研究院北京2018二模理分類匯編——立體幾何與空間向量教師版

1、2018二模分類匯編立體幾何1.（2018昌平二模·理）某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的所有面中最大面的面積是A2左視圖主視圖2BC 2D俯視圖1. B2.（2018房山二模·理）已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的最長(zhǎng)棱為（A） （B） （C） （D）2. B3（2018西城二模·理）某正四棱錐的正（主）視圖和俯視圖如圖所示，該正四棱錐的側(cè)面積是（A） （B）（C） （D）3. B4.（2018順義二模·理）某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是A. B. C. D.16 4. B5.（2018東城二模·理）如圖，已知正方體

2、的邊長(zhǎng)為1，若過直線的平面與該正方體的面相交，交線圍城一個(gè)菱形，則該菱形的面積為_.5.6.（2018朝陽二模·理）如圖，已知四面體的棱平面，且，其余的棱長(zhǎng)均為.四面體以 所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)弧度，且始終在水平放置的平面上方.如果將四面體在平面內(nèi)正投影面積看成關(guān)于的函數(shù)，記為，則函數(shù)的最小值為 ；的最小正周期為 6.7.（2018豐臺(tái)二模·理）如圖，在矩形中，為邊的中點(diǎn)將沿翻折，得到四棱錐設(shè)線段的中點(diǎn)為，在翻折過程中，有下列三個(gè)命題： 總有平面； 三棱錐體積的最大值為； 存在某個(gè)位置，使與所成的角為其中正確的命題是 （寫出所有正確命題的序號(hào)）7.8.（2018朝陽二模

3、3;理）已知某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的底面和三個(gè)側(cè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)是 . 9.（2018海淀二模·理）如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體中，是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)，若垂直于，則的面積的最小值為_.9.答案不唯一，或的任意實(shí)數(shù)10.（2018順義二模·理）（本小題滿分14分）如圖，在正三棱柱中，側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)均為1，是的中點(diǎn)（）求證：平面；（）求與平面 所成角的正弦值；（）試問線段上是否存在點(diǎn)，使？若存在，求 的值，若不存在，說明理由 10.（）連結(jié)交于點(diǎn)O，連結(jié)OD 交于點(diǎn)O O是的中點(diǎn)又是的中點(diǎn) OD是的一條中位線OD 又平面.4分（）以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DB所在直

4、線為X軸，AD所在直線為Y軸，垂直于面ABC的直線為Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則D（0，0，0），A（0，0），C（，0，0）在平面ADC1中，（0，0），設(shè)為平面ADC1的一個(gè)法向量，則有，即不妨令，則，所以又，則設(shè)與平面所成角為，則=與平面所成角的正弦值為.9分（）假設(shè)點(diǎn)E在線段上，使不妨設(shè)（）， 11.（2018.西城二模.理）（本小題滿分14分）如圖，梯形所在的平面與等腰梯形所在的平面互相垂直，（）求證：平面；（）求二面角的余弦值；（）線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？請(qǐng)說明理由（本小題滿分14分）11.解：（）因?yàn)?，且， 所以 四邊形為平行四邊形，所以 2分 因?yàn)?平面， 3分所以 平面

5、 4分（）在平面內(nèi)，過作因?yàn)?平面平面，平面平面，又 平面，所以 平面，所以 ， 如圖建立空間直角坐標(biāo)系 5分由題意得，所以 ，設(shè)平面的法向量為， 則 即 令，則，所以 7分平面的一個(gè)法向量為 ， 8分則 所以 二面角的余弦值 10分（）線段上不存在點(diǎn)，使得平面，理由如下： 11分解法一：設(shè)平面的法向量為， 則 即 令，則，所以 13分因?yàn)?，所以 平面與平面不可能垂直，從而線段上不存在點(diǎn)，使得平面 14分解法二：線段上不存在點(diǎn)，使得平面，理由如下： 11分假設(shè)線段上存在點(diǎn)，使得平面，設(shè) ，其中設(shè) ，則有，所以 ，從而 ，所以 13分因?yàn)?平面，所以 所以有 ，因?yàn)?上述方程組無解，所以假設(shè)不

6、成立所以 線段上不存在點(diǎn)，使得平面 14分 12.（2018海淀二模·理）（本小題共14分）如圖，在三棱柱中，平面，分別是，的中點(diǎn)（）證明：（）證明：平面； （）求與平面所成角的正弦值.12.（本小題共14分）解：（）因?yàn)槠矫?，平面?所以1分因?yàn)?，平面，所以平?分因?yàn)槠矫?，所?分（）法一：取的中點(diǎn)，連接、 因?yàn)?、分別是、的中點(diǎn)， 所以ME，且ME5分 在三棱柱中，且，所以MEAD，且ME=AD，所以四邊形ADEM是平行四邊形，6分所以DEAM7分又平面，平面，所以平面9分注：與此法類似，還可取AB的中點(diǎn)M，連接MD、MB1法二：取AB的中點(diǎn)，連接、 因?yàn)镈、分別是AC、AB的中

