大學數(shù)學：第6章 2克萊姆法則矩陣及其運算

1、學習要求學習要求理解理解Cramer法則，會用法則，會用Cramer法則解方程組；法則解方程組；理解矩陣的概念，了解單位矩陣、對角矩陣理解矩陣的概念，了解單位矩陣、對角矩陣三角矩陣的定義及性質，了解對稱矩陣、反三角矩陣的定義及性質，了解對稱矩陣、反對稱矩陣的定義及性質；對稱矩陣的定義及性質； 掌握矩陣的線性運算、乘法、轉置及其運算率，掌握矩陣的線性運算、乘法、轉置及其運算率，了解方陣的冪與方陣乘積的行列式的性質。了解方陣的冪與方陣乘積的行列式的性質。如果線性方程組如果線性方程組11112211211222221122nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa x

2、b的的系數(shù)行列式系數(shù)行列式D不等于零不等于零， 則方程組有唯一解則方程組有唯一解 11,DxD22,DxDnnDxD,行列式的應用行列式的應用Crammer法則法則 （1）證明證明例例1 用用Cramer法則求解線性方程組法則求解線性方程組 01123253224254321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx解解 系數(shù)行列式為系數(shù)行列式為 14211213513241211111D111121414235215121120D 252211111428421532110D 所以所以 1, 3, 2, 144332211DDxDDxDDxDDx3111124426235311

3、15220D 45211112114223131220D小結：小結：Crammer法則的使用有極大的局限性法則的使用有極大的局限性（1） Crammer法則只能用于求解法則只能用于求解方程個數(shù)與未知數(shù)方程個數(shù)與未知數(shù) 個數(shù)相等個數(shù)相等的線性方程組；的線性方程組；（2） Crammer法則只能求得法則只能求得系數(shù)行列式不為零系數(shù)行列式不為零時的時的 線性方程組的唯一解；線性方程組的唯一解； 即如果方程個數(shù)與未知數(shù)個數(shù)不相等，或系數(shù)即如果方程個數(shù)與未知數(shù)個數(shù)不相等，或系數(shù) 行列式等于零，則行列式等于零，則Crammer法則失效。法則失效。（3）計算量大計算量大，要計算，要計算 n+1 個個 n 階

4、行列式的值。階行列式的值。 如何解決這些問題呢？留待第七章解決。如何解決這些問題呢？留待第七章解決。齊次線性方程組齊次線性方程組 11112212112222112200.0nnnnnnnnna xa xa xa xa xa xa xa xa x常數(shù)項全為零常數(shù)項全為零的線性方程組，稱為的線性方程組，稱為齊次線性方程組齊次線性方程組。 這樣的方程組一定有解，這樣的方程組一定有解，至少有零解至少有零解 120nxxx根據(jù)根據(jù)Crammer法則，當系數(shù)行列式法則，當系數(shù)行列式D0時，齊次線性時，齊次線性方程組只有方程組只有唯一的零解唯一的零解；否則，當系數(shù)行列式；否則，當系數(shù)行列式 D=0 時，時

5、，齊次線性方程組齊次線性方程組有非零解有非零解（無窮多個）。（無窮多個）。例例2 當當k為何值時，下面的方程組為何值時，下面的方程組只有零解只有零解？ 1231231232020250 xkxkxkxxkxxxx解解 因為系數(shù)方程組的行列式為因為系數(shù)方程組的行列式為 2121265(5)(1)125kkDkkkkkk所以當所以當 k5且且 k1時，原方程組時，原方程組只有零解只有零解 （當（當 k5或或 k1時，原方程組時，原方程組有非零解）有非零解） 用加減消元法求解二元一次方程組用加減消元法求解二元一次方程組11 1122121 12222a x a xba x a xb（1）（2）221

6、2(1)(2)aa得得112212211122212()a aa axbab a112212212211121()a aa axb aba1121(2)(1)aa得得 矩陣的引入矩陣的引入 當當11 2212 210a aa a時時122212111221221bab axa aa a211121211221221b abaxa aa a 可見，在求解方程組的過程中，只有方程組可見，在求解方程組的過程中，只有方程組的的系數(shù)和常數(shù)項進行運算系數(shù)和常數(shù)項進行運算，未知量只是進行同類，未知量只是進行同類項的合并。項的合并。 在日常生活中，我們也經(jīng)常關心一些在日常生活中，我們也經(jīng)常關心一些數(shù)表數(shù)表：如

