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第一節(jié)第一節(jié) 數(shù)列的極限數(shù)列的極限定義2.1 無(wú)窮多個(gè)數(shù)按如下順序排列12,nu uu稱為數(shù)列,簡(jiǎn)記為un. 數(shù)列un中的數(shù)稱為數(shù)列的項(xiàng),稱u1為第1項(xiàng),u2為第2項(xiàng),un為第n項(xiàng),通常稱un為數(shù)列的一般項(xiàng)或通項(xiàng),正整數(shù)n稱為數(shù)列的下標(biāo). 例如11 11(1) :1, , ,;2 3nn1111 11( 1)(2)( 1):1, ,;2 34nnnn( 1)3 2 5 4(3):0,;2 3 4 5nnn (4) :1,2,3, ,;nn1(5)( 1):1, 1,1,;n1(6)( 1):1, 2,3, 4,.nn 對(duì)于給定的數(shù)列un.由于其各項(xiàng)的取值由其下標(biāo)n唯一決定,故數(shù)列un可視為定義在正整數(shù)集合N+上的函數(shù):un=f(x) ,uN+并稱之為下標(biāo)函數(shù).定義2.2 設(shè)有數(shù)列un和常數(shù)a.如果對(duì)任意給定的0,存在正整數(shù)N時(shí),恒有|una|0,要使不等式1212| |33233(32)nunn成立,只需 成立.21(1)3 3n因此,若取 ,則當(dāng)nN時(shí),有211 (1)3 3N 21(1)3 3nN即有12|33(32)nun由此1lim323nnn例例2.2 用定義證明: ,其中a為正數(shù).lim1nna證證 先考慮a1的情形.對(duì)任意給定的0,要使|1|1nnaa 即a(1+)n成立,只需使211(1)(1)2nnannn n 成立.因此,取 ,1 aN 則當(dāng) 時(shí),

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