線段的垂直平分線的性質(zhì)與判定

1、13 . 1.2線段的垂直平分線的性質(zhì)（2課時(shí)）第1課時(shí)線段的垂直平分線的性質(zhì)與判定教學(xué)目標(biāo)掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定，能靈活運(yùn)用線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定解題.重點(diǎn)線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定，能靈活運(yùn)用線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定解題.難點(diǎn)靈活運(yùn)用線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定解題.教學(xué)設(shè)計(jì)一、問題導(dǎo)入我們已經(jīng)知道線段是軸對(duì)稱圖形，線段的垂直平分線是線段的對(duì)稱軸.那么，線段的垂直平分線有什么性質(zhì)呢？這節(jié)課我們就來(lái)研究它.二、探究新知（一）線段的垂直平分線的性質(zhì)教師出示教材第61頁(yè)探究，讓學(xué)生測(cè)量，思考有什么發(fā)現(xiàn)？如圖，直線I垂直平分線段AB, Pi, P2, P3是I上的點(diǎn)，分別量一

2、量點(diǎn)Pi, P2, P3到點(diǎn)A 與點(diǎn)B的距離，你有什么發(fā)現(xiàn)？學(xué)生回答，教師小結(jié)：線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.性質(zhì)的證明：教師講解題意并在黑板上繪出圖形：上述問題用數(shù)學(xué)語(yǔ)言可以這樣表示：如圖，設(shè)直線MN是 線段AB的垂直平分線，點(diǎn)C是垂足，點(diǎn)P是直線MN上任意一點(diǎn)，連接PA, PB,我們要證明的是 PA二 PB.教師分析證明思路：圖中有兩個(gè)直角三角形, APC和厶BPC,只要證明這兩個(gè)三角形全等，便可證得PA二PB.教師要求學(xué)生自己寫已知，求證，自己證明.學(xué)生證明完后教師板書證明過程供學(xué)生對(duì)照.已知：MN丄AB,垂足為點(diǎn)C, AC二BC,點(diǎn)P是直線MN上任意一點(diǎn).求證：PA

3、二PB.證 明：在厶APC和厶BPC中，/ PC二 PC （公共邊），/ PCB =Z PCA （垂直定義），AC 二 BC （已知）， APCBPC （SAS）.PA二PB （全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）.因?yàn)辄c(diǎn)P是線段的垂直平分線上一點(diǎn)，于是就有：線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn) 的距離相等.（二）線段的垂直平分線的判定你能寫出上面這個(gè)命題的逆命題嗎？它是真命題嗎？這個(gè)命題不是“如果那么”的形狀， 要寫出它的逆命題，需分析命題的條件和結(jié)論，將原命題寫成“如果那么”的形式，逆命題就容 易寫出鼓勵(lì)學(xué)生找出原命題的條件和結(jié)論.原命題的條件是“有一個(gè)點(diǎn)是線段垂直平分線上的點(diǎn)”，結(jié)論是“這個(gè)點(diǎn)與這

4、條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等”.此時(shí)，逆命題就很容易寫出來(lái).“如果有一個(gè)點(diǎn)與線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，那么這個(gè)點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上.”寫出逆命題后，就想到判斷它的真假.如果真，則需證明它；如果假，則需用反例說(shuō)明.請(qǐng)同學(xué) 們自行在練習(xí)冊(cè)上完成.學(xué)生給岀了如下的四種證法.已知：線段AB,點(diǎn)P是平面內(nèi)一點(diǎn)，且PA二PB.求證：P點(diǎn)在AB的垂直平分線上.證法一過點(diǎn)P作已知線段AB的垂線PC, / PA二PB, PC二PC, RtAPAC" RtA PBC （HL） . AC二BC,即P點(diǎn)在AB的垂直平分線上.證法二取AB的中點(diǎn)C,過P.C作直線I PA二PB, PC二PC, AC二CB ,A

