多邊形及內角和知識點匯總

1、.知識要點梳理 定義：由三條或三條以上的線段首位順次連接所組成的封閉圖形叫做多邊形。 凸多邊形 分類1： 凹多邊形正多邊形：各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形。 分類2：多邊形非正多邊形：1、n邊形的內角和等于180°（n-2）。 多邊形的定理 2、任意凸形多邊形的外角和等于360°。 3、n邊形的對角線條數等于1/2·n（n-3） 只用一種正多邊形：3、4、6/。 鑲嵌拼成360度的角 只用一種非正多邊形（全等）：3、4。知識點一：多邊形及有關概念1、 多邊形的定義：在平面內，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形. （1）多邊形的一些要素： 邊：組成

2、多邊形的各條線段叫做多邊形的邊 頂點：每相鄰兩條邊的公共端點叫做多邊形的頂點 內角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫多邊形的內角，一個n邊形有n個內角。 外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角。（2）在定義中應注意： 一些線段（多邊形的邊數是大于等于3的正整數）； 首尾順次相連，二者缺一不可; 理解時要特別注意“在同一平面內”這個條件,其目的是為了排除幾個點不共面的情況,即空間 多邊形. 2、多邊形的分類:(1)多邊形可分為凸多邊形和凹多邊形，畫出多邊形的任何一條邊所在的直線，如果整個多邊形都在這 條直線的同一側，則此多邊形為凸多邊形，反之為凹多邊形（見圖1）.本章所講的多邊形都是

3、指凸 多邊形. 凸多邊形 凹多邊形 圖1 (2)多邊形通常還以邊數命名，多邊形有n條邊就叫做n邊形三角形、四邊形都屬于多邊形，其中三角 形是邊數最少的多邊形知識點二：正多邊形各個角都相等、各個邊都相等的多邊形叫做正多邊形。如正三角形、正方形、正五邊形等。 正三角形 正方形 正五邊形 正六邊形 正十二邊形要點詮釋：各角相等、各邊也相等是正多邊形的必備條件，二者缺一不可. 如四條邊都相等的四邊形不一定是正方形，四個角都相等的四邊形也不一定是正方形，只有滿足四邊都相等且四個角也都相等的四邊形才是正方形知識點三：多邊形的對角線多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線. 如圖

4、2，BD為四邊形ABCD的一條對角線。要點詮釋：(1)從n邊形一個頂點可以引(n3)條對角線，將多邊形分成(n2)個三角形。(2)n邊形共有條對角線。證明：過一個頂點有n3條對角線(n3的正整數)，又共有n個頂點，共有n(n-3)條對角線，但過兩個不相鄰頂點的對角線重復了一次，凸n邊形，共有條對角線。知識點四：多邊形的內角和公式1.公式：邊形的內角和為.2.公式的證明：證法1：在邊形內任取一點，并把這點與各個頂點連接起來，共構成個三角形，這個三角形的內角和為，再減去一個周角，即得到邊形的內角和為.證法2：從邊形一個頂點作對角線，可以作條對角線，并且邊形被分成個三角形，這個三角形內角和恰好是邊形

5、的內角和，等于.證法3：在邊形的一邊上取一點與各個頂點相連，得個三角形，邊形內角和等于這個三角形的內角和減去所取的一點處的一個平角的度數，即.要點詮釋：(1)注意：以上各推導方法體現(xiàn)出將多邊形問題轉化為三角形問題來解決的基礎思想。(2)內角和定理的應用： 已知多邊形的邊數，求其內角和； 已知多邊形內角和，求其邊數。 知識點五：多邊形的外角和公式1.公式：多邊形的外角和等于360°. 2.多邊形外角和公式的證明：多邊形的每個內角和與它相鄰的外角都是鄰補角，所以邊形的內角和加外角和為，外角和等于.注意：n邊形的外角和恒等于360°，它與邊數的多少無關。要點詮釋：(1)外角和公式

