二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像及性質(zhì)

1、二次函數(shù)的圖象【教學目標】1、會用描點法畫出二次函數(shù) 、 與的圖象；2、能結(jié)合圖象確定拋物線 、 、的對稱軸與頂點坐標；3、通過比較拋物線 與 同 的相互關系，培養(yǎng)觀察、分析、總結(jié)的能力;【教學重點】畫出形如 、與形如 的二次函數(shù)的圖象，能指出上述函數(shù)圖象的開口方向，對稱軸，頂點坐標.【教學難點】理解函數(shù)、 、 與 及其圖象間的相互關系【知識點梳理】知識點一、二次函數(shù)的定義： 形如y=ax2+bx+c(a0，a，b，c為常數(shù))的函數(shù)稱為二次函數(shù)(quadratic funcion) .其中a為二次項系數(shù)，b為一次項系數(shù)，c為常數(shù)項.知識點二、二次函數(shù)的圖象及畫法二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a

2、0)的圖象是對稱軸平行于y軸(或是y軸本身)的拋物線.幾個不同的二次函數(shù).如果二次項系數(shù)a相同，那么其圖象的開口方向、形狀完全相同，只是頂點的位置不同.1. 用描點法畫圖象首先確定二次函數(shù)的開口方向、對稱軸、頂點坐標，然后在對稱軸兩側(cè)，以頂點為中心，左右對稱地畫圖.畫結(jié)構(gòu)圖時應抓住以下幾點：對稱軸、頂點、與x軸的交點、與y軸的交點.2. 用平移法畫圖象由于a相同的拋物線y=ax2+bx+c的開口及形狀完全相同，故可將拋物線y=ax2的圖象平移得到a值相同的其它形式的二次函數(shù)的圖象.步驟為：利用配方法或公式法將二次函數(shù)化為y=a(x-h)2+k的形式，確定其頂點(h，k)，然后做出二次函數(shù)y=a

3、x2的圖象.將拋物線y=ax2平移，使其頂點平移到(h，k).知識點三、二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)的圖象與性質(zhì)1.函數(shù)y=ax2(a0)的圖象與性質(zhì)： 函數(shù)a的符號圖象開口方向頂點坐標對稱軸增減性最大(小)值y=ax2a>0向上(0，0)y軸x>0時，y隨x增大而增大x<0時，y隨x增大而減小當x=0時，y最小=0y=ax2a<0向下(0，0)y軸x>0時，y隨x增大而減小x<0時，y隨x增大而增大當x=0時，y最大=02.函數(shù)y=ax2+c(a0)的圖象及其性質(zhì): (1)當a>0時，開口方向、對稱軸、增減性與y=ax2相同，不同的是頂點坐標

4、為(0，c)，當x=0時，y最小=c(2)當a<0時，開口方向、對稱軸、增減性與y=ax2相同，不同的是頂點坐標為(0，c)，當x=0時，y最大=c3.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)的圖象與性質(zhì)： 二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)的圖象是一條拋物線.它的頂點坐標是，對稱軸是直線函數(shù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a，b，c是常數(shù)，a0)圖象a>0a<0性質(zhì)(1)當a>0時，拋物線開口向上，并向上無限延伸，頂點是它的最低點.(2)在對稱軸直線的左側(cè)，拋物線自左向右下降，在對稱軸的右側(cè)，拋物線自左向右上升.(1)當a<0時，拋物線開口向下，并向下無限延伸，頂點

5、是它的最高點.(2)在對稱軸直線的左側(cè)，拋物線自左向右上升；在對稱軸右側(cè)，拋物線自左向右下降.知識點四、拋物線y=ax2+bx+c中a、b、c的作用a，b，c的代數(shù)式作用字母的符號圖象的特征a1. 決定拋物線的開口方向；2. 決定增減性a>0開口向上a<0開口向下c決定拋物線與y軸交點的位置，交點坐標為(0，c)c>0交點在x軸上方c=0拋物線過原點c<0交點在x軸下方?jīng)Q定對稱軸的位置，對稱軸是直線ab>0對稱軸在y軸左側(cè)ab<0對稱軸在y軸右側(cè)b2-4ac決定拋物線與x軸公共點的個數(shù)b2-4ac>0拋物線與x軸有兩個交點b2-4ac=0頂點在x軸上b

