從三角函數(shù)看數(shù)學的和諧美（Word）

1、從三角函數(shù)看數(shù)學的和諧美 楊亢爾(浙江奉化中學 315500)和諧美，或稱統(tǒng)一美，是指部分與部分、整體與部分之間的和諧一致。和諧性在數(shù)學中的表現(xiàn)是各種數(shù)學形式在不同層次上的高度統(tǒng)一和協(xié)調(diào)，是指在不同的數(shù)學對象或同一對象的不同組成部分之間所存在的內(nèi)在聯(lián)系或共同規(guī)律。和諧性是數(shù)學結(jié)構(gòu)美的重要標志，是數(shù)學家不懈追求的永恒目標，也是數(shù)學發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造的美學方法之一。作為研究客觀世界數(shù)量關(guān)系和空間形式的數(shù)學科學，反映了客觀世界的統(tǒng)一性，正如希爾伯特所說：“數(shù)學的有機統(tǒng)一，是這門學科固有的特點，因為這是一切自然科學知識的基礎(chǔ)。”在積極落實數(shù)學“雙基”的教學實踐中，我們要充分挖掘數(shù)學的和諧美，提高學生的美學修養(yǎng)

2、，加深學生的美學感悟，領(lǐng)略數(shù)學的美學價值。本文以普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學必修4（人教社A版2004年5月第1版）第一章“三角函數(shù)”、第三章“三角恒等變換”為例，闡述自己的一些觀點，與大家探討。1. 數(shù)學概念的和諧美我們來看這樣一個幾何問題：如圖，旗桿位于操場一邊某點O，同學小A位于操場某點，如何確定小A相對于點O的位置？O這個問題有強烈的實際背景：在現(xiàn)實生活中，方向和距離比較便于測量，而坐標不便于直接測量，但用坐標來進行計算比較方便，而用角度和距離就沒有這么方便，這就引出了由計算的需要，而三角函數(shù)，就能解決這個問題。 再如，解三角形離不開三角函數(shù)，也是由一些便于直接測量的量去計算不便于直

3、接測量的量。這既說明了三角函數(shù)來源于現(xiàn)實世界，展示了它的自然美，也說明了三角函數(shù)作為一個代數(shù)工具與幾何對象之間的密切聯(lián)系，展示了數(shù)學的內(nèi)在統(tǒng)一與和諧美。2. 數(shù)學表示的和諧美傅里葉定理告訴我們：任何一個周期函數(shù)都可以表示為形如的正弦函數(shù)之和，而且正弦函數(shù)各項的圓頻率是其中圓頻率最低一項的圓頻率的倍數(shù)，寫成數(shù)學公式就是傅里葉級數(shù)，其中每一項都代表有適當頻率和振幅的簡單聲音，如由小提琴奏出的樂聲是1 / 7，所有具有周期性振動的聲音稱為樂音，音叉的振動就是最簡單的周期振動，與它同樣簡單的周期振動還有單擺的振動、彈簧的振動，這類振動稱之為簡諧振動，對簡諧振動的研究為樂聲的描述提供了工具，任何樂音都可

4、以表示為簡單的正弦函數(shù)之和。自從有了傅里葉定理，世界上的聲音一下子變得簡單了，都可以歸結(jié)為簡單聲音的組合，這些簡單聲音用數(shù)學表示就是正弦函數(shù)。世界上的聲音如此豐富多彩，卻又如此簡單！不僅聲音可以用正弦函數(shù)來描述，電流也可以用正弦函數(shù)來描述。事實上，電流與時間的關(guān)系是，這與音叉的振動具有相同的形式，正是這種統(tǒng)一性使聲音可以轉(zhuǎn)變?yōu)殡娏?。這樣，你可以坐在電視機前欣賞音樂，可以使用手機和你的朋友通話，通過簡單的數(shù)學表示，讓我們充分領(lǐng)略到大自然充滿了神奇的和諧與統(tǒng)一！3.數(shù)學聯(lián)系的和諧美數(shù)學課程標準指出，學生對基礎(chǔ)知識和基本技能的理解和掌握，是數(shù)學教學的基本要求，也是評價學生學習的基本內(nèi)容。正確評價學生

5、的數(shù)學“雙基”，應(yīng)充分關(guān)注學生能否建立數(shù)學知識之間的聯(lián)系，把握數(shù)學知識的結(jié)構(gòu)、體系。三角恒等變換中需要記憶的公式很多，如果只是將這些公式變來變?nèi)サ贸鲂碌娜呛愕仁?，那將是十分枯燥乏味的。我們可以從這些公式的內(nèi)在聯(lián)系入手，首先推導公式，然后從，得到兩角和與差的三角函數(shù)公式，令，又可得到兩倍角公式、，作角與式的變換，又可得到降冪公式、半角公式、萬能公式、三倍角公式以及積化和差、和差化積公式。另外，我們可以從三角函數(shù)的定義，引出三角函數(shù)的定義域、三角函數(shù)在各個象限的符號、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、誘導公式等。也可以從單位圓中的三角函數(shù)線，引出三角函數(shù)的圖象、值域、單調(diào)性、奇偶性、對稱性、有界性、周期

