，若 MA =2 , MB =4，貝 y MN 二 . 三、解答題：本大題共 6 小題，滿分 80 分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟. 16. (本小題滿分 12 分) 在 ABC中，角A, B,C的對邊分別為a,b,c , S是該三角形的面積， B B (1) 若 a =(2si n cosB,si n B-COSB) , b = (si nB cosB,2si n ), a/b，求角 B 的度數(shù)

7、; 2 2 (2) 若 a=8, B = , S=8、3，求 b 的值. 3 17 (本小題滿分 12 分) 2 3 甲、乙兩人各射擊一次，擊中目標(biāo)的概率分別是 -和-，假設(shè)兩人射擊是否擊中目標(biāo)，相互 3 4 之間沒有影響；每人各次射擊是否擊中目標(biāo)，相互之間也沒有影響 求甲射擊 3 次，至少 1 次未擊中目標(biāo)的概率； 假設(shè)某人連續(xù) 2 次未擊中目標(biāo)，則停止射擊，問：乙恰好射擊 4 次后，被中止射擊的概率是多少? 設(shè)甲連續(xù)射擊 3 次，用表示甲擊中目標(biāo)的次數(shù)，求 的數(shù)學(xué)期望E . (結(jié)果可以用分?jǐn)?shù)表示) （2） a. R 時討論函數(shù)f X的單調(diào)區(qū)間 1 20.（本小題滿分 14 分）如圖，P是拋

8、物線C : y x2上橫坐標(biāo) 2 大于零的一點(diǎn)，直線I過點(diǎn)P并與拋物線C在點(diǎn)P處的切線垂直，直線 拋物線C相交于另一點(diǎn)Q . （1） 當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為 2 時，求直線I的方程； （2） 若OP OQ =0，求過點(diǎn)P,Q ,0的圓的方程. 21.（本小題滿分 14 分）已知數(shù)列a 的前 n 項和為Sn，正數(shù)數(shù)列 4 沖 be, （e 為自然對數(shù)的底 2.718 ）且 -nN*總有2心是Sn與令的等差中項，,bn 1是 g 與bn 1的等比 中項. 求證：-n N * 有a. ： a. 1 ： 2n ； 3 （2）求證：n N* 有 （an1）：l nd I n b2 In bn：3an1. 2

9、2019 屆第三次六校聯(lián)考 高三數(shù)學(xué)（理科）試題答案 2019. 2.8 一選擇題： 1、B ; 2、A ; 3、C; 4、C; 5、A; 6、B; 7、D; 、填空題： 10.二; 9. 11. 4 12. 2 13 13 13. 15; 選做題：14. 2 1 15. 2,2 佃（本小題滿分 14 分）已知函數(shù) (1 2a) x - 4a 1 2 In (2x 1) （1）設(shè) a =1 時，求函數(shù) f x極大值和極小值 8、D Y Q與 I 0 7 B (0,180) . . B =60； . (2) ； S=8、3 . - acsin B =8.3 . 2 得 c = 4 . 2 2 2

10、 2 2 0 b =a c -2accosB =8 4 -2 8 4cos120 . .b=47. 12 分 17. 解：(1)記“甲連續(xù)射擊 3 次，至少 1 次未擊中目標(biāo)”為事件 A,由題意，射擊 3 次，相當(dāng)于 3 次獨(dú) 2 3 19 立重復(fù)試驗，故 P( A) =1- P ( A)=1-()= 3 27 (1) 如圖取 BD 中點(diǎn) M，連接 AM , ME。因 AB = AD = -、2AM _ BD l A 因 DB =2 , DC -1, BC = 5 滿足：DB1 2 3 DC2 =BC2, 所以 BCD是 BC 為斜邊的直角三角形， BD _ DC , 1 1 (3) 方法二：

11、p( = 0) = C0 (-)3 3 27 三、解答題： 16解：(1) , a/b .4cos B 2SI Bn2 2 cB s 2 1 -cosB 2 2cos cosB (2)記“乙恰好射擊 4 次后，被中止射擊”為事件 A 由于各事件相互獨(dú)立， 故 P (A)= 1 1 X X 3 X1+1 X 1 X ? X 3 ; =3 4 4 4 4 4 4 4 4 64 答： 乙恰好射擊 4 次后， 被中止射擊的概率是 3 8 分 64 19 答：甲射擊 3 次，至少 1 次未擊中目標(biāo)的概率為 一 ; . 4 分 27 12 分 9 (3)根據(jù)題意-服從二項分布，E =3 = 2 . 3 2