7、價格表、股票行情表、財務報表等等，這些重如價格表、股票行情表、財務報表等等，這些重要的要的“矩形數(shù)表矩形數(shù)表”，在數(shù)學學科中，則可用，在數(shù)學學科中，則可用矩陣矩陣來表示。來表示。111212122212.nnmmmnaaaaaaaaa的第一個下標的第一個下標 稱為稱為行標行標，第二個下標第二個下標 稱為稱為列標列標。ija其中：其中： 稱作矩陣的稱作矩陣的元素元素。ijaij矩陣的定義（見書矩陣的定義（見書P233定義定義1） 簡稱為簡稱為 m n 矩陣，簡記作矩陣，簡記作 ()ijm nAa矩陣的一般形式如下：矩陣的一般形式如下： 矩陣的概念矩陣的概念 11121121222212.nnmm

8、mnna aabaaabaaab稱為方程組的稱為方程組的增廣矩陣增廣矩陣111212122212.nnmmmna aaaaaaaa稱為方程組的稱為方程組的系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣11 11221121 1222221 122.nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxaxb設有線性方程組設有線性方程組線性方程組與矩陣之間可建立一一對應的關系線性方程組與矩陣之間可建立一一對應的關系行矩陣（行向量）行矩陣（行向量）只有一行的矩陣。只有一行的矩陣。 1 21 2412.na aa等等 列矩陣（列向量）列矩陣（列向量）只有一列的矩陣。只有一列的矩陣。 209 1112maaa等等

9、幾種特殊形式的矩陣幾種特殊形式的矩陣 0 000 000 00 00.0000 等等零矩陣零矩陣 所有元素都為零的矩陣所有元素都為零的矩陣，簡記作，簡記作 。0m n 方陣方陣行數(shù)和列數(shù)相等的矩陣。如：行數(shù)和列數(shù)相等的矩陣。如：等等0 00 0二階方陣二階方陣111222000三階方陣三階方陣111212122212.nnnnnna aaaaaaaan階方陣階方陣如如等等0 00 22 0 00 0 00 0912000000naaa 對角形矩陣對角形矩陣主對角線上的元素不全為零，其它的主對角線上的元素不全為零，其它的 元素都為元素都為0的的方陣方陣，簡記作，簡記作 。 單位矩陣單位矩陣主主對

10、角線上的元素都是對角線上的元素都是1的對角形矩陣，的對角形矩陣， 簡記作簡記作 。如：。如：nE21001E1 0. 00 1.0.0 0.1nE3100010001E等等2 1 20 1 00 0 111121222000nnnnaaaaaa上三角形矩陣上三角形矩陣主對角線下方元素全為零、上方的主對角線下方元素全為零、上方的 元素不全為元素不全為0的的方陣方陣。如：。如：等等下三角形矩陣下三角形矩陣主對角線上方的元素全為零，下方主對角線上方的元素全為零，下方 的元素不全為的元素不全為0的的方陣方陣。2 0 04 1 05 3 711212212000nnnnaaaaaa同型矩陣：同型矩陣：有

11、相同的行數(shù)與相同的列數(shù)的有相同的行數(shù)與相同的列數(shù)的 兩個矩陣，稱為兩個矩陣，稱為同型矩陣同型矩陣。如：如：11010437A11110000B054123000C789123D只有矩陣只有矩陣 與矩陣與矩陣 同型同型AB注意：同型是相等的必要條件。注意：同型是相等的必要條件。相等矩陣：相等矩陣：若若 兩矩陣兩矩陣同型同型且對應位置上且對應位置上 的的元素相等元素相等，則稱，則稱 相等，記相等，記 作作 。AB、AB、AB2 0 02 00 2 00 20 0 2000000000000011 11 1001001001001如：如：且且，例題：例題：已知已知27015xyxzA31701xzz

12、Bxz 求求, ,x y z的值。的值。，AB，124xyz231151xxyxzxz關關系系式式 矩陣的基本運算及性質矩陣的基本運算及性質 （1）交換律）交換律 A+B = B+A （2）結合律）結合律 （A+B）+C = A+（B+C） 矩陣的加法（見矩陣的加法（見P234定義定義2） 矩陣加法的運算規(guī)律：矩陣加法的運算規(guī)律： ijijm nABab注意：只有同型矩陣才能相加。注意：只有同型矩陣才能相加。 120211331110213例例m nm nm nAOA顯顯然然成成立立矩陣的減法矩陣的減法 設設1111nmmnaaAaa，則稱矩陣，則稱矩陣 1111nmmnaaaaA為為A 的的

