高等代數(shù)課件--天津科技大學(xué)理學(xué)院高等代數(shù)精品課程教

1、高等代數(shù)課件高等代數(shù)課件-天津科技大學(xué)理學(xué)院高等代數(shù)精品課程教研小組天津科技大學(xué)理學(xué)院高等代數(shù)精品課程教研小組7.4 7.4 不可約多項式不可約多項式唯一因式分解定理唯一因式分解定理第七章第七章 多項式環(huán)多項式環(huán)高等代數(shù)課件高等代數(shù)課件-天津科技大學(xué)理學(xué)院高等代數(shù)精品課程教研小組天津科技大學(xué)理學(xué)院高等代數(shù)精品課程教研小組 在中學(xué)代數(shù)里我們學(xué)過因式分解，就是把一個多項式逐次分解成一些次數(shù)較低的多項式乘積。在分解過程中，有時感到不能再分解了也就認為它不能再分了，但是當(dāng)時沒有理論根據(jù)，到底能不能再分下去？這里我們將系統(tǒng)地討論多項式的分解問題。對于 F x中任一個多項式 ,f x cFcf x及總是

2、f x的因式。 這樣的因式稱為平凡因式。我們感興趣的是，除了平凡因式外， f x還有沒有其他的因式？高等代數(shù)課件高等代數(shù)課件-天津科技大學(xué)理學(xué)院高等代數(shù)精品課程教研小組天津科技大學(xué)理學(xué)院高等代數(shù)精品課程教研小組定義1:設(shè) f x是 F x中次數(shù)大于零的多項式，若 除F上不可約。 f x平凡因式外，在 F x中還有等價定義： f x可分解成中兩個次數(shù)都小于 n 的多項式 F x ,g xh x的積，即則稱 ,f xg x h x f x在數(shù)域F上可約。0n n F x中一個次多項式如果如果在 F x中， f x只有平凡因式，則稱 f x在數(shù)域則稱 f x在數(shù)域F上可約。其他因式，一、不可約多項式

3、1、定義高等代數(shù)課件高等代數(shù)課件-天津科技大學(xué)理學(xué)院高等代數(shù)精品課程教研小組天津科技大學(xué)理學(xué)院高等代數(shù)精品課程教研小組由定義可得： 一次多項式是不可約多項式（二次及二次以上多項式是否可約是重點討論對象）； 多項式的可約性與數(shù)域有關(guān)（例22x 在C上可約，在R中不可約）。 零多項式于零次多項式不討論它們的可約性。2. 性質(zhì)性質(zhì)1: p x不可約，則 cp x也不可約，0,.ccF若性質(zhì)2:若 p x是不可約多項式， ,f xF x高等代數(shù)課件高等代數(shù)課件-天津科技大學(xué)理學(xué)院高等代數(shù)精品課程教研小組天津科技大學(xué)理學(xué)院高等代數(shù)精品課程教研小組則 p xfx ,1.p xf x證：設(shè) ,p xf xd

4、 x由 1d xfxd x或 .d xcp x若 1,d x 則 ,1.p xf x若 ,d xcp x則 p xf x性質(zhì)3：若 p x不可約且 p xfx g x則 p xfx或 .p x g x證： 若 ,p xf x則結(jié)論成立；若 p xfx，又 p x不可約。高等代數(shù)課件高等代數(shù)課件-天津科技大學(xué)理學(xué)院高等代數(shù)精品課程教研小組天津科技大學(xué)理學(xué)院高等代數(shù)精品課程教研小組由性質(zhì)2， ,1.p xf x1,pufvpgufgvg .p x g x推論： 若 p x不可約且 1.sp xfxfx則 p x必整除某個 ,1.ifxis 二、因式分解問題： ,0,f xF xf f x是否可分解

5、為不可約多項式的乘積？定理1： F x中任一個0n n 次多項式 f x都可以分解成 F x中不可約多項式的乘積。高等代數(shù)課件高等代數(shù)課件-天津科技大學(xué)理學(xué)院高等代數(shù)精品課程教研小組天津科技大學(xué)理學(xué)院高等代數(shù)精品課程教研小組證（歸納法）：n=1時，命題顯然成立。假設(shè)命題對一切小于n的多項式成立，則當(dāng) f xn時，1、若 f x不可約成立；2、若 f x可約， fx g x h x ,.gnhn由假設(shè)知 ,g xh x均可分解為不可約多項式的乘積。問題： 多項式 f x分解成不可約多項式的乘積是否唯一？高等代數(shù)課件高等代數(shù)課件-天津科技大學(xué)理學(xué)院高等代數(shù)精品課程教研小組天津科技大學(xué)理學(xué)院高等代數(shù)