6、的應用： 已知外角度數，求正多邊形邊數； 已知正多邊形邊數，求外角度數. (2)多邊形的邊數與內角和、外角和的關系： n邊形的內角和等于(n2)·180°(n3，n是正整數)，可見多邊形內角和與邊數n有關，每增加 1條邊，內角和增加180°。 多邊形的外角和等于360°，與邊數的多少無關。知識點六：鑲嵌的概念和特征1、定義：用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，通常把這類問題叫做用多邊形覆蓋平面(或平面鑲嵌)。這里的多邊形可以形狀相同，也可以形狀不相同。2、實現(xiàn)鑲嵌的條件：拼接在同一點的各個角的和恰好等于360°；相鄰的多邊形有公共邊

7、。3、常見的一些正多邊形的鑲嵌問題：(1)用正多邊形實現(xiàn)鑲嵌的條件：邊長相等；頂點公用；在一個頂點處各正多邊形的內角之和為360°。(2)只用一種正多邊形鑲嵌地面對于給定的某種正多邊形，怎樣判斷它能否拼成一個平面圖形，且不留一點空隙.解決問題的關鍵在于正多邊形的內角特點。當圍繞一點拼在一起的幾個正多邊形的內角加在一起恰好組成一個周角360°時，就能鋪成一個平面圖形。事實上，正n邊形的每一個內角為，要求k個正n邊形各有一個內角拼于一點，恰好覆蓋地面，這樣360°，由此導出k2，而k是正整數，所以n只能取3,4，6。因而，用相同的正多邊形地磚鋪地面，只有正三角形、正方

8、形、正六邊形的地磚可以用。注意：任意四邊形的內角和都等于360°。所以用一批形狀、大小完全相同但不規(guī)則的四邊形地磚也可以鋪成無空隙的地板，用任意相同的三角形也可以鋪滿地面。(3)用兩種或兩種以上的正多邊形鑲嵌地面用兩種或兩種以上邊長相等的正多邊形組合成平面圖形，關鍵是相關正多邊形“交接處各角之和能否拼成一個周角”的問題。例如，用正三角形與正方形、正三角形與正六邊形、正三角形與正十二邊形、正四邊形與正八邊形都可以作平面鑲嵌，見下圖： 又如，用一個正三角形、兩個正方形、一個正六邊形結合在一起恰好能夠鋪滿地面，因為它們的交接處各角之和恰好為一個周角360°。規(guī)律方法指導1內角和與

9、邊數成正比：邊數增加，內角和增加；邊數減少，內角和減少. 每增加一條邊，內角的和 就增加180°（反過來也成立），且多邊形的內角和必須是180°的整數倍.2多邊形外角和恒等于360°，與邊數的多少無關.3多邊形最多有三個內角為銳角，最少沒有銳角（如矩形）；多邊形的外角中最多有三個鈍角，最少 沒有鈍角.4在運用多邊形的內角和公式與外角的性質求值時，常與方程思想相結合，運用方程思想是解決本節(jié) 問題的常用方法.5在解決多邊形的內角和問題時，通常轉化為與三角形相關的角來解決. 三角形是一種基本圖形，是 研究復雜圖形的基礎，同時注意轉化思想在數學中的應用.經典例題透析類型一

10、：多邊形內角和及外角和定理應用1一個多邊形的內角和等于它的外角和的5倍，它是幾邊形.總結升華：本題是多邊形的內角和定理和外角和定理的綜合運用. 只要設出邊數，根據條件列出關于的方程，求出的值即可，這是一種常用的解題思路.舉一反三：【變式1】若一個多邊形的內角和與外角和的總度數為1800°，求這個多邊形的邊數.【變式2】一個多邊形除了一個內角外，其余各內角和為2750°，求這個多邊形的內角和是多少. 【答案】設這個多邊形的邊數為，這個內角為，.【變式3】個多邊形的內角和與某一個外角的度數總和為1350°，求這個多邊形的邊數。類型二：多邊形對角線公式的運用2某校七年級

