三、多項(xiàng)式、高次方程與復(fù)數(shù)

1、三、 多項(xiàng)式、高次方程與復(fù)數(shù)多項(xiàng)式問題，就內(nèi)容來說，常涉及到多項(xiàng)式的恒等，多項(xiàng)式的運(yùn)算，整值多項(xiàng)式，多項(xiàng)式的根，多項(xiàng)式的公因式，因式分解，多元多項(xiàng)式等.一、 一元多項(xiàng)式 先從一個(gè)實(shí)際試題談起.例1. 計(jì)算解：仔細(xì)觀察各括號中的式子，都具有的形式，而 命,18,10,16,22,58,則原式.例2. 以的方冪表示.解 設(shè)，于是比較恒等式兩端同類項(xiàng)的系數(shù)，得A=1, 2A+B=3, A-B+C=2.解之，得 A=1, B=5, C=6. 于是.例3. 求多項(xiàng)式被除的余式.解 因?yàn)槌绞嵌味囗?xiàng)式，所以余式最多是一次二項(xiàng)式.設(shè) 令 ，分別可得.可此可得 于是所求余式為例4. 試將多項(xiàng)式表示為兩個(gè)不同

2、次數(shù)的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的平方差的形式.分析：可以預(yù)見到有形式：.想一想為什么？解：設(shè).其中是待定系數(shù)，且.由多項(xiàng)式的恒等定理得方程組故 ，是一個(gè)解，其余三個(gè)解為：.二、多元多項(xiàng)式多元多項(xiàng)式有多種類型，一般可分為齊次多項(xiàng)式和非齊次多項(xiàng)式兩大類.如果對元多項(xiàng)式的變數(shù)字母的下標(biāo)集1,2,n施行任意一個(gè)置換后，都不改變，那么就稱為一個(gè)元對稱多項(xiàng)式.例如 .又如 與 .也是對稱多項(xiàng)式.由此可見，對稱多項(xiàng)式也可以是齊次的，也可以是非齊次的.利用待定系數(shù)法可以計(jì)算齊次對稱多項(xiàng)式的同型項(xiàng)的系數(shù).例5. 求的展開式解 的展開式是三次齊次對稱多項(xiàng)式.設(shè) .取, 得 取,得取,得27=3L+6M+N.由、式解得L=1,

3、 M=3, N=6, 于是.如果對元多項(xiàng)式的變數(shù)字母按照某種次序施行一次輪換后，得到與原來相同的多項(xiàng)式，那么就稱為輪換對稱多項(xiàng)式.例如， ；都是輪換對稱多項(xiàng)式，輪換對稱多項(xiàng)式不一定是對稱多項(xiàng)式，例如，不是對稱多項(xiàng)式，但對稱多項(xiàng)式一定是輪換對稱多項(xiàng)式.三、多項(xiàng)式的恒等變形.一個(gè)多項(xiàng)式用另一個(gè)與它恒等的多項(xiàng)式代換稱為多項(xiàng)式的恒等變形.由多項(xiàng)式乘法的某些特殊情形的結(jié)果而形成多項(xiàng)式恒等變形的常用公式：（1）； （2） ；（3） （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）.（10）（11）.（12）.其中.例6. 已知，求證.證：.因?yàn)?，所以，于是四、多?xiàng)式的因式分解多項(xiàng)式的因式分解與多項(xiàng)式相乘

4、是相反的恒等變形過程，因此，多項(xiàng)式因式分解的基本方法是多項(xiàng)式運(yùn)算法則與運(yùn)算律的運(yùn)用.例7. 將分解因式.解 .例8. 將分解因式.解 例9. 將分解因式.解 因?yàn)槭醉?xiàng)與常數(shù)項(xiàng)分別為完全平方式，于是，設(shè).因?yàn)?.所以 ，從而 .因?yàn)?，.所以，滿足所設(shè)的等式，于是.例10. 將分解因式解 例11. 把分解因式分析和解: 不難看出，當(dāng)時(shí)，已知多項(xiàng)式等于零，因此，多項(xiàng)式能被整除.同樣，當(dāng)和時(shí)，多項(xiàng)式等于零.因此多項(xiàng)式能被和整除.因此，我們可以肯定多項(xiàng)式能被整除.這個(gè)結(jié)果可以說明，多項(xiàng)式可以寫成的形式，其中是二次多項(xiàng)式，由于已知多項(xiàng)式和是齊次和對稱多項(xiàng)式，所以也應(yīng)當(dāng)是齊次和對稱多項(xiàng)式，也就是說，它可以