6、2-4ac<0拋物線與x軸無公共點【典型例題】題型一：的圖象和性質(zhì)例1、一條拋物線的開口方向、對稱軸與相同，頂點縱坐標是-2，且拋物線經(jīng)過點（1，1），求這條拋物線的函數(shù)關系式例2 、 在同一平面直角坐標系畫出函數(shù) 、 、 的圖象.由圖象思考下列問題：（1）拋物線 的開口方向，對稱軸與頂點坐標是什么？（2）拋物線 的開口方向，對稱軸與頂點坐標是什么？（3）拋物線 ， 與 的開口方向，對稱軸，頂點坐標有何異同？（4）拋物線 與 同有什么關系？例3、已知二次函數(shù)，當k為何值時，此二次函數(shù)以y軸為對稱軸？寫出其函數(shù)關系式變式訓練：1、已知函數(shù)， ， （1）分別畫出它們的圖象； （2）

7、說出各個圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標；（3）試說出函數(shù)的圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標2、 不畫圖象，說出函數(shù)的開口方向、對稱軸和頂點坐標，并說明它是由函數(shù)通過怎樣的平移得到的3、 若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（-2，10），求a的值這個函數(shù)有最大還是最小值？是多少？題型二：的圖象和性質(zhì)例1、不畫出圖象，你能說明拋物線與之間的關系嗎?例2、已知函數(shù)， （1）在同一直角坐標系中畫出它們的圖象；（2）分別說出各個函數(shù)圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標；（3）分別討論各個函數(shù)的性質(zhì)例3、根據(jù)上題的結(jié)果，試說明：分別通過怎樣的平移，可以由拋物線得到拋物線和？變式訓練：1、函數(shù)，當x 時，函數(shù)值y隨x的增

8、大而減小當x 時，函數(shù)取得最 值，最 值y= 2、不畫出圖象，請你說明拋物線與之間的關系3、將拋物線向左平移后所得新拋物線的頂點橫坐標為 -2，且新拋物線經(jīng)過點（1，3），求 的值題型三：+k的圖象和性質(zhì)例1、把拋物線向上平移2個單位，再向左平移4個單位，得到拋物線，求b、c的值例2、把拋物線向左平移3個單位，再向下平移4個單位，所得的拋物線的函數(shù)關系式為 例3、在同一直角坐標系中，畫出下列函數(shù)的圖象，并指出它們的開口方向、對稱軸和頂點坐標變式訓練：1、拋物線可由拋物線向 平移 個單位，再向 平移 個單位而得到2、將拋物線先向下平移1個單位，再向左平移4個單位，求平移后的拋物線的函數(shù)關系式 3

9、、將拋物線如何平移，可得到拋物線？4、拋物線是由拋物線向上平移3個單位，再向左平移2個單位得到的，求b、c的值題型四、的圖象和性質(zhì)例1、通過配方，確定拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標，再描點畫圖例2、已知拋物線的頂點在坐標軸上，求的值例3、已知拋物線，求出它的對稱軸和頂點坐標，并畫出函數(shù)的圖象例4、利用配方法，把下列函數(shù)寫成+k的形式，并寫出它們的圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標（1） （2）（3） （4）變式訓練：1、（1）二次函數(shù)的對稱軸是 （2）二次函數(shù)的圖象的頂點是 ，當x 時，y隨x的增大而減?。?）拋物線的頂點橫坐標是-2，則= 2、拋物線的頂點是，則、c的值是多少？3、已知是二