6、性。還可以運用從特殊到一般的思想，去體會三種圖象變換之間的聯(lián)系，所有這一切，無不顯示數(shù)學知識之間相互聯(lián)系、配合的和諧。又如，由正弦兩角和公式，把看作常數(shù)，對等式兩邊關(guān)于求導，得余弦兩角和公式。由正弦兩角差公式，把看作常數(shù)，對等式兩邊關(guān)于求導，得余弦兩角和公式。由正弦二倍角公式，兩邊對求導，則，化簡得余弦二倍角公式。反之，對余弦二倍角公式兩邊關(guān)于求導，可得正弦二倍角公式。三倍角公式，也可由任一式出發(fā)，通過兩邊求導而得到另一式。以上公式“你中有我，我中有你”的現(xiàn)象，很好地說明了數(shù)學聯(lián)系的和諧統(tǒng)一。如果將三角公式與幾何圖形、向量聯(lián)系起來，三角公式又搖身一變?yōu)殒鼓榷嘧说膸缀螆D形，如由單位向量與的數(shù)量積

7、立即得出余弦的差角公式，而在三角函數(shù)中有著重要地位的，簡直就是勾股定理的華麗外衣，彼此協(xié)調(diào)，互相聯(lián)系，渾然統(tǒng)一，如此貌不驚人的公式居然有如此不尋常的幾何意義，代數(shù)與幾何的聯(lián)系如此神奇，這難道不是數(shù)學的內(nèi)在統(tǒng)一美的又一次光彩奪目的表演嗎？ 4.數(shù)學變化的和諧美解數(shù)學問題的關(guān)鍵在于問題形式的變換與化歸，而變換化歸的依據(jù)在于各種形式間在其本質(zhì)上的和諧與統(tǒng)一。因此，利用和諧性，就是設(shè)法將問題轉(zhuǎn)化，通過變形、分解、轉(zhuǎn)化等手段，使問題的條件和結(jié)論在新的協(xié)調(diào)的形式下相互溝通，達到問題的解決。例 求的值。 本題所給的三角式具有角的大小均勻遞增、函數(shù)名稱整齊劃一的和諧形式，可利用因式/通過積化和差來解，但若將其

8、變化為另外兩種和諧的形式，則又可得到如下兩種解法：解1 利用等比數(shù)列求和與復(fù)數(shù)相等的性質(zhì)設(shè)復(fù)數(shù)，則，所以 ，另一方面，+，于是 ，并且我們還順便得到與此對偶的另一結(jié)論。 另外，力學知識告訴我們，如果一個質(zhì)點受到n個外力的作用,當這n個力大小相等，且相鄰兩個力之間夾角也相等時，質(zhì)點所受合外力。若把力進行正交分解，那么它在軸和軸兩個方向上所受的合外力也為零。應(yīng)用力的平衡條件解決這一類三角求和問題十分巧妙、便捷，于是我們又有如下的解2 如圖，將圓心在原點的單位圓11等分，記，則，由力的平衡條件可知作用于點O的十一個力在軸方向的合外力為零，,即 。利用，類似可得。5.數(shù)學引伸的和諧美 數(shù)學教學中最常用

9、的一項建構(gòu)活動就是和諧擴展，以已有的較簡單的有聯(lián)系的同型知識和經(jīng)驗為基礎(chǔ)，和諧地提出問題，把它擴展到更廣泛的同一類的新領(lǐng)域中，然后，經(jīng)過等價變形，把它化歸為能解的情形，以求得解決。這樣一種建構(gòu)方式，可名之為“和諧提問化歸解決”，從一個方向看是和諧發(fā)展，換一個方向看便是理解、同化的過程，把新內(nèi)容和諧地納入到學習者已有的相似的認知框架之中。ABDC如三角函數(shù)概念的建立，先是在直角三角形中，學習銳角三角函數(shù)定義，以后再擴充到任意角的三角函數(shù)，對于兩角和的三角函數(shù)公式如，我們也可先研究特殊情形(如三角形中)，在特殊情形下得出一般結(jié)論，然后再用嚴密的數(shù)學方法給予證明。如圖，使角與的頂點重合，一條邊作為公

10、共邊，然后作這條公共邊的垂線，由余弦定理得 。所以對于為銳角時成立。要使上述公式對任意的均成立，由余弦函數(shù)的周期性，只須驗證時，公式成立即可。當時，令，其中，則。對于取值的其他情況，仿照以上方法驗證，均有公式成立。這樣，我們就將銳角范圍內(nèi)的公式，和諧地擴展到了任意角范圍。6數(shù)學推理的和諧美數(shù)學推理的嚴謹性和無矛盾性也是和諧美的一種體現(xiàn)。和諧性在數(shù)學中還表現(xiàn)為一定意義上的不變性，即在不同對象或同一對象的不同組成部分之間總有共同的規(guī)律存在。3-3O如右圖，已知函數(shù)的一段圖象，求這個函數(shù)的解析式。解：易知，將最高點代入得，又，所以函數(shù)的解析式為。在上述求的過程中，若將零點代入，可得，又，或，但當時，點不在函數(shù)的圖象上！難道以上推理錯了？奧秘何在？事實上，只要考慮正弦曲線與軸的交點情況不難發(fā)現(xiàn)，若是位于遞增段上的零點，則；若是位于遞減段上的零點，則，按此奇、偶分布規(guī)律，由于上述零點位于曲線的遞減段上，所以有，又，與最高點代入法得到的完全一致，這正是數(shù)學推理和諧美的一種體現(xiàn)。我們認為，在數(shù)學的基本知識、基本技能之間，存在著本質(zhì)上的和諧與統(tǒng)一，和諧性是數(shù)學結(jié)構(gòu)美的重要標志，也是數(shù)學發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造的美學方法之一。數(shù)學美的簡單性、對稱性、相似性等都是和諧性的特殊表現(xiàn)，和諧與統(tǒng)一寓于數(shù)學“雙基”的各個方面之中，數(shù)學就是和諧與奇異的統(tǒng)一體，是客觀世界的統(tǒng)一性與多樣性的真實、概括和抽象的反映