12、7 12 P(T) = C迸)冗) 27 pC： =2) 2 Q) 1 27 18解: 12 分 . 7 分 8 分 10 分 C 1 因E是BC的中點(diǎn)，所以 ME 為.BCD的中位線ME/ CD , 2 1 .ME _ BD , ME 2 分 2 ZAME是二面角A-BD -C的平面角 ZAME =60 3分 匸AM 丄 BD , ME 丄 BD且 AM ME 是平面 AME 內(nèi)兩相交于 M 的直線 .BD _平面 AEM AE 平面 AEM BD _ AE 4 分 1 因 AB =AD =、2., DB =2 . ABD 為等腰直角三角形.AM = 1 BD =1 , 2 1 1 3 3

13、AE2 = AM2 ME2 -2AM ME cos. AME =1 -2 1 - cos60 AE 3 4 2 2 2 2 .AE ME =1 二 AM . AE _ ME .BD ME,BD 面BDC,ME 面BDC AE _ 平面 BDC 由 A(-1,-1, 3),CD =(0,-1,0),可知 n =( 一3,0,-2)滿足, 2 2 L 1 + = 【1 J I n AD =0, n CD = 0, n是平面 ACD 的一個法向量， 記點(diǎn)B到平面ACD的距離 d,則AB在法向量 下 方向上的投影絕對值為 (2),解法二： 取 AD 中點(diǎn) N，連接 MN,則 MN 是 ABD的中位線，

14、MN/AB, 所以直線AB與CD所成角為二等于 MN 與 ME 所成的角， 即.EMN或其補(bǔ)角中較小之一(2)如圖，以 M 為原點(diǎn) MB 為 x軸，ME 為 y 軸，建立空間直角坐標(biāo)系, 1 則由(1 )及已知條件可知 B(1,0,0), E(0,-,0), 2 .8 分 A(0,-3),D(-1,0,0) ,C(-1,1,0) 2 2 一 1 .3 AB =(1,-一， ),CD =(0,-1,0), 2 2 AB與CD所成角為-, 設(shè)異面直線 2 .2 1 2 AB CD |AB| CD 貝U COS v 11 分 10 分 則d二 13 分 所以 d = 30 3 3? 0 -22 2

15、21 7 14 分 12 分 又 ME/CD E 為 BC 中點(diǎn)，AE _ BC. AC = AB 二；2 1 3 (1 =X X 3 2 七 1 運(yùn) 1 73 uu 73 從而有 b , c ,A(1, ),EA = (0,0, 2 2 2 2 2 uur uuu uu uuu EA DC =0,EA DB =0 = EA _ DC,EA _ DB 所以 AE _ 平面 BDC AE I 面 BCD, DE 二面 BCD . AE _ DE , N 為在 RtAED 斜邊中點(diǎn) 所以有 NE=AD 2,MN= 1 AB - ,ME= 1 2 2 2 2 2 MN 2 ME - NE2 2MN

16、ME 二 cos 日=cos N EMN 2 1 2 + 4 4 4 c 、2 1 2 2 .9 分 10 分 記點(diǎn)B到平面ACD的距離 d,則三棱錐 B-ACD 的體積VBCD d S ACD , 3 11 分 1 2 CD f 0,b0,c0).3 分 2 又由(1 )知 AE 是 A-BCD 的高、BD _ CD . VBCD VA_BCD 1 =- AE S BCD .12 分 3 )J3 2 1 = 丿 6 2 C 1.4 分 J3 uuu ,A(1,2寸),EA = (0,0, ),DC =(0,1,0) b cos60 .6 分 .b2 c2 由(1) A(1,m , D(0,0

17、,0), B(2,0,0),C(0,1,0) , AB =(1J, 3),CD = (0,-1,0), 2 2 2 2 11 分 （3）由 AD =（一1,-丄， -）,CD =（0, -1,0）,可知 n =（、3,0,-2）滿足, 2 2 nAD =0, n CD =0, n是平面 ACD 的一個法向量， 記點(diǎn)B到平面ACD的距離 d， -3x 5ln(2x 19.( 1) f(xH 2 2 2 f(x)= x -3 旦= (2x 1)(x-3)5= 2xx2 2x+1 2x+1 2x+1 1 令 f (X)=0，則 x =或 x=2 . 2 分 2 x L I CXI 1 l | CM

