大學(xué)數(shù)學(xué)：第2章 第2-3節(jié) 洛必達(dá)法則

1、 第二節(jié)洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則 會用洛必達(dá)法則求極限會用洛必達(dá)法則求極限 學(xué)習(xí)要求學(xué)習(xí)要求了解了解Taylor中值定理中值定理 (1) ( )( )xaf xg x當(dāng)時，及都趨于零；洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則 (2)( )( ),( )0afxg xg x在點(diǎn) 的某去心鄰域內(nèi)及都存在 且；( )lim()( )xafxg x(3)存在 或?yàn)? )( )limlim( )( )xaxaf xfxg xg x則則 或或同為同為 即在定理的條件下，未即在定理的條件下，未定式定式 的極限定值，可轉(zhuǎn)化的極限定值，可轉(zhuǎn)化為其導(dǎo)函數(shù)之商的極限。為其導(dǎo)函數(shù)之商的極限。00說明說明： （1）當(dāng)）當(dāng) 時的情形，洛必達(dá)法則

2、也成立；時的情形，洛必達(dá)法則也成立；x （2）若）若 ，即，即 類的極限定值，也有類的極限定值，也有 洛必達(dá)法則；洛必達(dá)法則；lim( )lim ( )f xg x （3）法則只能解決）法則只能解決 存在時，未定式存在時，未定式 的定值問題。的定值問題。 即如果即如果 不存在不存在，也不是也不是 ，則，則法則失效法則失效。( )lim( )fxg x0,0( )lim( )fxg x例例1 1 求下列極限求下列極限01(1)limxxex21ln(2)lim1xxx01ln 1(3) limcotxxx00型型型型00型型解解 原式原式0lim1xxe111lim21xxx 解解 原式原式解解

3、 原式原式220111 1limcscxxxx 220sinlim1xxxxx011lim21xx x例例2 2 證明極限證明極限 存在，但不能使用洛必達(dá)法則。存在，但不能使用洛必達(dá)法則。sinlimxxxx證明證明sinlimxxxxsinlim 1xxx1但使用洛必達(dá)法則有但使用洛必達(dá)法則有sinlimxxxx1 coslim1xx不存在不存在所以極限所以極限 的確定不能用洛必達(dá)法則。的確定不能用洛必達(dá)法則。sinlimxxxx20sinlimsinxxxxx例例3 3 求極限求極限00解解 這是這是 型的未定式，且當(dāng)型的未定式，且當(dāng) 時，時，0 x sinxx所以，原式所以，原式30si

4、nlimxxxx201 coslim3xxx0sinlim6xxx16適當(dāng)使用等價無窮適當(dāng)使用等價無窮小替換，再使用洛小替換，再使用洛必達(dá)法則，可簡化必達(dá)法則，可簡化極限運(yùn)算。極限運(yùn)算。30tanlimsinxxxx30tanlimxxxx2201 seclim3xxx13 練習(xí)練習(xí)220tanlim3xxx（1 1）形如）形如 的未定式的未定式0其它形式的未定式的定值其它形式的未定式的定值000,0 ,1 , 解題方法：解題方法：將未定式變形將未定式變形1000001 例例4 4 求極限求極限1lim 1tan2xxx解解 原式原式11limcot2xxx211limcsc22xx212li

5、m sin2xx2（2 2）形如）形如 的未定式的未定式其它形式的未定式的定值其它形式的未定式的定值解題方法解題方法：將未定式變形：將未定式變形110000 通分合并例例5 5 求極限求極限111limln1xxx解解 原式原式11 lnlimln1xxxx x 111lim1lnxxxxx11limln1xxxxx11lim1 ln1xx12（3 3）形如）形如 的未定式的未定式000 ,1 ,其它形式的未定式的定值其它形式的未定式的定值 解題方法解題方法：將未定式先取自然對數(shù)、變形，：將未定式先取自然對數(shù)、變形，再按情形（再按情形（1）處理）處理0000 ln01ln100 ln 取對數(shù)取

6、對數(shù)取對數(shù)100001 例例6 6 求極限求極限sin0limxxx解解 令令sinxyx則則lnsinlnyxx0lnlimcscxxx01limcsccotxxxx20sinlimcosxxxx0所以所以sin00lim1xxxe00lim lnlim sin lnxxyxx而而00例例7 7 求極限求極限10lim (0,0)2xxxxabab解解 令令12xxxaby則則1lnln2xxabyx而而00ln2limlnlimxxxxabyx0lnln2limxxxabx0lnlnlimxxxxxaabbabln()ln2abab1ln0lim2xxxabxabeab所以所以1解解 令令

7、例例8 8 求極限求極限sin01limxxxsin1xyx則則1lnsinlnsinlnyxxxx 01limcsccotxxxx20sinlimcosxxxx0sinsinlim0cosxxxxx00lnlim lnlimcscxxxyx所以所以sin001lim1xxex所以所以0求下列極限求下列極限210sin(1)limxxxx122012(2)limln 1xxexx1(3)lim1lnxxxxxx2116e（提示：利用等價無窮小替換）（提示：利用等價無窮小替換）cot(4) lim1sinxarcxx1210sin(1)limxxxx解解 設(shè)設(shè) 21sinxxyx002200sincos sinlnsinlimlim2xxxxxxxxxxx20cos sinlim2sinxxxxx20cossincoslim2 2 sincosxxxxxxxxx01lim2 2cotxxx16 211/60sinlimxxxex2sinlnlnxxyx則則 所以所以 1122012(2)limln 1xxexx122012limxxexx12011222lim2xxexx32011222lim2xxex1解解 原式原式 001(3)lim1lnxxxxxx解解 原式原式= 11lnlim1 1/