11、六班舉行籃球比賽，比賽采用單循環(huán)積分制（即每兩個班都進行一次比賽）.你能算出一共需要進行多少場比賽嗎.思路點撥：本題體現(xiàn)與體育學科的綜合，解題方法參照多邊形對角線條數的求法，即多邊形的對角線條數加上邊數. 如圖： 總結升華：對于其他學科問題要善于把它與數學知識聯(lián)系在一起，便于解決.舉一反三：【變式1】一個多邊形共有20條對角線，則多邊形的邊數是（ ）.A6 B7 C8 D9【變式2】一個十二邊形有幾條對角線?？偨Y升華：對于一個n邊形的對角線的條數，我們可以總結出規(guī)律條，牢記這個公式，以后只要用相應的n的值代入即可求出對角線的條數，要記住這個公式只有在理解的基礎之上才能記得牢。類型三：可轉化為多

12、邊形內角和問題3如圖，求A+B+C+D+E+F+G的度數. 思路點撥: 設法將這幾個角轉移到一個多邊形中，然后利用多邊形內角和公式求解. 總結升華：本題通過作輔助線，把A與G的和轉化為1與2的和，從而把問題變?yōu)榍笪暹呅蔚膬冉呛瓦\算，“轉化思想”是解決本題的關鍵.舉一反三：【變式1】如圖所示，1+2+3+4+5+6=_. 【變式2】如圖所示，求ABCDEF的度數。類型四：實際應用題4如圖，一輛小汽車從P市出發(fā)，先到B市，再到C市，再到A市，最后返回P市，這輛小汽車共轉了多少度角.思路點撥：根據多邊形的外角和定理解決.解析：如圖，總結升華：旋轉的角度是指原來前進的方向與轉彎后的方向的夾角.小汽車沿

13、任意多邊形行駛一周回到原處，轉過的角度都是360舉一反三：【變式1】如圖所示，小亮從A點出發(fā)前進10m，向右轉15°，再前進10m，又向右轉15°，這樣一直走下去，當他第一次回到出發(fā)點時，一共走了_m.【變式2】小華從點A出發(fā)向前走10米，向右轉36°，然后繼續(xù)向前走10米，再向右轉36°，他以同樣的方法繼續(xù)走下去，他能回到點A嗎.若能，當他走回點A時共走了多少米.若不能，寫出理由?！咀兪?】如圖所示是某廠生產的一塊模板，已知該模板的邊ABCF，CDAE. 按規(guī)定AB、CD的延長線相交成80°角，因交點不在模板上，不便測量. 這時師傅告訴徒弟只

14、需測一個角，便知道AB、CD的延長線的夾角是否合乎規(guī)定，你知道需測哪一個角嗎.說明理由. 思路點撥：本題中將AB、CD延長后會得到一個五邊形，根據五邊形內角和為540°，又由ABCF，CDAE，可知BAE+AEF+EFC=360°，從540°中減去80°再減去360°，剩下C的度數為100°，所以只需測C的度數即可，同理還可直接測A的度數.總結升華：本題實際上是多邊形內角和的逆運算，關鍵在于正確添加輔助線. 類型五：鑲嵌問題5分別畫出用相同邊長的下列正多邊形組合鋪滿地面的設計圖。(1)正方形和正八邊形；(2)正三角形和正十二邊形；(3

15、)正三角形、正方形和正六邊形。思路點撥：只要在拼接處各多邊形的內角的和能構成一個周角，那么這些多邊形就能作平面鑲嵌。解析：正三角形、正方形、正六邊形、正八邊形、正十二邊形的每一個內角分別是60°、90°、120°、135°、150°。(1)因為902×135360，所以一個頂點處有1個正方形、2個正八邊形，如圖(1)所示。(2)因為602×150360，所以一個頂點處有1個正三角形、2個正十二邊形，如圖(2)所示。(3)因為602×90120360，所以一個頂點處有1個正三角形、1個正六邊形和2個正方形，如圖(3)