5、寫成：，其中和是待確定的系數(shù).假定恒等式=中先取，然后取，得到，解得.于是 .例12. 求證：有無窮多個(gè)自然數(shù)，使得對于任何非零自然數(shù)均為合數(shù).分析: 根據(jù)題意，應(yīng)設(shè)法找到無數(shù)個(gè)自然數(shù)，使得能分解成兩個(gè)大于1的自然數(shù)的積.不妨取去試，會(huì)發(fā)現(xiàn)是4的倍數(shù)時(shí)，用拆項(xiàng)、添項(xiàng)、配方較為方便.進(jìn)一步探索發(fā)現(xiàn)為形式的數(shù)，能使分解因式.解 設(shè)（為大于1的自然數(shù)），則=.因?yàn)椋?所以能分解為兩個(gè)大于1的自然數(shù)之積，又是任意大于1的自然數(shù)，有無窮多個(gè)值。例13. 已知是自然數(shù)，向是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)？分析 質(zhì)數(shù)只有1和它本身兩個(gè)約數(shù)，而合數(shù)除了1和它本身還有別的約數(shù)，要判定是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)，關(guān)鍵看它能否分解因式，并且有沒

6、有除了1和它本身以外的約數(shù).解 .當(dāng)時(shí)，是合數(shù).當(dāng)時(shí)，是質(zhì)數(shù).當(dāng)時(shí)，也是質(zhì)數(shù).當(dāng)時(shí)，這說明，此時(shí)可以分解為兩個(gè)大于1的自然數(shù)的積，即它為合數(shù).所以，當(dāng)或2時(shí)，是質(zhì)數(shù)；當(dāng)或時(shí)，是合數(shù).例14. 解不等式.解 分組分解：，可得 ，所以，即 ，所以， 即 例15. 設(shè)是三角形的三邊，求證幾何不等式.證：由于而 .從而要證的不等式成立.五、高次方程1三次簡化方程的韋達(dá)公式如果是方程的根，那么有,.實(shí)際上，如果是已知方程的根，那么 即 比較的同次冪的系數(shù)，即證.2次方程的韋達(dá)定理.如果是方程的根，那么有，.3如果整系數(shù)方程（系數(shù)是整數(shù)）有不等于0的整數(shù)根，那么這個(gè)根一定是常數(shù)項(xiàng)的約數(shù).實(shí)際上，如果一個(gè)不

7、等于零的整數(shù)是已知方程的根， 那么 ，即 ，從這個(gè)式子可以看出，應(yīng)當(dāng)被整除，也就是說，應(yīng)當(dāng)是常數(shù)項(xiàng)的約數(shù).例16. 已知是方程的三個(gè)根，求的值.解：如果是原方程的根，則有，即 ，. 因此有 .例17. 設(shè)實(shí)系數(shù)方程有三個(gè)正根，證明：方程必有一正根.證明：設(shè)方程 的三個(gè)正根為，又設(shè)方程 的三個(gè)根為，由韋達(dá)定理，得 由、知，因此方程的系數(shù)恰好正負(fù)相間，這說明方程不可能有負(fù)數(shù)根和零根.由于方程是三次方程，故它必有一實(shí)根.此根只可能是正根.例18. 求方程的整數(shù)解.分析 如果我們能夠把這個(gè)方程變形，寫成（是整數(shù)）的形式，而因式和是整系數(shù)的關(guān)于和的整函數(shù)的形式，那么已知方程的解的解法就可以求出.因此，我