18、1 2 (, 2 2) 2 (2 , +比) f + ：x) 0 0 + f( x) 匚 極大 極小 15 11 5 f x 極大=對5 1 , f x 極小=f(2巧 In5 -4 . 5 分 4a 1 (2x 1)(x -1-2) 4a 1 2x-1 x-2a (2) f (x) = x - (1+2 a) + = = 則d二 13 分 所以 d = 3 0 3 十 0 十（_2丫 2.21 14 分 設(shè)異面直線 AB與CD所成角為-,則cos二= AB CD AB CD | 10 分 12 分 則AB在法向量n方向上的投影絕對值為 x2 2x+1 2x+1 2x+1 1 令 f (x)

19、=0，則 x=或 x=2 a . 6 分 2 1 1養(yǎng) i、當(dāng) 2 a ,即卩a 時， 2 4 x (-2， 2 (1 , 2 2a) 2 a (2 a , +旳) 2) f ：x) + 0 0 + f( X) 匚 所以f（X）的增區(qū)間為 1 1 ）和（2 a , +旳）,減區(qū)間為（ 1 ,2a) . 8 分 2 2 2 1 ii、當(dāng) 2 a =，即 a = 丄時, 2 f (x)= 2X-1 0 在(一1 , + : ）上恒成立， 2 4 2x+1 2 1 所以f（X）的增區(qū)間為（一一，+ ：: ） . 10 分 2 1 1 1 1 養(yǎng) iii、當(dāng) 2a ,艮卩 a 時， 2 2 4 4 X

20、 ( 2 a) 1 2 2 a (2 a , 一) 2 1 2 (一， 2 + 0 ) f - ：x) + 0 0 + f( x) 匚 匚 1 1 1 所以f （x）的增區(qū)間為（，2a ）和（一，+）,減區(qū)間為（2a , 一） . 12 分 2 2 2 1 1 iv、當(dāng)2爪一2,即時， X 一) 2 (-一, 2 1 2 (一， 2 + ) f ：x) 0 + f( X) 1 1 1 所以f （X）的增區(qū)間為（一，+珀）,減區(qū)間為（一 ,一 ） . 14 分 2 2 2 1 1 1 1 綜上述：a蘭一一時，f （x）的增區(qū)間為（一，+ ）,減區(qū)間為（一一，一） 4 2 2 24 1 1 1 1

21、 丄a丄時，f （x）的增區(qū)間為（丄，2a ）和（丄，+比），減區(qū)間為（2a , 4 4 2 2 1 1 a= 時，f （x）的增區(qū)間為（ ，+：） 4 2 1 1 1 _ 1 a4時，f （x）的增區(qū)間為（一丄，丄）和（2a , +旳）,減區(qū)間為（-,2a） 4 2 2 2 說明：如果前面過程完整，最后沒有綜上述，可不扣分 20 解：(I)把 x =2 代入 y 二1 x2，得 y =2, 2 點(diǎn)坐P標(biāo)為（2，2）. 1 2 由八畀，得八x， 過點(diǎn)P的切線的斜率k切=2, 直線l的斜率 1 直線l的斜率k1 1 _2 4 1 直線l的方程為y-2 (x-2), 即x，2y-6=0 2 1 2

22、 (n)設(shè) P(x,y0),則 y0 二 X). 2 半徑為r = PM 直線l的方程為 y_2x2=_1(x_X0). 2 Xo 設(shè) Q(X1,yJ，且 M (x, y )為PQ的中點(diǎn), 因為0P -0，所以過點(diǎn)P ,Q ,0 的圓的圓心為M （x,y） 過點(diǎn)p的切線斜率島=X。，因為x0 = 0. 且 X0X1 yo y1 1 2 2 二 X0X1 X0 X1 =0 , 所以x0 x1 = 0 （舍去）或X。X1 - - 4 聯(lián)立消去y , 2 2 2 得X X-0 2。由題意知Xo,X1為方程的兩根, 所以 X0X1 - - 2 - -4，又因為 X0 0 , 所以 x =、2 , y