5、PCN BPC（SSS）./PCA二Z PCB（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）.又/ PCA + Z PCB 二 180° , PCA = Z PCB 二 90° ，即 PC 丄 AB , P 點(diǎn)在 AB 的 垂直 平分線上.證法三 過P點(diǎn)作/ APB的平分線./ PA二 PB, / 1 = Z2, PC= PC, APC 也厶 BPC（SAS）. AC二BC, / PCA二ZPCB（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等,對(duì)應(yīng)角相等）.又/PCA+ ZPCB二180° , / PCA二ZPCB二90° , P點(diǎn)在AB的垂直平分線上.證 法四過P作線段AB的垂直平分線PC.:

6、 AC 二 CB , / PCA 二 Z PCB 二 90°, / P 在 AB 的垂直平分線上.四種證法由學(xué)生表述后，有學(xué)生提問：“前三個(gè)同學(xué)的證明是正確的，而第四個(gè)同學(xué)的證明我有點(diǎn)弄不懂.”師生共析：如圖（1）, PD丄AB, D是垂足，但D不平分AB ;如圖（2）, PD平分AB ,但 PD不垂直于AB.這說(shuō)明一般情況下，“過P作AB的垂直平分線”是不可能實(shí)現(xiàn)的,所以第四個(gè)同 學(xué)的證法是錯(cuò)誤的.I)從同學(xué)們的推理證明過程可知線段的垂直平分線的性質(zhì)的逆命題是真命題，我們把它稱為線段的垂直平分線的判定.要作出線段的垂直平分線，根據(jù)垂直平分線的判定：與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這

7、條線 段的垂直平分線上，那么我們必須找到兩個(gè)與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，這樣才能確定已知線段的垂直平分線.下面我們一同來(lái)寫出已知、求作、作法 ，體會(huì)作法中每一步的依據(jù).例1尺規(guī)作圖：經(jīng)過已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線.已知：直線AB和AB外一點(diǎn)C.（如下圖）求作：AB的垂線，使它經(jīng)過點(diǎn)C.作法：（1）任意取一點(diǎn)K ,使點(diǎn)K和點(diǎn)C在AB的兩旁.（2）以點(diǎn)C為圓心，CK長(zhǎng)為半徑作弧，交AB于點(diǎn)D和點(diǎn)E.1（3）分別以點(diǎn)D和點(diǎn)E為圓心，大于“DE的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)F.（4）作直線CF.直線CF就是所求作的垂線.師：根據(jù)上面作法中的步驟，想一想，為什么直線CF就是所求作的垂線？請(qǐng)與同伴進(jìn)行交

8、流.生：從作法的第（2） （3）步可知CD二CE, DF二EF,C, F都在AB的垂直平分線上（線段的垂直平分線的判定）.-CF就是線段AB的垂直平分線（兩點(diǎn)確定一條直線）.師：我們?cè)每潭瘸哒揖€段的中點(diǎn)，當(dāng)我們學(xué)習(xí)了線段的垂直平分線的作法時(shí)，一旦垂直平分線作出，線段與線段的垂直平分線的交點(diǎn)就是線段AB的屮點(diǎn)，所以我們也用這種方法找線段的中點(diǎn).三、課堂練習(xí)教材第62頁(yè)練習(xí)第1, 2題.四、課堂小結(jié)本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定，并學(xué)會(huì)了用尺規(guī)作線段的垂直平分線.五、布置作業(yè)1. 教材習(xí)題13.1第6題.2. 補(bǔ)充題：下圖是某跨河大橋的斜拉索，圖中PA二PB, P0丄AB,則必有AO二BO,為什么?(2)如左下圖， ABC中，AC二16 cm, DE為AB的垂直平分線, BCE的周長(zhǎng)為26 cm.求 BC的長(zhǎng).(3)有A, B, C三個(gè)村莊(如右上圖)，現(xiàn)準(zhǔn)備建一所學(xué)校，要求學(xué)校到三個(gè)