7、點(diǎn)，所以MDBC，且MDBC5分 在三棱柱中，且，所以MDB1E，且MD=B1E，所以四邊形B1E DM是平行四邊形，6分所以DEMB17分又平面，平面，所以平面9分法三：取的中點(diǎn)，連接、 因?yàn)椤⒎謩e是、的中點(diǎn)，所以，5分 在三棱柱中， 因?yàn)?、分別是和的中點(diǎn)，所以，所以，四邊形是平行四邊形，6分所以，7分 又因?yàn)椋?,平面MDE，BB1,平面，所以，平面平面8分因?yàn)椋矫?，所以，平?分（）在三棱柱中， 因?yàn)椋栽谄矫鎯?nèi)，過點(diǎn)作，因?yàn)?，平面，所以，平?0分建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz，如圖則,.，11分設(shè)平面的法向量為，則，即，得，令，得，故12分設(shè)直線DE與平面所成的角為，則sin，所以

8、直線與平面所成角的正弦值為.14分13.（2018房山二模·理）（本小題分）如圖，正六邊形的邊長(zhǎng)為，為中心，為的中點(diǎn).現(xiàn)將四邊形沿折起到四邊形的位置，使得平面平面，如圖.（）證明：平面；（）求二面角的大?。唬ǎ┰诰€段上是否存在點(diǎn)，使得平面？如果存在，求出的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由.圖圖13.（）證:圖（1）中M圖（2）中，又面，為點(diǎn)，又四邊形為菱形 5分（）取的中點(diǎn)，連接,以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示.設(shè)面的法向量為，令則，設(shè)面的法向量為，則二面角的大小為 10分（）假設(shè)存在，設(shè)，矛盾 14分14.（2018東城二模·理）（本小題14分）如圖，在四棱錐中，平

9、面,，,.（）求證：平面；（）若為中點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，平面，求的值； （）求二面角的的大小;14.（共14分）（）證明：如圖1，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平?因?yàn)槠矫?，所以平面平?4分（）如圖2，取中點(diǎn)，連接，因?yàn)槠矫?，平面，平面平面，所?所以.因?yàn)?，所?所以.所以.所以=.因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)， 所以. 9分 （）連接，由（）知平面，平面，平面所以，因?yàn)?，點(diǎn)為中點(diǎn)，所以.作，所以.如圖3建立空間坐標(biāo)坐標(biāo)系.因?yàn)樗?，因?yàn)?，所以平?平面的法向量.設(shè)平面的法向量，則有 即令，則，即.由題知二面角為銳角，所以二面角的大小為. 14分15.（2018昌平二模·理）（本小題14分）

10、如圖1，在邊長(zhǎng)為2的菱形中，于點(diǎn)，將沿折起到的位置，使，如圖2（I）求證：平面；（II）求二面角的余弦值；（III）在線段上是否存在點(diǎn)，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，說明理由15.（共14分）證明：（I）因?yàn)?，所以又因?yàn)椋?所以平面因?yàn)槠矫?，所以又因?yàn)?所以平面-5分（II）因?yàn)槠矫?，所以以E為原點(diǎn)，分別以EB，ED，EA1為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以,設(shè)平面的法向量，由，得令，得因?yàn)槠矫妫云矫娴姆ㄏ蛄?，所以因?yàn)樗蠖娼菫殇J角，所以二面角的余弦值為 -10分（III）假設(shè)在線段上存在一點(diǎn)，使得平面平面設(shè)，則所以所以，設(shè)平面的法向量，由，得，令，得因?yàn)槠矫嫫矫?，?/p>

11、以，解得，所以在線段上存在點(diǎn)，使得平面平面，且-14分 16.（2018朝陽二模·理）如圖，在四棱錐中，平面平面.是等腰三角形，且.在梯形中，（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？請(qǐng)說明理由.16.證明：（）因?yàn)橛忠驗(yàn)槠矫?平面所以平面（）取中點(diǎn)，在中,因?yàn)?，所以又易知，所以又因?yàn)槠矫嫫矫?且平面平面,所以平面,所以.以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系在梯形中，因?yàn)樗杂忠驗(yàn)?，所以于是有所以因?yàn)槠矫妫允瞧矫娴囊粋€(gè)法向量設(shè)平面的一個(gè)法向量所以令，則所以由圖可知，二面角為銳角所以二面角的余弦值為（）因?yàn)?，且，所以所以設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則令,則假設(shè)線段上存在點(diǎn)，使得平面,且設(shè)所以所以因?yàn)槠矫?所以所以，顯然不存在所以假設(shè)不成立,故線段上不存在點(diǎn)使得平面17.（2018豐臺(tái)二模·理）（本小題共14分）如圖所示，在三棱柱中，是中點(diǎn)，平面，平面與棱交于點(diǎn)，（）求證：；（）求證：；（）若與平面所成角的正弦值為，求的值（本小題共14分）（）證明：在三棱柱 中，側(cè)面 為平行四邊