16、 所示。總結升華：用兩種以上邊長相等的正多邊形組合成平面圖形，實質上是相關正多邊形“交接處各角之和能否拼成一個周角”的問題。舉一反三：【變式1】分別用形狀、大小完全相同的三角形木板；四邊形木板；正五邊形木板；正六邊形木板作平面鑲嵌，其中不能鑲嵌成地板的是( )A、B、C、D、解析：用同一種多邊形木板鋪地面，只有正三角形、四邊形、正六邊形的木板可以用，不能用正五邊形木板，故【變式2】用三塊正多邊形的木板鋪地，拼在一起并相交于一點的各邊完全吻合，其中兩塊木板的邊數都是8，則第三塊木板的邊數應是( )A、4B、5C、6D、8【答案】A（提示：先算出正八邊形一個內角的度數，再乘以2，然后用360

17、76;減去剛才得到的積，便得到第三塊木板一個內角的度數，進而得到第三塊木板的邊數）1多邊形的每個外角與它相鄰內角的關系是（ ） A互為余角 B互為鄰補角 C兩個角相等 D外角大于內角2若n邊形每個內角都等于150°，那么這個n邊形是（ ） A九邊形 B十邊形 C十一邊形 D十二邊形 3一個多邊形的內角和為720°，那么這個多邊形的對角線條數為（ ）A6條 B7條 C8條 D9條 4隨著多邊形的邊數n的增加，它的外角和（ ）A增加 B減小 C不變 D不定 5若多邊形的外角和等于內角和的和，它的邊數是（ ） A3 B4 C5 D7 6一個多邊形的內角和是1800°，那

18、么這個多邊形是（ ）A五邊形 B八邊形 C十邊形 D十二邊形 7一個多邊形每個內角為108°，則這個多邊形（ ）A四邊形 B，五邊形 C六邊形 D七邊形 8，一個多邊形每個外角都是60°，這個多邊形的外角和為（ ） A180° B360° C720° D1080°9n邊形的n個內角中銳角最多有（ ）個A1個 B2個 C3個 D4個 10多邊形的內角和為它的外角和的4倍，這個多邊形是（ ）A八邊形 B九邊形 C十邊形 D，十一邊形5多邊形的一個內角的外角與其余內角的和為600°，求這個多邊形的邊數6n邊形的內角和與外角和互比為

19、13：2，求n7五邊形ABCDE的各內角都相等，且AEDE，ADCB嗎.8將五邊形砍去一個角，得到的是怎樣的圖形. 9四邊形ABCD中，A+B=210°，C4D求：C或D的度數10在四邊形ABCD中，ABACAD，DAC2BAC求證：DBC2BDC命題、定理、證明一、本節(jié)學習指導這一節(jié)重在理解命題的概念，命題是能判斷一件事情的正確與錯誤的句子，不能是問句，也不能是省略句，這個句子必須是完整的，并且能判斷正確與否才叫做命題。2、數學命題通常由題設、結論兩部分組成。題設是已知事項，結論是由已知事項推出的事項。因此命題可以寫成“如果·····

20、;·，那么······”的形式。3、人們從長期實踐中總結出來的真命題叫做公理，它們可以作為判斷其他命題真假的原始數據。例：下列不是命題的是：（）2008年奧運會的舉辦城是北京；如果一個三角形三邊a，b，c滿足a2=b2+c2，則這個三角形是直角三角形；同角的補角相等；過點P作直線l的垂線要了解一批新型導彈的性能，采用抽樣調查的方式明天可能會下雪，不是，可能代表不確定性，所以不能判斷真假；4、有些命題是從公理或其他真命題出發(fā)，用推理的方法證明為正確的，并進一步作為判斷其他命題真假的依據，這樣的真命題叫做定理。二、知識要點1、