8、們應(yīng)當(dāng)集中力量去做這種變形.解 .用最后得到的式子代替原方程的左邊，得.問題歸結(jié)為求下列各方程組的整數(shù)解.； ；方程和方程沒有整數(shù)解.方程和方程的整數(shù)解是：；.說明：方程左邊所作的變形，同因式分解有關(guān).但要求的技巧比較高.能否有技巧不這么高的其他方法呢？已知方程的左邊可以看作是關(guān)于的二次多項(xiàng)式.但我們會(huì)分解二次多項(xiàng)式的因式.為簡單起見，設(shè)，.于是，已知方程變形為： （A）方程左邊的根是 從這個(gè)式子可以看出，要使是有理根，只需在方程左邊減去96，即把方程寫成. （B）解得，方程（B）可以寫成.例19. 解方程解 配方得：，引入?yún)?shù)：，即 .為使第二項(xiàng)為完全平方項(xiàng)，由，得 .解此方程，得到一個(gè)根，

9、于是所以，有或，解得 ，.六、復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)具有多種不同的形式，在聯(lián)系數(shù)和形方面有其獨(dú)特的優(yōu)勢，它與三角、平面解析幾何、向量等知識有著廣泛都聯(lián)系，復(fù)數(shù)方法也是解決很多競賽問題的重要工具.競賽中對復(fù)數(shù)的考查以選擇題和填空題為主，考查知識點(diǎn)一般涉及復(fù)數(shù)的基本概念和幅角主值問題，熟悉以下結(jié)論是必要的.（1）復(fù)數(shù)的幾種形式.代數(shù)形式：;三角形式：，其中.當(dāng)時(shí), 為復(fù)數(shù)z的幅角主值;指數(shù)形式：，其中；幾何形式：與復(fù)平面的點(diǎn)是一一對應(yīng)的.（2）；z是純虛數(shù)或.（3），.（4），.（5）.（6），.例20 設(shè)，.求證：，均為1的立方根.證法一 運(yùn)用代數(shù)形式.設(shè)，.則由 有 ， . 再由 ，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件得，

10、. 將上述四式聯(lián)立，解得 ，.所以 ，.可見 .證法二 運(yùn)用三角形式由，可設(shè)，,再由,有 由此求得，從而 ，.所以，.證法三 考慮幾何意義，由及，可設(shè)，.根據(jù)復(fù)數(shù)加法的幾何意義，可知四邊形OACB是平行四邊形，且各邊相等.從而 ，.因此，.證法四 運(yùn)用共軛復(fù)數(shù)的運(yùn)算技巧.由，即，展開，利用進(jìn)行化簡，得 .將，代入上式化簡成，乘以，得 .從而.同理.例21 已知復(fù)數(shù)Z滿足，（1）計(jì)算,并把結(jié)果寫成復(fù)數(shù)的三角形式；（2）試問：使時(shí)實(shí)數(shù)值的最小自然數(shù)n是多少？思考方法：第一種，從，直接解得或.第二種，從想到1的三次根.由于，則以乘以等式兩邊，得，即，從而有 ，,其中n為正整數(shù).第三種，從想到，從此有

11、,又因，故有，即，,解：（1）.（2），當(dāng)且僅當(dāng)n為3的倍數(shù)時(shí)，為實(shí)數(shù).所以，使是實(shí)數(shù)值的最小自然數(shù).另解 .為實(shí)數(shù)值的充要條件為，即，所以，.例22 已知復(fù)數(shù)，且 .（1）求的值；（2）求證：.解 （1）依題設(shè)，有.根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件，知由得. 由得. 得.所以 .（2）由（1）可得，.而.所以.例23 若實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)虛數(shù)根的模為，求值，并解此方程.解 依題設(shè)，方程必存在一對共軛虛根和一實(shí)根，設(shè)這三個(gè)根為.于是，且根據(jù)韋達(dá)定理有整理得解之得 或故當(dāng)時(shí)，方程的三個(gè)根是.故當(dāng)時(shí)，方程的三個(gè)根是.例24 計(jì)算 例25 設(shè)復(fù)數(shù)在的條件下變動(dòng).試求的最大值和最小值.解 . 因?yàn)?，所以 ，.令，則，有=.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等式成立.此時(shí).也就是說，時(shí)達(dá)到最大值，最大值是.又由易見時(shí)，達(dá)到最小值