10、次函數(shù)，且當時，y隨x的增大而增大（1）求k的值；（2）求開口方向、頂點坐標和對稱軸 4、當時，求拋物線的頂點所在的象限5、已知拋物線的頂點A在直線上，求拋物線的頂點坐標題型五、的最大或最小值例1、求下列函數(shù)的最大值或最小值：（1）； （2）例2、某產(chǎn)品每件成本是120元，試銷階段每件產(chǎn)品的銷售價x（元）與產(chǎn)品的日銷售量y（件）之間關系如下表：x（元）130150165y（件）705035若日銷售量y是銷售價x的一次函數(shù)，要獲得最大銷售利潤，每件產(chǎn)品的銷售價定為多少元？此時每日銷售利潤是多少？例3、某商場銷售一批襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40件，為了擴大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，

11、商場決定采取適當?shù)慕祪r措施，經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價1元，商場平均每天可多售出2件（1）若商場平均每天要盈利1200元，每件襯衫應降價多少元？（2）每件襯衫降價多少元時，商場平均每天盈利最多？變式訓練：1、對于二次函數(shù)，當x= 時，y有最小值2、已知二次函數(shù)有最小值 1，則a與b之間的大小關系是（ ）Aab Ba=b Cab D不能確定3、求下列函數(shù)的最大值或最小值:（1）； （2）4、已知二次函數(shù)的最小值為1，求m的值，5、心理學家發(fā)現(xiàn)，學生對概念的接受能力y與提出概念所用的時間x（單位：分）之間滿足函數(shù)關系：y值越大，表示接受能力越強（1）x在什么范圍內(nèi)，學生的接受能力逐步增強

12、？x在什么范圍內(nèi)，學生的接受能力逐步降低？（2）第10分時，學生的接受能力是多少？（3）第幾分時，學生的接受能力最強？6、如圖，有長為24m的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長度a為10m），圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃設花圃的寬AB為x m，面積為S m2（1）求S與x的函數(shù)關系式；（2）如果要圍成面積為45 m2的花圃，AB的長是多少米？（3）能圍成面積比45 m2更大的花圃嗎？如果能，請求出最大面積，并說明圍法；如果不能，請說明理由題型六、利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的函數(shù)關系式例1、某涵洞是拋物線形，它的截面如圖2629所示，現(xiàn)測得水面寬16m，涵洞頂點O到水面的距離為24m，在圖中直角

13、坐標系內(nèi)，涵洞所在的拋物線的函數(shù)關系式是什么？例2、根據(jù)下列條件，分別求出對應的二次函數(shù)的關系式（1）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（0，-1）、B（1，0）、C（-1，2）；（2）已知拋物線的頂點為（1，-3），且與y軸交于點（0，1）；（3）已知拋物線與x軸交于點M（-3，0）、（5，0），且與y軸交于點（0，-3）；（4）已知拋物線的頂點為（3，-2），且與x軸兩交點間的距離為4例3、已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（-1，12）、B（2，-3），（1）求該二次函數(shù)的關系式；（2）用配方法把（1）所得的函數(shù)關系式化成的形式，并求出該拋物線的頂點坐標和對稱軸例4、已知二次函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象有

14、兩個公共點P（2，m）、Q（n，-8），如果拋物線的對稱軸是x= -1，求該二次函數(shù)的關系式變式訓練：1、根據(jù)下列條件，分別求出對應的二次函數(shù)的關系式（1）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（0，2）、（1，1）、（3，5）；（2）已知拋物線的頂點為（-1，2），且過點（2，1）；（3）已知拋物線與x軸交于點M（-1，0）、（2，0），且經(jīng)過點（1，2）2、二次函數(shù)圖象的對稱軸是x=-1，與y軸交點的縱坐標是6，且經(jīng)過點（2，10），求此二次函數(shù)的關系式3、某工廠大門是一拋物線型水泥建筑物，如圖所示，大門地面寬AB=4m，頂部C離地面高度為44m現(xiàn)有一輛滿載貨物的汽車欲通過大門，貨物頂部距地面28m，裝

