靜電場的高斯定理講課稿

1、靜電場的高斯定理例題例題2 求均勻帶電細棒外一點的場強。求均勻帶電細棒外一點的場強。設(shè)棒長為設(shè)棒長為l ，帶電量，帶電量q，電荷線密度為，電荷線密度為。解：解： 建坐標；建坐標；dqdy 204dydEr dqxyr dE取電荷元取電荷元dq ；確定確定 的方向的方向dEcosxdEdE sinydEdE 確定確定 的大小的大小dE將將 投影到坐標軸上投影到坐標軸上dEP204dydEr ydqxr dE cosxdEdE sinydEdE 統(tǒng)一變量（統(tǒng)一變量（r、y 是變量）是變量）若選若選 作為積分變量作為積分變量疊加疊加sinxqEdE cosyqEdE sindE cosdE tan(

2、)2yx 2cscdyxd 222cscrx sinxr cotx 0sin4dx 0cos4dx 210sin4xEdx 210cos4yEdx 22xyEEE可求得可求得:120coscos4x ()210sinsin4x ()dqxr dE2 1 sinxdEdE cosydEdE 討論討論中垂線上一點的場強中垂線上一點的場強120coscos4xEx ()210sinsin4yEx ()由對稱性，由對稱性，Ey= 02221coscos/24llx 則則22044xlElxx 若若 x l （無限長帶電線模型）（無限長帶電線模型）120,xE02x 建坐標；建坐標；204dqdEr 取

3、電荷元取電荷元dq確定確定 的方向的方向dE確定確定 的大小的大小dE將將 投影到坐標軸上投影到坐標軸上dE統(tǒng)一變量對分量疊加統(tǒng)一變量對分量疊加求電場強度的步驟cosxdEdE sinydEdE 合成合成例題例題3 求均勻帶電圓環(huán)軸線上一點求均勻帶電圓環(huán)軸線上一點的場強。設(shè)圓環(huán)帶電量為的場強。設(shè)圓環(huán)帶電量為q ，半徑為，半徑為R解：解：建坐標；建坐標；dqdl 204dldEr 取電荷元取電荷元dq ，確定確定 的方向的方向dEcosdEdE sindEdE 確定確定 的大小的大小dE將將 投影到坐標軸上投影到坐標軸上dEdEr xRLdqcosqEdEdE 20cos4qEr 3223020

4、244(1)qxqExRxx討論：當討論：當x 遠大于環(huán)的半徑時，遠大于環(huán)的半徑時，方向在方向在 x 軸上，正負由軸上，正負由q 的正負的正負決定。說明遠離環(huán)心的場強相當決定。說明遠離環(huán)心的場強相當于點電荷的場。于點電荷的場。由對稱性可知，由對稱性可知，P點場強只有點場強只有x 分量分量20cos4Ldqr 20cos4Ldqr 322204()qxRxdEr xRLdqP322204()xqxERx場強大小沿軸的分布情況：場強大小沿軸的分布情況：23220)( 4 RxxqE20 RqEdRRqd2dxPRRd2/122)(Rx 23220)( 4 ddRxxqEx23220)(d2RxRx

5、Rxyzo0R解解 由例由例3 3例例4 求均勻帶電圓盤軸線上一點的場強。求均勻帶電圓盤軸線上一點的場強。 圓盤面電荷密度為圓盤面電荷密度為 ，半徑為，半徑為 RxEEd)11(220220RxxxE0RxyzoEdRPRd002/3220)(d2RRxRRx23220)(d2dRxRxREx 相當于相當于均勻無限大帶電平面均勻無限大帶電平面附近的電場，附近的電場，場強垂直于板面，正負由電荷的符號決定。場強垂直于板面，正負由電荷的符號決定。02E =用泰勒級數(shù)展開用泰勒級數(shù)展開1222221()1xRRxx22022REx 22022Rx204qx在遠離帶電圓平面處，相當于點電荷的場強。在遠離

6、帶電圓平面處，相當于點電荷的場強。討論討論211()2Rx當當x R時時當當x R時時)11(220220RxxxE例例5 5 兩塊無限大均勻帶電平面，已知兩塊無限大均勻帶電平面，已知電荷面密度為電荷面密度為 ，計算場強分布。計算場強分布。解：由場強疊加原理由場強疊加原理 E E E E E E0022 EEE兩板之間：兩板之間：兩板之外：兩板之外： E = 0求一段均勻帶電圓弧所在圓心上的場強求一段均勻帶電圓弧所在圓心上的場強解：課后思考：dE 取取 dq =dldE如圖示如圖示204dldER cossindEdEdEdEdE 由對稱性由對稱性qEdE22002cos4RdR 0sin22

