立體幾何求角

1、.立體幾何求角一解答題（共8 小題）1如圖，在正四棱錐P ABCD中， PA=AB=a， E 是棱 PC的中點（ 1）求證： PC BD；（ 2）求直線 BE與 PA所成角的余弦值2如圖，已知 ABC和 BCD所在平面互相垂直，且 BAC= BCD=90°， AB=AC， CB=CD，點E， F 分別在線段 BD， CD上，沿直線 EF將 EFD向上翻折使得 D與 A 重合（）求證： AB CF；（）求直線AE 與平面 ABC所成角3如圖，在直三棱柱ABC A1B1C1 中， AB=AC=5， BB1=BC=6， D， E 分別是 AA1 和 B1C 的中點（ 1）求證： DE BC

2、；（ 2）求三棱錐 E BCD的體積.4如圖： ABCD是平行四邊形，AP平面 ABCD， BE AP，AB=AP=2，BE=BC=1， CBA=60°（ 1）求證： EC平面 PAD；（ 2）求證：平面 PAC平面 EBC；（ 3）求直線 PC與平面 PABE所成角的正弦值5如圖所示，四棱錐 P ABCD中，底面 ABCD是矩形， PA平面 ABCD， M、 N 分別是 AB、 PC 的中點， PA=AD=1， AB=2（ 1）求證： MN平面 PAD；（ 2）求證：平面 PMC平面 PCD；（ 3）求點 D 到平面 PMC的距離6如圖， 在四棱錐 P ABCD中， AD平面 PD

3、C，ADBC，PDPB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2（）求異面直線 AP與 BC所成角的余弦值；（）求證： PD平面 PBC；（）求直線AB 與平面 PBC所成角的正弦值.7如圖，已知三棱錐P ABC， PA平面ABC， ACB=90°， BAC=60°， PA=AC， M 為 PB的中點（）求證： PC BC（）求二面角MAC B 的大小8如圖，四棱錐 P ABCD中， PD底面 ABCD，且底面 ABCD為平行四邊形，若 DAB=60°，AB=2， AD=1（ 1）求證： PA BD；（ 2）若 PCD=45°，求點 D 到平面 PBC的距

4、離 h.立體幾何求角一解答題（共8 小題）1如圖，在正四棱錐P ABCD中， PA=AB=a， E 是棱 PC的中點（ 1）求證： PC BD；（ 2）求直線 BE與 PA所成角的余弦值【解答】 證明：（ 1）四邊形ABCD為正方形，且PA=AB=a， PBC， PDC都是等邊三角形，（2 分）E 是棱 PC的中點，BE PC，DE PC，又 BE DE=E，PC平面 BDE（ 5 分）又 BD? 平面 BDE，PC BD（ 6 分）解：（ 2）連接 AC，交 BD于點 O，連 OE四邊形 ABCD為正方形， O是 AC的中點（ 8 分）又 E 是 PC的中點OE為 ACP的中位線， APOE

5、 BEO即為 BE 與 PA所成的角（ 10 分）在 Rt BOE中， BE=，EO=，（ 12 分）cos BEO=直線 BE與 PA所成角的余弦值為（ 14 分）2如圖，已知 ABC和 BCD所在平面互相垂直，且 BAC= BCD=90°， AB=AC， CB=CD，點E， F 分別在線段 BD， CD上，沿直線 EF將 EFD向上翻折使得 D與 A 重合（）求證： AB CF；（）求直線AE 與平面 ABC所成角.【解答】 解：（ 1）面 ABC面 BCD，面 ABC面 BCD=BC， BCD=90°? CF BC，? FC面 ABC，? AB CF（ 5 分）（ 2

6、 ） 設(shè)， 設(shè)BE=t ， 則ED=EA=2 t，取 BC的中點 H，連接 HE， AH，又（7 分）22222，又 AH面 BCD， AE =AH+EH，（ 2 t ） =+t t+ ，點 E 是 BD的中點，（ 10 分）HE BC， HE面 ABC， BEA為所求角的線面角（12 分）（ 14 分）所以直線 AE與平面 ABC所成角為（ 15 分）3如圖，在直三棱柱ABC A1B1C1 中， AB=AC=5， BB1=BC=6， D， E 分別是 AA1 和 B1C 的中點（ 1）求證： DE BC；（ 2）求三棱錐 E BCD的體積.【解答】 證明：（ 1）取 BC中點 F，連結(jié) EF

7、，AF，則 EF BCB1 的中位線， EF BB1，EF=BB1，AD BB1， AD=BB1， EF AD，EF=AD，四邊形ADEF是平行四邊形，DE AF， AB=AC，F(xiàn) 是 BC的中點， AF BC， DE BC（2） BB1平面 ABC，AF? 平面 ABC， BB1 AF，又 AF BC， BC? 平面 BCC1B1， BB1? 平面 BCC1B1， BC BB1=B，AF平面 BCC1B1， DE平面 BCC1B1，AC=5， BC=6， CF=3， AF=4， DE=AF=4BC=BB1=6， SBCE=9三棱錐E BCD的體積 V=S BCE?DE=124如圖： ABCD