15、貨寬度為24m請判斷這輛汽車能否順利通過大門4、已知二次函數(shù)，當x=3時，函數(shù)取得最大值10，且它的圖象在x軸上截得的弦長為4，試求二次函數(shù)的關系式5、拋物線過點（2，4），且其頂點在直線上，求此二次函數(shù)的關系式【隨堂練習】1、二次函數(shù)y=ax2bx2c的圖象如圖所示，則a 0，b 0，c 0（填“”或“”）2、二次函數(shù)y=ax2bxc與一次函數(shù)y=axc在同一坐標系中的圖象大致是圖中的（ ）3、在同一坐標系中，函數(shù)y=ax2bx與y=的圖象大致是圖中的（ ）4、如圖所示的是橋梁的兩條鋼纜具有相同的拋物線形狀按照圖中建立的直角坐標系，左面的一條拋物線可以用y=00225x209x10表示，而且

16、左右兩條拋物線關于y軸對稱，你能寫出右面鋼纜的表達式嗎？5、圖中各圖是在同一直角坐標系內(nèi)，二次函數(shù)y=ax2（ac）xc與一次函數(shù)y=axc的大致圖象，有且只有一個是正確的，正確的是（ ）6、拋物線y=ax2bxc如圖所示，則它關于y軸對稱的拋物線的表達式是 7、已知二次函數(shù)y=（m2）x2（m3）xm2的圖象過點（0，5）（1）求m的值，并寫出二次函數(shù)的表達式；（2）求出二次函數(shù)圖象的頂點坐標、對稱軸8、啟明公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品成本是3元，售價是4元，年銷售量為10萬件為了獲得更好的利益，公司準備拿出一定的資金做廣告根據(jù)經(jīng)驗，每年投入的廣告費是x（萬元）時，產(chǎn)品的年銷售量將是原銷售量的

17、y倍，且y=x，如果把利潤看作是銷售總額減去成本費和廣告費（1）試寫出年利潤S（萬元）與廣告費x（萬元）的函數(shù)表達式，并計算廣告費是多少萬元時，公司獲得的年利潤最大？最大年利潤是多少萬元？（2）把（1）中的最大利潤留出3萬元作廣告，其余的資金投資新項目，現(xiàn)有6個項目可供選擇，各項目每股投資金額和預計年收益如下表：項目ABCDEF每股（萬元）526468收益（萬元）055040605091如果每個項目只能投一股，且要求所有投資項目的收益總額不得低于16萬元，問有幾種符合要求的投資方式？寫出每種投資方式所選的項目9、已知拋物線y=a（xt1）2t2（a，t是常數(shù)，a0，t0）的頂點是A，拋物線y=

18、x22x1的頂點是B（如圖）（1）判斷點A是否在拋物線y=x22x1上，為什么？（2）如果拋物線y=a（xt1）2t2經(jīng)過點B求a的值；這條拋物線與x軸的兩個交點和它的頂點A能否成直角三角形？若能，求出t的值；若不能，請說明理由10、如圖，E、F分別是邊長為4的正方形ABCD的邊BC、CD上的點，CE=1，CF=，直線FE交AB的延長線于G，過線段FG上的一個動點H，作HMAG于M設HM=x，矩形AMHN的面積為y（1）求y與x之間的函數(shù)表達式，（2）當x為何值時，矩形AMHN的面積最大，最大面積是多少？11、已知點A（1，1）在拋物線y=（k21）x22（k2）x1上（1）求拋物線的對稱軸；

19、（2）若點B與A點關于拋物線的對稱軸對稱，問是否存在與拋物線只交于一點B的直線？如果存在，求符合條件的直線；如果不存在，說明理由12、如圖，A、B是直線上的兩點，AB=4cm，過外一點C作CD，射線BC與所成的銳角1=60°，線段BC=2cm，動點P、Q分別從B、C同時出發(fā)，P以每秒1cm的速度，沿由B向C的方向運動；Q以每秒2cm的速度，沿由C向D的方向運動設P、Q運動的時間為t秒，當t2時，PA交CD于E（1）用含t的代數(shù)式分別表示CE和QE的長；（2）求APQ的面積S與t的函數(shù)表達式；（3）當QE恰好平分APQ的面積時，QE的長是多少厘米？13、如圖所示，有一邊長為5cm的正方