7、R 取對稱軸取對稱軸7.3 靜電場的高斯定理靜電場的高斯定理高斯高斯，德國數(shù)學(xué)，德國數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和家、天文學(xué)家和物理學(xué)家。物理學(xué)家。 一、電場線和電通量一、電場線和電通量 除此之外，還可以應(yīng)用電場線將場強分布除此之外，還可以應(yīng)用電場線將場強分布形象地描繪出來。形象地描繪出來。1.電場線電場線(electric field line) 為了使電場的分布形象化，可用一簇空為了使電場的分布形象化，可用一簇空間曲線描述場強分布，通常把這些曲線稱為間曲線描述場強分布，通常把這些曲線稱為電場線電場線又稱又稱 線。線。E方向：方向：曲線上每一點曲線上每一點的切線方向與該點的的切線方向與該點的場強方向一致

8、；場強方向一致；E 電場線電場線是按照下述是按照下述規(guī)定規(guī)定在電場中畫出的一在電場中畫出的一系列假想的曲線：系列假想的曲線：大?。捍笮。和ㄟ^電場中某點，垂直于場強的單位通過電場中某點，垂直于場強的單位面積的電力線根數(shù)，等于該點電場強度的大面積的電力線根數(shù)，等于該點電場強度的大小。小。dsEdSdNEdS電場線密集的地方場強大。電場線密集的地方場強大。電場線稀疏的地方場強小，電場線稀疏的地方場強小， 電場線的性質(zhì)電場線的性質(zhì)電場線起始于正電荷電場線起始于正電荷(或無窮遠處或無窮遠處)， 終止于負電荷，終止于負電荷，不會不會在沒有電荷處在沒有電荷處中斷中斷；兩條電場線兩條電場線不會相交不會相交；電

9、場線電場線不會形成閉合曲線不會形成閉合曲線。 電場線的這些性質(zhì)是由電場線的這些性質(zhì)是由靜電場的基本性質(zhì)靜電場的基本性質(zhì)和和場的單值性場的單值性決定的?？捎渺o電場的基本性質(zhì)決定的。可用靜電場的基本性質(zhì)方程加以證明。方程加以證明。點電荷的電場線點電荷的電場線正點電荷正點電荷負點電荷負點電荷2.電場線的形狀電場線的形狀一對等量異號點電荷的電場線一對等量異號點電荷的電場線一一對對等等量量正正點點電電荷荷的的電電場場線線一對不等量異號點電荷的電場線一對不等量異號點電荷的電場線帶電平行板電容器的電場線帶電平行板電容器的電場線2.電通量電通量(electric flux)定義：定義：通過電場中某一曲面通過電

10、場中某一曲面的電場線的條數(shù)稱為通過該的電場線的條數(shù)稱為通過該面的電通量，面的電通量，用用 表示。表示。均勻電場，平面均勻電場，平面S 與與 垂直。垂直。SEeES 均勻電場，平面均勻電場，平面S的的 法線方向與法線方向與 成成 角。角。SEESESecosEEeESSn非均勻電場，非均勻電場，S 為任意曲面為任意曲面cosedEdS E dSSeEdS cosdS有兩個法線方向，有兩個法線方向，d可正可負?？烧韶?。 為面元矢量為面元矢量nds0E dS0E dSSSeSdEEdScosnnEE2 2 ，2 ，2 規(guī)定：規(guī)定：閉合面上各面元閉合面上各面元的的外法線方向為正向外法線方向為正向。即

11、各個面元的即各個面元的 均是從均是從曲面內(nèi)指向曲面外。曲面內(nèi)指向曲面外。n電力線穿電力線穿出出閉合面為閉合面為正正通量，通量，電力線穿電力線穿入入閉合面為閉合面為負負通量。通量。S 為任意為任意閉合閉合曲面曲面所以，所以， 表示穿出與穿入閉合曲面的電場線表示穿出與穿入閉合曲面的電場線的條數(shù)之差，也就是的條數(shù)之差，也就是凈凈穿出閉合曲面的電場穿出閉合曲面的電場線的總條數(shù)。線的總條數(shù)。eSSeSdEEdScosnnEE2 2 在真空中的靜電場內(nèi)，通過任一閉合曲面的電在真空中的靜電場內(nèi)，通過任一閉合曲面的電通量等于該閉合曲面所包圍的電荷電量的代數(shù)通量等于該閉合曲面所包圍的電荷電量的代數(shù)和除以和除以0