21、命題、定理、證明 命題的概念：判斷一件事情的語句，叫做命題。理解：命題的定義包括兩層含義：（1）命題必須是個完整的句子；（2）這個句子必須對某件事情做出判斷。 命題的分類（按正確、錯誤與否分） 真命題（正確的命題）命題 假命題（錯誤的命題）所謂正確的命題就是：如果題設成立，那么結論一定成立的命題。所謂錯誤的命題就是：如果題設成立，不能證明結論總是成立的命題。 公理：有些命題的正確性是人們在長期實踐過程中總結出來的，并把他作為判斷其他命題真假的原始依據，這樣的真命題叫公理。 定理：從公理或其他真命題出發(fā)，用邏輯推理的方法證明它們是正確的，并可以作為判斷命題 其他真假的依據，這樣的命題叫定理。 證

22、明：判斷一個命題的正確性的推理過程叫做證明。 證明的一般步驟 根據題意，畫出圖形。 根據題設、結論、結合圖形，寫出已知、求證。 經過分析，找出由已知推出求證的途徑，寫出證明過2、 常用數學口訣. 平方差公式:口訣：平方差公式有兩項，符號相反切記牢，首加尾乘首減尾，莫與完全公式相混淆。完全平方差公式:完全平方和公式：口訣：完全平方有三項，首尾符號是同鄉(xiāng)，首平方、尾平方，首尾二倍放中央；首±尾括號帶平方，尾項符號隨中央。證明知識點一 證明的含義從一個命題的條件出發(fā)，通過講道理（推理），得出它的結論成立，從而判定該命題為真，這個過程叫做證明。注意：（1）證明一個命題時，首先要分清命題條件和

23、結論，其次要從已知條件出發(fā)，運用定義、公理、定理進行推理，得出結論。 （2）證明的過程必須做到步步有據。知識點二 命題的證明證明幾何命題的表述格式：（1）按題意畫出圖形；（2）分清命題的條件和結論，結合圖形，在“已知”中寫條件，在“求證”中寫出結論；（3）在“證明”中寫出推理過程。知識點三 折疊問題1、 同旁，與其重疊或不重疊；顯然，“折”是過程，“疊”是結果。折疊，就是將圖形的一部分沿著一條直線翻折180°，使它與另一部分在這條直線2、 折疊的性質：折疊不改變圖形的大小和形狀，即折疊部分在折疊前后是全等的圖形，滿足公理“軸反射”知識點四 反證法從命題結論的反面出發(fā)，引出矛盾，從而證

24、明原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法。反證法的關鍵在于反設所證命題的結論。適用范圍：證明一些命題，且正面證明有困難，情況多或復雜，而否定則比較簡單。反證法證題步驟：（1）假設命題的結論不成立，即假設命題結論的反面成立；（2）從假設出發(fā)，經過推理，得出矛盾；（3）由矛盾判斷假設不正確，從而肯定命題的結論成立。例 在 ABC中，A 、B 、C是它的三個內角。求證：在A 、B、 C中不可能有兩個直角。逆命題和逆定理1、在兩個命題中，如果第一個命題的題設是第二個命題的結論，而第一個命題的結論又是第二個命題的題設，那么這兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個命題叫做原命題，那么另一個命題叫做它的逆命題。

25、2、如果一個定理的逆命題經過證明也是定理，那么這兩個定理叫做互逆定理，其中一個叫做另一個的逆定理。3、每個命題都有逆命題，但每個定理不一定都有逆定理。線段的垂直平分線1、定理：線段垂直平分線上任意一點到這條線段兩個端點的距離相等。2、逆定理：和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。3、線段垂直平分線可以看作和一條線段兩個端點距離相等的點的集合。角的平分線1、角的平分線的概念：從角的頂點出發(fā)，等分這個角的射線，叫做這個角的平分線。2、角是軸對稱圖形，它的對稱軸是這個角的平分線所在的直線。3、角的平分線性質：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。4、角的平分線性質的逆定理：

