平行線的性質(zhì)

1、平行線的性質(zhì)一、學(xué)習(xí)目標(biāo)會(huì)用兩條平行線的同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)等性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算。1掌握平行線的三個(gè)性質(zhì)，并能運(yùn)用它們作簡(jiǎn)單的推理和計(jì)算。2、了解平行線的判定和性質(zhì)的區(qū)別。3、能利用平行線的判定和性質(zhì)去解較綜合的題目。二、要點(diǎn)指津1平行線的性質(zhì)是證明角相等或互補(bǔ)的重要方法，它和對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角、角平分線等知識(shí)結(jié)合使用。角是平面幾何中最靈活的量，注意對(duì)有關(guān)角的知識(shí)的不斷總結(jié)、積累。2、平行線三個(gè)性質(zhì)的已知條件是什么、求什么結(jié)論要記準(zhǔn)、記牢；還要把這三個(gè)性質(zhì)同平行線的判定做比較，去記憶，一定要清楚它們之間的區(qū)別和聯(lián)系。3、直線和平面、平面和平面的平行關(guān)系，關(guān)鍵在于將直線或平面無(wú)限延展

2、后永不相交,理解它需要一定的想象力三、例題分析例1如圖，DE/ AB,/B與/ ADE的關(guān)系是（）A、互余B、互補(bǔ)C、相等D、以上答案都不對(duì)解:TAD丄 BC, / ADE+/ EDC=90/ AB/ DE,B=/ EDC/ B+/ ADE=90答案：A例2前面我們學(xué)習(xí)了平行線的判定公理：即同位角相等，兩直線平行。如果我們把這句話中的前后次序顛倒，就得到：兩直線平行，同位角相等。我們知道，把一句原本正確的話，顛倒前后順序，得到新的一句話，并不能保證一定正確。例如“對(duì)頂角相等"是正確的，倒過來(lái)說(shuō)相等的角是對(duì)頂角“就不正確了想想"兩直線平行，同位角相等“這句話是否正確?提示：從

3、畫平行線的過程可以知道，已有一對(duì)同位角相等（如圖（1）中的/ 1 = 2 2）是不是每對(duì)同位角都相等呢？可以多畫幾條截線考慮。參考答案：這句話是正確的。我們把它作為平行線的性質(zhì)公理：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等。簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩直線平行，同位角相等。說(shuō)明：我們可再畫一條直線 E' F',使它直線AB, CD都相交，得同位角/3,2 4。利用量角 器量一 -下，可知23=2 4。不論怎樣畫截線,所得的同位角都相等。例3兩條平行線被第三條直線所截，可得同位角相等, 那么內(nèi)錯(cuò)角是否也相等呢?提示：由allb，可得2 1 = 2 2,要考慮2 2與2 3的關(guān)系，想想2 3與2 4

4、是什么角?是否相等？參考答案：兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么兩條直線平行，簡(jiǎn)單說(shuō)成：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行說(shuō)明:/ allb （已知）2 1 = 2 2 （兩直線平行，同位角相等） 又T2 1 = 2 3 （對(duì)頂角相等）2 3=2 2 （等量代換）數(shù)？考答案補(bǔ)？例4已知如圖（5）,直線 a/b , c/d，/仁110°，求/ 2,/ 3,/ 4的度提示：平行性有哪些性質(zhì)？/1與/ 2, / 2與/ 3, / 2與/ 4分別是什么角?/ a/b（已知）/ 1 = / 2 （兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）又/ 1=110° （已知） / 2=110° （等量

5、代換）/ c/d（已知）/ 2+/ 3=180° （兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）/ 2=/ 4 （兩直線平行，同位角相等） / 3=180°-110°=70°/ 4=110°說(shuō)明:在求/ 3的度數(shù)時(shí)，也可以根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義，/3=180°- / 4來(lái)求。例 5已知：四邊形 ABCD中，AB/CD,BC/AD。求證：/ A=/ C,/ B=/ D提示:圖形中無(wú)同位角和內(nèi)錯(cuò)角，只有同旁內(nèi)角，想想兩直線平行時(shí)，哪些同旁內(nèi)角互參考答案:證明：/ AB/CD（已知）/ C+/ B= 180° （兩直線平行、同旁內(nèi)角互補(bǔ)）/ BC/AD/

6、 A+/ B= 180° （兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）同理可證：/ B=Z Do說(shuō)明:如果題目要求證的兩個(gè)結(jié)論中，第二個(gè)結(jié)論的證明方法與第一個(gè)結(jié)論的證明方法類似?？梢允褂?quot;同理可證"，而省略證明過程，此題還可以如下證明:證法二：延長(zhǎng)CB至E,（如圖9）/ BC/AD （已知）/ A=Z ABE（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）/ AB/CD（已知）/ ABE=Z C （兩直線平行，同位角相等）/ A=Z C （等量代換）同理可證：/ B=Z D例6如圖（10），根據(jù)DE/AB，DF/AC的條件,提示:把圖形進(jìn)行分解，先看DE/AB這個(gè)條件,再依次看DE AB分別被BC,