12、二、靜電場的高斯定理二、靜電場的高斯定理 Gauss Law1.高斯定理的表述高斯定理的表述0qSdEiSe內(nèi)內(nèi)高斯定理可用高斯定理可用庫侖定律庫侖定律和和場強疊加原理場強疊加原理導(dǎo)出。導(dǎo)出。閉合曲面稱為閉合曲面稱為高斯面高斯面。2.高斯定理的導(dǎo)出高斯定理的導(dǎo)出1）點電荷位于球面點電荷位于球面 中心中心r+ +qdS與球面半徑無關(guān)，即以點電荷與球面半徑無關(guān)，即以點電荷q 為中心的任一為中心的任一球面，不論半徑大小如何，通過球面的電通量球面，不論半徑大小如何，通過球面的電通量都相等。都相等。E204rqE 022044qrrq0cosdSESdESSeSSdSrqdSE204SS 和和 包圍同一

13、個點電荷。由于電場線的連包圍同一個點電荷。由于電場線的連續(xù)性，通過兩個閉合曲面的電場線的數(shù)目是相續(xù)性，通過兩個閉合曲面的電場線的數(shù)目是相等的，所以等的，所以通過通過 的電通量：的電通量：2）點電荷在任意閉合曲面點電荷在任意閉合曲面 內(nèi)內(nèi)SSSee0qSdESRqESSS即：通過任一個包圍點即：通過任一個包圍點電荷的閉合曲面的電通電荷的閉合曲面的電通量與曲面無關(guān)，結(jié)果都量與曲面無關(guān)，結(jié)果都等于等于0q/+q 因為有幾條電場線穿進面內(nèi)必然有同樣數(shù)因為有幾條電場線穿進面內(nèi)必然有同樣數(shù)目的電場線從面內(nèi)穿出來。目的電場線從面內(nèi)穿出來。3）點電荷在閉合曲面點電荷在閉合曲面 之外之外 若將前幾例中等式右面的

14、若將前幾例中等式右面的 q 理解為理解為“封閉面內(nèi)封閉面內(nèi)的電荷的電荷”，此處的，此處的“0”可以和前面的結(jié)果統(tǒng)一起可以和前面的結(jié)果統(tǒng)一起來。來。S0SeSdE4）在點電荷系的電場中，通過任意閉合曲面的電通量在點電荷系的電場中，通過任意閉合曲面的電通量nkkiiEEEEEE11面內(nèi)電荷面內(nèi)電荷面外電荷面外電荷SeSdESiSdE00001qqk)(內(nèi)內(nèi)iq01)()(外外內(nèi)內(nèi)iSiSSdESdE 是指面內(nèi)電荷代數(shù)和是指面內(nèi)電荷代數(shù)和)(內(nèi)內(nèi)iq)(內(nèi)內(nèi)iSeqSdE01iq1q2q1kqnqESd高斯定理高斯定理 (Gauss Law) )(內(nèi)內(nèi)iSeqSdE01 在真空中的靜電場內(nèi)，通過任一

15、在真空中的靜電場內(nèi)，通過任一閉合曲面閉合曲面的電通量等于該閉合曲面所包圍的電荷電量的的電通量等于該閉合曲面所包圍的電荷電量的代數(shù)和除以代數(shù)和除以iq1q2q1kqnqESd0)(內(nèi)內(nèi)iSeqSdE01高斯定理幾點說明高斯定理幾點說明:1） 為高斯面上各點的電場強度，是由所為高斯面上各點的電場強度，是由所 有內(nèi)外電荷共同產(chǎn)生的總電場強度。有內(nèi)外電荷共同產(chǎn)生的總電場強度。2）僅高斯面內(nèi)的電荷對高斯面的電場強僅高斯面內(nèi)的電荷對高斯面的電場強 度通量有貢獻。度通量有貢獻。5）高斯定理反映了靜電場的基本性質(zhì)高斯定理反映了靜電場的基本性質(zhì) 靜電場是有源場。靜電場是有源場。E3）穿進高斯面的電通量為正，穿出

