壓軸大題突破練——函數(shù)與導(dǎo)數(shù)(二)

1、壓軸大題突破練函數(shù)與導(dǎo)數(shù)(二)1已知函數(shù)f(x)aln xbx2.(1)當(dāng)a2，b時，求函數(shù)f(x)在，e上的最大值；(2)當(dāng)b0時，若不等式f(x)mx對所有的a0，x(1，e2都成立，求實數(shù)m的取值范圍解(1)由題意知，f(x)2ln xx2，f(x)x，當(dāng)xe時，令f(x)>0得x<；令f(x)<0，得<xe，f(x)在，)上單調(diào)遞增，在(，e上單調(diào)遞減，f(x)maxf()ln 21.(2)當(dāng)b0時，f(x)aln x，若不等式f(x)mx對所有的a0，x(1，e2都成立，則aln xmx對所有的a0，x(1，e2都成立，即maln xx，對所有的a0，x(1，

2、e2都成立，令h(a)aln xx，則h(a)為一次函數(shù)，mh(a)min.x(1，e2，ln x>0，h(a)在0，上單調(diào)遞增，h(a)minh(0)x，mx對所有的x(1，e2都成立1<xe2，e2x<1，m(x)mine2.2函數(shù)f(x)xln xax2x(aR)(1)若函數(shù)f(x)在x1處取得極值，求a的值；(2)若函數(shù)f(x)的圖象在直線yx圖象的下方，求a的取值范圍；(3)求證：2 0132 012<2 0122 013.(1)解f(x)ln x2ax.因為f(1)0，所以a0.(2)解由題意，得xln xax2x<x，所以xln xax2<0.

3、因為x(0，)，所以a>.設(shè)h(x)，則h(x).令h(x)>0，得0<x<e，所以h(x)在(0，e)上單調(diào)遞增；令h(x)<0，得x>e，所以h(x)在(e，)上單調(diào)遞減所以h(x)maxh(e)，所以a>.(3)證明由(2)知h(x)在(e，)上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x>e時，h(x)>h(x1)，即>，所以(x1)ln x>xln(x1)，所以ln xx1>ln(x1)x，所以xx1>(x1)x，令x2 012，得2 0122 013>2 0132 012.3已知函數(shù)f(x)ln xax1.(1)若函數(shù)f(x

4、)在點(diǎn)A(1，f(1)處的切線l與直線4x3y30垂直，求a的值；(2)若f(x)0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；(3)證明：ln(n1)>(nN*)(1)解函數(shù)f(x)的定義域為(0，)，f(x)a.所以f(1)1a.所以切線l的斜率為1a.因為切線l與直線4x3y30垂直，所以1a，解得a.(2)解若a0，則f(x)a>0，f(x)在(0，)上是單調(diào)遞增函數(shù)而f(1)1a>0，f(x)0不恒成立，故a>0.考慮a>0，則當(dāng)x(0，時，f(x)a>0；當(dāng)x，)時，f(x)a<0.所以f(x)在(0，上是單調(diào)遞增函數(shù)，在，)上是單調(diào)遞減函數(shù)所以f(x)的

5、最大值為f()ln a.要使f(x)0恒成立，只須ln a0即可由ln a0，解得a1，即a的取值范圍為1，)(3)證明由(2)，知當(dāng)a1時，f(x)0在(0，)上恒成立，且f(x)在(0,1)上是增函數(shù)，f(1)0，所以ln x<x1在x(0,1)上恒成立令x(kN*)，則ln<1，令k1,2，n，則有l(wèi)n<，ln<，ln<，ln<，以上各式兩邊分別相加，得lnlnln<()，即ln<()，故ln(n1)>(nN*)4已知函數(shù)f(x)aln xx2(a2)x.(1)當(dāng)a1時，求函數(shù)f(x)的極小值；(2)當(dāng)a1時，過坐標(biāo)原點(diǎn)O作曲線yf(

6、x)的切線，設(shè)切點(diǎn)為P(m，n)，求實數(shù)m的值；(3)設(shè)定義在D上的函數(shù)yg(x)在點(diǎn)Q(x0，y0)處的切線方程為l：yh(x)，當(dāng)xx0時，若>0在D內(nèi)恒成立，則稱點(diǎn)Q為函數(shù)yg(x)的“好點(diǎn)”當(dāng)a8時，試問函數(shù)yf(x)是否存在“好點(diǎn)”，若存在，請求出“好點(diǎn)”的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由解(1)當(dāng)a1時，f(x)ln xx23x，f(x)2x3(x>0)，當(dāng)0<x<時，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)<x<1時，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>1時，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增所以當(dāng)x1時，f(x)取到極小值2.(2

7、)當(dāng)a1時，f(x)ln xx2x，f(x)2x1(x>0)，所以切線的斜率k2m1，整理得m2ln m10，顯然m1是這個方程的解，又yx2ln x1在(0，)上是增函數(shù)，所以方程x2ln x10有唯一實數(shù)解，故m1.(3)當(dāng)a8時，f(x)8ln xx210x，f(x)2x10，函數(shù)yf(x)在其圖象上一點(diǎn)Q(x0，f(x0)處的切線方程h(x)(2x010)(xx0)x10x08ln x0.設(shè)F(x)f(x)h(x)，則F(x0)0，F(xiàn)(x)f(x)h(x)(2x10)(2x010)，若0<x0<2，F(xiàn)(x)在(x0，)上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x(x0，)時，F(xiàn)(x)<F(x0)0，此時<0，不合題意，所以yf(x)在(0，)上不存在“好點(diǎn)”；若x0>2，F(xiàn)(x)在(，x0)上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x(，x0)時，F(xiàn)(x)>F(x0)0，此時<0，不合題意，所以yf(x)在(0，)上不存在“好點(diǎn)”；若x02，F(xiàn)(x)0，即F(x)在(0，)