6、精品課程教研小組若 12,rf xpx pxpx取 1 21.rc cc 則 1122,rrf xc px c pxc px可見 f x分解式不唯一。唯一因式分解定理 F x中任一個次數(shù)大于零的多項式 f x分解成不可約多項式的乘積： 12,rf xpx pxpx成不可約因式的乘積分解式是唯一的，此即若有兩個分解式： f x若不計零次多項式的差異和因式的順序，分解高等代數(shù)課件高等代數(shù)課件-天津科技大學(xué)理學(xué)院高等代數(shù)精品課程教研小組天津科技大學(xué)理學(xué)院高等代數(shù)精品課程教研小組 1212.rsf xpx pxpxqx qxqx則有 r=s； 適當(dāng)調(diào)整 jqx的位置后，有 1, 2,iriiiqxc

7、px） 證（對分解式中的因式個數(shù)用數(shù)學(xué)歸納法證明）：當(dāng)r=1時，結(jié)論顯然成立。假設(shè)當(dāng) f x分解成r-1個不可約因式時結(jié)論成立，則當(dāng) f x分解成r個因式時，有 1212.rsf xpx pxpxqx qxqx高等代數(shù)課件高等代數(shù)課件-天津科技大學(xué)理學(xué)院高等代數(shù)精品課程教研小組天津科技大學(xué)理學(xué)院高等代數(shù)精品課程教研小組 112( )( )( )spx q x q xq x由于 ，故存在某個iq使 1( )( )ip x q x( )iq x為方便起見不防設(shè)就是 。1( )q x111qc p由歸納假設(shè)知，這時有r-1=s-1。 故r=s，且三、標準（典型）分解式在 f x的分解中，可以把每個不

8、可約因式的1211 22 2,qc cpc p,3,4, ,iiiqcp ir 212( )( )rsp xp xc qxqx,1,2,iiiqc pir故高等代數(shù)課件高等代數(shù)課件-天津科技大學(xué)理學(xué)院高等代數(shù)精品課程教研小組天津科技大學(xué)理學(xué)院高等代數(shù)精品課程教研小組首項系數(shù)提出來，使之成為首一不可約多項式，并把相同的因式合并，于是， f x的分解式就變成： 1212.lkkknlf xa px pxpx首項系數(shù) 1,lpxpx為 F x的首一不可約多項式，1. 每個多項式的標準分解式是唯一的。 2. 利用多項式的標準分解式可以判斷一個多項式是否整除另一個多項式。式。1,lkk為自然數(shù)，這種分解

9、式稱為 f x的標準分解高等代數(shù)課件高等代數(shù)課件-天津科技大學(xué)理學(xué)院高等代數(shù)精品課程教研小組天津科技大學(xué)理學(xué)院高等代數(shù)精品課程教研小組3. 利用多項式的標準分解式可以直接寫出 ,.f xg x例如： 535321 ,fxxxx 347311 ,g xxxx則 3,31f xg xxx雖然根據(jù)多項式的標準分解式寫出 ,f xg x是簡單的，但由于任意多項式的典型分解式并不容易求得，故求最大公因式的一般方法還是采用輾轉(zhuǎn)相除法。高等代數(shù)課件高等代數(shù)課件-天津科技大學(xué)理學(xué)院高等代數(shù)精品課程教研小組天津科技大學(xué)理學(xué)院高等代數(shù)精品課程教研小組問：如何求 f x的標準分解式？例1求 4232,f xxx ,Q xR x在 中的標準分解式。解： 利用帶余除法，知1,1xx都是 f x的因式，即有 。 21xfx 2212fxxx2112xxx如何知道xa是不是 f x的一個因式？xa是 f x的一個因式的充要條件是 0.f a Q x在上 R x在上 2212(1)(1)(2)(2)fxxxxxxx高等代數(shù)課件高等代數(shù)課件-天津科技大學(xué)理學(xué)院高等代數(shù)精品課程教研小組天津科技大學(xué)理