26、在一個角的內部（包括頂點）且到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上。5、角的平分線可以看作這個角的內部（包括頂點）到角的兩邊距離相等的點的集合。直角三角形全等的判定1、直角三角形是特殊的三角形，對于一般三角形全等的判定方法，直角三角形都適用。2、直角三角形全等的判定定理定理：如果兩個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應相等，那么這兩個直角三角形全等（簡記為H.L.）。直角三角形的性質直角三角形的性質，可以從它的角、邊以及特殊線段之間構成的各種關系的特征去理解。1、定理1：直角三角形的兩個銳角互余。2、定理2：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半。推論1：在直角三角形中，如果一個銳角等于，那

27、么它所對的直角邊等于斜邊的一半。推論2：在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的角等于。勾股定理1、在直角三角形中，斜邊大于直角邊。2、勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和，等于斜邊的平方。3、勾股定理的逆定理：如果三角形的一條邊的平方等于其他兩條邊的平方和，那么這個三角形是直角三角形。4、勾股定理及其逆定理在實際生活中有著廣泛的應用。兩點的距離公式在直角坐標平面內：1、軸或平行于軸的直線上的兩點，間的距離。2、軸或平行于軸的直線上的兩點，間的距離。3、在軸上一點與在軸上一點之間的距離4、任意兩點，之間的距離公式是練習1命題“矩形的對角線相等”的逆命題是_2命題“如

28、果A=65°，B=25°，那么A與B互余”的逆命題是_，它的逆命題是_(填“真”或“假”)命題3命題“全等三角形的面積相等”的逆命題的條件是_，結論是_寫出下列命題的逆命題，并判斷原命題、逆命題的真假。1、全等三角形的對應角相等；2、自然數必為有理數；3、若|a|b|，則ab；4、若ab，則；5、若xa，則；解：1、逆命題為：對應角相等的三角形是全等三角形。原命題為真命題，逆命題為假命題；2、逆命題為：有理數必為自然數。原命題為真命題，逆命題為假命題；3、逆命題為：若ab，則|a|b|。原命題為假命題，逆命題為真命題；4、逆命題為：若，則ab。原命題為為真命題，逆命題為真命

29、題；5、逆命題為：若，則xa。原命題為真命題，逆命題為假命題。練習寫出下列命題的逆命題 (1)如果a+b0，那么a0，b0 (2)如果a0，那么a20(3)等角的補角相等(4)對頂角相等例： “兩直線平行，內錯角相等”的題設是_，結論是_它是命題。練習1命題“平行四邊形的對角線互相平分”的條件是_，結論是_二、互逆命題1概念：互逆定理：如果一個定理的逆命題也是定理，那么這兩個定理叫做互逆定理，其中一個定理叫做另一個定理的逆定理。2說明： （1）任何一個命題都有逆命題，它們互為逆命題，“互逆”是指兩個命題之間的關系； （2）把一個命題的題設和結論交換，就得到它的逆命題； （3）原命題成立，它的逆

30、命題不一定成立，反之亦然 例1 指出下列命題的題設和結論，并寫出它們的逆命題 （1）兩直線平行，同旁內角互補； （2）直角三角形的兩個銳角互余；（3）對頂角相等 （1）題設是“兩條平行線被第三條直線所截”，結論是“同旁內角互補”；逆命題是“如果兩條直線被第三條直線所截，同旁內角互補，那么這兩條直線平行” （2）題設是“如果一個三角形是直角三角形”，結論是“那么這個三角形的兩個銳角互余”；逆命題是“如果一個三角形中兩個銳角互余，那么這個三角形是直角三角形” （3）題設是“如果兩個角是對頂角”，結論是“那么這兩個角相等”；逆命題是“如果有兩個角相等，那么它們是對頂角” 名師點金：當一個命題的逆命題不容易寫時，可以先把這個命題寫成“如果，那么”的形式，然后再把題設和結論倒過來即可基礎鞏固題1下列語言是命題的是 ( )A畫兩條相等的線段B等于同一個角的兩個角相等嗎C延長線段AD到C，使OC=OAD兩直線平行，內錯角相等2下列命題中真命題的個數是 ( ) 已知直角三角