23、= 1 ; 所以 x1 = -2 J2 , y 4 11 分 21 解：(1) 2心是Sn與an的等差中項=Sn=2n-an ai = 3 = 2 = a1 =1 1 分 Sn = 2 _ an = Sn 1 = 2 _ an 1 an 1 - Sn 1 _ Sn = 2 - an 1 - (2 _ an ) = 2 an _ an 1 2an 2n an 2 分 n -1 n n n 1 n n 法：n 2 a.卅=4+2 % =2 a.*2=4 (2n1an1 -2nan) (2nan -2nan廠 (22a2 -2aJ 3 分 1 . 1 4e 二 b2 二 e= b1 = 2 / M是

24、PQ的中點(diǎn), r2 =(X X。)2 (y y。)2 M27 4 12 分 13 分 所以過點(diǎn)P,Q,0的圓的方程的方程為 14 分 =4n 4n 2 1 3 亠 4 , 4 二(4n -1)二 2n1am -2 3 1 In 2 1 7, an 2 2 3 3 1 n、 2 ) ： 0, a2n 亠 (2)由(1 )得 an _1 _3 1 2n 2n 2 3 2n -3 乞 2n，-1, 3an -1 =2n 2 3 (an -1)=2n .只需證:2n4 -1 ：4(4n -1) 2 2n -1 -1 2n -1 n = 1 時,b； b1 4e 8 b 2 27 4 所以 x1 = -

25、2 J2 , y 4 11 分 -1 、9 e 1, b 1 e 2 b lnb1 In 1 =(214 -1) , lnb,：ln(b1 1) = 21 所證不等式成立 8 分 n _2 時 bn 1 =bn bn - b二 In bn 1 - 2lnbn In bn 2Ing _2n，In b =2n 9 分 =(2 心 一 1)二(a. -1) 2 又 In (bn 1 1) -I n(b2 bn 1) : In (b； bn 1 6) = 1 n(bn 1)2 =21 n(bn 1) 11 分 In (bn 1) : 21 n(bn二 1) 221 ng 1) ：2nJll nQ 1)

26、 ： 2 Inb1 In b2 -Inbn : ln(b 1) ln(b2 1) ：1 2 22 2nJL=2n -1 ： 3an -1 3 綜上所述，總有3(an -1) ： In b1 In b2川ln bn 2 In b1 In b2 川汕 In bn . 0 1 2 川川2n， In (bn 1) :3an -1 成立 10分 12分 13 分 14 分 解法二： Sn - 2 - an =： & 1 = 2 _ an 1 an 1 = 5 1 - Sn 2an 1 = 2 an i )當(dāng) n = 1 時,a1 = Si = 2 - a1 = a1 = 1, a2 2 a1 2

27、 ii)假設(shè) n = k 時,ak : ak 彳：2k,則 n = k 1 時有 ak ,2 ak 2 -2k1 ak 1 ：: ak 2 綜合 i),ii)可知 (2) a 2k 1 k k 1 ak 1 2 22 0; 2 2 2k+也成立 :2n成立 3 . ai : a2 ”： 2 成立 2 2k 亠 a _ 2 ak 1 J 2 2k 1 a 2k1 2k an ： an 1 2時越時才詁a n-1 ak 2 2 也.2 乙 0 2 _ ak -1 2n 1 32n 1 i / 1 cJ1 ! an 2 (a 2) i 3 3 2 bn 1是 bn與 bn 1的等比中項一 b b2

28、= e, bn 0 b-|2 b = b2 = e= 2 刁=an =b： bn . -1 + J1 +4e b1 = i)當(dāng) n =1 時 d 9 9 =1 力 1 Inb In 1 = 0 = |1 一1), 3 時不等式一(ak 2 In d ： InQ 1) ： 1 ： 2 =冏 一1 ii)假設(shè) n =k,k N* 一 1) ： In b1 In b2 In bk : 3ak -1 成立, 3 3(ak1lnb1 lnb2 lnbk W1 只需證明： 弓何 1 -1) -弓 & -1) lnbk3ak 1 T k -1) 2 2 則 n=k+1 時要證明 k 1 1 k 1 即只需證明：2 一一尹 ：Inbk.1 ：2 k bk 1. bk b； = Inbk 1 2Inbk =In bk1 21 nbk 25 61nbk ._2klnb2=2k 2kJ 法三： n=1 時同法一：n_2時左邊證明同法一 10 分 當(dāng)n _ 2時，證明右邊如下： In * 1 =In bn I n(g 1)= I n(g 1) = I nb -I ng In b| In b2 川In bn _ In(b1 1) In(b2 1)川-卷|n(bn 1) = lnb2 Tn b| I