13、負矩陣負矩陣，記作，記作。若若A、B為為同型同型矩陣，則規(guī)定矩陣，則規(guī)定()ABAB 即即ijijm nABab，m nm nm nAAO數(shù)乘矩陣（見教材數(shù)乘矩陣（見教材P235定義定義3） 如：如：1236334912若若 ,ijmnAakR，則，則ijm nkAka注意：數(shù)乘矩陣時，注意：數(shù)乘矩陣時， 矩陣的每一元素都要乘以常數(shù)矩陣的每一元素都要乘以常數(shù)K。 等等32 0 020 2 00 0 2E0000000nkkkEk 數(shù)量矩數(shù)量矩陣陣數(shù)乘矩陣的運算規(guī)律：數(shù)乘矩陣的運算規(guī)律： 1AAA 2AAA 3ABAB102111211B 設設 ， ，求滿足，求滿足方程方程 的的 。310121

14、342A 32AXBX41.5112.513.55.52.5X 矩陣的乘法（見教材矩陣的乘法（見教材P235定義定義4）設設1111tmmttmaaAaa則則1111nttnntbbBbb1111nmmnm nccABCcc其中其中1 122.ijijijittjca ba ba b(1,2,. ;1,2,. )imjn行行i列列j 左矩陣左矩陣 右矩陣右矩陣A的列數(shù)的列數(shù) B的行數(shù)的行數(shù)例如：例如：1011 2 32220 1 21106 7 54 4 21011 2 32220 1 2110無意義！無意義！ 左邊矩陣左邊矩陣 右邊矩陣右邊矩陣 的的 列列 數(shù)數(shù) 的的 行行 數(shù)數(shù)注意：注意：

15、AB存在，存在，BA無意義，無意義，ABBA (1 02 1 0 1)2 0 10 20 01 11 21 01 11 21 0例題：計算下列各題例題：計算下列各題01 2 011 （1）011 2 01 （2）ABBA000120120AB與與BA不同型不同型 同型同型但不相等。但不相等。12011210（3）01121012（4）11230102（5）23110201（6）特殊特殊AB=BA2121121225022502（1）一般地，一般地，ABBA，即乘法不滿足交換律。，即乘法不滿足交換律。（2）當）當AB=BA時，稱時，稱A、B為為可交換矩陣可交換矩陣，或，或稱稱A、B可交換。此時，

16、可交換。此時，A、B必為同階方陣。必為同階方陣。小小結結nA與與特別地，有：特別地，有：nnnnnAA EE A，即，即nE可交換。可交換。（8）10120010120111100000（7）1110001000000AB 00AB或或ABACBCBACABC矩陣的乘法運算矩陣的乘法運算不滿足消去律不滿足消去律矩陣相乘的運算規(guī)律：矩陣相乘的運算規(guī)律：一般地：一般地： 1ABBA 20AB 3ABACBACA或或若若 A 是方陣，則乘積是方陣，則乘積 .AAA有意義，記作有意義，記作kA稱為稱為 A 的的 k 次冪。次冪。0A 或或0B BCA BCAB C（1）,AB CACBC,C ABCA

17、CB（2）k ABkA BA kB（3）mm nm nnm nE AAEA（4）00,00m kk nm kk nAA（5）klk lAAAlkk lAA性質性質線性方程組的矩陣表示法（線性方程組的矩陣表示法（2）11 11221121 1222221 122. .nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxaxb（1）若記：若記：12mbbBb111212122212.nnmmmna aaaaaAaaa12nxxXx則方程組（則方程組（1）可記為：）可記為：AXB矩陣矩陣A的轉置（見教材的轉置（見教材P237定義定義5）,TtAA A或或如如12133121T0 3

18、2 42 0T1111mTnmnaaAaa1111nmmnaaAaa如果如果，則，則112323T 141455T0 223 40矩陣轉置的運算規(guī)律：矩陣轉置的運算規(guī)律： 1TTAA 2TTTABAB 3TTAA 4TTTABB A驗證（驗證（4）式：）式：201132A101123210B答案答案08()18210AB A為對稱矩陣為對稱矩陣ijjiaaA為反對稱矩陣為反對稱矩陣,0ijjiiiaaa 反對稱矩陣反對稱矩陣：如果：如果 ，則稱矩陣，則稱矩陣A為反對稱矩陣。為反對稱矩陣。 TAA 對稱矩陣對稱矩陣：如果：如果 ，則稱矩陣，則稱矩陣A為對稱矩陣。為對稱矩陣。 TAA方陣的行列式方陣的行列式1、方陣的行列式、方陣的行列式設設A為為n階方陣，則保持階方陣，則保持A的元素及排列方式不變而的元素及排列方式不變而得到的得到的n階行列式，稱為方陣階行列式，稱為方陣A的行列式，記作的行列式，記作detA或或A（determinant）如如4321A則則24321detA數(shù)表數(shù)表數(shù)值數(shù)值2、方陣的行列式的性質、方陣的行列式的性質(1) (2) (3)