16、為負。穿進高斯面的電通量為正，穿出為負。4）源于庫侖定律源于庫侖定律 高于庫侖定律。高于庫侖定律。 表明有電場線從閉合曲面內(nèi)穿出，所以表明有電場線從閉合曲面內(nèi)穿出，所以正電荷是發(fā)出電通量的源正電荷是發(fā)出電通量的源。 表明有電場線穿入閉合曲面而終止于負表明有電場線穿入閉合曲面而終止于負電荷，所以電荷，所以負電荷是吸收電通量的源負電荷是吸收電通量的源。說明說明靜電場是有源場靜電場是有源場.)(內(nèi)內(nèi)iSeqSdE0100 eiq)(內(nèi)內(nèi)若若00 eiq)(內(nèi)內(nèi)若若)(內(nèi)內(nèi)iSeqSdE01思考？思考？1）高斯面上的）高斯面上的 與哪些電荷有關(guān)？與哪些電荷有關(guān)？E2）哪些電荷對閉合曲面的）哪些電荷對閉

17、合曲面的 有貢獻？有貢獻？e3）若通過一閉合曲面的）若通過一閉合曲面的 通量為零，通量為零，則此閉合曲面上的則此閉合曲面上的 一定：一定：EE（1）為零，也可能不為零；）為零，也可能不為零；（2）處處為零。）處處為零。例題例題 一點電荷位于邊長為一點電荷位于邊長為 a 的立方體的頂角的立方體的頂角上（如圖），求過該立方體表面的電通量。上（如圖），求過該立方體表面的電通量。解：解：顯然頂角所在的三顯然頂角所在的三個面上的通量為零個面上的通量為零其余三個面上直接計算困難其余三個面上直接計算困難考慮用考慮用 8 個這樣的立方體個這樣的立方體將點電荷擁在中心將點電荷擁在中心其外表面上的通量為其外表面上

18、的通量為由對稱性由對稱性0324eq 0q SeSdE4. 高高 斯斯 定定 理理 的的 應(yīng)應(yīng) 用用)(內(nèi)內(nèi)iSeqSdE01Applications of Gauss Law 高斯定理的一個重要應(yīng)用是：高斯定理的一個重要應(yīng)用是：計算帶電體計算帶電體周圍電場的電場強度周圍電場的電場強度。常見的具有對稱性分布的源電荷有：常見的具有對稱性分布的源電荷有：求解的關(guān)鍵是選取適當?shù)母咚姑?。求解的關(guān)鍵是選取適當?shù)母咚姑妗?實際上，只有在場強分布具有一定的實際上，只有在場強分布具有一定的對稱對稱性性時，才能比較方便應(yīng)用高斯定理求出場強。時，才能比較方便應(yīng)用高斯定理求出場強。 常見的對稱性電荷分布類型：常見的

19、對稱性電荷分布類型： 均勻帶電的均勻帶電的球面球面，球體球體和多層和多層同心球殼同心球殼等等無限長無限長均勻帶電的均勻帶電的直線直線，圓柱面圓柱面，圓柱殼圓柱殼等；等；無限大無限大的均勻帶電的均勻帶電平面平面，平板平板等。等。球?qū)ΨQ分布：球?qū)ΨQ分布：軸對稱分布：軸對稱分布：平面對稱分布：平面對稱分布：對稱性分析對稱性分析： 分析場強分布是否具有某種對稱性分析場強分布是否具有某種對稱性 （球?qū)ΨQ、軸對稱、面對稱等）（球?qū)ΨQ、軸對稱、面對稱等） 利用高斯定理求解。利用高斯定理求解。步驟：步驟： 根據(jù)對稱根據(jù)對稱性選擇合適的高斯面性選擇合適的高斯面； 計算電通量計算電通量及及 ； )(內(nèi)內(nèi)iq如何選

20、取高斯面：如何選取高斯面：1）高斯面必須通過所求的場點；）高斯面必須通過所求的場點；2）高斯面的形狀必須簡單規(guī)則，以便于計算）高斯面的形狀必須簡單規(guī)則，以便于計算穿過該高斯面的電通量穿過該高斯面的電通量3）使高斯面上各點的場強大小相等，方向與）使高斯面上各點的場強大小相等，方向與高斯面法線方向一致。高斯面法線方向一致?；蚧蚋咚姑嫔夏骋徊糠指鼽c的場強方向與高斯面高斯面上某一部分各點的場強方向與高斯面法線方向垂直，該部分的通量為零。而另一部法線方向垂直，該部分的通量為零。而另一部分各點的場強大小相等，方向與高斯面法線方分各點的場強大小相等，方向與高斯面法線方向一致。向一致。例題例題 求均勻帶電球面的電場。（已知求均勻帶電球面的電場。（已知R、 q ）解：解：對稱性分析對稱性分析E具有球?qū)ΨQ性具有球?qū)ΨQ性作高斯面作高斯面球面