20、形ABCD和等腰三角形PQR，PQ=PR=5cm，PR=8cm，點B、C、Q、R在同一直線上當CQ兩點重合時，等腰PQR以1cm/秒的速度沿直線按箭頭所示方向開始勻速運動，t秒后，正方形ABCD與等腰PQR重合部分的面積為Scm2解答下列問題：（1）當t=3秒時，求S的值；（2）當t=5秒時，求S的值；14、如圖2-4-16所示，公園要建造圓形的噴水池，在水池中央垂直于水面處安裝一個柱子OA，O恰在圓形水面中心，OA=125米由柱子頂端A處的噴頭向外噴水，水流在各個方向沿形狀相同的拋物線的路線落下為使水流形狀較為漂亮，要求設計成水流在與高OA距離為1米處達到距水面最大高度225米（1）如果不計

21、其他因素，那么水池的半徑至少要多少米，才能使噴出的水不致落到池外？（2）若水池噴出的拋物線形狀如（1）相同，水池的半徑為35米，要使水流不致落到池外，此時水流最大高度應達多少米？（精確到01米，提示：可建立如下坐標系：以OA所在的直線為y軸，過點O垂直于OA的直線為x軸，點O為原點）15、某玩具廠計劃生產(chǎn)一種玩具熊貓，每日最高產(chǎn)量為40只，且每日生產(chǎn)的產(chǎn)品全部售出已知生產(chǎn)x只玩具熊貓的成本為R（元），每只售價為P（元），且R，P與x的表達式分別為R=50030x，P=1702x（1）當日產(chǎn)量為多少時，每日獲利為1750元？（2）當日產(chǎn)量為多少時，可獲得最大利潤？最大利潤是多少？16、閱讀材料，

22、解答問題當拋物線的表達式中含有字母系數(shù)時，隨著系數(shù)中的字母取值的不同，拋物線的頂點坐標出將發(fā)生變化例如y=x22mxm22m1，有y=（xm）22m1，拋物線的頂點坐標為（m，2m1），即當m的值變化時，x、y的值也隨之變化，因而y值也隨x值的變化而變化把代入，得y=2x1可見，不論m取任何實數(shù)，拋物線頂點的縱坐標y和橫坐標x都滿足表達式y(tǒng)=2x1解答問題：（1）在上述過程中，由到所學的數(shù)學方法是 ，其中運用了 公式，由、到所用到的數(shù)學方法是 （2）根據(jù)閱讀材料提供的方法，確定拋物線y=x22mx2m23m1頂點的縱坐標y與橫坐標x之間的表達式【家庭作業(yè)】1拋物線y=2x26x1的頂點坐標為

23、，對稱軸為 2如圖，若a0，b0，c0，則拋物線y=ax2bxc的大致圖象為（ ）3已知二次函數(shù)y=x2x6，當x= 時，y最小= ；當x 時，y隨x的增大而減小4拋物線y=2x2向左平移1個單位，再向下平移3個單位，得到的拋物線表達式為5二次函數(shù)y=ax2bxc的圖象如圖所示，則ac 0（填“”、“”或“=”）。6已知點（1，y1）、（3，y2）、（，y3）在函數(shù)y=3x26x12的圖象上，則y1、y2、y3的大小關系是（ ）Ay1y2y3 By2y1y3 Cy2y3y1 Dy3y1y27二次函數(shù)y=x2bxc的圖象的最高點是（1，3），則b、c的值是（ ）Ab=2，c=4 Bb=2，c=4 Cb=2，c=4 Db=2，c=48如圖，坐標系中拋物線是函數(shù)y=ax2bxc的圖象，則下列式子能成立的是（ ）Aabc0 Babc0 Cbac D2c3b9函數(shù)y=ax2bxc和y=axb在同一坐標系中，如圖所示，則正確的是（ ）10已知拋物線y=ax2bxc經(jīng)過點A（4