7、AC及FD所截得的同位角，內(nèi)錯(cuò)角，同旁內(nèi)角。再看DF/AC這個(gè)條件。參考答案:（1）/ DE/AB （已知） / 1 = Z B,Z 2=Z A （兩直線平行，同位角相等）/ A+/ 6=180° / B+Z BDE=18（J,/ 3+ / AFD=180）（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）（2）/ DF/AC （已知）Z 4=Z A,Z 5=Z C （兩直線平行，同位角相等）Z 2=Z 3 （兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）Z A+Z AFD=180,Z A+Z CDF=180, Z 6+Z 3=180° （兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）說(shuō)明：因?yàn)槠叫芯€的性質(zhì)較多，在兩直線平行的條件下，可

8、推岀若干個(gè)結(jié)論。所以書寫時(shí)，也必 須分清因果關(guān)系。例 7已知：如圖（11 ），Z 1: Z 2: Z 3=2:3:4,且 FE/BC，DE/AB，求：Z A，Z B，Z C 的度數(shù)提示:4與4 3Z 1，Z 2，Z 3這三個(gè)角有什么關(guān)系？ ZA與Z 3，Z B與Z 4，Z C與1分別是什么角？參考答案：解:Z 1 + Z 2+ Z 3=180°Z 1：Z 2 : Z 3=2:3:4可設(shè)每一份為 x°，則Z 1 = Z 2x°Z 2=3x °Z 3=4x°- 2x°+3x°+4x°=180° - x

9、6;=20° Z 1=40°Z 2=60°Z 3=80° FE/BC / C= Z 1=40°（兩直線平行，同位角相等 ）Z 4= Z 2=60° （兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）/ B= / 4=60° （兩直線平行，同位角相等）/ A=80° / B=60°Z C=40°例8已知：如圖（12） , AB/CD ,求證：/ B+Z D+Z BED=360 （用三種方法）提示:為180根據(jù)結(jié)論聯(lián)想與 360°有關(guān)的知識(shí)，由于360°=2X 180，或根據(jù)周角的性質(zhì)求證。參考答案:圖

10、12/ AB/CD （已知） EF/CD （平行于同一條直線的兩直線平行）想想如何將結(jié)論分成兩組角的和均B=Z 1,Z D=Z 2 （兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）（12-1 ）圖 12-1圖 12-2圏 12-31 + Z 2+Z BED=360 （周角定義） Z B+Z D+Z BED=360證法二：作 EM/BA （如圖（12-2 ）/ AB/CD （已知） EM/CD （平行于同一直線的兩直線平行） Z B+Z仁180°，Z D+Z 2=180° （兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)） Z B+Z D+ （Z 1 + Z 2） =360° 即 Z B+Z D+Z BED=

11、360證法三：作 BN/ED交CD于N,（如圖12-3 ） Z 3+Z BED=180,Z 2+Z D=180° （兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）/ AB/CD （已知）/ 1 = Z 2 （兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等） Z 3+Z 2+Z D+Z BED=360.Z 3+Z 1 + Z D+Z BED=360即Z ABE+Z D+Z BED=360說(shuō)明: 添加輔助線的目的是： 構(gòu)造定理使用的圖形，因?yàn)槭褂闷叫芯€的性質(zhì)或判定定理時(shí),對(duì)應(yīng)的圖形是兩條直線被第三線直線所截。在具體問BN對(duì)AB, CD來(lái)說(shuō)題中，缺平行線或截線，因此在證法一、二中的輔助線是平行線，證法三中的補(bǔ)的是截線，對(duì) DE BE

12、來(lái)說(shuō)補(bǔ)的是平行線四、檢測(cè)題1.如圖 1，AB/CD，則A. Z A+Z B=180oB. / B+Z C=180oC. Z C+Z D=180oD. Z A+Z C=180°2如圖2，AD/BC，則下面結(jié)論中正確的是（）A. Z 1 = Z 2B. Z 3=Z 4C. Z A=Z CD. Z 1 + Z 2+Z 3+Z 4=180°3. 如圖3，AB/CD，若Z 2是Z 1的2倍，則Z 2等于（）A.60°B.90 °C.120 °D.150 °4.如圖4，下面推理不正確的是 （A.- Z 1 = Z 2 (已知)CE/AB （內(nèi)錯(cuò)角

13、相等，兩直線平行）B. T BF/CD （已知） 2 3+2 4=180° （兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）C. J/ 2=2 4 （已知） CD/BF （同位角相等，兩直線平行）DC/BF （同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線D. J2 1 = 2 2，2 2+2 3=180° (已知)二2 1 + 2 3=180°，平行）5.兩條直線被第三條直線所截，則（）A、同位角相等B、內(nèi)錯(cuò)角的對(duì)頂角一定相等C同旁內(nèi)角互補(bǔ)D、內(nèi)錯(cuò)角不一定相等6.如圖5，已知E、A、F在一條直線上，且 EF/BCS 5/ EF/BC() -Z 3=/ EF是一條直線2 1 + 2 2+2 3=180°2+ + =1807.已知如圖6, AD, BC相交于點(diǎn) 0,/ B=Z C (已知)/-Z A=8. 如圖7 ,丨112（已知）/ 1 = Z 3 (已知) / 2=Z 3I 2|3()9. 如圖8 J AB/EF (已知)/ A+=180° ()/ ED/CB (已知)上' / DEF= ()10, AB/CD，/ B=130°,/ E=80°,求/ D 的度數(shù)?答案:1、2、B10. 如圖 9 DE/BC , / 仁39°/2=25°，求/ BDE / BED的度數(shù)。11、如圖3、C4、B5、D/