8、是平行四邊形，AP平面 ABCD， BE AP，AB=AP=2，BE=BC=1， CBA=60°（ 1）求證： EC平面 PAD；（ 2）求證：平面 PAC平面 EBC；（ 3）求直線 PC與平面 PABE所成角的正弦值.【解答】（ 1）證明：因為BEPA，BE?平面 PAD， PA? 平面 PAD，所以 BE平面 PAD，同理 BC平面 PAD，所以平面PAD平面 EBC，因為 EC? 平面 EBC，所以 EC平面 PAD（ 4 分）（ 2）證明：因為 AB=2， BC=1， CBA=60°，由余弦定理得， AC= ，所以由勾股定理逆定理 BCA=90°，所以

9、AC BC，又因為 BE平面 ABCD，所以 BEAC，則有 AC平面 EBC，AC? 平面 PAC所以平面BEC平面 PAC（ 8 分）（ 3）解：作 CH AB于 H，連結(jié) PH，又因為 CH PA，所以 CH平面 PABE，所以 HPC即為線面角，（ 13 分）5如圖所示，四棱錐 P ABCD中，底面 ABCD是矩形， PA平面 ABCD， M、 N 分別是 AB、 PC 的中點， PA=AD=1， AB=2（ 1）求證： MN平面 PAD；（ 2）求證：平面 PMC平面 PCD；（ 3）求點 D 到平面 PMC的距離【解答】（ 1）證明：設(shè)PD的中點為 E，連接 AE、 NE，由 N

10、為 PC的中點知EN平行且等于DC，又 ABCD是矩形， DC平行且等于 AB， EN平行且等于 AB 又 M是 AB的中點， EN平行且等于 AM，AMNE是平行四邊形MN AE，而 AE? 平面 PAD，NM?平面 PADMN平面 PAD（ 2）證明： PA=AD， AEPD，又 PA平面 ABCD， CD? 平面 ABCD，CD PA，而 CD AD， CD平面 PADCD AE， PD CD=D， AE平面 PCD，MN AE， MN平面 PCD，.又 MN? 平面 PMC，平面 PMC平面 PCD（3）解：設(shè)點D 到平面 PMC的距離為 h，則，點 D 到平面 PMC的距離 h=6如

11、圖， 在四棱錐 P ABCD中， AD平面 PDC，ADBC，PDPB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2（）求異面直線 AP與 BC所成角的余弦值；（）求證： PD平面 PBC；（）求直線AB 與平面 PBC所成角的正弦值【解答】 解：（）如圖，由已知ADBC，故 DAP或其補角即為異面直線AP 與 BC所成的角因為 AD平面 PDC，所以 ADPD在 Rt PDA中，由已知，得，故所以，異面直線AP與 BC所成角的余弦值為證明：（）因為AD平面 PDC，直線 PD? 平面 PDC，所以 AD PD又因為 BC AD，所以 PD BC，又 PD PB，所以 PD平面 PBC解：（）過點D

12、 作 AB 的平行線交BC于點 F，連結(jié) PF，則 DF與平面 PBC所成的角等于 AB 與平面 PBC所成的角因為 PD平面 PBC，故 PF 為 DF在平面 PBC上的射影，所以 DFP為直線 DF和平面 PBC所成的角由于 AD BC， DF AB，故 BF=AD=1，.由已知，得CF=BCBF=2又 AD DC，故 BC DC，在 Rt DCF中，可得所以，直線AB 與平面 PBC所成角的正弦值為7如圖，已知三棱錐P ABC， PA平面ABC， ACB=90°， BAC=60°， PA=AC， M 為 PB的中點（）求證： PC BC（）求二面角MAC B 的大小【

13、解答】 解：（）證明：由 PA平面 ABC， PA BC，又因為 ACB=90°，即 BC ACBC面 PAC， PC BC（）取 AB 中點 O，連結(jié) MO、過 O作 HO AC于 H，連結(jié) MH，因為 M是 PB的中點，所以 MO PA，又因為 PA面 ABC， MO面 ABC MHO為二面角MAC B 的平面角設(shè) AC=2，則 BC=2 ， MO=1， OH= ，在 Rt MHO中， tan MHO=二面角 MAC B 的大小為3008如圖，四棱錐P ABCD中， PD底面 ABCD，且底面 ABCD為平行四邊形，若DAB=60°，.AB=2， AD=1（ 1）求證： PA BD；（ 2）若 PCD=45°，求點 D 到平面 PBC的距離 h【解答】（ 1）證明： AD=1，AB=2， DAB=60°，222BD=AB+AD 2AB?AD?cos60 ° =3，222A